本篇和下一篇分别讨论涡量动力学和旋涡动力学（vorticity and vortex dynamics）这两部分密切相关的理论1，它们合起来的中文简称是涡动力学[1-2]。如果把这个简称译成英文，就得创造一个类似于“vordynamics”的词了。旋涡（vortex），汉语中有时简称为涡，是个早已存在的名词。对这个词怎么解读，将在下一篇讨论。而涡量（vorticity）这个词显然是从旋涡一词演化来的。W.Thomson （Kelvin勋爵）[3]在一篇论述旋涡定常运动的论文中最早用它来刻画有旋流动的局部行为2，但没有给出数学定义。根据参考文献[4] ，Lamb在其名著Hydrodynamics的第4版(1916年)首先把涡量落实为速度的旋度ω=∇×u，而在此之前ω或ω/2的分量还曾被Stokes、Helmholtz（1858年）、Kelvin（1869年）、Clifford（1878年）等分别称为angular velocities，rotationsgeschwindigkeiten（德语：转速），component rotations和spin。现在人们通用涡量这个名称。涡量动力学和旋涡动力学研究的对象、方法和发展的成熟程度很不相同。本篇只讨论相对成熟的涡量动力学。我们将从涡量运动学说起，它已经包含很丰富、甚至可以说是涡量动力学的大部分内容，足以清晰地表明涡量场刻画的剪切过程和胀压过程的行为有根本区别。由于涡量动力学已在若干专著中做了系统介绍，如参考文献[1]、文献[2]和文献[5]。本篇重在把躲在有关教材与专著背后的一些难点和关键点挖出来。下面前3节讨论涡量概念本身的三个难点，后4节讨论涡量场的演化原理及其三类不同运动形态。1　涡量背后的物理（I）：涡量与流体元角速度涡量这个概念背后的物理机理就是一个首当其冲的难点。涡量有严格的数学定义，但和一目了然的胀量概念不同，如何理解它的物理意义并非易事。这里至少有三个问题：（1）虽然可以把涡量和流体元的角速度挂钩，角速度这个概念却是对刚体定义的，流体元的角速度是什么？（2）涡量表征什么样的旋转流动？（3）涡量场的空间分布有什么需要特别注意的？我们在本节和下两节中分别讨论这些问题。1.1　从Cauchy-Stokes定理看涡量涡量在流体力学理论中最初出现在第2篇已经提到的Cauchy-Stokes的变形运动学基本定理（见文献[5]）中，这里再回顾一下。考虑点x和与之无限接近的邻点x+y(y=δs→0)间速度场的相互关系（对于线元y，其物质导数D/Dt就是d/dt）dydt=u(x+y)-u(x)=y∙(∇xu)+Ο(δs2),            (1)式中：下标x表示对x求导。对∇u做对称-反称分解∇u=D+Ω并定义与Ω反偶的轴矢量为涡量ω≡- ϵ∙Ω,     Ω=12ϵ∙ω                                           (2)式中：ϵ=ϵijkeiejek是完全反称三阶张量，就得到Cauchy-Stokes定理u(x+y)=u(x)+∇yϕ(y;x)+12ω(x)×y,                ϕ≡14dδs2dt.                                            (3)这里∇y的写法为了强调是针对y的梯度。这是个平移-变形-旋转分解，也是一个Helmholtz分解。分解得到的旋转部分表现为刚体旋转的形式，也只有它能用来定义流体的旋转。据此，ω是y的角速度的两倍。虽然在物理空间看起来∇yϕ和12ω×y不容易分辨，但在谱空间里两者相互正交。换言之，在物理空间上看，把u(x+y)-u(x)中抽出ω×y /2这部分并声称它代表“旋转”，看似生硬，但如果钻进谱空间去看却是理所当然的。流体中物质线元AB⃑的运动兼具伸缩和旋转，可能会被认为与小孩子拽住A点甩动一段位于AB的橡皮筋运动类似，实际还是有微妙的区别。橡皮筋的B点相对于A点的速度为uB-uA=λAB⃑+12ω×AB⃑                                            (4)即橡皮筋的相对速度除去旋转的剩余部分与AB⃑平行，因为橡皮筋的变形是空间各向同性的，不会改变微元的朝向；但流体微元的变形一般是各向异性的，∇yϕ跟y的方向没有特定关系，因此比橡皮筋复杂得多。流体只有在变形主轴方向上才具有式(4)的形式，λAB⃑和ω /2×AB⃑两个速度互相垂直，因此只需关心垂直于轴的分速度，而这个分速度与视在的直线旋转形成的速度一致。在理解式(3)时，还经常会遇到两个问题：（1）可变形的线元y的角速度是什么意思？（2）它为什么是涡量的1/2？第一个问题已有定论。让我们继续引用Truesdell[4]在其关于涡量运动学的专著中对有关历史的考证3。该书用了三节文字详细回顾了19世纪以来学者们对涡量的各种物理解释之后，认为最优美的解释是Boussin esq（时间不详）提出的：由于对变形的流体元而言，只有垂直于其变形主轴的速度分量与刚体旋转所产生的速度分量一致。所以严格来说，流体元的涡量是其变形主轴的角速度的两倍。1.2　因子1/2：不是“错误”，无须“道歉”再看第二个问题。历史上没有说清涡量与角速度之间为何还有个因子1/2。大物理学家Summerfeld[6]说：“不可否认这个因子是个瑕疵……它表明‘物理旋转’只有‘数学旋转’的一半。把1/2吸收到旋度的定义中并不可取；那会导致很多不舒服的结果，尤其在电动力学中。除了指出这个错误并表示歉意外，别无他法。”谢多夫在其名著《连续介质力学》4中就只采用角速度的概念，凡是涡量都写成角速度的两倍。能不能解释这个因子1/2呢？人们做过一些具体的尝试。一个例子是Batchelor[7] 提出的方案。虽然数学家有理由对涡量的Boussinesq解释表示满意，但在试验或计算的操作中，把流体每点的三个变形主轴找出来再计算其角速度会很麻烦。Batchelor的方案则简单得多：计算绕一点的环量来推断涡量ω或角速度W=ω/2。令𝒜表示半径为ϵ→0的小流体圆盘（见图1），把环量除以圆盘周长2πϵ得平均线速度，再除以半径ϵ得到平均角速度，则因子1/2自然出现了W∙n=12πϵ2∮∂𝒜u∙dx=12πϵ2∫𝒜ω∙ndS,             (5)10.12050/are20220201.F001图1用来定义流体元角速度的有向面元Fig.1A directional area element for defining the angular velocity of fluid element此式随ϵ→0而趋于ω∙n/2，但因n任取，中心在x的流体元的角速度必是ω/2。另一方面，Lighthill[8]举了一个例子：对于角速度为k沿着z轴负方向旋转的刚体运动，其空间速度场可以表示为u=- kez×xex+yey=- kxey+kyex，右端两项各是一个Couette流动，它们之间互相旋转了90°，即一个角速度为k的刚性旋转由两个相同旋转强度的Couette流叠加而成，如图2所示。因此，每个Couette流动有k/2的刚性旋转速度。10.12050/are20220201.F002图2两个相互正交的简单剪切流[8]Fig.2Two orthogonal simple shear flows[8]其实，人们对因子1/2所做的各种形象解释，无非说明变形体的旋转有更丰富的含义（见下节），其根源都来自式(3)右边的第三项，因为唯独它能够和刚体的角速度对应。刚体旋转的速度场是ω'×y，其速度梯度场是∇yω'×y=∇yϵ∶ω'y=ϵ∶ω'∙∇yy=                 2Ω'∙I=2Ω',Ω'=ϵ∙ω'/2和ω'反偶。上述Lighthill的例子只是一个算法，并不比直接按定义求刚性旋转速度场的涡量有更多的物理内容。反观Batchelor基于流体圆盘的定义(5)，则是个更有物理含义的解释，因为由式(3)直接得到∮∂𝒜ux+y∙dy=ux∙∮∂𝒜dy+∮∂𝒜dϕ+∮∂𝒜12ωx×y∙dy=∮∂𝒜12ωx×y∙dy，即ux+y的闭曲线积分与ω/2为角速度的刚性旋转的速度场的环量完全一致。如果读者把刚性旋转的角速度沿某个方向的分量理解为该方向法平面内封闭曲线内的平均角速度，那么在式(5)里无须假定𝒜是小圆盘，而可以推广到直径小于ϵ圆盘内的任何封闭曲线，得到W∙n=lim𝒜→0 12𝒜∮∂𝒜u∙dx=12ω∙n.                          (6)改变n就可推断ω和W。但是，倘若我们改为定义ω*=12ϵ∶Ω = 12∇×u，人们就该问为什么涡量的定义要有个1/2了，而答案当然是要有δy∙Ω=ω*×δy。所以，对因子1/2的追究原来是个伪命题，我们的态度是叫停：不必追究了！2　涡量背后的物理（II）：公转与自旋2.1　Bertrand的困惑我们转入问题2：涡量表征的旋转流动是什么样的？这个问题看似简单，瞧瞧那些自然界和工程技术中记载下来的漩涡就行了。可是，围绕涡量这个名称还在1868年出现过一场有趣的争论，其实质就在问题2。按照Truesdell[4]在Helmholtz用了旋转（rotation）一词之后，法国数学家J. Bertrand表示反对。他指出，在简单剪切流u=y,0,0中流体元都沿直线运动，但按Helmholtz这运动是有旋的，涡量为ω=0,0,-1。直线运动居然有旋？言下之意，剪切是一种用对称变形率张量D刻画的典型运动，怎么涉及转动了？Helmholtz反驳说，Bertrand扭曲了他的原意。在这个问题中，流体元不是几何点，而是体积任意小的一团流体。尽管流体元并不像行星绕日那样在轨道上旋转，这团流体却相对于其初始构型旋转着。一位匿名的法国评论人在以并非完全令人满意的方式讨论了这个简单剪切流的例子之后，完全采纳了Helmholtz的立场，这个态度已被公认至今。St. Venant则在1869年用另一种方式表述了剪切运动的旋转特征。他说：“流线是x, y平面上唯一不经受旋转的线。”现在看来，Bertrand显然是把旋转运动的范围想得太狭窄了。这也难怪，流体元的旋转在1860年代还是件新鲜事，人们很容易把对固体旋转的特性如δr不变套用到流体上来，加一根橡皮筋也不够用。但Bertrand的质疑有个积极的副作用：使人更多地思考这种只存在于流体运动之中的剪切流。它可是种极端重要的基本流动。尤其是30多年后Prandtl发现边界层以后，人们才逐渐认识到剪切流普遍存在于所有层流和湍流边界层的底部以及自由剪切层之中，而且在后面一篇文章还要看到，现实中大多数强集中涡都是剪切层卷绕起来的。因此，虽然通常的教材对简单剪切流都当作一个极简单的例子一带而过，但是我们要深入下去，把它仔细考察一番。2.2　公转与自旋为了理解涡量表征什么样的旋转流动，特别是为什么包括剪切流，需要一个完整的分析。在一个坐在实验室做测量的研究者看来，流体的速度总可以分解为某个任意参照系的牵连运动和流体相对于该系的运动。这个观念自然导致一个发现：物质流体元沿其迹线的牵连运动和相对运动，分别对应着公转与自旋两种形态，后者正是剪切5。考虑骑在一个rt上的单位正交标架eαα=1,2,3,使得δr=δrαeα，从而在式(3)中ddtδr=dδrαdteα+δrαdeαdt=δrβAαβeα，即ddtδrα=Sαβδrβ,   Sαβ≡Aαβ-Bαβ，（7a）其中Bαβ=eα∙deβdt=-Bβα,  Aαβ=eαeβ∶∇u，（7b）式中：矩阵B表征标架的运动；矩阵S表征流体元相对于该标架的运动。具体地，令这个正交标架是沿物质流体元的迹线𝒞的内禀曲线正交标架t,n,b，使得u=qt。令沿曲线𝒞的弧元为ds，𝒞的曲率和挠率分别是κ和τ。则由微分几何的Frenet-Serret公式dtds=κn,  dnds=- κt+τb,  dbds-τn,                        (8)得ddstnb=0κs0- κs0τs0- τs0tnb ,                 (9)所以B=0- κq0κq0τq0- τq0=- BT.                                   (10)可见，沿着一条具有曲率和挠率的迹线运动的标架会导致公转。更具体些，考虑基于瞬时曲率中心O的柱坐标系r,θ,z下的分解。这个标架只有曲率κ=1/r而没有挠率。以平面不可压轴对称流为例，其中u=ω=0, ∂θ=0。则有A=0- υ/r0∂rυ00000，B=0- υ/r0υ/r00000，S=000∂rυ-υ/r00000 .矩阵A取决于流动形态υr，矩阵B表示标架以切向速度υ绕z轴旋转。特别地，对于刚性旋转υ=kr，有A=0- k0k00000=- AT，B=0- k0k00000=A,   S=0，所以δr的大小保持不变，只跟着标架逆时针旋转；而对于势流υ=k/r，有A=0- k/r20- k/r200000=ATB=0- k/r20k/r200000S=000- 2k/r200000S表示在跟随流体元的r,θ,z标架下绕z轴以角速度 - ∂rυ=k/r2做顺时针自旋或剪切，从而在静止参考系中无旋。这就彻底澄清了公转和自转及其角速度的意义。当然，若令曲率κ→0，标架做简单的直线运动，B=0，我们回到简单剪切流，这是下面要专门讨论的。2.3　简单剪切流：“搓”和“涡”的共存与平衡表征流体元自旋的张量S值得单独拎出来详细考察。我们在固定的直角坐标架ex,ey,ez中把简单剪切流写成u=kyex。用矩阵记号，现在B=0，S及其对称-反称分解为S=A=000k00000=0k/20k/200000+0- k/20k/200000 .                                               (11)李震等[9-10]指出，表征简单剪切流的这个张量S满足S2=0，是个2度幂零张量。现在，如果在我们关心的时间尺度下A的变化可以忽略，则式(7a)的解可写成δr=eAtδr0,    eK=I+K+…+Knn!+…,         (12)式中：I是单位矩阵。因此，S 2=0意味着δr=(I+St)δr0，或δx=δx0+kδy0t,  δy=δy0,  δz=δz0,                            (13)表明仅当微元δr在t=0时有y分量，它才在x方向有随t线性增加的分量。正如St.Venant注意到的，只有躺在流动平面上的δr才感觉不到任何旋转；一旦它有法向分量，它就非转不可了。流体元一边平移一边自旋，如同沿一块平板滚动的一排无限多个小球。这就完全回答了Bertrand的质疑，它对固体来说是不可思议的。这个看似极简的例子并不简单。在我们纵横分解中，已经习惯了在Helmholtz分解的基础上把以涡量表征的有旋流和以变形表征的势流分别视为横场和纵场，再研究它们各自的规律；但哪怕是个线性定常流，这个幂零张量S（此例中只有一个非零分量）一旦做对称-反称分解就必然两头都占，缺一不可，使得剪切和自旋成为同一事物的两个侧面6。这就像鸟兽大战的童话中，既有翅膀又是兽类的蝙蝠不知该加入哪个阵营。自然应当追问：为什么简单剪切流一定伴随自旋？或者说，这排小球为何非滚不可？这个问题把我们引导到运动学定理式(3)背后的动理学。首先，第一篇第3节已经认定，没有黏性就没有剪切流，否则剪切层内的两层流体就可相对滑动而不必滚动。其次，既然简单剪切流是真实的，它就得满足基本的守恒定律。在不可压简单剪切流中，小流体球的平移携带其质心的全部动量，即式(3)右边的第一项，它和作用在球心的压力梯度平衡，满足动量守恒。小球的角速度即式(3)的第三项携带其全部角动量，它只能和式(3)右边第二项这个保持小球体积不变的纯变形平衡。具体地看，用y表示δr，∇y表示对y的梯度，S∙y表示矩阵Sδr代表的向量，则有y=I+St∙y0。在t=0有714∇ydδs02dt=12∇yy0∙dydtt=0=12∇yy0∙S∙y0=12y0∙S+S∙y0=12kδx0ey+δy0ex .由于t=0可以是任意时刻，实际上可得到14∇dδs2dt=12kδxey+δyex .                               (14)剪切的结果是小球变成椭球，一个主轴拉伸，另一个主轴缩短。垂直于拉伸主轴的小球截面积变小，其惯性矩分量必然减小；而垂直于压缩主轴的截面积变大，其惯性矩分量必然增大。于是根据角动量守恒，拉伸主轴和收缩主轴方向的角速度必然分别加快和减慢。这正需要涡量来平衡。如初始δy0=0的线元一直有δy=0，式(14)中的变形和矢量δx,0,δz以kez /2的角速度旋转得到的速度场是一致的8。可以看到，简单剪切流是流体元的无旋变形和自旋同时存在并互相平衡的结果。这个判断为陆士嘉先生的名言“流体经不住搓，一搓就搓出了涡”提供了最简单又最普遍的现实依据：“搓”是剪切，“涡”是旋转，二者在剪切流中是同一事物的两个侧面。“搓”和“涡”这两个侧面，在表述物面受到摩擦力τω时有最直接的表现。设物体静止，流体在其上速度为零。则τω=μn̂∙∇u=μω×n̂,                                             (15)式中：n̂是物面外法向单位矢量。右边第一个式子是摩擦，即“搓”的直接表述，来自牛顿；而第二个式子则用搓出来的“涡”表示它。显然，在三维空间的一个二维物面上，表面摩擦力线（τω线）和边界涡量线（ω线）都是搓出来的，它们构成物面上一对处处正交的二维矢量场。除了比例常数μ之外，二者具有等价性，而其正交性则有非常直观的解释：搓出来的滚动小球的转轴方向总与搓的方向垂直。这个紧贴物面的流动特征也正是简单剪切流的样板。3　涡量背后的物理（III）：无散性与涡量管第三个概念难点也许有点意外，它涉及涡量场最原始的特性，即与生俱来的无散性。这使涡量场有特殊的空间积分性质。我们假定读者已经熟悉涡量线、涡量面、涡量管、涡量管强度和环量的概念9而直接只讲结果。3.1　涡量的体积分和涡量管令ℱ为一个任意张量场，由于∇∙ωℱ=ω∙∇ℱ，有积分恒等式∫Vω∙∇ℱdV=∫∂Vn∙ωℱdS.                                 (16)对ℱ做各种不同的设定，立即得到一系列普适的特殊积分恒等式，见参考文献[5]。其中，最基础的非平庸结果是把ℱ取为1和坐标矢量x的情形，导致∫∂Vω∙ndS=0,  ∫VωdV=∫∂Vn∙ωxdS,           (17)前者无非是涡量无散性的积分表示，而后者导致Föppl在1897年提出的总涡量守恒定理，即在三维空间中，若没有涡量穿出穿进域V的边界即ω∙n=0，不管涡量线在域内如何绕来绕去、打结纠缠，ω沿涡量线如何变化，其在V中的矢量和总是零。但这个定理对二维空间的涡量场不适用。无散场更常用的性质是其管式特性。只因为无散，我们有Helmholtz第一涡量管定理[11]（以下简称H1定理）：涡量管的强度或环量沿管子保持常值。所以无散矢量场也称作管式场。H1定理是普适的，无条件的。3.2　Helmholtz第一涡量管定理的不可靠推论和涡量的体积分形成对照，涡量管的概念远非初看起来那样简单。人们在各种文献中可以看到它的图形，但在最简单的无界流体内部，除了闭合的环状涡量管（可以打结），书上都只画出一截管子，看不到其整体结构。难道这里有什么难言之隐吗？事情还真是这样。问题出在Helmholtz基于H1定理做的一个著名的推论（简称H1推论）：一根强度非零的涡量管或者闭合成环，或者延伸到无穷远和流体边界，而不能自行终止于流体内部，否则就能构造一个闭曲面，其上ω∙n的积分不满足式(17)的第一式。这个推论得到Thomson(Lord Kelvin)[12] 、Maxwell[13] 和Lamb[14] 等大权威的认可，并延续到Summerfeld[6]、Goldstein[15] 、Lighthill[16] 和Batchelor[7] 等顶尖学者的教材中，从而直到今天还被广泛接受。但是，H1推论受到了来自数学家的批评。Chorin等[17] 直言，从H1推断出涡量管不可能在流体内部终止，是个“无可救药”的错误。究其原因，首先是构成涡量管的涡量线本身的复杂性。一条涡量线是常微分方程dxds=ωx,      xs=0=X,                                       (18)的轨线，而这个方程的解并不简单。第一，早在1903年，大数学家Hadamard就指出，即使在一个有界域中，涡量线会一再接近一个给定点无限多次而不碰到它（数学上把这样的矢量线称为“稠密”的，dense）；闭涡量线的情况其实是罕见的例外（参见Truesdell[4]）。第二，书上画出的那些涡量管片段有个默认的假设：在这些片段的侧壁上处处ω≠0。然而方程(18)会有不动点ω=0（亦称零点或奇点），如鞍点或结点，使得过该点的涡量线会有起点或终点（数学上称这样的矢量线为“分界线”，saparatrix）；也可能会有极限环，它两侧的涡量线渐进地趋于它或离开它。这些不动点和极限环制约着涡量场的拓扑结构。结果，由稠密涡量线和分界涡量线及其组合参与构成的涡量管，就会有超出常规直觉的复杂性，导致H1推论证明无效。一个涡量管在奇点处分叉成两个的例子如图3所示。10.12050/are20220201.F003图3涡量管的分叉（取自苏卫东等（1997，未发表））Fig.3Bifurcation of vorticity tubes （From Su Weidong,et al.(1997, unpublished)）3.3　涡量线与涡量管定义的复杂性苏卫东等10对涡量线和涡量管的概念和可能的拓扑结构做了详细的考察。他们注意到教科书里有两种涡量管定义。定义I（构造性定义）：过一条非涡量线、非自交和可缩的闭曲线C上的所有点的涡量线所构成的曲面；定义II（描述性定义）：由涡量线构成的管状曲面。作者举例说明两个定义并不等价：按定义II确定的涡量管未必能由定义I得到，而严格符合定义I的涡量管未必符合定义II，后者的一个例子是可以和自身相交无限次的涡量管弯成的涡环，它由上述稠密涡量线构成，截面积恒定但周长无限大。为准确起见，苏卫东等把涡量线分为两类：整体涡量线和涡量线段。整体涡量线又分为没有端点的和以ω=0为端点的。没有端点的可以是闭合曲线或无头无尾的无限长曲线（图4借用同为管式场的磁通量管例示了这两种情况）；而有端点的包括两端涡量为零的有限长曲线和一端为零的无限长曲线。整体涡量线是不可延拓的，零涡量点也是它的特例。与此不同，教科书上示出的涡量线段则是整体涡量线的一个没有奇点的真子集，是可以继续延拓的。在这个基础上，苏卫东等把整体涡量线织成的管状涡量面称为整体涡量管，而把涡量线段构成的管状涡量面称为局部涡量管。图5是两类涡量管的示意图。10.12050/are20220201.F004图4磁通量管中的磁力线[18]Fig.4Magnetic field lines in a flux tube [18]10.12050/are20220201.F005图5局部涡量管(a,b,c)和整体涡量管(d,e,f)的几种情形（取自苏卫东等（1997，未发表））Fig.5Several cases of local vorticity tubes (a,b,c) and global vorticity tubes (d,e,f)(From Su Weidong,et al. (1997, unpublished))其实，“管状涡量面”这个概念本身也得小心，例如定义I所取的闭曲线C不能是任意的，否则做出来的整体涡量线构成的涡量面未必总是管状曲面，甚至可以是球面，如图5所示。而且，无论按定义I还是II，一旦闭曲线C有奇点，都不能排除涡量管在流体内部起始或终止的情形，如图6所示。于是涡量管强度不为零也并不是管状涡量面的必要条件。10.12050/are20220201.F006图6在某些非涡量线的闭曲线上每点做涡量线得到的涡量面。其中，c,d,e,f,g,h是圆管Poiseuille-Hagen 流中的情形。 取自苏卫东等（1997，未发表）Fig.6Vorticity surfaces drawn from some closed loops that are not vorticity lines. In which plots c,d,e,f,g,h are in circular-pipe Poiseuille-Hagen flow. From Su Weidong, et al. (1997, unpublished)苏卫东等的上述论断虽然没有发表，却在Fuentes[19]的独立研究中几乎全部得到重申。后者构造了几个涡量场的解析表达式，对涡量线和涡量场的非直观行为做了例证。Yang 等[20]对周期流的解析解做的算例也看到了图6那样的球面。但是，迄今还不清楚的是，上述从式(18)出发对涡量管反常行为的讨论，在满足动理学规律的实际流动中有何表现？整体涡量管是否真的存在？在数学上，这归结为求非线性常微分方程的不变环面/流形，是个没解决的难题[20]。理论上允许的模型问题在现实中未必存在11，而现实世界中不乏带有复杂分叉结构的整体涡量管的例子。随便拿一个复杂构型的固体绕流为例，从迎风面形成的边界层起到它的分离，到自由剪切层的形成和卷绕，直到涡脱落，只要保证物面上的黏附条件，人们总能画出各种类型的涡量管及其多次分叉的复杂结构，一直延伸到整体涡量管在尾流中因黏性耗散而消亡。如果这个固体作加速运动和旋转，涡量管的结构会更加复杂（参见文献[5], Fig. 3.2及其上下文讨论）。在我们看来，对于没有零点的涡量线组成的涡量管，H1推论仍是成立的，如到处可见的涡环；而对其普适有效性的否定，则不仅和实际经验相符，也能把人们从一些长期假设但观察不到的模型中解放出来。例如，在研究涡破裂的现象时，人们主要关切的虽然是破裂的机制，但涡量管破裂、分叉之后的下游演化也颇能提示一些管子终止的迹象（见图7）。在观察延伸到远下游的飞机尾涡时（见图8），人们不会关心这对尾涡是否（或如何）真会和早就甩到后面很远的起动涡（它还存在吗？什么样子？）连接起来，并和机翼上的“附着涡”构成闭环。在研究龙卷风时，人们也知道代表龙卷风的涡量管在底部呈喇叭状散开，在顶部云层里分叉无数次成为复杂的湍流结构（见图9），而并不关心H1推论的命运。10.12050/are20220201.F007图7涡破裂的不同形态[21]Fig.7Different patterns of vortex breakdown[21]10.12050/are20220201.F008图8翼尖涡Fig.8Wingtip vortices10.12050/are20220201.F009图9龙卷风Fig.9A tornado值得一提的是，H1推论的复杂性反衬出体积分定理式(17)的可靠性。它们很容易在数值算例中得到检验，建立于它们基础上的理论也得到了严格的检验。当然，体积分定理无法追踪物质涡量线和涡量管的演化。最后，我们还可以做进一步的逆向思考：Helmholtz当初开创涡运动研究时，是用了那种靠直觉引入的非奇异涡量管来定义轴状涡的，他的三个涡量管定理自然成为旋涡理论基础的关键支柱。不过到了150多年后的今天，这个轴状涡定义是否仍然唯一正确？假如不是，那么具有如此复杂特异性的涡量管是否还那么要紧吗？我们将在下一篇探讨这个有趣的问题。4　涡量场的物质演化以上讲的是涡量概念的难点，都集中在运动学，下面将讨论涡量场随时间演化的三类不同形态，即在什么条件下涡量场的运动像粒子的惯性运动那样是自由的，是什么机制使涡量场的运动变为不自由的，以及在两者之间有什么运动是渐进自由的。4.1　D形式和∂t形式的涡量变化率我们沿用第2篇起采用的简化记号D ≡D/Dt = ∂t+u∙∇。在按照牛顿第二定律把加速度和力联系起来之前，加速度的定义a=Du是个运动学关系。对它取旋度就得到涡量及其某些积分时间导数的运动学公式。首先把涡量变化率写成物质导数形式即D形式。注意到∇u=D+Ω而ω∙Ω=0，记A=∇u，有ω∙A=ω∙D=ω∙AT,D形式的公式可有多种形式：Dω=ω∙A-ϑI+∇×a，(19a)Dω=ω∙D-ϑI+∇×a，(19b)Dω=- ω∙B+∇×a，(19c)式中：B=ϑI-AT是面变形张量（见第2篇1.5节）。本节只讨论时间演化运动学，所以假定∇×a是个已知的无散矢量场。如果取a=Du的梯度，就得到速度梯度张量A的物质导数∇a=∇Du=DA+A2（见第2篇式(31)），再取其反称部分，也可得到(19)。当然利用连续性方程得到的Beltrami方程也属于这类：Dωρ=ωρ∙∇u+1ρ∇×a.                               (20)这些D形式的方程都体现了必然出现的非线性纵横耦合。根据第2篇2.4节的分类，纵场的这种介入属于纵场对横场的交叉调控作用，不是涡量源。另一方面，时间偏导数的∂t形式也是熟知的：∂tω+∇×ω×u=∇×a.                                  (21)4.2　涡丝的拉伸与折转：纵横场的非线性、非定域耦合和Du=a相比，显然涡量场的独特运动学特质集中在式(19)右边纵场对横场的非线性调控上。因为胀量ϑ带来的调控只是各向同性的改变，我们只需关注不可压流，而这个ω∙∇u效应只可能出现在三维空间中。按照Batchelor[7]的方法，我们把前面2.1节用过的沿迹线的曲线正交标架改为沿涡量线的正交标架，即取ω=ωt，使得（把d/ds简记为ds）ω∙∇u=ωdsust+unn+ubb,则有t∙∇u=dsus-unκt+dsun-usκ-ubτn+      dsub-unτb                                               (22)代入式(19)后可见，这里的t分量导致细物质涡量管（称为涡丝）随时间拉伸或收缩，使得环量增强或减弱（实际发生的结果总是拉伸增强占优），而n分量和b分量导致涡丝随时间分别向主法向和副法向折转。Batchelor[7] 没有给出式(22)中的曲率效应，而这在涡丝曲率很大的局部地方可能有主导作用。如果我们只关心演化中涡量场的强度而不管其方向，那么类似于动能| u |2/2，这个强度可用称为拟涡能的标量函数ω 2/2≡Ω来表征，ω=ω。它的运动学演化来自式(19)与ω的点积：DΩ=2αΩ+ω∙∇×a,                                       (23)其中，在沿涡量线的曲线标架ω=tω下，α≡t∙D-ϑI∙t=dsus-unκ-ϑ                        (24)是涡量线的拉伸率。α0意味着伴随一个物质元的拟涡能会随时间指数增长，这是个很强的效应。一根涡丝不可能无限地拉伸下去，因为根据Biot-Savart定律，这将导致它诱导的动能无限增大，破坏能量守恒。但因打折的涡丝诱导的速度场会抵消很多，在出现许多相互作用着的涡丝的场合，如湍流，其拉伸和折转总以复杂甚至混沌的方式相伴出现。三维涡丝的拉伸和折转无疑是涡量运动学最独特的机制。幸亏将在第6篇讨论的纵场激波结构没有这种机制（否则岂不天下大乱了），所以强可压缩湍流的基本结构仍然是涡结构，只是增加了若干与这些涡结构相互作用着的小激波。在解读式(22)时，我们当然要假定速度梯度张量∇u是已知的。实际上，它可以从周围流场的涡量和胀量分布求得，是个非定域的量。例如，在无界空间中对Biot-Savart公式给出的速度场再求空间导数，对三维不可压流可得[2]Dx=38π∫V∞eω×e+ω×eedVx'r3e=rr=x-x'x-x'.                                              (25)只要把式(25)代入式(19b)，即使加速度无旋，涡量场的演化方程也将是一个积分-微分方程。如果涡量集聚在一个曲面上（面涡）或者一条涡丝上，上述积分就可分别简化为面积分和线积分。对于后者，还可以根据尺度分析，把D的主导量级效应局部化到涡丝附近点x的附近，称为局部诱导近似：u=Γκ4πlnLab+Ο1,                                         (26)其中：L =O (1)是一个截断长度，a≪L是涡丝半径，κ是其曲率，b是其副法向基矢量。此式说明弯曲涡丝总要诱导它自己沿副法向运动，圆涡环沿其轴的均匀自诱导运动是一个特例（可以更精确地求得）。但式(26)只包含涡丝的自诱导弯折效应而不能包含自诱导拉伸。后者总是个非局域机制，把它包括进去就得求解一个沿涡丝曲线的积分-微分方程。所有这些问题的细节可参见文献[2]及有关文献。这里的概述只是为了例证涡量的运动学有多么复杂的内涵。4.3　环量与势涡量的物质变化率从D形式的涡量变化率公式(19)出发，可以考察涡量积分的物质变化率。首先是涡量管的变化率。先考虑一个无限细的元涡量管，其横截面的有向面元为δS=nδS，涡通量或环量就是δΓ=ω∙δS。由于DδS=δS∙B，B是面变形张量（第2篇1.5节），所以式(19c)意味着元涡量管的环量变化率是Dω∙δS=δS∙∇×a，(27)这是个此前未见报道的简洁公式。对其边界为闭合曲线𝒞的有限截面积分，利用Stokes定理易得dΓ𝒞dt=∫δSn×∇∙adS=∮𝒞a∙dx.                       (28)这是一个绕口令式但很清晰的普适公式：速度环量的物质导数等于速度物质导数的环量。其次，类似于式(16)，让我们把式(20)推广成ω/ρ与某个张量ℱ的梯度之标量积的物质变化率。这导致物质导数恒等式[2，5]Dωρ∙∇ℱ=ωρ∙∇Dℱ+1ρ∇×a∙∇ℱ.     (29)对ℱ做不同的设定，又可得到各种具体的物质变化率公式。历史上最早这样做的是令ℱ为一个标量势ϕ，则ω/ρ∙∇ϕ的演化方程为Dωρ∙∇ϕ=ωρ∙∇Dϕ+1ρ∇×a∙∇ϕ.         (30)若Dϕ=0，ω/ρ∙∇ϕ称为势涡量。考虑ℱ的选取中物理意义特别深刻的一个：把它设定为流体元的Lagrange坐标X，例如t=0时的坐标xt=0。因为DX≡0（林约束，见第2篇2.4节），而张量∇X是Lagrange描述中遇到的变形梯度张量F=∇Xx的逆F- 1，在X张成的参考空间中将式(29)作时间积分，用F从右边点乘结果的两边，得ωρ=ω0ρ0+∫0T1ρ∇×a∙F-1dτ∙F.                    (31)式中：τ=t是Lagrange描述X,τ（可称为参考空间）中的时间变量，换个记号以提醒它和X相互独立，使得∂τ=D。这个公式是Truesdell[4]得到的，他称之为基本涡量公式。这个名字有道理。虽然这个参考空间的公式在实际流动诊断中不好用（计算张量F及其逆的长时间演化几乎不可能），它的物理意义十分清楚：当而且仅当加速度有旋时，物质流体元携带的ω /ρ的演化将依赖于流体元运动的具体历史过程。5　加速度有势流：自由涡运动如果要在上述涡量及其函数的物质演化公式中辨识因果关系，那么很显然，“因”必定来自加速度的旋度∇×a，因为根据牛顿定律a=F/m，这些公式中只有∇×a联系着单位质量的力的旋度。一旦加速度有势，即存在标量ϕ*使得a=- ∇ϕ*,                                                                     (32)则涡运动（这里泛指有旋流）就得以从动力学的因果链中解放出来，成了和质点的惯性运动同一范畴的自由运动形态。换句话说，流体元受到的任何单位质量的面力和体力，只要无旋，就改变不了流体的旋转运动。“力，形之所以奋也”，说的是物体速度的变化；但对涡量场这个“形”，没有力也会自由地“奋”，而且其形态远比简单的匀速直线运动复杂。当然，这种自由运动也要受到若干运动学约束。下面就来参观一下这种自由涡运动的主要景点。5.1　Lagrange-Cauchy势流定理一旦式(32)成立，基本涡量公式(31)立即简化为DωρX,τ=ωρX,0∙∇XxX,τ,                (33)表明当而且仅当加速度无旋时，标号X的流体元所携带的ω/ρ完全取决于将它和它邻域的诸流体元在初始时刻的位置分布构型变换到当前构型的映射12，而和这些流体元运动的具体历史过程无关。如果第2篇提到的马拉松运动员在其途中没和任何别人挤撞刮蹭，而且自己的体能毫无内耗，那他就处于这种自由状态（式(31)中的积分反映的就是挤撞刮蹭和内耗如何具体改变运动员奔跑状态的时间积累效应）。裁判员需要做的，就是把起跑时聚在运动员X周围的一群运动员在t时刻的新位置辨认出来，而无须关注他们在0,t之间的位置随时间如何变化。当然对复杂流动来说这也仍然是个几乎不可能完成的任务。式(33)是Cauchy在1815年无黏不可压流得到的，这种流动的加速度自然无旋。不过它的一个推论影响更深远，称为Cauchy势流定理：初始无旋的流体元将保持无旋，涡量不生不灭。这个论断最先由Lagrange在1781年给出了证明。他观察到：对不可压无黏流，式(21)表明，在空间一点x处，若在t=0时ω=0，则也有∂tωt=0=0。而由于式(21)是涡量齐式，只要涡量场对时间是解析函数，允许对两边作∂tn运算n=2, 3, …，那就能证明∂tmωt=0对任何m都是零，因此在流场这点流动永远无旋。Cauchy的表述把Lagrange势流定理的固定场点换成物质流体元，是个很重要的改进。5.2　Helmholtz第二、第三涡量管定理Lagrange-Cauchy势流定理曾使流体力学理论家们在Lagrange之后的70多年里满足于研究势流，直到1858年Helmholtz开创了有旋流研究的天地。Helmholtz并没有质疑Lagrange-Cauchy定理，而是把涡量从哪儿来的问题搁在一边，把其存在作为事实来研究，于是除了前述普适的H1定理之外又提出了第二、第三涡量管定理（H2-3），它被Kelvin表述为环量保持定理：当且仅当加速度有势，涡量面和涡量管由相同的物质面组成，而涡量管的强度或环量具有物质不变性13：dΓ𝒞dt=0.                                                                        (34)显然，H2-3来自元涡量管强度的一般公式(27)在条件(32)下的美妙简化：Dω∙δS=0. (35)对H2-3的证明，除了Helmholtz本人的证明和教科书常用的Kelvin环量证明（只要求速度场连续）外，还有一种Stokes提出的基于式(33)的证明，参见文献[5]，它指出，涡量运动学演化的关键机制Dω=ω∙∇u和物质线元运动学演化机制Dδr=δr∙∇u是相同的，所以对加速度无旋流，涡量被“冻结”在物质线上，好像一条物质线上穿了许多自转的珠子。这个证明和式(35)刚好互补，前者强调了线元δr的拉伸和折转，而后者抓住了垂直于δr的面元大小方向的变化。不过只有后者自动包含了可压缩效应。显然，根据式(30)，这时前面定义的势涡量ωρ∙∇ϕ也是物质不变量：Dωρ∙∇ϕ=0.                                                           (36)这是Ertel在1942年发现的一个在大气动力学中起重要作用的定理。另一方面，若设ω/ρ∙∇ϕ≡0，则流场中ϕ=const 的曲面正好定义了一族涡量线处处与之相切的涡量面，势函数ϕx,t可称为涡量面场[22]，当加速度有势时，式(36)是表示涡量面物质不变性的另一种形式。由于式(32)和式(34)互为充要条件，Truesdell[4] 把涡运动的这个自由王国称为环量保持流。他首次把所有这类流动放在一个统一的框架下进行系统的分析。但从因果性角度看，我们觉得加速度有势流这个名称更准确，它体现了这种有旋流没有动理学原因，使得横场动力学退化为运动学。5.3　螺旋量守恒和换标号对称性物理学中的各种不变性也称为对称性。上面列举的“自由涡运动”的种种物质不变性都是对称性。到了20世纪后半叶，人们还陆续发现“自由涡运动”的一些新的有趣的不变性或对称性。这里只举两例。一个例子是ω∙u（螺旋量密度）在物质流体体积𝒱上的积分，称为螺旋量：ℋ≡∫𝒱ω∙udV.                                                           (37)我们有[2]dℋdt=2∫𝒱∇×a∙udV+∫∂𝒱12q2ω+u×a∙ndS（38）因此，如果在𝒱边界上n∙ω=0，n×a=0，𝒱内加速度有势，那么螺旋量是不变量，满足Dℋ=0[23]。ℋ刻画的是闭涡丝相互嵌套打结的拓扑结构，它的不变性表示𝒱内自由涡运动的拓扑结构不会发生变化。另一个例子潜藏得很深，是Salmon[24] 发掘出来的，称为“换标号对称性”(relabeling symmetry)：对于任何加速度有势流，可以取消林约束DX=0而不改变流动的所有信息。我们记得，林约束反映的是坚持跟随每个物质流体元，也就是马拉松运动员的标号，这导致物质描述包含的信息多于场描述。取消这个约束就使两种描述完全等价。这下马拉松的裁判们可以轻松了：他们只需用一台分辨不出运动员标号的摄像机，把先后冲过终点的人影记录下来就行，不过也就发不成奖了。5.4　纵场方程的一次积分既然有势的加速度来自有势的力，这种力就只出现在纵场动理学中，而这时的纵场动理学是可以简化的。事实上，式(32)表明力∇ϕ*可以对空间积分一次，如果a的右端项也可以积分一次，那就能得到动量方程的一次积分即Bernoulli积分。Wu等[2]给出了这种Bernoulli积分存在的证明。当然，作为加速度有势流的一个平庸特例，流动无旋也是Bernoulli积分存在的一个充分条件。不过，由于物质流体元运动的Lagrange本性，在物理空间的场描述下无法得到a的空间积分，需要在X张成的参考空间进行运算。结果是：对任何满足式(32)的加速度有势流，存在函数ΦX,τ和满足Df=Dg=0的函数fx,t与gx,t，使得速度场可分解为u=∇Φ+f ∇g,  Df=Dg=0,                                (39)从而在Lagrange描述中有Bernoulli积分∂τΦ-12q2-ϕ*=0.                                               (40)这里，流动可以有旋，自由的涡量ω=∇f×∇g隐藏在式(40)背后。通常见到的Bernoulli积分都是式(40)的各种简化特例。注意此式和场描述下Bernoulli积分中正负号的区别。以无旋流为例，其Bernoulli积分可在场描述中得到，为∂τϕ+12q2+ϕ*=Dϕ-12q2-ϕ*=0. 6　涡量场的动理学约束6.1　自由涡运动不能包打天下倘若我们周围的流体世界就是自由涡运动的世界，充满了各种物质不变性或对称性，那将是一幅什么样的图？这副图景会很美妙。各种有旋流动，从简单剪切层到轴状旋涡，一经出现（且不管怎么出现的）就将长命万岁，永不消失。它们将以物质不变的方式按照H1-H3定理、Kelvin环量保持定理和拓扑不变性等等规律自由驰骋。各种涡量分布诱导着不同的速度场，后者再以非线性、非定域的运动学方式改变着涡量场的分布和演化。尽管具体计算这些非线性、非定域的运动学过程仍然很复杂，毕竟整个涡量动力学就会非常简单美妙了，也许除了一个三维涡丝可能出现的自发奇异性这个难题（有人认为它是三维N-S方程解的存在唯一性困难的物理根源）之外，没有什么别的大事可做了。但是，涡量果真不生不灭吗？倘如此，它最初是从哪儿来的？怎么解释飞机穿过本来静止的空气而拖出尾涡（见图8），或者云层经过岛屿留下的卡门涡街（见图10）?又怎么解释湍流里各种尺度涡结构的生生灭灭？这就像D'Alembert佯谬一样是个明显违反事实的结果，给人们的认识设置了禁区，从Lagrange时代起就在折磨人了。可是反过来看，经验表明，这种自由涡运动可以很好地近似刻画相当大范围的流场，否则Helmholtz和Kelvin等先驱创建的理论就不会在一个多世纪的教材和课堂上占有如此重要的地位了。10.12050/are20220201.F010图10云层经过一个岛屿形成的卡门涡街Fig.10A Kármán vortex street formed by clouds passing over an island因此，有必要找出现实世界给涡运动设置了什么样的动理学约束，使它变得不自由，以回答上述正反两方面的问题。6.2　涡量场的动理学第4节的一般运动学公式告诉我们，涡量场的动理学约束显然包含在加速度的旋度∇×a与流体受力的关系之中。考虑线性扩散近似，ν,νθ为常数，则在有外部体力f时，单位质量的动量方程为（参见第2篇式(20b)和式(20d))a=f-∇h+T∇s+νθ∇ϑ-ν∇×ω.                     (41)像第3篇1.1节那样，把f分解成f=f‖+f⊥，其中f‖=- ∇χ 有势。则有a=- ∇ϕ*+f⊥+T∇s-ν∇×ω,                           (42a)其中ϕ*≡h+χ-νθϑ                                                       (42b)是单值加速度势。因此，我们得到三个熟知的互相独立的动理学约束，每一个都会使涡运动不自由：∇×a=∇×f⊥+∇T×∇s+ν∇2ω. (43)它们分别是非保守体力、流动的斜压性和流体的黏性。前两种约束只在比较特殊的流动中出现，例如，非保守体力来自电磁流体力学的Lorentz力和地球流体力学的科氏力，而斜压性则出现在可压缩气体动力学和大气动力学中。但是黏性是个普遍的存在14。因此，我们着重考虑黏性的效应。它的作用是扩散涡量场和耗散拟涡能ω2/2=Ω，类似于在动量方程中扩散速度场和在动能方程中耗散动能。例如，由式(23)和式(43)可知，对于没有非保守体力的黏性不可压流，其拟涡能的变化率是DΩ=ω∙D∙ω-ν∇×ω2+ν∇∙ω×∇×ω . (44)但是，和非保守体力与斜压效应不同，在流场内部的黏性效应不产生任何新的涡量。这些都在别的书上交代过了，下面我们只讨论黏性对物质涡量管演化的影响，其中有个没有发表过的新发现。6.3　弯曲涡丝的定向扩散考虑黏性流动中的一个物质涡量管，其中涡量为ω=ωb。假设不存在非保守体积力f⊥。在任意位置取曲面𝒮截断涡量管，其每个有向面元为dS=bdS，其边界闭曲线为𝒞，环量为Γ𝒞=∮𝒞u∙dx=∫𝒮ω∙bdS,它的时间变化率由式(28)给出。沿闭曲线𝒞 建立正交标架t,n,b, t×n=b，使得有向线元dx=tdl，n为内法向（见图11）。把式(42a)代入式(28)，注意到- t∙∇×ω=- t×∇∙ω=n∂b- b∂n∙ω=                 - ∂nω+ωn∙∂bb,10.12050/are20220201.F011图11研究涡量管演化的局部正交标架Fig.11Local orthonormal triads for studying the evolution of vorticity tubes得dΓ𝒞dt=∮𝒞T∂lsdl-ν∮𝒞∂nωdl+ν∮𝒞ωn∙∂bbdl  (45)此式右边第一项是可压缩熵增（斜压）效应；第二项是二维不可压黏流也有的经典结果[14]，很直观，只取决于∂nω沿𝒞的分布；第三项则是三维可压和不可压弯曲涡量管特有的扩散机制。为理解这个机制，假设涡量管构成足够细的涡丝，它的几何形状可以用其轴线的形状近似地表示，但涡丝不能缩成一条线（否则其自诱导速度将按式(26)变成无穷大），仍有小而有限的截面和绕涡丝的周线𝒞。这时b≡tω就是涡丝轴的切矢量，线元为dxω=tωdξ。引入在涡丝切平面上的法矢量nω（见图11）和垂直于切平面的副法向bω，使得∂ξtω=κωnω,  ∂ξnω=- κωtω+τωbω，式中：κω=1/rω和τω分别是涡丝轴的曲率和挠率，rω为曲率半径。则有νωn∙∂bb=νκωωn∙nω=νκωcos θ，式中：cos θ是涡丝周线内法向n在切平面Π上的投影。所以式(45)变成dΓCdt=∮𝒞Tds- ν∮𝒞∂nωdl+ν∮𝒞ωrωcos θrθdθ,                                                                               (46)第三项的扩散沿𝒞的分布有方向性，是个新发现，可称为弯曲涡丝的定向扩散。对于不可压流，引入特征雷诺数RГ=Гc /v，式(46)可写为ddtlogΓ𝒞=1RΓ∮𝒞- ∂nω+ωrωcosθrθdθ.（47）当ω/rω≫∂nω时，定向扩散会在扩散机制中起主导作用。尤其当涡丝曲率极大，以致(ω/rω)/RГ=O(1)时，定向扩散会导致环量的显著改变。在研究黏流中弯曲涡丝的相互作用时，是否式(47)会导致新的物理理解？这事超出了本篇范围。这里只举一个可能应用的场合。图12示出相互靠近的一对反号弯曲涡量管[25]，因长波不稳定性发生相互作用和切断-重联的拓扑变化。图中根据计算结果示出一些连接这对涡的局部结构，它们都来自黏性而且沿涡量管周向是高度各向异性的。这使人不禁猜测式(47)第二项在其中会有什么重要作用。10.12050/are20220201.F012图12涡重联过程与小尺度结构的形成（基于环量的Reynolds数为6000[25]）Fig.12Process of vortex reconnection and formation of small-scale structures（The Reynolds number based on circulation is 6000 [25]）这种切断-重联也出现在壁湍流中发卡涡一类细涡丝的头部，那里的曲率κω=1/rω≫1，所以在cos θ=±1的方位上黏性扩散导致的环量变化达极大值。同时，那里的自诱导速度也是最大。在槽道流上下边界形成的发卡涡对，在其头部在自诱导下迅速互相靠拢时，会因局部很强的黏性扩散而改变拓扑结构。6.4　不自由与虚拟自由的涡运动自由涡运动享有的物质不变性或Lagrange不变性，历来是理论家推演出许多美妙结果的法宝。可是实际的流动总不免犯上式(43)右边非零项中的一条或几条，使得在自由涡运动中那些被“冻结”在物质流体元和涡量线、涡量管上的属性，因“解冻”而发生各种变化。这是很麻烦的事情。例如，在t=t0时的一条物质涡量线、面或管，其上每点的涡量都是切矢量，在tt0时就不再由同一组物质流体元组成，这从Truesdell公式(31)可以看出来。这里的问题是：新的涡量线（面、管）上的流体元是由从哪儿来的流体元所取代的？这个问题很重要，有很多学者做过研究，杨越课题组Hao等[26]的工作是迄今最系统的进展。因为我们立意探索过程与结构的因果性和物质源，在这里有必要简述他们的理论。假设同一个涡量场ωx,t，以速度u在真实流体中做不自由的涡运动，同时以速度v做虚拟的自由涡运动。在式(42a)中记F=f⊥+T∇s-ν∇×ω，从而涡量方程可写为∂tω-∇×u×ω+F=0.这里的物质导数算子D=∂t+u∙∇被拆开，因为虚拟的自由涡运动还有个物质导数Dv=∂t+v∙∇，使得 Dvω+ω∙∇v=0 即∂tω-∇×v×ω=0.显然，这个虚拟涡运动满足前述所有Lagrange不变性定理，但定理前均需加上“虚拟”二字。上两式相减，可以得到从u到v的虚拟速度漂移(drift) vd=v-u的一个一阶偏微分方程，条件是ω没有零点：vd=ω×F+∇Ψω2+C||ω,                                 (48)式中：Ψ和C||是待定标量场函数。可惜，这个方程的全局光滑解在不同边界条件下的存在唯一性尚不清楚。郝建华等发现，若把这两个标量设为零，即取vd=ω×Fω2                                                                  (49)它对一般的二维流和具有特定F形式的三维流是个显式的特解。例如，考虑没有非保守体力f⊥的不可压黏流，令涡量线的切向和法向单位矢量为tω,nω，弧元为ds，曲率为κω。则得vd=ν∇×ω×ωω2=- ν∇lnω+νtω∂slnω+nκω .                                                                                         (50)我们知道，真实的黏性流体元所携带的动量，会经分子碰撞而被扩散到相邻流体元，这也伴随着涡量的扩散。现在根据式(50)可以想象，涡量的扩散被物化为虚拟流体元沿涡量扩散的方向以速度vd运动，把涡量携带到虚拟的自由涡量线上，取代后者本来的流体元以保持其冻结的Lagrange不变性。这个虚拟漂移速度有个从高ω区指向低ω区的一般分量；而对三维流中有拉伸和折转的涡量线，它还得有个沿涡量线拉伸方向的分量和一个指向曲率中心的法向分量。Hao等[26]给出一些黏流的解析解和数值解，证实了式(49)和式(50)对追踪物质涡量面演化是准确有效的。但式(49)毕竟不是普适的，有的三维流F有平行于ω的有旋分量，这个特解就无能为力了（见原文献§2.4）。6.5　不自由涡运动的整体守恒量尽管不自由涡运动比自由运动复杂得多，不自由的涡运动也还有那么几个动理学约束管不着的守恒量，来自在外无界流场中对全空间的积分。只要这个体积分能化为边界面积分，就能从第3篇《线性纵横场》中得到的被积函数在远场的衰减率判断它是否守恒。这里仅举两个例子。第一个例子：Lamb矢量的全空间积分恒为零。事实上由恒等式∫Vω×udV=∫∂Vn∙uu-12nu2dS可见，这个空间积分可化为无穷远边界∂V∞的面积分，因为u二次型衰减得足够快而得证。这个性质在研究物体所受的定常与非定常合力时很有用。有趣的是，与Lamb矢量ω×u的积分在结构上对应，螺旋量密度ω∙u对全空间的积分却没有这个不变性。其原因可从式(38)看到端倪，而其物理含义却值得品味，这里不再讨论。第二个例子：二维流的总环量守恒。根据式(17)第二式，在无穷远静止或均匀状态的外无界流场中，仅根据空间无散性即可断定总涡量一定是零。但这个定理不能用于二维空间。二维流的总环量守恒补上了这个缺口，但不能只靠空间无散性，而要从普适的环量时间特性式(28)出发。第3篇已证明，在无穷远静止或处于均匀状态的外无界流动中，最接近无穷远的区域只存在指数衰减的黏性线化声波，涡量场早已率先衰减掉了。因此，总可以选择足够大的任意物质闭曲线𝒞，记为C∞，使得那里的加速度有单值势：a∞=- ∇ϕ∞*。从而据式(28)有dГ∞/dt =0。对这个总环量，d/dt可以理解为普通的时间导数。所以得Γ∞t=Γ∞0,                                                            (51)即无界二维空间的总环量不随时间改变，初始为零则永远为零。这个结果最早由Wu[27]对黏性不可压流给出证明。后面将看到，这个即使对黏性流动也成立的定理，对理解升力来自环量的物理机理有关键的作用。7　黏性流体中渐近自由的涡运动：面涡我们在第5节讨论了加速度有势使涡运动是自由的，又在第6节讨论了加速度有旋剥夺了涡运动的自由。这两类涡运动看起来水火不容。但是，有个在理论和应用上都饶有趣味又很重要的问题值得探讨：在这两类流动之间，是否存在一种足够接近物理现实的流动模型，使它最大限度地具有自由涡运动的那些不变性，同时却能避免完全自由涡运动带来的佯谬？答案是肯定的，它在非此即彼的两类流动之间架起了一座亦此亦彼的桥梁，成为涡运动第三个特别值得关注的类型。这个理论模型的基本思路是把Prandtl开创的奇异摄动方法从边界层推向全流场。作为基础，下面只讨论没有外加非保守体力和斜压性的不可压黏性层流，并只考虑空气和水这些ν≪1的小黏性流体（可以设流动的特征速度和特征长度都是1，从而ν=Re-1）。这个讨论着重阐发基本概念，详细的理论基础和应用见文献[2,5]。7.1　从零黏性到趋于零的非零黏性对小黏性流动的理论研究，有几个不同的近似层次。最粗略的第一层次是令ν≡0而得到Euler方程只满足无穿透条件的光滑解，结果导致D'Almbert佯谬和涡量不生不灭的Lagrange佯谬。一旦取ν≠0，最根本的变化是方程升了一阶成为N-S方程，并在边界上要增加无滑移条件（见第2篇第1节）。这在历史上曾是个非此即彼的选择题。但是，Prandtl发明的奇异摄动方法表明，在这两类问题之间，可以有一桥飞架南北，使天堑变通途。这就是在令ν≠0的同时还令ν→0，这是第二层次。由于ν→0，在特征尺度各向同性的流场内部，涡运动仍能获得自由，和无黏流一样；而由于ν≠0，在边界上必然出现一个切向间断面（见第2篇式(4)下面的讨论），仅当我们对它做奇异摄动即用个“一维放大镜”把法向尺度放大ν-1/2倍之后，我们才能进入第三层次，看到厚度为δ=Ον1/2的边界层内部的结构15。本来，允许Euler方程有带数学切向间断的弱解，是Helmholtz和Kirkhoff最先提出来的。在发展机翼的环量理论期间，Prandtl经历了一场和英国剑桥学派的争论（第9篇和第10篇将详细讨论环量理论的发展），他证明这个切向间断是物理上真实的边界层的“不放大版”，因此是物质的，这就是附着面涡。此后，在Lanchester[28] 对三维机翼绕流的观察（见图13）的启发下，Prandtl（1918）又进而强调了空间中自由运动的切向间断面即自由面涡的重要性，指出其运动由Biot-Savart定律和Bernoulli定理主控。这成为他提出经典空气动力学升力面理论及其化简导致的升力线理论的概念基础。10.12050/are20220201.F013图13在有限翼展机翼下游尾流面涡卷绕成翼尖涡的示意图Fig.13Sketch of wing-tip vortices formed by the rolling-up of wake vortex sheet behind a finite-span wing面涡（vortex sheet）这个德国哥廷根学派发明的理论模型，却由英国学者Glauert[29] 在其经典著作中做了最精辟的阐述16。在详细介绍了Kutta-Joukowski的无黏环量理论之后（见第9篇），Glauert专门用只有8页的题为“The Basis of Airfoil Theory”的第9章阐明了黏性如何在这个理论背后起到关键的作用：“所有真实流体都有黏性，完全流体的概念应当代表流体的黏性变成无穷小这个极限的概念。要得到完全流体的真实概念，简单地假设黏性为零是不够的。在运动方程中必须保留黏性，完全流体的流动必须靠使黏性无限小而得到。”“边界层实际上是个涡量区，它的厚度正比于ν并随着黏性一起趋于零。因此在这个极限下边界层变成一个包围物面的面涡，其涡量的作用就像物面和周围一般流体质量之间的滚动轴承。所以，带有包围物面的面涡的完全流体假设，代表着黏性流体在黏性趋于零时的极限条件，面涡的存在则意味着完全流体的解不需要在边界上满足零滑移条件。组成面涡的旋涡强度之和就等于在完全流体的解中绕物体环量的大小。”“在绕尖后缘翼型的环量理论的发展中，环量由Joukowski假设决定，即流动必须光滑地离开后缘。即使黏性变成无限小，后缘点的黏性力也不能忽略。只有避免了后缘速度无限大的完全流体的解，可以看作是真实流体解的极限，而这个解是由Joukowski假设决定的。”现在，Glauert的这本书已成为低速空气动力学理论的一个经典，众多当代教材继承了它简洁精练的理论表述。遗憾的是，这些教材几乎都略去了无黏理论为何能预测真实的黏性流动这个关键问题17。满足ν≠0 但 ν→0的流动常被称为有效无黏流[7]，不过更准确的数学名称是N-S方程的相关Euler极限[30]。事实上，满足无穿透条件的Euler方程的解不是唯一的，圆柱绕流即为一例。Euler方程还允许带有切向间断即面涡的弱解。如果我们假定满足无滑移条件的N-S方程的解是唯一的，那么这个解在ν→0时会趋近一个特定的Euler解，就是N-S方程的相关Euler极限。由于边界上的切向间断总存在，这个相关Euler极限应不会是光滑解而是弱解。我们用图14来概括Euler方程和N-S方程的小黏性渐近近似之间的相互关系，第二层次近似下的面涡出现在图的中右部，其左边是N-S方程的精确解（现在只有数值解）。图14下部右边示出的是对切向间断通过进一步摄动的改进，即用“一维放大镜”得到的有限厚度薄剪切层，它等价于左边N-S解的小黏性近似。但现在人们拿着放大镜也还基本上只能观看固定形状的边界层。除了少数简单情况（如弱非平行剪切流），对于任意运动的自由面涡，还没有理论能用“放大镜”把它还原成有限厚度的自由剪切层，原因是自由面涡的运动本身已经足够复杂多样了（见下），有限厚度的自由剪切层只能交给计算与实验流体力学做个案研究。10.12050/are20220201.F014图14在大雷诺数下N-S方程、Euler方程的解和面涡模型通过摄动的渐近联系（右下角的摄动解指的是把面涡放大成薄涡层）[5]Fig.14Asymptotic relations between the N-S equation and Euler equation as well as their solutions at large Reynolds numbers through perturbing vortex-sheet model(The perturbation solution at the lower right is thin vortex layer of finite thickness by magnifying a vortex sheet)[5]7.2　面涡的天下在理解了面涡模型是N-S方程第二层次下的核心概念之后，我们来具体看看这个模型能干什么。首先，如果不用放大镜去考察边界层的内部结构，在边界的切向间断处有∇≃n̂∂n̂，我们看到一个厚度δ→0的附着面涡，强度为γ=limδ→0 ∫0δωdn̂=limδ→0 ∫0δn̂×∂n̂udn̂=n̂×u，（52）式中：n̂是物面外法向，f=fe- fB，下标e和B分别表示边界层外边缘的势流值和物面上的已知值。因为不用放大镜，涡量在面涡内部的分布无关紧要，完全可以假定为常数，所以面涡就是2.3节仔细讨论的简单剪切层。它还可以是弯曲的，反正面涡的零厚度比它的曲率半径总小得多。注意在面涡和Euler方程的弱解允许的数学切向间断之间有根本区别。由于式(52)，面涡的每条涡量线都是由无数自旋流体球串成的珠子串，整个面涡就是一片“珠帘”。它是物质的，服从由涡量动力学导出的运动规律，有自己的运动速度；而严格的数学间断面是没有物质的，其“速度”可以任意假设。遗憾的是，现在还往往能看到把面涡和数学间断混为一谈的事例。坚持面涡的物质性是整个N-S渐进近似的关键概念。一个运动物体（如机翼），在飞行中总要穿着附着面涡这件“紧身衣”。在物体的尖后缘，或后缘上游遇到逆压梯度的地方，作为不断向下游滚动的“珠帘”，面涡将按照与Bernoulli方程相容的方式离开物面飘在空中，并按照与Biot-Savart定律相容的方式继续运动，成为不抗任何法向压力梯度即p=0的自由面涡。这就是流动分离和分离流的简化图景。一旦进入流体内部，流场的特征尺度变成各向同性，ν→0的设定使它们不发生扩散，γ的演化方程是无黏的，整个流动结构就是不扩散的无黏面涡的天下，面涡之外只有势流。不过也有例外：如果面涡包围了一个封闭的定常有界域（如分离泡），虽然仍有δ→0，但还有t→∞，会使得面涡里的涡量最终扩散成充满整个闭域的有旋流。这样的流动称为Prandtl-Batchelor流。另外，在超声速流中，相交的激波会在交线下游搓出面涡，在气体动力学中习惯称为接触面。7.3　自由面涡的自发卷绕作为最起码的N-S方程的相关Euler极限，面涡模型有其固有的局限，无法苛求。由于γ不管边界涡量是多少，无法用式(15)预测摩擦阻力，实际上它只能给出零摩阻。它也不能预测附着面涡在光滑表面上什么地方会发生分离而转变成自由面涡。由于附着面涡（边界层的不放大版）的形状和强度完全由固体几何形状与运动和近壁势流分别决定，它无须专门计算18；人们最感兴趣的是自由面涡如何运动和演化。这是个纯运动学问题，出发点是把Biot-Savart定律的体积分简化成面涡诱导速度的面积分ux=dxdt=12n-1π∫Sγx'×rrndSx',        r=x-x',                                                                     (53)式中：n=2, 3是空间维度。对于已知的γ分布，计算它“诱导”的速度场很简单；如果面涡的位置已知（如附着面涡）但γ分布未知，那就是求解积分方程的问题，经典低速空气动力学中已有一套方法；但是如果面涡的位置和强度都不知道，需要从某个初始构型计算出来，那就要把式(53)左边的x取为面涡S本身上的点。这时积分动点x'会经过x，结果导致一个未知曲面上的奇异积分-微分方程，它的求解成了研究自由面涡运动的最大拦路虎。人们首先想到的是考虑二维流，这时令Z=x+iy, Z*=x-iy，面涡位置由复平面上的曲线Zs决定，s是弧长或其他参数坐标，由式(53)得dZ*dt=12πi∫γsdsZ-Zs.                                             (54)进而，由于γsds=- dΓs是环量的无限小增量，可以利用Γ是物质不变量这个条件反过来把s看成Γ的函数，而把式(54)化为著名的Birkhoff-Rott方程∂tZ*Γ,t=- 12πipv∫Γ0ΓedΓ'ZΓ,t- ZΓ',t.         (55)式中：pv表示在Γ'→Γ时取奇异积分的Cauchy主值。这是个高度非线性的方程，只有少数几个简单的解析解，那里一片面涡只做刚性运动而不变形，参见文献[31]。数学家证明，在一般情况下，随着时间的推进，方程的解不免要遇到奇异性而走不下去。另一方面，把面涡离散成一系列点涡的数值研究从20世纪30年代起就有人试验过了，却发现收敛不了。这个难题耗费了人们近半个世纪的精力，终于被Krasny[32-33] 跨过去了。他把积分方程(55)的奇异核用个正则核加以逼近，才打开了数值求解的大门19。此后的一系列计算都证明面涡模型能很好地模拟现实的有限厚度剪切层的演化。图15示出喷管中打出的面涡经过自诱导卷绕性成涡环的例子，和上图涡环形成的类似照片符合极好。Hou等[34]根据吴耀祖的解析理论发展了另一种高精度面涡算法，用来模拟生物摆尾拖出的涡街（见图16）。DeVorial等[35]对方程(55)在奇点附近的解进行处理，提高了计算的精度。10.12050/are20220201.F015图15活塞运动产生面涡卷绕成涡环的过程[36]Fig.15Vortex-ring formation from the rolling-up of vortex sheet at a nozzle produced by piston motion[36]10.12050/are20220201.F016图16绕拍动平板的流动形成的尾涡列[34]Fig.16Trailing vortex array formed by flat-plate flapping[34]其实，我们的先祖在很久之前就已从自然界观察到了这种卷绕面涡或剪切层的结构，并对其独特的美有深刻印象。所以这种图案经常出现在中外古代的文物上20。7.4　湍流中的涡量面敏锐的读者可能会质疑：在Re→∞的渐近极限下，黏性流动应当早就是湍流了，怎么还能有层流面涡这个模型？的确，在讲到N-S方程的Euler极限时，Lagerstrom[30]就明确声明只考虑层流。尽管这不能化解上述质疑，面涡的概念毕竟在大尺度、大雷诺数涡运动的研究中起了不可或缺的作用。然而，即使作为切向间断物质载体的面涡在转捩流动和湍流中不可能是大尺度的存在，它却仍然有其对应物，那就是3.2节用ω/ρ∙∇ϕ=0定义的涡量面。在湍流直接数值模拟中观察到的一个小尺度剪切层，其实就是一族涡量面。在这种情况下，人们仍然可以在这族涡量面中找出代表性曲面来研究它的演化，包括自由涡量面的自发卷绕。这就是杨越及其合作者10多年来发展的黏性涡量面理论及其计算方法，它为准确理解复杂湍流结构的形成和演化开创了一个新的途径，详见杨越[22]的述评。这里的难点在于涡量面不再具有物质不变性，需要引入6.4节介绍的特殊技巧来追踪它们的演化。一个十分有趣的例子是在边界层转捩中发卡涡的形成过程，如图17所示[37]。很明显，它起源于平行于壁面的涡量面在扰动下失稳、起皱，然后逐步拱起来，在自诱导下从头部开始卷绕成轴状涡，而其“下半身”仍然保持开曲面的形状。这是首次显示发卡涡形成的完整过程的算例，过去人们试图采用各种识别轴状涡的判据来可视化发卡涡，都因为抓不着开涡量面而只能显示其“上半身”。10.12050/are20220201.F017图17槽道流转捩过程中一个涡量面的演化和发卡涡的形成[37]Fig.17Evolution of a vorticity surface and formation of hairpin vortex in a transitional channel flow [37]可以认为，发卡涡形成的过程例示了一个重要的物理事实：大雷诺数下作为渐进近似的面涡的自发卷绕，其实根植于有严格数学定义的涡量面的自发卷绕。8　结束语（1）关于涡量运动学，本篇深入讨论了它的三个概念难点：一是涡量与流体元角速度的关系，认为它们之间相差的因子1/2不是个“需要道歉的瑕疵”；二是流体元沿弯曲迹线的公转与自旋的严格分解，没有公转时的自旋代表流体特有的简单剪切流，其自旋和纯变形总同时存在；三是涡量线的零点、极限环和可能的稠密性导致涡量面和涡量管行为超出直觉的复杂性，例如，涡量管的分叉和在流体内部终结，使得从Helmholtz第一涡量管定理不再能得出强度非零的涡量管或者闭合成环，或者延伸到无穷远和流体边界这样的论断。（2）涡量场和基于涡量场的某些函数（如环量和广义势涡量等）的物质演化特性表明：流动的加速度是否有旋，是有旋流运动分类的基本判据。加速度如果有势，无界空间中涡量场的动力学就退化为运动学，在不受力的情况下，通过Biot-Savart定律与速度场非线性、非局域的耦合（对可压缩流还和胀量场耦合），按其自身的规律自由运动。这运动无论如何复杂多变，涡量也不生不灭，并满足一系列物质不变性或对称性。例如，一条涡丝不管怎样拉伸也不会被拉断。仅在加速度有旋时，涡量场才有动理学，变得不自由，而且有生有灭，使得一个流体元携带的涡量的物质演化时刻依赖于其历史进程。涡量场运动最普遍的约束力来自所有流体都多少具有的黏性，这才是现实世界。对二维和某些三维不自由涡运动，可以解析地刻画它如何偏离一个虚拟的自由涡运动。（3）在加速度有势和有旋这两个对立的流体运动类别之间，有一座亦此亦彼的物质桥梁，即黏性不等于零但趋于零的面涡，作为黏性剪切层的简化模型。本篇之所以对面涡模型如此着墨，不仅因为它与计算或试验结果吻合（N-S方程的直接数值模拟已经可以做得更好），还因为它在多数教材中没有被充分讨论，更因为这个理论模型的基础重要性： 一方面，不管黏性多小，在其中运动的固体总穿着一件附着面涡的“紧身衣”作为边界层的简化近似。另一方面，自由面涡会在自诱导下自发卷绕成螺旋状，直至形成卷得紧紧的轴状涡，这是剪切层这种“形”复杂的“无力之奋”的典型表现。其物理根源来自自由涡量面的运动学自诱导。我们将在下一篇中从另一个角度继续面涡卷绕的讨论，作为轴状涡形成机制的关键物理要素。（4）特别值得注意的是，不可压速度场也是“管式场”，但不可压流动完全不具有大Reynolds数下涡量场的紧致特性。根本原因还是大Reynolds数下边界层及其分离形成的自由剪切层的高度紧致性或局域性，而自由剪切层无需外力的自发卷绕形成的轴状旋涡则具有更强的紧致性和局域性，其在三维空间中的涡量线又因非定域相互作用导致的拉伸而进一步指数加强。这正是轴状旋涡被称为流体运动（包括湍流）的组织者或“肌腱”的奥妙所在，也因而是涡动力学之所以重要的道理所在。本文重点探讨涡量场在流体内部的运动规律。它在边界附近的动力学行为是流动复杂性的重要来源，将在以后专篇讨论。