1GNSS测速的数学模型1.1Doppler测速GNSS接收机与卫星之前存在相对运动时，接收的载波相位频率与卫星发射的频率之前存在差异，即多普勒频移，其表示载波相位的瞬时变化率。Doppler观测方程可表示为：λDik=ρ˙ike⃗i+cδt˙i-δt˙k+I˙ik+T˙ik+εik （1）式中：“·”——微分算子；i——接收机索引；k——卫星索引；λ——Doppler频移观测值D对应的载波波长；ρ——卫星与接收机之间的距离；e⃗i——卫星接收机之间的实现向量；δt˙i和δt˙k分——接收机钟差和卫星钟差；I˙ik——电离层延迟的变化率；T˙ik——对流层延迟的变化率；εik——Doppler的测量噪声。表达省略历元索引，对式（1）线性化，可得到Doppler测速的误差方程式如下：λDik-cδt˙i-δt˙k-I˙ik+T˙ik=vdop,e⃗i （2）式中：vdop——Doppler所测定的瞬时速度。1.2TDCP测速对相邻历元间的载波相位求差，可消除或削弱各项共模误差，包括电离层延迟、对流层延迟等。假定相邻历元t1、t2处不存在周跳，则TDCP的观测方程可表达为：λΔφi(t1,t2)k=Δρi(t1,t2)ke⃗i(t1,t2)+c(δt˙i(t1,t2)-δt˙(t1,t2)k)-ΔIi(t1,t2)k+[ΔTki(t1,t2)+Δξ]                         （3）式中：Δ——差分算子；Δρi(t1,t2)ke⃗i(t1,t2)——相邻历元间的卫地距的变化。其他项的含义与上述一致，表达式如下：Δρit1,t2ke⃗it1,t2=et2,Rt2-et1,Rt1-et2,rt2+et1,rt1 （4）式中：R——卫星位置；r——接收机位置；(a,b)——向量a和b的内积。对上述方程线性化，可得出TDCP测速的误差方程式：Δρit1,t2ke⃗it1,t2=-et2,vtdcpΔt+et2,Rt2-rt1-et1,Rt1-rt1 （5）式中：vtdcp——载体在相邻历元间的平均速度；Δt——历元间隔；由历元间位移增量vtdcpΔt求取载体的速度仅是历元间的平均速度，在历元间隔较大或者载体动态性较强时，其估计精度将会显著下降。1.3GNSS TDCP/Doppler组合测速针对上述TDCP观测值和Doppler观测值，本文采用高度角模型合理确定两种观测值之间的权值，其定权策略如下：σ=a2+b2sin2Elv （6）式中：Elv——卫星的高度角；a、b——定权的精度等级因子，其取值如表1所示。10.3969/j.issn.2096-1936.2021.03.024.T001表1卫星高度角定权的精度等级因子取值观测值ab载波相位/mm32Doppler/(mm/s)103为了使测速中Doppler观测值和TDCP观测值优势互补，将式（2）与式（5）联立，组成TDCP/Doppler组合测速模型，写成矩阵形式如下：v=BX-LB=-e1x-e1y-e1z1-e2x-e2y-e2z1⋮⋮⋮⋮-enx-eny-enz1；X=VxVyVzδt （7）式中：X——待估参数向量，即每一历元处载体的瞬时速度；v——TDCP和Doppler的观测值残差。对式（7）进行最小二乘估计，可求得载体的瞬时速度。2试验分析试验数据采集于中国矿业大学南湖校区，采集时间为2019年3月28日，由一辆汽车搭载Novatel R10 GNSS 接收机，运动轨迹为绕南湖校区转圈。GNSS观测数据的采样间隔为1 s，共计2 359个历元，本文仅采用GPS观测值进行验证，在观测时段内天空中始终可保持6~10个可见卫星。由于道路两侧的轻微遮挡，将截止高度角设为10° 。为了提供高精度的速度参考真值，汽车上安装了Novatel SPAN CPT惯性导航系统。惯导数据采样率100 Hz，本文利用Inertial Explorer（IE）解算GNSS/INS组合导航数据作为速度的参考真值。100 Hz的参考速度可看作是车辆的瞬时速度，车辆在起步之前，经历了大约600个历元的静止，在启动后即便车辆的运动速度仅维持在-6~6 m/s范围内，但车辆的动态性很强，是由于在数据采集过程中，车辆经历了加速、刹车和转弯等运动状态的变化。试验对比TDCP测速、Doppler测速和TDCP/Doppler测速等三种测速方案的精度，不失一般性，在地心地固系下展示测速结果。三种测速方案在X、Y和Z三个方向上的测速误差序列如图1所示。10.3969/j.issn.2096-1936.2021.03.024.F001图1三种方法的速度测量误差由图1可以看出，三种测速方法在动态情况下均可维持在分米级的精度水平，在静态情况下TDCP测速可达毫米级，其余两种方法可获取厘米级的精度。其次，本文提出的TDCP/Doppler组合测速方案，显著优于其他任意一种测速方案的精度，这种优势在车辆运动的情况下较为明显，这是由于在载体动态情况下，TDCP求取的平均速度相比瞬时速度存在较大的偏差，Doppler观测值针对这种平均速度信息引入了瞬时信息，二者优势互补，提高了速度测量精度。此外，在车辆静止时本文提出的TDCP/Doppler测速精度略逊于TDCP测速，优于Doppler测速，这是由于静止状态下，针对TDCP测速而言，其平均速度即为瞬时速度，且TDCP的测量噪声相Doppler小得多，引入观测噪声更大Doppler观测值会降低测速精度。三种测速方法精度统计如表2所示。10.3969/j.issn.2096-1936.2021.03.024.T002表2三种测速方法精度统计分量方法最大值最小值均方根标准差XTDCP54.2-34.657.457.4Doppler48.5-37.661.662.0TDCP/Doppler32.5-24.634.234.2YTDCP32.4-56.852.352.3Doppler45.068.064.965.3TDCP/Doppler18.6-13.827.627.6ZTDCP66.7-37.261.661.6Doppler45.6-32.257.858.1TDCP/Doppler25.6-16.331.031.0mm表2统计了三种测速方案误差的最大值、最小值、均方根和标准差。由于TDCP、TDCP/Doppler测速误差近似服从正态分布，其误差的均值为0，两种测速方案的均方根和标准差在四舍五入后是一致的。由表2可知，针对四项精度指标提出的TDCP/Doppler测速均明显优于传统的TDCP测速和Doppler测速。对测速误差的均方根在X、Y、Z三个方向上，TDCP/Doppler测速相比TDCP测速分别提升40%、47%、50%，TDCP/Doppler测速相比Doppler测分别提升44%、57%、46%，提升效果较为显著。3结语TDCP测量噪声小，但存在较大的平均速度与瞬时速度的偏差；Doppler可直接测得载体的瞬时速度，但测量噪声较大。为了发挥TDCP和Doppler观测值的优点，本文提出组合TDCP和Doppler观测值进行GNSS速度测量。通过实测车载1 s采样的GPS数据进行验证，得出如下结论：（1）在静态情况下，TDCP测速仅受载波相位观测噪声的影响，测速精度可以达到毫米级；Doppler测速、TDCP/Doppler测速精度受Doppler观测噪声的支配，可达到厘米级。（2）在动态情况下，TDCP测速、Doppler测速、TDCP/Doppler测速均可取得分米级的测速精度。TDCP/Doppler测速误差在最大值、最小值、均方根和标准差等方面，显著优于传统的TDCP测速、Doppler测速。在RMS上，相比TDCP测速在三方向上分别提升40%、47%、50%，相比Doppler测速在三个方向上分别提升44%、57%、46%。本文在进行TDCP和Doppler观测信息融合中，按照传统的观测噪声标准差确定二者的权值，实际上对TDCP观测值定权时，应考虑平均速度与瞬时速度间的模型误差，这种模型误差与载体的动态性、采样间隔等因素有关，建模较为复杂，未来将进一步对随机模型的优化展开研究。