1概述设计折线拱结构通常都把上部结构的承力点布置在折线拱的两个结点上，故折线拱具有如下受力特点：（1）上部结构由一跨増为三跨，跨度相应减少为原来的1/3。由于上部结构的跨度减少，改善了受力条件，使结构简化，节省了工程造价。（2）除自身的重量以外，折线拱仅承受结点荷载的作用[2]。如忽略结构的自重和材料弹性压缩的影响，折线拱各杆件均处于压缩状态，即使将前述因素考虑在内，引起的弯曲应力仍然较小。使设计者有条件将结构做得较为轻巧，以获得良好的技术经济指标。综上所述，在折线拱的设计中仅考虑强度和横向稳定性而不计算纵向稳定性，会导致建筑物在竣工后因事先未评价，存在潜在的工程隐患。文章对此课题进行了探讨，采用压杆非线性大位移的理论，推导出折线拱结构纵向整体稳定分析的仿欧拉公式，并附必要的图表，供设计参考。2折线拱结构的临界荷载计算公式折线拱结构由三根杆件按π形连接构成，故称为π形框架或八字撑架结构，其中两侧的斜杆常称为支腿。当支腿与基础固结时，为无铰折线拱；当支腿与基础铰接时，为双铰折线拱，均为超静定结构，工程上多采用前者。折线拱的中段（水平杆）通常为等截面杆，支腿一般采用等截面杆。本文只考察对称等截面折线拱结构，其成果可近似用于对称变截面折线拱结构。推导公式时，忽略杆件自重的影响。2.1无铰折线拱结构无铰折线拱结构如图1所示。10.3969/j.issn.2096-1936.2021.04.047.F001图1无铰折线拱结构当结点荷载P达到最小临界荷载Pk时，折线拱产生反对称形态的瞬间大位移，使结构遭受整体破坏。现按位移法求解Pk，首先在结点1、2施加一反对称的转角Φ1和Φ2，支座0、3产生相应的反对称剪应力Q01与Q32，且Q01=Q32，在转角Φ1的作用下，杆单元01及12在结点1产生抗力矩M10和M12。对于一根杆，当杆单元AB两端固结，且杆端A、B分别作用转角ΦA和ΦB，杆端B相对于杆端A的线位移为δ时，杆端力计算如下：MAB=2i[2ΦAξ1(u)+ΦBξ2(u)-3δlη1(u)QAB=QBA=-6il[ΦAη1(u)+ΦBη1(u)-2δlη2(u)u=lPEIi=EIl （1）式中：i———相对刚度；P——杆端轴向力。四个函数分别为：ξ1(u)=1-utanu4[tan(u/2)u/2-1]ξ2(u)=usinu2[tan(u/2)u/2-1]η1(u)=(u/2)23[1-u/2tan(u/2)]η2(u)=(u/2)23[tan(u/2)u/2-1] （2）将上述杆单元的公式引用到折线拱中，得：M10=2i01[2Φ1ξ1(u01)-3β01η1(u01)]M12=2i12[2Φ1ξ1(u12)+Φ1ξ2(u12)-3β12η1(u12)] （3）左支座的剪力：Q01=-6i01l01[Φ1ξ1(u01)-2β01η2(u01)] （4）在M01的表达式中，Φ0=0，故右端缺第二项；在M12的表达式中，Φ2=Φ1，故第二项Φ2使用Φ1代替。此外，由几何关系得知：β01=δ01l01，β12=δ12l12 （5）转角β01和β02的关系图如图2所示。10.3969/j.issn.2096-1936.2021.04.047.F002图2转角β01和β02的关系图3点为折线拱的右支座，其垂直位移为0，即：Δ3y=x01β01+x12β12+x23β23 （6）令中段水平杆长度与折线拱跨度之比为α，α=x12L，则：x12=αLx01=x23=1-α2L （7）将其代入，可得：β12=α-1αβ01 （8）结点1的平衡条件为：ΣM=M10+M12=0。将式（3）、式（8）两式代入上述平衡方程，即得Φ1和β01的第一个表达式：[2i01ξ1(u01)+2i12ξ1(u12)+i12ξ2(u12)]Φ1-3[i01η1(u01)-1-ααi12η1(u12)]β01 （9）代入数据，式（9）结果为0。由折线拱在x方向的静力平衡条件知Q01=0，代入（4）式，得：Q01=-6i01l01[Φ1η1(u01)-2β01η2(u01)]Q01=Φ1η1(u01)-2β01η2(u01) （10）代入数据，式（10）结果为0。在非0解的必要充分条件是系数矩阵的主行列式DetA为0，展开该行列式，即得无铰折线拱的稳定特征表达式：2η2(u01){2[i01ξ1(u01)+i12ξ1(u12)]+i12ξ2(u12)}-3η1(u01)[i01η1(u01)-1-ααi12η1(u12)] （11）代入数据，式（11）结果为0，是求解无铰折线拱临界荷载的通用公式：n=EI1EI （12）式中：n——支腿与水平杆刚度之比。i=EIL，u=LPEI （13）注意，式（1）与式（13）中i、u的书写形式虽然相同，但代表的物理意义完全不同，前者是指整个折线拱结构，后者指特定的一根杆件[3]。由此可得：i01=EI1l01=n(EI)x01/cosΦ=n(EI)1-α2LcosΦ=2ncosΦ1-αii12=EIl12=EIx12=EIαL=iαu01=l01N01EI1=1-α2LcosΦP/sinΦn(EI)=1-α2cosΦnsinΦuu12=l12N12EI=αLP/tanΦEI=αtanΦu （14）式中：N01、N12——荷载P引起的杆件轴向力。按几何关系：tanΦ=fx01=21-αfL （15）I1=I1(n , fL , α)=2ncosΦ1-α , I2=I2(α)=1αU1=U1(n , fL , α)=1-α2cosΦnsinΦU2=U2(fL , α)=αtanΦ （16）i01=iI1，i12=iI2，u01=iU1，u12=iU2 （17）将上式代入特征式（11）并稍加整理：2η2(uU1){2[I1ξ1(uU1)+I2ξ1(uU2)]+I2ξ2(uU2)}-3η1(uU1)[I1η1(uU1)-1-ααI2η1(uU2)] （18）根据式（16）可知，式（18）仅含n、fL、α和u四项，其中u为仅有的未知数。按迭代法求解u的最小正数解umin，并代入（13）的第二式即得临界荷载Pk的计算公式：Pk=ψ0EIL2ψ0=umin2=ψ0(n , fL,α) （19）式中：ψ0——临界荷载常数，下标“0”表示无铰折线拱结构。ψ0仅与矢跨比fL、刚度比n、水平杆长度与跨度比α三者有关，与折线拱的具体尺寸无关，反映了折线拱的体型特征。式（19）与欧拉公式的形式完全相同，可用于计算无铰折线拱结构纵向失稳时的临界荷载。为便于使用，根据电算的成果编制了ψ0的查算附表，使用时可直接查取ψ0值，或用二元线性内插法计算ψ0值。2.2双铰折线拱结构双铰折线拱结构临界荷载计算公式的推导过程与无铰折线拱相同，仅须将支腿换成一端固结、一端铰接的杆单元。其稳定特征方程为：η3(u01)[3i01ξ2(u01)+4i12ξ1(u12)+2i12ξ2(u12)]-3ξ3(u01)[i01ξ2(u01)-21-ααi12η1(u12)] （20）ξ3(u)=u23(1-utanu)η3(u)=u23(tanuu-1) （21）代入数据，式（20）结果为0。将式（16）、式（17）代入（20）得：η3(uU1)[3I1ξ2(uU1)+4I2ξ1(uU2)+2I2ξ2(uU2)]-3ξ3(uU1)[I1ξ2(uU1)-21-ααI2η1(uU2)] （22）按迭代法求解超越方程的最小正数解umin，得双铰折线拱结构临界荷载Pk的计算公式：Pk=ψ2EIL2ψ2=umin2=ψ2(n , fL , α) （23）式中：ψ2——临界荷载常数，下标“2”表示双铰折线拱结构。ψ2仅与矢跨比fL、刚度比n、水平杆长度与跨度比α三者有关，与折线拱的具体尺寸无关，使用时可二元内插求得ψ2。3结语（1）在相同的几何参数下，ψ2的取值仅为ψ0的1/3左右，无铰折线拱的整体稳定性要高于双铰折线拱，故工程上应优先选用前者。（2）当折线拱承受的结点荷载小于或等于临界荷载时，结构是满足纵向整体稳定要求的。由于施工质量的不可预见性、材料的不均匀性、其他的不确定因素，结构需要有一定的稳定安全储备。结构在失稳的情况下，整个体系将发生大位移并导致结构产生不可逆转的脆性破坏，问题较为严重，因此，结构的稳定安全储备不宜过低。在目前无规范资料引用的前提下，考虑上述情况，建议整体安全系数k取4.5~5.0，按P≤Pk/k验算折线拱结构的整体稳定性。本文推荐的计算方法与公式适用于折线拱的纵向稳定分析，即受力平面或称结构弯曲平面的稳定计算，对折线拱横向平面的稳定性，仍须按带缀板的压杆欧拉公式进行验算，不可省略。折线拱的组成杆件均为压杆，杆件自身的稳定已在强度设计时予以折减，因此，在整体稳定计算中不另行考虑。折线拱是超静定结构，且跨度一般较大，因此，杆件的弹性压缩、混凝土的徐变与干缩对内力的影响较大，在强度设计时须考虑上述问题[3]。计算折线拱实际承受的结点荷载时，可将杆件自重及联系梁等次要部件的重量按静力等效的原则纳入其中。10.3969/j.issn.2096-1936.2021.04.047.F003