引言有限时间热力学（FTT）理论[1-2]在分析和优化热力过程和循环性能过程中发挥重要作用。Dual-Miller循环（DMC）的吸热过程与Dual循环相似，放热过程与Miller循环相似，同时具有Dual循环高输出功率和Miller循环高效率、低排放的特点，吸引了一些学者对其性能进行热力学优化。Gonca[3]等研究具有内不可逆性损失的空气标准不可逆DMC的功率和热效率。Gonca[4]等分析传热和内不可逆性损失对不可逆DMC的功率和效率性能的影响。Ust[5]等考虑循环内部和外部的不可逆性损失，优化了闭式不可逆DMC的性能系数和输出特性。Gonca[6]等考虑热阻损失和内部不可逆性损失，研究不同设计参数对循环性能的影响。Wu[7]等、吴志祥[8-9]等分别建立工质恒比热[7]、线性变比热比[8]和非线性变比热比[9]时的空气标准不可逆DMC模型，研究设计参数对循环性能参数的影响。吴志祥[10]等、Wu[11]等建立了基于有限活塞速度的闭式DMC模型，研究不同过程的活塞速度对循环功率、效率和生态学函数等性能的影响。除了功率和热效率，Sahin[12-13]等提出功率密度的概念，并以其为新的优化目标，对可逆和不可逆Joule-Brayton循环进行研究。结果表明，最大功率密度准则条件下的热效率高于最大功率准则条件下的热效率，且最大功率密度准则条件下的热机尺寸更小。Chen[14]等将功率密度引入内燃机循环研究过程，分析以最大功率密度为优化目标时可逆Atkinson循环的最优性能，将结果与以最大功率为优化目标时的结果进行对比。郑军林[15]等导出闭式Brayton循环的功率密度表达式，分析功率密度目标函数对循环性能的影响。Sinha[16]等对具有内部不可逆性损失的太阳能驱动热机进行最大功率密度优化，得到不同参数对循环性能的影响规律。Karakurt[17]等基于最大功率密度准则对简单S-CO2-Brayton循环进行性能分析，将其与最大功率准则条件下的性能进行对比，发现最大功率密度准则条件下的循环输出性能更好。施双双[18]等对空气标准不可逆Dual循环功率密度进行了研究，并对循环进行了多目标性能优化。在文献[11]建立的内可逆DMC模型基础上，进一步导出DMC的Pd表达式，分析循环τ、EH1、EH2、EL1和EL2对P¯d-ρ和P¯d-η曲线特性的影响，比较最大功率密度准则和最大功率准则条件下的循环性能的异同点。1DMC循环模型和性能分析建立考虑热阻损失的恒温热源内可逆闭式DMC模型，分析P-v和T-s关系。DMC模型关系曲线如图1所示。过程1→2为等熵压缩过程，过程2→3为定容吸热过程，过程3→4为定压吸热过程，过程4→5为等熵膨胀过程，过程5→6为定容放热过程，过程6→1为定压放热过程。TH、TL分别为高、低温热源的温度。图1DMC模型关系曲线10.3969/j.issn.1004-7948.2022.11.007.F1a1（a）P-v关系曲线10.3969/j.issn.1004-7948.2022.11.007.F1a2（b）T-s关系曲线循环工质的吸热率为：Q˙H1=UH1(TH-T2)-(TH-T3)ln[(TH-T2)/(TH-T3)]=m˙Cv(T3-T2)=m˙CvEH1(TH-T2) (1)Q˙H2=UH2(TH-T3)-(TH-T4)ln[(TH-T3)/(TH-T4)]=m˙Cp(T4-T3)=m˙CpEH2(TH-T3) (2)循环工质的放热率为：Q˙L1=UL1(T6-TL)-(T1-TL)ln[(T6-TL)/(T1-TL)]=m˙Cp(T6-T1)=m˙CpEL1(T6-TL) (3)Q˙L2=UL2(T5-TL)-(T6-TL)ln[(T5-TL)/(T6-TL)]=m˙Cp(T5-T6)=m˙CpEL2(T5-TL) (4)式中：Cv——定容比热；Cp——定压比热；UH1、UH2、UL1和UL2——工质与热源间的热导率；EH1、EH2、EL1和EL2——换热器的有效度。EH1=1-exp(-NH1) (5)EH2=1-exp(-NH2) (6)EL1=1-exp(-NL1) (7)EL2=1-exp(-NL2) (8)式中：NH1和NH2——高温侧换热器的传热单元数；NL1和NL2——低温侧换热器的传热单元数。NH1=UH1/m˙Cv (9)NH2=UH2/m˙Cp (10)NL1=UL1/m˙Cp (11)NL2=UL2/m˙Cv (12)循环总吸热率Q˙H和循环总放热率Q˙L分别为：Q˙H=Q˙H1+Q˙H2 (13)Q˙L=Q˙L1+Q˙L2 (14)由式(1)~式(4)得：T1=EL1TL+(1-EL1)EL2TL+(1-EL1)(1-EL2)T5 (15)T3=EH1TH+(1-EH1)T2 (16)T4=EH2TH+(1-EH2)EH1TH+(1-EH1)(1-EH2)T2 (17)T6=EL2TL+(1-EL2)T5 (18)循环预胀比(ρ)和Miller循环比(rM)分别为：ρ=V4/V3=T4/T3 (19)rM=V6/V1=T6/T1 (20)由热力学第二定律，经过一个可逆循环过程，工质的熵变为：ΔS=[Cvln(T3/T2)+Cpln(T4/T3)]-[Cvln(T5/T6)+Cpln(T6/T1)]=0 (21)由式(21)可得循环各状态点的温度关系式为：T1kT4k=T2T5T3k-1T6k-1 (22)由式(16)、式(19)和式(21)可得T2关于T5的表达式为：T2=EH1THρ-kT1-kT5T6k-1-(1-EH1)=f1(T5) (23)由式(18)、式(20)和式(21)可得T5关于T2的表达式为：T5=EL2THrMkT2T3k-1T4-k-(1-EL2)=f2(T2) (24)循环的输出功率为：P=Q˙H-Q˙L=m˙Cv[EH1(TH-T2)+kEH2(TH-T3)-kEL1(T6-TL)-EL2(T5-TL)]=m˙Cv{[kEH2(1-EH1)+EH1](TH-T2)-[kEL1(1-EL2)+EL2](T5-TL)} (25)循环的热效率为：η=P/Q˙H=1-kEL1(T6-TL)+EL2(T5-TL)EH1(TH-T2)+kEH2(TH-T3)=1-[kEL1(1-EL2)+EL2](T5-TL)[kEH2(1-EH1)+EH1](TH-T2) (26)由文献[17]，DMC的功率密度表达式为：Pd=P/vmax=P/v6 (27)将循环的功率无因次化：P¯=P/m˙CvTL，功率密度无因次化：P¯d=Pd/(m˙CvTL/v1)，可以得到循环无因次功率和无因次功率密度表达式分别为：P¯=[kEH2(1-EH1)+EH1](τ-T2)-[kEL1(1-EL2)+EL2](T5/TL-1) (28)P¯d=(1/rM){[kEH2(1-EH1)+EH1](τ-T2)-[kEL1(1-EL2)+EL2](T5/TL-1)} (29)式中：τ——循环热源温比，τ=TH/TL。给定预胀比(ρ)或Miller循环比(rM)时，由式(16)和式(17)可得T2，由式(11)和式(14)可得T5；由式(15)~式(18)和式(24)（式(23)）可得T1、T3、T4、T6和T5（T2）。将每个状态点的温度代入式(26)、式(8)和式(29)可得内可逆闭式DMC的效率(η)、无因次功率(P¯)和无因次功率密度(P¯d)。2DMC特例分析特定条件下，DMC可以被简化为特例循环，式(26)、式(28)和式(29)分别被简化为特例循环的η、P¯和P¯d表达式。（1）T6=T1时，DMC被简化为Dual循环。（2）T3=T4时，DMC被简化为Miller循环。（3）T5=T6时，DMC被简化为Dual-Atkinson循环。（4）T2=T3时，DMC被简化为Diesel-Miller循环。（5）T6=T1且T2=T3时，DMC被简化为Diesel循环。（6）T6=T1且T3=T4时，DMC被简化为Otto循环。（7）T2=T3且T5=T6时，DMC被简化为Diesel-Atkinson循环。（8）T3=T4且T5=T6时，DMC被简化为Otto-Atkinson循环。3数值算例根据文献[11]进行数值计算，取TL=300 K，τ=2.6，EH1=EH2=EL1=EL2=0.25，k=1.4，ρ=1.0~1.2，m˙=1 mol/s，Cv=20.78 J/(mol·K)。τ对P¯d-ρ和P¯d-η性能的影响如图2、图3所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.11.007.F002图2τ对P¯d-ρ性能的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2022.11.007.F003图3τ对P¯d-η性能的影响由图2可知，(P¯d)max对应一个ρP¯d，随着τ增大，(P¯d)max和ρP¯d均增大。τ从2.0增大至2.6时，(P¯d)max从0.055 0增大至0.126 7，增大了129%，ρP¯d从1.041增大至1.057，增大了1.53%。由图3可知，(P¯d)max对应一个ηP¯d，随着τ增大，ηP¯d增大。τ从2.0增大至2.6时，ηP¯d从0.299增大至0.397，增大了32.8%。EH1、EH2、EL1和EL2对P¯d-ρ和P¯d-η性能的影响如图4、图5所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.11.007.F004图4EH1、EH2、EL1和EL2对P¯d-ρ性能的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2022.11.007.F005图5EH1、EH2、EL1和EL2对P¯d-η性能的影响由图4可知，随着EH1、EH2、EL1和EL2增大，(P¯d)max和ρP¯d均增大。EH1、EH2、EL1和EL2从0.25增大至0.35，(P¯d)max从0.126 7增大至0.179 4，增大了41.6%，ρP¯d从1.057增大至1.075，增大了1.7%。由图5可知，随着EH1、EH2、EL1和EL2增大，(P¯d)max时的ηP¯d增大。EH1、EH2、EL1和EL2从0.25增大至0.35，ηP¯d从0.397增大至0.402，增大了1.2%。τ对ηP¯d和ηP¯的影响如图6所示。EH1、EH2、EL1和EL2对ηP¯d和ηP¯的影响如图7所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.11.007.F006图6τ对ηP¯d和ηP¯的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2022.11.007.F007图7EH1、EH2、EL1和EL2对ηP¯d和ηP¯的影响由图6和图7可知，随着τ增加，ηP¯d和ηP¯均增加，且ηPd¯ηP¯；随着EH1、EH2、EL1和EL2增加，ηPd¯增加，ηP¯保持不变。τ对(v6/v1)Pd¯和(v6/v1)P¯的影响如图8所示。EH1、EH2、EL1和EL2对(v6/v1)Pd¯和(v6/v1)P¯的影响如图9所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.11.007.F008图8τ对(v6/v1)P¯d和(v6/v1)P¯的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2022.11.007.F009图9EH1、EH2、EL1和EL2对(v6/v1)P¯d和(v6/v1)P¯的影响由图8、图9可知，随着τ、EH1、EH2、EL1和EL2增加，(v6/v1)Pd¯和(v6/v1)P¯均增加，且(v6/v1)Pd¯(v6/v1)P¯。最大功率密度准则条件下，循环的热效率更高，发动机的尺寸更小。EH1=EH2=EL1=EL2=0.25且τ=2.6时，η对P¯/P¯max和P¯d/(P¯d)max的影响。(P¯d)max对应的效率ηP¯d大于P¯max时对应的效率ηP¯。η对P¯d/(P¯d)max和P¯/P¯max的影响如图10所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.11.007.F010图10η对P¯d/(P¯d)max和P¯/P¯max的影响4结语（1）DMC的P¯d-ρ和P¯d-η关系曲线均呈类抛物线形。（2）随着τ、EH1、EH2、EL1和EL2增加，(P¯d)max时的ρP¯d与ηP¯d均增加。（3）与最大功率准则相比，最大功率密度准则下设计的发动机尺寸更小、效率更高。