引言Curzon[1]等研究内可逆Carnot循环性能时导出了CA效率，标志着有限时间热力学(FTT)的诞生，众多学者利用FTT不断完善并扩大其理论体系，取得了很大进展[2-4]。研究目标函数对最优性能的影响是FTT中较活跃的研究方向之一，学者对不同循环的功率[1]、效率[1]、生态学函数[5]和功率密度[6]等目标函数进行了研究。严子浚[7]将热机功率和效率的乘积作为新的目标函数，被称作有效功率(EP)。Kumar[8]等将EP引入布雷顿循环的性能分析中，研究了考虑摩擦的布雷顿热机的EP特性。Singh[9]等将EP引入类卡诺热机中，比较了最大有效功率(EPmax)和最大功率情况下的低耗散热机的耗散率。巩启锐[10]等将EP引入矩形循环中，分析存在传热损失时有效功率与效率的关系。何金虎[11]等研究了不可逆单谐振能量选择性电子热机的EP特性，比较了热机在EPmax、最大功率和最大效率下的性能特性。与其他热机相比，Atkinson热机具有更高的热效率，有关Atkinson循环的研究取得了部分成果。根据工作原理不同，Atkinson循环可以被分为往复式和定常流两种形式。针对往复式Atkinson循环，文献[12]至文献[20]研究了不同工质比热模型（恒比热[12-14]、比热随温度线性[15-16]和非线性[17-18]变化、比热比随温度线性[19]和非线性[20]变化）时循环在不同目标函数（功率[13,15,17,19-20]、效率[13,15,17,19-20]和功率密度[12,14,16,18]）下的最优性能。针对定常流Atkinson循环，Wang[21]等分析和比较变温热源条件下不可逆Atkinson循环在最大功率和最大功率密度时的循环性能。Xia[22]等和Zhang[23]等建立了包含两个绝热过程的四分支[22]和五分支[23]闭式恒温热源内可逆热机普适循环模型，包含Atkinson循环模型，以生态学函数为目标函数研究了循环性能特性，比较热机在最大生态学函数和最大功率下的性能特性，热机以生态学函数为目标工作时，效率得到提升。Lin[24]以生态学函数为目标函数，研究闭式Atkinson循环最优性能，分析了传热单元数对最大生态学函数及其对应功率输出的影响。在文献[22]和文献[23]建立的恒温热源闭式内可逆Atkinson循环模型基础上，导出EP的表达式，以EP为目标函数，研究循环的最优性能，分析热源温比对循环性能的影响，比较热机在EPmax点与最大功率点工作的性能差异。1　闭式恒温热源内可逆Atkinson循环模型闭式恒温热源内可逆Atkinson循环的T-s关系曲线如图1所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.12.010.F001图1闭式恒温热源内可逆Atkinson循环的T-s关系曲线TH、TL分别为高、低温热源温度，热源温比(τ)为TH/TL，过程1→2和过程3→4为两个绝热过程，过程2→3和过程4→1分别为等容和等压过程，Ti(i=1,2,3,4)表示循环各状态点的温度。假设循环工质为理想气体，工质通过过程2→3，从高温热源TH吸热的热流率为：QH=UH(TH-T2)-(TH-T3)lnTH-T2TH-T3=CwfkEH(TH-T2)=Cwfk(T3-T2) (1)通过过程4→1，工质向低温热源TL放热的热流率为：QL=UL(T4-TL)-(T1-TL)lnT4-TLT1-TL=CwfEL(T4-TL)=Cwf(T4-T1) (2)式中：UH、UL——工质与高、低温热源间的热导率（传热系数与传热面积的积）；Cwf——工质的热容率（质量流率与定压比热容的积）；k——比热比；EH、EL——高、低温侧热交换器的有效度。EH=1-exp(-NH)=1-exp(-kUHCwf) (3)EL=1-exp(-NL)=1-exp(-ULCwf) (4)式中：NH、NL——高、低温侧热交换器的传热单元数。根据式(1)和式(2)，T3和T1的表达式为：T3=EHTH+(1-EH)T2 (5)T1=ELTL+(1-EL)T4 (6)根据热力学第二定律，4个温度之间的关系为：T3T1k=T2T4k (7)将式(5)和(6)代入式(7)得：T4=ELTL[(1-EH)T2+EHTH]1kT21k+(EL-1)[(1-EH)T2+EHTH]1k (8)根据热力学第一定律，功率表达式为：P=QH-QL=CwfkEH(TH-T2)-CwfEL(T4-TL) (9)将式(8)代入式(9)，P与T2的关系为：P=CwfEHTH-EHT2+kELTLT21k+(EHELTH-EHELT2-EHTH+EHT2-kELTL)[(1-EH)T2+EHTH]1kkT21k+(EL-1)[(1-EH)T2+EHTH]1k (10)效率(η)的表达式为：η=1-QLQH (11)将式(1)和式(2)代入式(11)，η与T2之间的关系为：η=1-kELTLT21k-[(1-EH)T2+EHTH]1k[EH(T2-TH)]T21k+(EL-1)[(1-EH)T2+EHTH]1k (12)根据文献[15]，有效功率(EP)的表达式为：EP=Pη (13)将式(10)和式(12)代入式(13)，EP与T2之间的关系为：EP=CwfkEH(TH-T2)ELTLT21k-[(1-EH)T2+EHTH]1kT21k+(EL-1)[(1-EH)T2+EHTH]1k+EH(TH-T2)k2 (14)2　性能分析根据文献[22]和文献[23]，取Cwf=1.665 3 J/(K⋅s)，EH=EL=0.9，TL=310 K，τ=5，k=1.4。设T2=TLx，x的取值范围为[1,τ]。根据文献[6]对无因次功率进行定义P¯=PCwfTL，对无因次EP进行定义，E¯P=EPCwfTL。τ对E¯P-η特性的影响如图2所示。E¯P-η的变化曲线为类抛物线形，随着τ增大，EPmax及其对应效率均增大。适当增大温比τ，有利于提高热机实际工作的输出效率。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.12.010.F002图2τ对E¯P-η特性的影响τ对E¯P-P¯特性的影响如图3所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.12.010.F003图3τ对E¯P-P¯特性的影响由图3可知，E¯P-P¯关系曲线为扭叶形，存在E¯Pmax工作点和P¯max工作点，随着温比增加，两个工作点对应的E¯Pmax和P¯max均增大。τ=5.0时，E¯Pmax=0.607 7，对应的P¯EP=0.960 5；P¯max=1.011 5，对应的E¯PP¯=0.564 5。τ=5.0时，E¯P/E¯Pmax和P¯/P¯max与η的关系曲线如图4所示。EPmax工作点的效率比最大功率工作点的效率大。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.12.010.F004图4τ=5.0时E¯P/E¯Pmax和P¯/P¯max与η的关系E¯P/E¯Pmax=1.000 0时，EPmax点对应的效率ηE¯P为0.632 7，P¯/P¯max=1.000 0时，最大功率点对应的效率ηP¯为0.558 1。与ηP¯相比，ηE¯P增大约13.4%；EPmax点对应的P¯/P¯maxE¯P为0.949 5，与P¯/P¯maxmax相比，减小约5.1%。结果表明，热机工作在EPmax条件下，功率减少，但效率提升，有效功率反映功率与效率的折中。3　结语结合已有模型与FTT理论，将有效功率目标函数引入恒温热源闭式内可逆Atkinson循环的性能分析和优化中，分析了热源温比对循环有效功率的影响，对处于(EP)max和最大功率两种条件下热机的性能进行了比较。主要得出以下结论：（1）循环的E¯P-η曲线呈类抛物线形，存在最大有效功率E¯Pmax和对应的ηE¯P。（2）随着热源温比τ增大，E¯Pmax和对应的ηE¯P均增大，表明合理控制高低温热源温度可以增大热机效率，对实际工作热机设计具有一定参考指导作用。（3）(EP)max对应的效率高于最大功率对应的效率，牺牲部分功率可以提升效率，有效功率反映了功率与效率的折中关系。