引言随着电子元器件的高速发展，如何有效解决电子器件的散热问题逐渐受到重视。通常可在产热区域添加少量高导热材料，以降低总体热阻，从而加强导热能力，达到强化散热的目的。针对这类问题，许多学者应用构形理论[1-5]对其进行研究。Bejan[6]基于构形理论研究矩形单元体最大温差最小化问题，导出其最大温差与单元体结构的近似解关系，并进一步对构造体进行构形优化。Ghodoossi[7]等运用精确解析方法，得出了文献[6]问题的精确解，发现近似解与精确解有25%的偏差。Wu[8]等对以上问题的近似解与精确解的偏差进行分析，找出偏差产生的原因，同时对所采用的“树网”构造法进行改进。Almogbel[9]等提出释放高导热材料均匀分布的矩形导热构造体模型，通过优化第一级构造体发现，非均匀分布效果优于均匀分布；单元体数量n1=1时装配成的第一级构造体最大温差下降5.7%。Wei[10]等在矩形单元构造体内建立离散变截面高导热通道模型，发现由于高导热材料的布置更符合热流密度分布的特性，变截面高导热通道的构造体最大温差明显降低。伍文君[11]等基于文献[9]和文献[10]的研究内容，对变截面高导热材料进行分布优化，并进一步释放上一级最优的约束，得到了更低的构造体最大温差。Feng[12]等、You[13]等和Chen[14]等分别建立了矩形单元构造体[12]、辐射状圆盘[13]和树状圆盘[14]的非均匀产热模型，并进行构形优化，得到不同于均匀产热的3种构造体最优构形。Nazari[15]等分别以最大温差最小和最大应力最小为目标，对树状圆盘进行构形优化。Zhang[16]对方形构造体内的箭形高导热通道进行研究，得出其最大温差比T形高导热通道降低13.0%。Li[17]等在四边形构造体内建立叶形高导热通道模型，得到最大温差最小时的叶形高导热通道最佳布置结构。此外，部分学者以熵产率最小为目标对各种导热问题进行了构形优化[18-20]。为了丰富传热优化理论，Guo[21]等定义，提出并发展理论[22-29]。魏曙環[30]等将理论引入“树网”构造法，对矩形单元构造体导热问题进行研究，并进一步对连续和离散变截面通道进行优化[31]，发现最小平均温差随着构造体级数的增大而波浪状递增并趋于定值。肖庆华[32]等应用理论研究叶形单元构造体，得出变截面高导热通道以及产热体整体的最优外形。Wu[33]等以当量热阻最小为优化目标，通过释放上一级最优对变截面高导热通道进行构形优化。尤江[34]等以耗散率最小为目标，对非均匀产热的“盘-点”导热模型进行构形优化。朱鸿威[35]等基于理论研究四边形产热体的导热问题，并对其进行构形优化，发现相邻高导热材料垂直时产热体平均温差较小。在文献[11]高导热材料非均匀分布的连续变截面导热通道模型的基础上，以耗散率最小为优化目标，对第一级及一级以上构造体进行重新优化，并与文献[11]的构形优化结果进行比较。1矩形单元体优化矩形单元体结构如图1所示[11]。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.06.010.F001图1矩形单元体结构矩形单元体长为L0，宽为H0，内部均匀产热q‴。热量先汇集在高导热材料中，材料宽为D0(x)，随后在左边界冷源M0处导出。为了简化问题，假设在k0和kp材料中均为一维导热，则单元体的温度分布函数可表示为：T(x,y)=T(x,0)+[T(0,y)-T0] (1)式中：T(x,0)——变截面高导热通道的温度分布函数。T(x,0)满足微分方程：ddxkpD0(x)dT(x,0)dx+q‴  H0=0 (2)边界条件为：dT(x,0)/dx=0, x=L0 (3)T(x,0)=T0, x=0 (4)解以上微分方程可得：Tx,0=∫0xq‴  H0kpD0(x)L0-xdx+T0 (5)T(0,y)满足传热微分方程：k0d2T(0,y)dy2+q‴  =0 (6)由T(0,y)=T0、y=0及dT(0,y)/dy=0、y=H0/2得：T0,y=-q‴2k0y2+q‴  H02k0y+T0 (7)将式(5)和式(7)代入式(1)，可得：T(x,y)=∫0xq‴  H0kpD0(x)L0-xdx-q‴2k0y2+q‴  H02k0y+T0 (8)耗散率E˙vhϕ为[21]：E˙vhϕ=∫vE˙hϕdv=∫vq˙⋅∇Tdv=∫vk⋅(∇T)2dv (9)式中：q˙——热流密度矢量；∇T——温度梯度。将式(8)代入式(9)，单元体的耗散率E˙vhϕ0为[33]：E˙vhϕ0=∫0L0kpD0(x)q‴ H0kpD0(x)(L0-x)2dx+2L0∫0H0/2k0q‴ H02k0-q‴k0y2dy=q‴  2H02kp∫0L0(L0-x)2D0(x)dx+q‴  212k0L0H03 (10)虽然为变截面高导热通道，但单元体内的高导热材料面积AP,0不变，为：AP,0=∫0L0D0xdx=const (11)在式(11)的约束下，以耗散率最小为目标，可以得到高导热通道最优外形。通过观察式(10)可知，该式后半部分不受影响，仅前半部分受D0(x)影响。因此，建立函数Φh。Φh=∫0L0L0-x2D0(x)+λhD0(x)dx (12)式中：λh——拉格朗日乘子。优化式(12)，得D0(x)的最优外形D0xopt为：D0xopt=2Ap,0L01-xL0 (13)将式(13)代入式(10)，可得：E˙vhϕ0=q‴  2H02L044kpAp,0+q‴  2L0H0312k0=q‴  2H0L034kpϕ0+q‴  2L0H0312k0=q‴  2A02k014k^ϕ0L0H0+112H0L0 (14)针对式(14)，将单元体长宽比进行二次优化，得到优化结果[33]为：H0L0h,opt=3k^ϕ0 (15)E˙vhϕ0,opt=3A02q‴  26k0kpϕ0 (16)2第一级构造体单元体第一级构造体[11]如图2所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.06.010.F002图2单元体第一级构造体构造体长为L1，宽为H1。n1个单元体分别分布在宽为D1的高导热通道上下两边，通道宽度随x变化，表示为D1(x)。第一级构造体模型可以根据文献[11]进行细化假定。假设变截面矩形单元体的数量远大于1，则D1高导热通道上的热流密度简化为线性分布；同时假设不用最优单元体装配成第一级构造体，后续重新优化确定单元体最佳结构；去除高导热材料均匀分布的条件，假定单元体大小不变，但高导热通道外形变化，即高导热材料并非均匀分布，而符合某种分布Ap,0(n)，1≤n≤n1/2。考虑矩形单元体数量远大于1，Ap,0(n)可以简化为连续函数Ap,0(x)，0≤x≤L1。在上述假定简化的条件上，以耗散率最小为目标进行优化求解。矩形单元体高导热材料面积分布函数为Ap,0(x)，第一级构造体的耗散率是Ap,0(x)的泛函，随Ap,0(x)的变化而变化，显然存在最优的Ap,0(x)使第一级构造体的耗散率最小。假设D1高导热通道的形状与最优单元体的高导热通道相同，仅改变了系数，ϕ0(x)(=Ap,0(x)/A0)为单元体高导热材料在单元体总面积中的占比，ϕ1为第一级构造体中总高导热材料面积占A1的比例，Φ0为第一级构造体中所有单元体高导热材料面积占A1的比例，可得D1(x)的最优外形D1xopt为：D1xopt=2(Ap,1-n1Ap,0)L11-xL1=2(ϕ1-Φ0)H11-xL1 (17)可得耗散率E˙vhϕ1为：E˙vhϕ1=q‴  2H12kp∫0L1(L1-x)2D1(x)dx+n1q‴  2A02k014k^ϕ0(x)L0H0+112H0L0 (18)将式(17)代入式(18)，结合H1=2L0、L1=n1H0/2得：E˙vhϕ1=q‴  2H1L134kp(ϕ1-Φ0)+n1q‴  2A02k014k^ϕ0(x)L0H0+112H0L0=q‴  2A12k0116k^(ϕ1-Φ0)H0L0n1+14k^ϕ0(x)L0H0+112H0L01n1 (19)分析式(19)可知，必定存在一个最佳分布ϕ0(x)opt使得耗散率输出最小。最佳分布ϕ0(x)opt应使第一级构造体的耗散率为常数，该结论可以采用反证法验证。假设求得某个最佳分布ϕ0(x)opt，使第一级构造体的耗散率并非常数，而是对应多个值，则必然可以找到ϕ0(x)的另外一种分布，使得耗散率减少，此时必然不是最优分布，因此最佳分布不成立。由最佳分布ϕ0(x)opt使第一级构造体耗散率为常数，如下：E˙vhϕ1,m=const, ∀x, 0≤x≤L1 (20)将式(19)与式(20)结合可得：q‴  2A12k0116k^(ϕ1-Φ0)H0L0n1+14k^ϕ0(x)L0H0+112H0L01n1=const, ∀x, 0≤x≤L1 (21)式(21)两边对x求导，并整理得：1/ϕ0(x)opt'==0, ∀x, 0≤x≤L1 (22)由式(22)可得：ϕ0(x)opt=const, ∀x, 0≤x≤L1 (23)ϕ0(x)为常数代表高导热材料均匀分布，表明以耗散率最小为目标时，第一级构造体内各单元体的高导热材料用量相等，与文献[11]以最大温差最小为目标优化的非均匀分布最优结果不同。ϕ0(x)为常数时ϕ0与Φ0相等，则最小E˙vhϕ1为：E˙vhϕ1,m=q‴  2A12k0116k^(ϕ1-ϕ0)H0L0n1+14k^ϕ0L0H0+112H0L01n1 (24)可以进一步优化单元体数目n1以及长宽比a=H0/L0。先对单元体数量进行优化，对式(24)中的n1求偏导，并令其为0，可得：n1,opt=4(ϕ1-ϕ0)ϕ0a2+43k^(ϕ1-ϕ0)1/2 (25)结合式(25)与式(24)，可得：E˙vhϕ1,mm=14q‴  2A12k01k^2(ϕ1-ϕ0)ϕ0+13k^(ϕ1-ϕ0)H0L021/2 (26)根据式(26)，H0/L0=0时，E˙vhϕ1,mm最小，可得：E˙vhϕ1,mmm=14q‴  2A12kp1(ϕ1-ϕ0)ϕ01/2 (27)虽然a=H0/L0=0无法实现，但可知E˙vhϕ1,mm随a单调减小。a→0时，n1→∞，此时满足n1≫1的假设，同时E˙vhϕ1,mm最小。根据式(27)进一步优化ϕ0。ϕ0,opt=12ϕ1时E˙vhϕ1,mmm最小。E˙vhϕ1,mmmm=12q‴  2A12kpϕ1 (28)上式结果与文献[33]优化结果相同。对应的一级构造体最佳长宽比为：H1L1opt=2L0n1,optH0/2=4n1,opta→2 (29)与采用单元体最优约束相比，一级矩形单元构造体释放该约束后，其耗散率降低29.29%，通过释放单元体最优约束可以进一步降低一级构造体的耗散率。3第二级构造体按照第一级构造体的装配方式和假定条件进行优化，第二级构造体的最小耗散率为常数。E˙vhϕ2,m=const, ∀x, 0≤x≤L2 (30)热流密度简化为线性分布时，D2高导热通道的最优外形为：D2xopt=2(ϕ2-Φ1)H21-xL2 (31)式中：ϕ2——第二级构造体总的高导热材料面积占A2的比例；Φ1——第二级构造体中所有一级构造体高导热材料面积总和占A2的比例。由此可得第二级构造体的耗散率为：E˙vhϕ2=q‴  2H2L234kp(ϕ2-Φ1)+n2q‴  2H1L134kp(ϕ1-ϕ0)+n1q‴  2A02k014k^ϕ0L0H0+112H0L0 (32)ϕ1(x)=Ap,1(x)/A1表示第一级构造体高导热材料面积占第一级构造体面积的比例，其中Ap,1(x)表示第一级构造体高导热材料面积分布函数。根据第一级构造体优化可知，单元体的高导热材料占比视为常数ϕ0，可得第二级构造体的耗散率为：E˙vhϕ2=q‴  2H2L234kp(ϕ2-Φ1)+n2q‴  2H1L134kp(ϕ1(x)-ϕ0)+n1q‴  2A02k014k^ϕ0L0H0+112H0L0 (33)结合式(30)和(33)，可得：q‴  2H2L234kp(ϕ2-Φ1)+n2q‴  2H1L134kp(ϕ1(x)-ϕ0)+n1q‴  2A02k014k^ϕ0L0H0+112H0L0=const, ∀x, 0≤x≤L2 (34)式(34)两边对x求导，整理后得：1/ϕ1(x)opt'==0, ∀x, 0≤x≤L2 (35)由式(35)可得：ϕ1(x)opt=const, ∀x, 0≤x≤L2 (36)ϕ1(x)为常数代表高导热材料均匀分布，表明以耗散率最小为目标时，第二级构造体内各一级构造体的高导热材料用量相等，与文献[11]最大温差最小为目标的非均匀分布最优结果不同。ϕ1(x)为常数时ϕ1与Φ1相等，则最小E˙vhϕ2为：E˙vhϕ2,m=q‴  2A22k014k^(ϕ2-ϕ1)n1an2+n1a16k^(ϕ1-ϕ0)+14k^ϕ0n1a+a12n11n2 (37)先优化一级构造体数量n2，对式(37)中的n1求偏导且令该式为0，可得：n2,opt=(ϕ2-ϕ1)n12a24(ϕ1-ϕ0)+ϕ2-ϕ1ϕ0+13k^(ϕ2-ϕ1)a21/2 (38)将式(38)代入式(37)得：E˙vhϕ2,mm=q‴  2A22k014k^(ϕ2-ϕ1)n1an2+n1a64k^(ϕ1-ϕ0)+14k^ϕ0an1+a12n11n2=12q‴  2A22k014k^2(ϕ2-ϕ1)(ϕ1-ϕ0)+1k^2(ϕ2-ϕ1)ϕ0n12a2+13k^(ϕ2-ϕ1)n121/2 (39)根据式(39)，在n1, n1a→∞时，n2,h,opt→∞。此时满足n2≫1的假设，且E˙vhϕ2,mm最小。E˙vhϕ2,mmm=14q‴  2A22kp1(ϕ2-ϕ1)(ϕ1-ϕ0)1/2 (40)进一步优化ϕ0和ϕ1可得：ϕ1,opt=12ϕ2, ϕ0,opt=0 (41)将式(41)代入式(40)，可得：E˙vhϕ2,mmmm=12q‴  2A22kpϕ2 (42)式(42)结果与文献[33]优化结果相同，对应的二级构造体最佳长宽比为：H2L2opt=2L1n2H1/2=n1an2→2 (43)与采用一级构造体最优约束相比，二级矩形单元构造体释放该约束后，耗散率降低51.47%，通过释放一级构造体最优约束可以进一步降低二级构造体的耗散率。4第三级构造体及更高级别构造体按照第二级构造体的装配方式和假定条件进行优化，第三级构造体的最小耗散率也为常数。E˙vhϕ3,m=const, ∀x, 0≤x≤L3 (44)热流密度简化为线性分布时，D3高导热通道的最优外形为：D3xopt=2(ϕ3-Φ2)H31-xL3 (45)ϕ2(x)=Ap,2(x)/A2表示第二级构造体高导热材料占第二级构造体面积的比例，其中Ap,2(x)表示第二级构造体高导热材料面积分布函数，ϕ3表示第三级构造体总的高导热材料面积占A3的比例，Φ2表示第三级构造体中各二级构造体高导热材料面积总和占A3的比例。与前节相同，ϕ0和ϕ1均为常数。逐级装配可得第三级构造体的耗散率，并将其与式(44)结合。E˙vhϕ3=q‴  2H3L334kp(ϕ3-Φ2)+n3q‴  2H2L234kp(ϕ2(x)-ϕ1)+n2q‴  2H1L134kp(ϕ1-ϕ0)+n1q‴  2A02k014k^ϕ0L0H0+112H0L0 (46)q‴  2H3L334kp(ϕ3-Φ2)+n3q‴  2H2L234kp(ϕ2(x)-ϕ1)+n2q‴  2H1L134kp(ϕ1-ϕ0)+n1q‴  2A02k014k^ϕ0L0H0+112H0L0=const, ∀x, 0≤x≤L3 (47)式(47)两边对x求导，整理后得：1/ϕ2(x)opt'=0, ∀x, 0≤x≤L3 (48)由式(48)可得：ϕ2(x)opt=const, ∀x, 0≤x≤L3 (49)ϕ2(x)为常数代表高导热材料为均匀分布，表明以耗散率最小为目标时，第三级构造体内各二级构造体的高导热材料用量相等，与文献[11]最大温差最小为目标的非均匀分布最优结果不同。按照此规律推测，理论上一级及一级以上矩形单元构造体耗散率最小时，高导热材料均呈均匀分布，各上一级构造体内的高导热材料用量相等。ϕ2(x)为常数时ϕ2与Φ2相等，则最小E˙vhϕ3为：E˙vhϕ3,m=q‴  2H3L334kp(ϕ3-Φ2)+n3q‴  2H2L234kp(ϕ2-ϕ1)+n2q‴  2H1L134kp(ϕ1-ϕ0)+n1q‴  2A02k014k^ϕ0L0H0+112H0L0=q‴  2A32k0n1a16k^(ϕ3-Φ2)n2n3+14k^(ϕ2-ϕ1)n1an2+n1a16k^(ϕ1-ϕ0)+14k^ϕ0n1a+a12n11n21n3 (50)与上一级相同，先优化二级构造体数量n3得n3,opt，并将其代入式(50)。n3,opt=4n22(ϕ3-ϕ2)(ϕ2-ϕ1)n12a2+ϕ3-ϕ2ϕ1-ϕ0+4ϕ3-ϕ2ϕ0n12a2+4k^ϕ3-ϕ23n121/2 (51)E˙vhϕ3,mm=14q‴  2A32k01k^2(ϕ3-ϕ2)(ϕ2-ϕ1)+n12a24k^2(ϕ3-ϕ2)(ϕ1-ϕ0)n22+1k^2ϕ0(ϕ3-ϕ2)n22+a23(ϕ3-ϕ2)n221/2 (52)根据式(52)，n2→∞，a→0时，n3,h,opt→∞。此时满足n3≫1的假设，且E˙vhϕ3,mm最小。E˙vhϕ3,mmm=14q‴  2A32k01k^2(ϕ3-ϕ2)(ϕ2-ϕ1)1/2 (53)进一步优化ϕ1和ϕ2可得：ϕ2,opt=12ϕ3, ϕ1,opt=0 (54)将式(54)代入式(53)可得：E˙vhϕ3,mmmm=12q‴  2A32kpϕ3 (55)式(55)结果与文献[33]优化结果相同。对应的三级构造体最佳长宽比为：H3L3opt=2L2n3H2/2=4n2n1n3a→2 (56)与采用二级构造体最优约束相比，三级矩形单元构造体释放该约束后，其耗散率降低41.93%，通过释放二级构造体最优约束可以进一步降低三级构造体的耗散率。5结语在文献[11]的基础上，采用高导热材料非均匀分布的方法，结合耗散极值原理对一级及一级以上矩形单元构造体进行重新优化。研究结果表明：第一级构造体高导热材料呈均匀分布时，耗散率最小，继续推导一级以上构造体，结论依旧为高导热材料均匀分布时最优，与文献[11]最大温差最小为目标的非均匀分布最优结果不同。通过释放上一级构造体最优约束可以进一步降低构造体耗散率。一级、二级和三级矩形单元构造体释放该约束后，其耗散率分别降低29.29%、51.47%和41.93%，采用释放上一级构造体最优约束方法能够有效提高构造体的整体散热性能。研究仅采用解析方法对矩形单元构造体进行构形优化，未来可以进一步采用有限元分析等数值计算方法进行验证研究，也可考虑非均匀产热或其他构造体模型进一步进行优化，使理论结果对工程实际设计更具指导意义。