引言随着微电子技术和微电子工艺的发展，电子在传输过程中同时伴随着热量传递，为能量转换提供了可能性，也意味着可能存在一种以电子为工质的微型能量转换装置，这种微型能量转换系统引起关注。2002年，Humphrey[1]等发现在两个不同温度和电化学势的电子源之间，通过选择合适的能量过滤器能够可逆地交换电子，这种新研发的电子装置被命名为能量选择性电子（ESE）热机[2]。随着有限时间热力学（FTT）[3-7]理论的发展，在考虑各种不可逆损失因素的情况下，对热力循环过程开展性能分析和优化的思路，对微型能量转换装置同样极具意义。利用FTT理论对ESE热机进行研究，可为实际ESE热机的设计和运行提供理论指导[8-9]。在不计电子传输过程中热漏损失的情况下，研究内可逆单谐振ESE热机输出功率最大时的效率特性，并与内可逆卡诺热机的CA效率进行比较[2]；Ding[10]等引入生态学目标函数，研究该模型的生态学最优性能；Su[11]等建立具有由可变负载电阻，产生可变偏置电压的ESE热机新模型，详细讨论过滤器中心位置的能量、化学势和负载对系统性能的影响。在计入电子传输过程中热漏损失的情况下，建立不可逆单谐振ESE热机模型，研究功率效率特性和性能优化区域[12]；分析该模型在不同传输概率函数下的性能[13]；并发现当系统存在热漏损失时，具有洛伦兹传输概率的ESE热机的效率更高[14]。Zhou[15]等在文献[12]建立的模型基础上，研究生态学函数最优性能。除功率、效率和生态学函数等目标外，有效功率也是一种重要的热机性能指标。严子浚[16]在牛顿传热规律下提出，将功率与效率的乘积作为热机的优化目标；Yilmaz[17]将这一性能指标命名为有效功率。有研究将有效功率引入到磁流体动力循环[18]、具有理想回热过程的斯特林热机[19]、和热电发电机[20]的性能分析和优化中。本研究将在已有文献[12]和文献[15]建立的不可逆单谐振ESE热机模型的基础上，研究ESE热机的有效功率最优性能。比较热机在3种优化目标下（最大有效功率、最大功率和最大效率）的性能，讨论过滤器通道的能量值下限和能量宽度等设计参数对有效功率的影响。1不可逆单谐振ESE热机模型和性能分析不可逆单谐振ESE热机模型如图1所示[12,15]。该模型由一个能量过滤器连接两个电子源组成。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.03.007.F001图1不可逆单谐振ESE热机模型两电子源彼此热绝缘，只通过能量过滤器进行电子交换，能量过滤器允许特定能量范围内的电子自由传输，传输过程中还存在由于声子传播引起的热漏损失。两电子源存在不同的温度TH、TC和不同的化学势μH、μC，E'为过滤器通道能量值下限，ΔE为能量宽度，eV0为偏转电压。在ESE热机运行过程中，电子利用电势差和温差等因素从高温电子源通过能量过滤器向低温电子源传输，由于电子携带能量，传输过程中伴随着能量变化，从而实现能量转换。根据文献[1]和文献[2]，在极小的能量范围δE内，两电子源放热流率q˙H和吸热流率q˙C分别计算为：q˙H=2h(E- μH)(fH- fC)δE (1)q˙C=2h(E- μC)(fH- fC)δE (2)式中：h——普朗克常数，h=6.626×10-34 J⋅s；fH——高温电子源的费米分布；fC——低温电子源的费米分布。fH和fC可以写为：fH=[1+exp(E- μHkBTH)]-1 (3)fC=[1+exp(E- μCkBTC)]-1 (4)式中：kB——玻尔兹曼常数，kB=1.38×10-23 J/K。在整个能量范围内，高温电子源的放热流率Q˙HE为：Q˙HE=2h∫E'E'+ΔE(E- μH)(fH- fC)dE (5)低温电子源吸热流率Q˙CE为：Q˙CE=2h∫E'E'+ΔE(E- μC)(fH- fC)dE (6)电子源间的热漏损失率Q˙L为：Q˙L=kL(TH- TC) (7)式中：kL——热漏系数。高温电子源总的放热流率Q˙H为：Q˙H=Q˙HE+Q˙L (8)低温电子源总的吸热流率Q˙C为：Q˙C=Q˙CE+Q˙L (9)数值计算过程中需要引入Nielsen函数g(x)=Polylog(2,-x)[21]，用到的两个积分公式分别为：∫ab1/(1+x)dx=ln(1+x)ab和∫abln(x)/(1+x)dx=[ln(x)ln(1+x)+Polylog(2,-x)]ab。ESE热机的功率P、效率η分别为[12]：P=Q˙H- Q˙C=2hkB(μC- μH)[THln1+exp(rH)1+exp(RH)- TCln1+exp(rC)1+exp(RC)] (10)η=PQ˙H=(μC- μH)[THln1+exp(rH)1+exp(RH)- TCln1+exp(rC)1+exp(RC)]/{kBTH2[12RH2- g(exp(RH))- RHln(1+exp(RH))- 12rH2+rHln(1+exp(rH))+g(exp(rH))]- kBTC2[12RC2- RCln(1+exp(RC))- g(exp(RC))- 12rC2+rCln(1+exp(rC))+g(exp(rC))]- TC×(μC- μH)[RC- rC+ln1+exp(rC)1+exp(RC)]+(TH- TC)kLh2kB} (11)根据有效功率的定义[16-20]，不可逆单谐振ESE热机的有效功率EP为：EP=Pη=2h(μC- μH)2[THln1+exp(rH)1+exp(RH)- TCln1+exp(rC)1+exp(RC)]2/{TH2[12RH2- g(exp(RH))- RHln(1+exp(RH))- 12rH2+rHln(1+exp(rH))+g(exp(rH))]- TC2[12RC2- RCln(1+exp(RC))- g(exp(RC))- 12rC2+rCln(1+exp(rC))+g(exp(rC))]- TCkb×(μC- μH)[RC- rC+ln1+exp(rC)1+exp(RC)]+(TH- TC)kLh2kB2} (12)式中：RH=E'+ΔE- μHkBTH；rH=E'- μHkBTH；RC=E'+ΔE- μCkBTC；rC=E'- μCkBTC。定义无因次功率和无因次有效功率分别为：P¯=P/Pmax (13)EP¯=EP/(EP)max (14)2数值算例与分析根据文献[12]和文献[15]可知，在计算过程中设定TH=2.2 K、TC=1.2 K、μC/kB=12 K、μH/kB=10 K。热漏对有效功率与功率(EP-P)特性关系的影响如图2所示，热漏对有效功率与效率(EP-η)特性关系的影响如图3所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.03.007.F002图2热漏对EP与P特性关系的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2022.03.007.F003图3热漏对EP与η特性关系的影响有效功率与功率和有效功率与效率的特性关系均呈扭叶形；ESE热机系统存在最大有效功率(EP)max和对应的功率(P)EP与效率η(EP)，存在最大输出功率Pmax和对应的有效功率(EP)P；存在最大效率ηmax和对应的有效功率(EP)η。当热漏系数从0增加到1.5×10-14时，Pmax没有改变，而(EP)max、ηmax、η(EP)明显降低，表明热漏的变化不改变功率，但改变效率和有效功率。合理地选择热机的工作区域可以有效提高ESE热机的性能。以热漏系数kL=0.5×10-14的曲线为例，可以得出热机的性能优化区域为P(EP)≤P≤Pmax，η(EP)≤η≤ηmax。在给定kL=1×10-14 W/K的情况下，由式(10)、式(11)和式(12)可以得到ESE热机EP与ΔE和E'的三维特性关系，如图4所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.03.007.F004图4EP与E'和ΔE的三维关系当能量宽度ΔE确定时，有效功率EP随过滤器通道的能量值下限E'的增加，先增加然后快速减少；当过滤器通道的能量值下限E'给定时，有效功率EP随能量宽度ΔE的增加，先增加然后趋于稳定。ESE热机的有效功率与ΔE和E'的取值密切相关，合理地选取ΔE和E'取值，可以使ESE热机工作于最大有效功率状态，从而提高ESE热机的性能。热漏系数KL=1×10-14 W/K和ΔE=1.5kB时，无因次功率与效率(P¯-η)和无因次有效功率与效率关系(E¯P-η)的关系曲线如图5所示。3种优化目标下热机的性能比较，如表1所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.03.007.F005图5P¯-η和E¯p-η关系10.3969/j.issn.1004-7948.2022.03.007.T001表13种优化目标下ESE热机的性能比较优化目标性能参数无因次功率无因次有效功率效率最大功率P¯max=1.000 0(E¯P)P=0.978 6ηP=0.331 7最大效率P¯η=0.732 5(E¯P)η=0.793 3ηmax=0.367 2最大有效功率P¯(EP)=0.983 2(E¯P)max=1.000 0η(EP)=0.344 8当优化目标由P¯max变为(E¯P)max时，对应的无因次输出功率由1减小到P¯(EP)，减小1.68%，对应效率由ηP提高到η(EP)，提高3.95％；当优化目标由ηmax变为(E¯P)max时，对应效率由ηmax减小到η(EP)，减小6.1%，对应无因次输出功率由P¯η提高到P¯(EP)提高34.2%。不可逆单谐振ESE热机由最大功率设计点变为最大有效功率设计点时，效率增大的百分比大于功率减小的百分比，此时牺牲热机部分功率可以提高热机的效率；由最大效率设计点变为最大有效功率设计点时，功率增大的百分比大于效率减小的百分比，此时牺牲部分效率可以较大提高热机的功率，表明有效功率目标函数反映ESE热机功率与效率的折衷。3结语本研究在文献[12]和文献[15]建立的不可逆单谐振ESE热机模型基础上，以有效功率为优化目标，应用有限时间热力学理论，进一步研究不可逆单谐振ESE热机的有效功率最优性能，分析热漏系数、能量宽度和过滤器通道的能量值下限对有效功率性能的影响，比较最大有效功率、最大功率和最大效率条件下，ESE热机的性能。结果表明：（1）与最大功率和最大效率优化目标相比，当不可逆单谐振ESE热机以最大有效功率为优化目标时，可以通过牺牲较小的功率（效率）提高热机的效率（功率），因此有效功率优化目标反映ESE热机功率与效率的折衷，以有效功率为优化目标可以有效地改善装置的性能。（2）热漏的变化不改变ESE热机功率，改变有效功率和效率的大小；当其他条件不变时，随着热漏的增加，ESE热机的有效功率和效率减少。（3）ESE热机的有效功率EP与能量宽度ΔE和过滤器通道的能量值下限E'取值密切相关。当能量宽度确定时，有效功率随能量间距的增加而先增加后快速减少；当过滤器通道的能量值下限确定时，有效功率随能量宽度的增加而先增加后趋于稳定；通过选取合适的ΔE和E'取值，能使ESE热机设计于最大有效功率点。