引言锂离子电池（简称锂电池）具有能量密度高、循环寿命长、无记忆效应、绿色环保等优点，为新一代储能电源[1-2]。但锂电池的耐过充、过放能力有限，还存在热失控等安全问题[3]，必须建立完善的电池管理系统(BMS)，实时监控锂电池状态。电池管理系统核心功能为电池荷电状态(SOC)估计，较为准确的电池模型是后续在算法上提高电池荷电状态估计精度的基础。合适的等效电路不仅能很好地反映电池工作状态，还要考虑实现过程中的复杂程度。考虑动力电池复杂的使用工况，导致电化学模型的复杂度相对较高。使用较多的模型作为等效电路模型，不仅能概括性地表述电池内部化学反应，而且能够精确模拟电池外部动态响应。锂电池的等效电路包括Rint模型、Thevenin模型、PNGV模型等。Rint模型简单易实现，但未考虑锂电池的极化效应误差大；Thevenin模型是在Rint模型中串入RC回路构成，能较好地反映电池的静态、动态特性，计算量适中；PNGV模型在一阶RC回路中增加一个电容，更好地反映锂电池的电压特性，精度较高[4]。Windarko[5]等选择使用一阶RC等效电路模型结合卡尔曼滤波算法，对铅酸电池的荷电状态估计方法进行研究。本研究在谢旺[6]的研究基础上，考虑温度对荷电状态以及电池特性的影响，在一阶Thevenin等效电路的基础上增加一个RC回路，并通过修订后的HPPC测试实现模型参数辨识，精确度相比一阶电路更高，在放电过程中体现更为明显。1锂电池的二阶RC回路的等效电路研究采用二阶Thevenin等效电路（见图1）。R0为欧姆内阻，表征锂电池电极材料的电属性；R1和R2表示极化电阻；C1和C2表示极化电容。极化阻抗用于表征电池的极化效应，该模型结构较为简单，同时也考虑电池的动态效应。UL为锂电池端电压，可以直接测量获取。OCV为锂电池静置数小时后的端电压，电池内部无放电电流，此时电池达到平衡状态。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.F001图1二阶Thevenin等效电路根据基尔霍夫电压定律(KVL)得到公式：-OCV+I1R0+U1+U2+UL=0 (1)I1=U1R1+C1dU1dt (2)I1=U2R2+C2dU2dt (3)由电路原理知识可知，电容C1和C2为非线性元件，两端电压不能突变。电阻R0、R1和R2为线性元件，两端的电压能够产生阶跃。根据松下NCR18650B动力锂电池技术手册得到基本的参数如表1所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.T001表1NCR18650B锂电池主要参数参数数值充电电流/A1.62充电电压/V4.2截至电压/V2.5额定容量/mAh3 350锂电池在工作时内部发生了一系列复杂的化学反应。根据吉布斯自由能公式可得[7]，工作环境的温度对化学反应程度影响较大。G=H- T·S (4)式中：G——吉布斯自由能，kJ/mol；H——焓，J；T——绝对温度，℃；S——熵，J/(mol·K)。放电电流的大小对锂电池的容量产生巨大影响，也与环境温度有关[6]。综合比较前人的试验数据[1]，为保证电池安全、可用容量较大，恒温箱内保持25 ℃[8]、1 A放电电流条件下，确定锂电池的容量。将锂电池置于25 ℃恒温箱中静置1 h后开始试验，试验过程均采用恒流放电。通过ITECH可编程直流负载IT8812C，以1 A放电电流对锂电池放电，直至到达放电截至电压2.5 V。利用KEITHLEY可编程直流电源2260B对锂电池进行恒流恒压充电直至充满电（恒流充电至端电压为4.2 V时，采用恒压充电，充电时间为4 h），然后静置1 h。以1 A电流对锂电池放电，直至端电压达到放电截至电压，试验结束。试验流程如图2所示，为获得更加准确的锂电池容量，进行3次重复试验并取平均值，结果如表2所示。由试验结果可知，在25 ℃的恒温箱中，以1 A电流进行放电，NCR18650B锂电池的平均容量为3.260 3 Ah。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.F002图2恒流放电流程10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.T002表2实际容量测试结果次数放电时间/s容量/Ah平均—3.260 3111 6353.231 9211 7953.276 4311 7813.272 52锂电池等效电路参数的辨识2.1完整参数辨识流程确定锂电池等效电路参数的辨识借鉴美国能源环境研究所《FreedomCAR功率辅助型混合电动车电池的测试手册》中的HPPC（Hybird Pulse Power Characterization）测试。HPPC测试在允许的电压范围内，使用包括放电和充电脉冲的测试制度，如图3所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.F003图3HPPC测试制度规定电流正值为放电电流，电流负值为充电电流，放电、静置、充电时间比为10∶40∶10，在不影响辨识结果的前提下进行修订。通过分析可知，二阶Thevnin等效电路模型在放电、静置过程中体现的零状态、零输入已经能够辨识不同状态下的阻抗参数，故本研究去除充电10 s的环节，采用放电、静置时间比为10∶40的时序进行锂电池参数辨识[9]，SOC在1~0.9、0.1~0期间采用恒流电，不加入修订后的HPPC测试。为了保证电池容量的统一性，采用放电电流（1 A,0.3 C）进行测试。本研究设计完整的参数辨识流程（25 ℃）：（1）完全放电至放电截止电压；（2）采用恒流恒压充电后，静置1 h（电池容量3.260 3 Ah）；（3）放电10%容量（0.326 03 Ah），以1 A恒定电流放电1 173.708 s后，静置1 h，测得OCV；（4）以1A(0.3 C)电流放电10 s，静置40 s；（5）以1A（0.3 C）电流放电1 163.708 s，静置1 h并记录开路电压10%容量；（6）重复步骤4，放出90%DOD，采用1 C放电至截至电压2.5 V，停止试验。试验流程如图4所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.F004图4完整测试流程2.2欧姆内阻的确定Thevenin等效电路由一个电阻与两个RC回路串联构成。由电容两端电压连续，即电压不能产生突变可得，当电流流经等效电路的瞬间，端电压产生突变，借此可以辨识欧姆内阻。以SOC=0.5为例，放电、静置时期端电压图像如图5所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.F005图5放电、静置时期端电压图像1-2段为电流产生瞬间突变过程，3-4段为电流消失瞬间电压突变过程。为保证测量数据的准确性，对此过程求均值[10]，计算如下：R0=U1- U2+(U4- U3)2·I (5)放电电流为1 A，由式(5)可得，在不同SOC下欧姆阻抗的取值，如图6所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.F006图6不同SOC下的欧姆内阻2.3极化阻抗的辨识由图5可知，当电池处于静置时期（4-5段），此时电池中电流I=0，欧姆内阻上的电压U0=0，利用10 s放电（对应2-3段）对两个极化电容进行充电。故在静置时期发生零输入响应。锂电池极化阻抗的辨识通过电池在放电、静置时期表现出各自不同的电气特性确定。锂电池参数辨识流程如图7所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.F007图7锂电池参数辨识流程2.3.1时间常数τ1、τ2的确定由式(2)、式(3)可得：dU1dt=I1C1- U1C1R1 (6)dU2dt=I1C2- U2C2R2 (7)求解此一阶线性非齐次微分方程可得：U1t=U10e-tτ1+I1R1(1- e-tτ1) (8)U2t=U20e-tτ2+I1R2(1- e-tτ2) (9)式中：U1(0)、U2(0)——电容两侧初始电压，τ=RC。将式(8)、式(9)代入式(1)，静置时电流为0，可得：UL=OCV- U01e-tτ1- U02e-tτ2 (10)根据式(10)构造自定义拟合函数：y=A- B∙e-tC- D∙e-tE (11)采用最小二乘法，通过Origin绘图软件中的非线性曲线拟合，得到不同SOC状态下的各个系数。借助此方法得到两个RC回路各自的时间常数τ1、τ2。具体如表3所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.T003表3τ1、τ2-SOCSOC0.90.80.70.60.50.40.30.20.1τ11.782 719.278 02.504 325.529 02.380 32.353 722.807 02.176 91.123 8τ217.072 921.910 6824.430 002.299 3023.773 0024.712 002.045 1022.174 0025.302 002.3.2极化阻抗的确定由图5可知，2-3段的电流流经回路，电流对电容进行充电，即发生零状态响应。由式(1)、式(8)、式(9)可得：UL=OCV- I1R11- e-tτ1+R21- e-tτ2- I1R0 (12)根据式(12)构造自定义拟合函数：y=A- BC∙1- e-tD+E∙1- e-tF- B∙G (13)与辨识过程相似，利用之前得到的时间常数τ1、τ2，OCV作为初值进行迭代，得到不同SOC下的极化电阻R1、R2，结果如图8所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.F008图8R1、R2-SOC利用时间常数τ=RC，得到各自对应的极化电容C1、C2，结果如图9所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.F009图9C1、C2-SOC2.3.3开路电压的确定开路电压无法直接获取，需要找到开路电压与SOC存在的关系，从而确定在不同放电阶段的OCV。由于电池极化效应的存在，25 ℃下每次放出等电荷量时进行1 h静置，使其达到平衡状态，测量锂电池两端电压，结果如图10所示。在放电初期与结束之前，锂电池的开路电压变化幅度较大。根据Dong[11]等提出的在不同温度、不同SOC下开路电压的模型，计算如下：OCV=a1+a2∙SOC+a3∙SOC2+a4SOC+a5∙lnSOC+a6∙ln(1- SOC) (14)式中：a1、a2、a3、a4、a5、a6——拟合函数，对式(14)进行拟合，得到各项数值如表4所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.F010图10OCV-SOC10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.T004表4OCV系数系数数值a11.338 99a24.047 08a3-0.125 39a4-0.252 55a5-1.644 44a60.328 00通过开路电压的测量确定电池荷电状态，但由于需要较长时间静置以消除极化效应，因此无法适用于频繁大电流充放电的工况。数据的采集采用KEITHLEY 2100 1/2数字万用表。进行HPPC测试时，电压表采集周期选择25 ms；恒流放电时采集周期500 ms；锂电池静置时期，采集周期为1 000 ms。锂电池充满电后，按照修订后的HPPC测试制度进行放电试验，直至到达放电截至电压试验结束。完整放电图像如图11所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.F011图11完整测试图3仿真与验证为了能够通过等效电路准确复现电池使用过程中的动态变化特性，对锂电池建模并进行参数辨识[12-13]，本研究根据试验测试结果确定二阶RC等效电路的各个参数。为了验证参数的准确性，根据得到的数据构造模型，模拟与试验相同的工作条件，比较试验结果、仿真端电压值。参考Math Works设计的仿真模型进行修改，如图12所示。选择在SOC=0.5的参数进行校验，采用受控电流源控制负载电流与时序，利用To Workspace导出仿真数据。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.F012图12锂电池二阶Thevenin仿真图在相同工作条件下，以试验测量值为基准，得到端电压误差分析如图13所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.04.010.F013图13端电压误差分析二阶RC模型精确度优于一阶RC模型，为后续使用拓展卡尔曼滤波进行电池电荷状态估计打下良好基础。由试验分析可得，二阶Thevenin等效电路在放电过程中，端电压相对误差小于0.01 V；在静置条件下，相对误差小于0.12 V，能较精准描述锂电池的动态特性。4基于EFK算法的电池荷电量估计传统卡尔曼滤波算法估计对象通常是线性系统，而通过建立模型、充放电试验可知，锂电池具有很强的非线性。扩展卡尔曼滤波（EFK）就是基于传统卡尔曼滤波提出的针对非线性系统改进方法，通过泰勒展开，忽略二阶及以上项，得到一个近似线性时变系统，最后对线性系统应用SFK。对二阶RC模型的连续空间表达式进行离散化，得到离散状态空间方程如下：SOCk+1U1,k+1U2,k+1=1000e-Tτ1000e-Tτ2SOCkU1,kU2,k+-η⋅TCapR1(1- e-Tτ1)R2(1- e-Tτ2)⋅Ik (15)UL,k+1=OCVk+1- U1,k+1- U2,k+1- I⋅R0,k+1 (16)式中：T——采用周期；k——系统第k次采集数据。式(15)、式(16)中的参数在锂电池运行过程中随电池荷电量、周围环境变化而变化，阻抗参数的精度决定SOC在线估计的精度。由式(14)得到不同SOC下，开路电压值与RC回路的电压值结合，进而得到卡尔曼滤波器中的观测方程UL。目前绝大多数SOC估计采用的模型为离线参数辨识所得的固定工况下的参数，严重限制和影响SOC估计的精度。5结语本研究在考虑温度的影响下通过试验得到不同荷电状态下Thevenin等效电路的各个阻抗值。与一阶Thevenin等效电路相比，二阶Thevenin等效电路更准确地体现锂电池的电化学极化效应和浓差极化效应。试验表明，放电过程中电化学极化响应快于浓差极化响应，等效电路电压相对误差小于0.01 V。由安时积分法可得不同时刻锂电池的荷电状态，经扩展卡尔曼滤波后的最大相对误差为3.1%，扩展卡尔曼滤波算法具有较高的精度与稳定性。