引言很多学者采用非平衡热力学对热电发电机的性能进行研究[1-2]，随着有限时间热力学(FTT)理论的发展[3-4]，在热电装置的性能分析与优化中发挥着重要作用[5-7]。一些学者应用FTT分析外部传热对单级单单元、单级多单元、两级和多级热电发电机的功率和效率性能的影响。Gordon[8]研究单单元热电发电机的性能；Chen[9-10]等考虑传热损失和热电单元数影响，对单级多单元热电发电机的性能进行分析,并进一步分析热电单元数和换热器总传热面积对热电发电机性能的影响，得到传热面积的最优分配；Wu[11]等通过数值模拟的方法，分析冷、热源温度和接触电阻对单级多单元热电发电机输出电压和输出功率性能的影响；Ranjan[12]等对单级多单元热电发电机热电偶臂的几何形状、长度、横截面积和外部负载电阻进行优化，使热电装置功率和效率达到最大。在热机的FTT研究中，除了功率和效率目标外，熵产率、功率密度、生态学函数等也是常用的优化目标。严子浚[13]最早将热机的输出功率与效率的乘积作为热机的性能优化目标，命名为有效功率。Valencia[14]等分析局部和全局稳定性对内可逆卡诺热机有效功率性能的影响；Chimal[15]等研究以有效功率为目标函数时布朗热机的最优性能。文中将在文献[9]、文献[10]建立的单级多单元热电发电机模型基础上，以文献[13]~文献[15]定义的有效功率为目标，研究装置的最优性能，比较最大有效功率和最大功率条件下热电发电机的效率，分析热电单元数和高温热源温度对装置有效功率性能的影响，比较最大有效功率、最大功率和最大效率时，最优电流与热电单元数和高温热源之间的关系。1热电热机模型和性能分析单级多单元热电发电机模型如图1所示。由图1可知，高温热源和低温热源的温度分别为TH和TL，内部有n对N型和P型半导体模块单元，外部负载电阻RL与热电发电机相连。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.02.007.F001图1单级多单元热电发电机模型考虑外部高、低温热源与热电发电机之间存在不可逆传热损失，因此热电发电机热端温度为T1(T1TH)，冷端温度为T2(T2TL)。热电发电机从外部热源TH吸热率为QH，向外部热汇TL放热率为QL，热电发电机与负载电阻形成一个闭合的回路，产生工作电流I。每个热电单元热端和冷端的热流率分别为QH'和QL'。考虑外部高、低温热源与热电发电机之间的换热服从牛顿传热规律，参照文献[9]、文献[10]可得：QH'=αIT1+K(T1- T2)- 12I2R (1)QL'=αIT2+K(T1- T2)+12I2R (2)QH=k1F1(TH- T1)=nQH' (3)QL=k2F2(T2- TL)=nQL' (4)式中：n——热电单元个数；α——热电耦臂的塞贝克系数，V/K，其中α=αP- αN，αP和αN分别为P型和N型热电偶臂的塞贝克系数；I——输出电流，A；R——每个热电单元中热电偶臂的总电阻，Ω；K——单个热电单元热电偶臂的总热导率，W/K；k1——高温侧换热器的传热系数，W/(K·m2)；k2——低温侧换热器的传热系数，W/(K·m2)；F1——高温侧换热器的传热面积，m2；F2——低温侧换热器的传热面积，m2；αIT——珀尔帖热流率，W；I2R——焦耳热流率，W；K(T1- T2)——内部导热率（内热漏率），W。由式(1)~式(4)可得：T1=A+D- nαk1F1THI- 0.5αRn2I3B (5)T2=A+D+nαk2F2TLI+0.5αRn2I3B (6)QH=k1F1[0.5αRn2I3- (D+n2α2THI2)+nαk2F2THI+nKk2F2(TH- TL)]B (7)QL=k2F2[0.5αRn2I3+(C+n2α2TLI2)+nαk1F1TLI+nKk1F1(TH- TL)]B (8)式中：A=k1F1k2F2TH+nK(k1F1TH+k2F2TL)；B=k1F1k2F2+nK(k1F1+k2F2)+nα(k2F2- k1F1)I- n2α2I2；C=(0.5nk1F1+n2K)RI2；D=(0.5nk2F2+n2K)RI2。热电发电机的输出功率和热效率分别为[9-10]：P=QH- QL=E- [k1F1(D+n2α2I2TH)+k2F2(C+n2α2I2TL)]+nαk1F1k2F2(TH- TL)IB (9)η=PQH=E- k1F1(D+n2α2I2TH0)+k2F2(C+n2α2I2TL)]+nαk1F1k2F2(TH- TL)Ik1F1[0.5αRn2I3- (D+n2α2THI2)+nαk2F2THI+nKk2F2(TH- TL)] (10)式中：E=0.5αRn2I3(k1F1- k2F2)。热电发电机的有效功率为[13]：EP=Pη (11)由式(7)~式(11)可以得到有效功率表达式为：EP=E- [k1F1(D+n2α2I2TH)+k2F2(C+n2α2I2TL)+nαk1F1k2F2(TH- TL)I2k1F1B[0.5αRn2I3- (D+n2α2THI2)+nαk2F2THI+nKk2F2(TH- TL)](12)对于给定k1F1、k2F2、TL、TH、α、R、K和n时，功率和有效功率是输出电流的函数，由dP/dI=0和dEP/dI=0，可以分别求出最大功率Pmax和最大有效功率(EP)max时，对应的最佳电流IP和IEP。无因次功率和无因次有效功率分别定义为：P¯=P/Pmax (13)E¯P=EP/(EP)max (14)2数值计算与分析根据文献[9]、文献[10]取相关参数：k1F1=4 W/K，k2F2=1 W/K，α=2.3×10-4 V/K，TL=300 K，R=1.4×10-3 Ω，K=1.5×10-2 W/(m⋅K)，n=1~40，TH=400~800 K。热电单元数n=20和高温热源温度TH=600 K时，无因次有效功率与效率(E¯P-η)和无因次功率与效率(P¯-η)的关系曲线如图2所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.02.007.F002图2n=20和TH=600 K时装置E¯P-η和P¯-η最优关系计算可得最大有效功率时的效率ηEP=0.076 2，最大功率时的效率ηP=0.075 3，最大有效功率时的效率略大于最大功率时的效率，效率增加1.1%；最大有效功率时的无因次输出功率(P¯)EP=0.996 2，略小于最大无因次输出功率，功率降低0.38%；最大功率时的无因次有效功率(E¯P)P=0.992 6，略小于最大无因次有效功率，有效功率降低0.74%。由以上分析可以看出，以有效功率最大为目标优化时，虽然牺牲部分输出功率，但可以使装置的效率提高。高温热源温度TH=600 K时，热电单元数(n)对E¯P-I、E¯P-P和E¯P-η特性关系的影响如图3~图5所示。从图3可以看出，装置E¯P-I关系曲线呈类抛物线型，无因次有效功率达到最大时，存在一个最佳的电流值IEP；随着n的增大，IEP减小，当n从1增加到40时，IEP从21.580 1 A减少到8.709 5 A。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.02.007.F003图3n对装置E¯P-I特性关系的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2022.02.007.F004图4n对装置E¯P-P特性关系的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2022.02.007.F005图5n对装置E¯P-η特性关系的影响从图4可以看出，不同的热电单元数下，装置E¯P-P关系曲线呈扭叶型，当给定一个有效功率（最大值除外）时，对应两个输出功率值，装置应在输出功率较大的状态点下工作；最大有效功率(EP)max对应的功率PEP随着热电单元数n的增加而增加。数值计算表明，当热电单元数n从1增加到40时，最大有效功率对应的功率从0.804 0 W增加到7.367 4 W。从图5可以看出，装置E¯P-η关系曲线呈扭叶型，当给定一个有效功率（最大值除外）时，对应两个效率值，装置应在效率较大的状态点下工作；最大有效功率(EP)max对应的效率ηEP随着热电单元数n的增加而减小。数值计算表明，当热电单元数n从1增加到40时，最大有效功率对应的效率从0.113 8减少到0.056 3，减少约50.53%。选择合适的热电单元数能够较大幅度改善装置的性能。IEP-n、IP-n和Iη-n的关系曲线如图6所示。由图6可知，最大无因次有效功率、最大无因次功率和最大效率对应的最佳电流均随着热电单元数的增大而减小，且IPIEPIη。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.02.007.F006图6最优电流与n的关系热电单元数n=20时，高温热源温度(TH)对E¯P-I、E¯P-P和E¯P-η特性关系的影响分别如图7~图9所示。从图7可以看出，随着TH的增大，IEP增大，当TH从400 K增加到800 K时，IEP从4.525 7 A增加到20.000 0 A。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.02.007.F007图7TH对装置E¯P-I特性关系的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2022.02.007.F008图8TH对装置E¯P-P特性关系的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2022.02.007.F009图9TH对装置E¯P-η特性关系的影响从图8可以看出，最大有效功率(EP)max对应的功率PEP随着高温热源温度TH的增加而增大，高温热源温度TH从400 K增加到800 K时，最大有效功率对应的功率从0.802 8 W增加到18.073 3 W。从图9可以看出，最大有效功率(EP)max对应的效率ηEP随着高温热源温度TH的增加而增大，高温热源温度TH从400 K增加到800 K时，最大有效功率对应的效率从0.029 0增加到0.1132。提高高温热源温度能够大幅提高最大有效功率对应的功率和效率，可以有效改善热电发电机装置的性能。IEP-TH、IP-TH和Iη-TH的关系曲线如图10所示。由图10可知，最大无因次有效功率、最大无因次功率和最大效率对应的电流均随着高温热源温度的增大而增大，且IPIEPIη。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.02.007.F010图10最优电流与TH的关系3结语文中在文献[9]和文献[10]建立的单级多单元热电发电机装置模型的基础上，以有效功率为目标，研究装置的最优性能，比较最大有效功率和最大功率条件下热电发电机的性能，分析热电单元数和高温热源温度对有效功率与电流、有效功率与功率、有效功率与效率特性关系以及3种目标函数最大时对应的电流的影响。结果表明：（1）最大有效功率时对应的效率高于最大功率时对应的效率，以最大有效功率为目标优化时，虽然牺牲部分输出功率，但提高了装置的效率。（2）装置E¯P-I的关系曲线呈抛物线型，无因次有效功率达到最大时，存在一个最佳的电流值IEP；装置E¯P-P和E¯P-η关系曲线均呈扭叶型，当给定一个有效功率（最大值除外）时，对应两个输出功率值和两个效率值，装置应在输出功率和效率较大的状态点下工作。（3）当n增大时，PEP增大，ηEP减小；当TH增大时，PEP和ηEP均增大；当减小热电单元数和增加高温热源温度时，3种目标函数所对应的最优电流均增大；选择合适的热电单元数和高温热源温度可以提高热电发电机的性能。