引言Curzon等人从理论上导出CA效率ηCA=1- TL/TH（TH、TL分别为高低温热源的温度），标志着有限时间热力学（FFT）的诞生。有限时间热力学是在一定约束条件下（时间和尺寸），降低系统的不可逆性，对实际热机系统性能进行优化。已有许多研究利用有限时间热力学理论进行了大量的实际热机试验[1-4]。在低温和微纳米尺度，必须考虑工质与系统的量子特性，基于有限时间热力学，可以研究各种量子循环模型的目标函数，从而优化运行区间[5-9]。实际的量子循环模型因受热阻[10-11]、热漏[12-16]、量子摩擦[17-20]等因素的影响，多为不可逆循环[21-22]。Acikkalp[23]等研究以㶲可持续性指数为目标函数的不可逆量子狄塞尔制冷循环。Satnam[24]等研究以一维无限深势阱中的粒子为工质的量子狄塞尔循环性能。He[25]等研究以量子气体为工质的量子狄塞尔制冷循环，分析工质的量子简并度对循环性能的影响。在文献[16]和文献[24]的基础上，建立一个二能级不可逆量子狄塞尔制冷循环，循环工质为一个囚禁于一维无限深方势阱中的粒子，考虑高低温热源间的热漏，导出该循环的制冷系数、无量纲制冷率，并对循环性能进行分析与优化。1一维无限深势阱中的量子热力学描述假设一个质量为m的粒子，被囚禁于宽度为L的一维无限深方势阱中，势能函数为U(x)。粒子的波函数满足定态薛定谔方程为：ℏ22md2ψ(x)dx2+Eψ(x)=0 (1)利用边界条件ψ(0)=ψ(L)=0，可以求出粒子的波函数和能量本征值：ψ(x)=∑n=1∞anφn(x) (2)En=π2ℏ2n22mL2, n=1,2,3,⋅⋅⋅ (3)计算式(2)中φn(x)为归一化的本征态波函数：φn(x)=2Lsin(nπxL), n=1,2,3,⋅⋅⋅ (4)系数an满足归一化条件：∑n=1∞|an|2=∑n=1∞pn=1 (5)式中：pn——概率密度，pn=an2。哈密顿量的期望值为：E=∑nEnpn (6)对计算式(6)求全微分可得：dE=∑n(pndEn+Endpn) (7)而在经典热力学中dU=dQ- dW，所以：dQ=∑nEndpn (8)dW=-∑npndEn (9)假设势阱壁沿x轴的位移为dL时，粒子的能量本征值与本征函数随之改变。定义作用在势阱壁上的力为：F=dWdL=-∑n=1∞π2ℏ2n2mL3pn (10)基于上述公式，可以对不可逆量子狄塞尔制冷循环性能进行相应的分析与研究。2量子狄塞尔制冷循环2.1循环描述本研究将建立一个不可逆量子狄塞尔制冷循环模型，被囚禁于一维无限深势阱中的粒子作为工质，并对其性能进行研究。在低温与微纳米尺度，由麦斯威尔-玻尔兹曼统计热力学可知：Ni=exp(-Ei/kT) (11)式中：Ni——粒子在状态i的平均粒子数；T——系统的平均温度，K；Ei——粒子在状态i的能量，J。与循环系统耦联的热源温度越低，粒子在高能级的占有率越小，因此本研究只讨论基态与第一激发态两个能级。量子狄塞尔制冷循环示意图如图1所示，循环由两个绝热过程（过程1-2和过程3-4）、一个等势阱宽度过程（过程2-3）和一个等压力过程组成（过程4-1）。这些过程与经典热力学中的等熵过程、等容过程和等压过程对应。考虑高低温热源间的热漏，所以该循环为不可逆循环。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.011.F001图1量子狄塞尔制冷循环量子狄塞尔制冷循环中粒子跃迁的能级模型如图2所示。假设粒子在态1处于基态，态1到态2是内部绝热过程，粒子处于基态。从态2到态3粒子经能量通道从外部低温热源等容吸热激发，粒子以不同的概率处于基态和第一激发态的能级上。态3到态4是内部绝热过程，粒子仍以相同的概率处于基态和第一激发态能级。态4到态1粒子经能量通道等压放热至外部高温热源，保持压力恒定跃迁回基态完成一个循环。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.011.F002图2粒子跃迁能级模型对于两能级系统(n=1,2)，将式(5)代入式(6)，可得：Ei=∑n=12|ain|2Ein=π2ℏ22mLi2(4- 3pi1) (12)式中：i=1，2，3，4分别对应图1中的状态1、状态2、状态3和状态4。在状态1和状态2的粒子处于基态，状态3到状态4时，粒子在各能级上的占有率不变，故p11=1，p12=0，p21=1，p22=0，p31=p41。因此粒子在4个状态(i=1,2,3,4)的哈密顿期望值为：E1=π2ℏ22mL12 (13)E2=π2ℏ22mL22 (14)E3=π2ℏ22mL22(4- 3p31) (15)E4=π2ℏ22mL42(4- 3p41) (16)若px1是过程1→2中L处粒子位于基态的占有率，则px1=p11=1，系统在过程1→2中的能量为：E12=π2ℏ22mL2 (17)若py1是过程3→4中L处粒子位于基态的占有率，则py1=p31，系统在3→4过程中的能量为：E34=π2ℏ22mL2(4- 3p31) (18)将式(17)和式(18)代入式(10)，得到过程1→2与3→4中的力分别为：F12=- π2ℏ2mL3 (19)F34=- π2ℏ2mL3(4- 3P31) (20)过程1→2为绝热膨胀过程，粒子在各个能级上的占有率未改变，即p11=p21=1，势阱壁从L1位移到L2，此过程的功为：W12=∫L1L2F12dL=- π2ℏ22m(1L22- 1L12)=- π2ℏ22mL42(1λ12- 1λ22) (21)式中：λ1——压缩比，λ1=L2/L41；λ2——截止比，λ2=L1/L41。过程2→3为等势阱宽度过程，此过程中势阱宽度保持不变，系统与外界没有功的交换，此过程系统从低温热源吸收的热量为：Qin=π2ℏ22mL22(3- 3p31)=π2ℏ22mL42(3- 3p31)1λ12 (22)过程3→4为绝热压缩过程，同理可得：W34=∫L3L4F34dL=- π2ℏ22mL42(4- 3p31)(1- 1λ12) (23)过程4→1为等压力过程：F1=F4 (24)即：(L4L1)3=1λ23=4- 3p31 (25)由式(25)可知：0.25λ231，所以λ2∈(0.63,1)。此过程外界对系统所做的功为：W41=∫L4L1FdL=π2ℏ2mL43(L1- L4)(4- 3p31)=π2ℏ2mL42(4- 3p31)(λ2- 1) (26)内能的变化量为：ΔU41=π2ℏ22mL12- π2ℏ22mL42(4- 3p31) (27)由热力学第一定律，该过程系统向高温热源释放的热量为：Qout=ΔU+W=π2ℏ22mL42[(4- 3p31)(2λ2- 3)+1λ22] (28)考虑高低温热源间的热漏，决定热漏率的公式为：Qr•=π2ℏ22mL42α (29)式中：α——热漏系数。量子系统弛豫时间的数量级为ℏ/E，假设势阱壁移动的平均速率为v¯，循环周期为τ，循环中势阱壁移动路程的总和为L=2(L2- L1)，如果τ=L/ v¯≪ℏ/E，可以认为系统状态变化无限缓慢，循环过程可视为准静态过程[26]。所以循环周期为：τ=2(L2- L1)v¯ (30)该循环每循环的热漏量为：Qr=Qr•τ=π2ℏ2mL42(L2- L1)αv¯=π2ℏ2mL42αL4(λ1- λ2)v¯ (31)由于热漏的存在，系统向高温热源释放的实际热量Qh和从低温热源吸收的实际热量Qc分别为：Qh=|Qout|- Qr=|π2ℏ22mL42[(4- 3p31)(2λ2- 3)+1λ22]|- Qr (32)Qc=Qin- Qr=π2ℏ22mL42(3- 3p31)1λ12- Qr (33)2.2循环性能参数由式(31)、式(32)和式(33)可得循环的输入功W=Qh- Qc为：W=π2ℏ22mL421+3λ12λ2- 3λ12- λ23λ12λ23 (34)由式(31)、式(33)和式(34)可得该量子狄塞尔制冷循环的制冷系数为：ε=Qc|W|=1- λ23- 2αL4v¯(λ1- λ2)λ12λ233λ12+λ23- 3λ12λ2- 1 (35)由式(30)、式(31)和式(33)可得该循环的制冷率为：R=Qcτ=π2ℏ22mL42[1- λ232L4v¯λ12λ23(λ1- λ2)- α] (36)无量纲制冷率R*=R/π2ℏ22mL42，为：R*=1- λ232L4v¯λ12λ23(λ1- λ2)- α (37)3量子狄塞尔制冷循环性能分析由式(35)可知，若给定热漏系数α，则循环的制冷系数是压缩比λ1与截止比λ2的函数。本研究讨论性能参数与截止比、压缩比、热漏系数间的关系，为进行数值计算，令α=0.01，2L4/ v¯=1，可以绘制冷系数关于压缩比和截止比的关系曲线，如图3所示。对于给定的压缩比λ1，绘出制冷系数ε随截止比λ2变化的关系曲线如图4所示。由图4可知，制冷系数与截止比之间的关系曲线属于类抛物线型。令dε/dλ2=0，求出最佳制冷系数以及与最佳制冷系数εmax对应的λ2。当截止比λ2一定时，压缩比λ1越小，制冷系数越大。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.011.F003图3制冷系数与压缩比和截止比的关系10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.011.F004图4不同λ1下，制冷系数与截止比的关系由式(37)可以绘出无量纲制冷率随压缩比λ1与截止比λ2的变化关系曲线，如图5所示。当压缩比λ1给定时，绘出无量纲制冷率随截止比的变化关系曲线如图6所示。由图6可知，无量纲制冷率与截止比λ2的关系曲线为单调递减曲线。当压缩比λ1给定时，无量纲制冷率随截止比λ2的增大而减小。同时还可看出，当截止比一定时，压缩比越小，无量纲制冷率越大。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.011.F005图5无量纲制冷率关于压缩比与截止比之间的关系10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.011.F006图6不同λ1下，无量纲制冷率与截止比的关系由式(35)与式(37)可以绘制压缩比λ1对制冷系数ε与无量纲制冷率R*的关系曲线，如图7所示。令α=0.01，2L4/ v¯=1，当热漏系数与压缩比一定时，制冷系数与无量纲制冷率的关系曲线是类抛物线型。令dε/dR*=0，可以求出最佳制冷系数以及与最佳制冷系数εmax对应的R*。另外还可看出，无量纲制冷率R*一定时，压缩比λ1越小，制冷系数越大。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.011.F007图7压缩比对制冷系数与无量纲制冷率的影响同理由式(35)与式(37)可以绘出热漏系数α对制冷系数ε与无量纲制冷率R*的关系曲线，如图8所示。令压缩比λ1=1.4，2L4/ v¯=1，当压缩比与热漏系数一定时，制冷系数与无量纲制冷率的关系曲线是类抛物线型。令dε/dR*=0，可以求出最佳制冷系数以及与最佳制冷系数εmax对应的R*。当无量纲制冷率一定时，热漏系数越小，制冷系数越大。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.011.F008图8热漏系数对制冷系数与无量纲制冷率的影响4结语本研究基于有限时间热力学与薛定谔方程，研究的不可逆量子狄塞尔制冷循环模型的工质为一个囚禁于一维无限深方势阱中的粒子，推导出制冷系数、无量纲制冷率的表达式，分析截止比、压缩比与热漏系数对性能参数的影响。通过分析得出如下结论：（1）制冷系数与截止比的关系曲线为类抛物线型，存在一个最佳截止比，使循环的制冷系数取极大值；当截止比一定时，压缩比越小，制冷系数越大。（2）无量纲制冷率与截止比的关系曲线为单调递减曲线，当压缩比给定时，无量纲制冷率随截止比的增大而减小。当截止比一定时，压缩比越小，无量纲制冷率越大。（3）当热漏系数与压缩比一定时，制冷系数与无量纲制冷率的关系曲线是类抛物线型，存在一个最佳的无量纲制冷率，使制冷系数取极大值。无量纲制冷率一定时，压缩比越小，制冷系数越大；热漏系数越小，制冷系数越大。研究结果对以一维无限深方势阱中的粒子为工质的不可逆量子狄塞尔制冷循环的设计有一定的理论参考价值。