引言自有限时间热力学理论建立以来，大量学者的探索与研究使得理论体系变得完善[1-4]。随着有限时间热力学理论的发展，选用不同目标对循环进行分析优化的工作变得十分活跃，更多新的目标出现，如损失、生态学目标函数等。制冷循环的研究中，制冷率R和制冷系数ε常被作为目标函数。在内可逆Newton定律卡诺制冷机系统中，R取最大时，ε为零，使得Leff[5]等的工作未能进一步深入开展。陈林根[6-7]等研究恒温和变温热源条件下，存在传热不可逆性的空气（内可逆Brayton）制冷循环，得到R和ε的关系。罗俊[8]等基于文献[6]的工作，研究恒温热源条件下工作的不可逆空气制冷循环，并对循环中的R和ε进行优化。周圣兵[9]选用制冷率密度作为目标，得出内可逆空气制冷循环的优化结果。屠友明[10]研究内可逆空气制冷循环时，引入效率和生态学目标函数，得出不同目标的优化结果。Chen[11]等在恒温热源条件下，结合有限时间热力学理论和概念，分析具有多种不可逆性的简单空气制冷循环，对效率进行优化，其结果与以往对R优化的结果相比，更具有科学性。此外，严子浚[12]分析内可逆卡诺制冷循环，研究采用R与ε之积作为优化目标时循环的性能特性，这一优化目标被称为品质因子Ω。若在循环模型中忽略内部耗散效应，仅考虑热源与工质间因热阻造成的不可逆损失，而且工质经历准静态过程，此热力循环被称作内可逆循环[13]。与可逆循环相比，内可逆循环多考虑1种不可逆性，其研究结果更接近实际工作情况。基于文献[6]和文献[7]建立的模型，将品质因子Ω作为优化目标，在恒温热源条件下，考虑传热的不可逆性，分别导出内可逆空气制冷循环的Ω、R和ε的解析式。Ω的最大优化类似于热机的有效功率最大优化[14]。1循环模型与品质因子内可逆空气制冷循环的基本模型如图1所示。工作于恒定高温热源TH、低温热源TL间的内可逆简单空气制冷循环1→2→3→4→1[6-7]，过程4→1为等熵膨胀过程，过程2→3为等熵压缩过程，过程1→2为吸热过程，过程3→4为放热过程。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.05.012.F001图1内可逆空气制冷循环的基本模型设α为传热系数、F为传热面积，UH、UL分别为高、低温侧换热器的热导率（α与F之积）；工质为理想气体，有恒热容率（质量流率与定压比热之积）Cwf。根据热源同工质间发生的传热，循环中的放热流率QH为：QH=UH[(T3-TH)-(T4-TH)]/ln[(T3-TH)/(T4-TH)] (1)吸热流率QL（即制冷率R）为：R=QL=UL[(TL-T1)-(TL-T2)]/ln[(TL-T1)/(TL-T2)] (2)由工质的热力性质可得：QH=Cwf(T3-T4) (3)R=QL=Cwf(T2-T1) (4)由换热器理论可得：QH=CwfEH(T3-TH) (5)R=QL=CwfEL(TL-T1) (6)式中：EH——高温侧换热器有效度；EL——低温侧换热器有效度。EH=1-exp(-NH) (7)EL=1-exp(-NL) (8)式中：NH、NL——传热单元数。NH=UH/Cwf (9)NL=UL/Cwf (10)根据内可逆循环性质可得：T1T3=T2T4 (11)定义m=(k-1)/k，k为工质的绝热指数，压缩机的压力比为π，压力采用p表示。压缩机内的工质等熵温比x为：x=T3/T2=(p3/p2)m=πm (12)由式(2)、式(4)、式(6)、式(11)和式(12)可得[6]：R=CwfEHEL(TL-TH/x)EH+EL-EHEL (13)循环的制冷系数ε为：ε=QL/(QH-QL)=(QH/QL-1)-1 (14)由式(1)、式(3)、式(5)和式(14)可得[6]：ε=1/(x-1) (15)品质因子Ω为[12]：Ω=Rε (16)定义无因次制冷率R¯为：R¯=R/(CwfTL)=EHEL(TL-TH/x)(EH+EL-EHEL)TL=(1-τ/x)EHELEH+EL-EHEL (17)τ=TH/TL (18)由式(15)~式(17)得无因次品质因子Ω¯为：Ω¯=Ω/(CwfTL)=(1-τ/x)EHEL(EH+EL-EHEL)(x-1) (19)2性能分析与优化式(15)、式(17)和式(19)表明，热源温比不发生变化时，内可逆空气制冷循环的ε、R¯和Ω¯仅与换热器有效度(EH、EL)和压比（π即x）有关。因此为了优化循环性能，可以从换热器有效度的优化和压比的选择两方面进行。根据式(7)、式(8)、式(9)和式(10)可知，合理的热导率分配，可以实现对换热器有效度的优化。2.1热导率最优分配在UT=UL+UH约束条件下，定义高低温换热器的热导率分配u=UL/UT，可有UL=uUT，UH=(1-u)UT。由式(7)~式(10)和式(19)可得：Ω¯=(1-τ/x)[1-exp(-uUT/Cwf)]×{1-exp[-UT(1-u)/Cwf]}/[1-exp(-UT/Cwf)](x-1) (20)由式(20)，令dΩ¯/du=0，可以得出uopt,R=uopt,ε=0.5，即当UH=UL=UT/2时[6]，品质因子取得最大值Ω¯max,u为：Ω¯max,u=(1-τ/x)[exp(UT/2Cwf)-1][exp(UT/2Cwf)+1](x-1) (21)品质因子相应的最佳制冷系数εopt,u为：εopt,u=1/(τ+τ2-τ) (22)品质因子相应的最佳无因次制冷率R¯opt,u为：R¯opt,u=(1-τ/x)[exp(UT/2Cwf)-1]exp(UT/2Cwf)+1 (23)2.2最佳压比的选择xopt,Ω¯=τ+τ2-τ (24)由式(21)，令dΩ¯max,u/dx=0，可以得出当x=xopt,Ω¯时，Ω¯max,u存在极大值Ω¯max,max。存在一对最佳值(uopt, πopt)使Ω¯取双重最大值Ω¯max,max。Ω¯max,max=[1-τ/(τ+τ2-τ)][exp(UT/2Cwf)-1][exp(UT/2Cwf)+1](τ+τ2-τ-1) (25)双重最大值Ω¯max,max相应的最佳无因次制冷率R¯opt,Ω¯为：R¯opt,Ω¯=[1-τ/(τ+τ2-τ)][exp(UT/2Cwf)-1]exp(UT/2Cwf)+1 (26)双重最大值Ω¯max,max相应的最佳制冷系数εopt,Ω¯为：εopt,Ω¯=1/(τ+τ2-τ) (27)双重最大值Ω¯max,max相应的最佳压比πopt,Ω¯为：πopt,Ω¯=τ+τ2-τm (28)3数值算例采用品质因子作为热力学优化目标，对空气制冷循环进行优化，与相同参数条件下的制冷率优化目标结果进行比较。为了直观地反映目标函数与影响参数间的关系，利用Matlab和Origin软件完成数值分析与优化工作。参考文献[6]至文献[10]确定计算过程中相关参数的取值。k=1.4、Cwf=0.8 kW/K、τ=1.25时，探究高低温侧换热器有效度对无因次品质因子Ω¯和压比π的影响。EH、EL对Ω¯-π的影响如图2所示。随着压比的增大，无因次品质因子很快达到最大值，即存在πopt使品质因子取得最大值Ω¯max。相同定值时，探究无因次制冷率R¯与压比π的关系，EH、EL对R-¯π的影响如图3所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.05.012.F002图2EH、EL对Ω¯-π的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2023.05.012.F003图3EH、EL对R¯-π的影响由图2和图3可知，Ω¯、R¯随π、EH、EL单调递增。EH、EL从1.0降至0.9时，Ω¯max从0.382降至0.313，降低约18.06%；EH、EL从0.9降至0.8时，Ω¯max从0.313降至0.255，降低约18.53%。k=1.4、Cwf=0.8 kW/K、τ=1.25时，R¯与ε的关系如图4所示。为了获得更大的制冷率，需要以牺牲部分制冷系数为代价。ε从0.3增至1.0，R¯从0.474降至0.250，降低约47.26%。k=1.4、Cwf=0.8 kW/K、τ=1.25时，ε与π的关系如图5所示。由式(12)和式(15)确定的制冷系数ε与压比π的关系曲线为双曲线形。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.05.012.F004图4R¯与ε的关系10.3969/j.issn.1004-7948.2023.05.012.F005图5ε与π的关系k=1.4、Cwf=0.8 kW/K、UT=5 kW/K、τ=1.25时，不同u对Ω¯-π的影响如图6、图7所示。热导率分配u0.5时，品质因子随着u的增大而增大，热导率分配u0.5时，品质因子随着u的增大而减小。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.05.012.F006图6u（0.3、0.4、0.5）对Ω¯-π的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2023.05.012.F007图7u（0.5、0.6、0.7）对Ω¯-π的影响k=1.4、Cwf=0.8 kW/K、τ=1.25、u=0.5时，UT对Ω¯-π和R¯-π的影响如图8、图9所示。Ω¯与π呈类抛物线关系，R¯与π呈单调递增关系。在一定压比下，R¯和Ω¯均随总热导率的增大而增大，但总热导率超过一定值后，变化量变小。UT从5 kW/K增至7 kW/K时，Ω¯max从0.350增至0.372，增加约6.29%；UT从7 kW/K增至9 kW/K时，Ω¯max从0.372增至0.379，增加约1.88%。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.05.012.F008图8UT对Ω¯-π的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2023.05.012.F009图9UT对R¯-π的影响k=1.4、τ=1.25、u=0.5、UT=5 kW/K时，Cwf对Ω¯-π和R¯-π的影响如图10、图11所示。在一定压比下，Ω¯和R¯均随着Cwf的增大而减小，工质热容率超过一定值后，变化量变大。Cwf从0.3 kW/K增至0.8 kW/K时，Ω¯max从0.382降至0.350，降低约8.42%；Cwf从0.8 kW/K增至1.3 kW/K时，Ω¯max从0.350降至0.285，降低约18.57%。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.05.012.F010图10Cwf对Ω¯-π的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2023.05.012.F011图11Cwf对R¯-π的影响EH=EL=0.8、k=1.4、Cwf=0.8 kW/K时，τ对Ω¯-π和R¯-π的影响如图12、图13所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.05.012.F012图12τ对Ω¯-π的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2023.05.012.F013图13τ对R¯-π的影响由图12、图13可知，τ为1.1、1.2和1.3时，最大无因次品质因子、最佳压比相差较大，Ω¯随着τ值增大而减小，而且τ值越大，最佳压比越大。τ从1.1增至1.2时，Ω¯max从0.358降至0.280，降低约21.79%，πopt,Ω¯从3.54增至6.25，增加76.55%；τ从1.2增至1.3时，Ω¯max从0.280降至0.234，降低约16.43%，πopt,Ω¯从6.25增至9.78，增加56.48%。R¯与π呈单调递增关系；一定压比下，R¯与τ呈单调递减关系。适当提高换热器的UT、选用Cwf较小的气体作为工质和选择适合的τ可以使得循环的性能有所优化。4结语（1）针对恒温热源条件下内可逆简单空气制冷循环，随着π增加，R表现为增加趋势，难以通过π进行优化；品质因子Ω与π为类抛物线关系，存在最大值。参数Ω可以兼顾R和ε，与单纯将R作为优化目标相比，具有优越性。（2）品质因子可对热导率分配和π进行优化，存在品质因子的双重最大值，以此设计空气制冷机，可以找到合适的热导率分配和较优的压比，达到提升制冷循环性能的效果。（3）合理选择UT、Cwf以及τ可以优化循环性能。