引言有限时间热力学的研究目的是使系统在时间和尺寸约束条件下的热力性能达到最优[1-6]。随着量子信息计算和纳米科技的发展，学者们对有限时间热力学有了更深一步的了解，许多学者将有限时间热力学推广到量子力学的研究范畴[7-10]。在有限时间热力学和量子热力学的基础上，学者们建立了新的量子态生成方法及理论分析框架，可以研究量子热力循环模型并对其循环性能进行分析与优化，而量子循环工质大多为无限深势阱中的粒子[11-12]、无限深势阱中的极端相对论粒子[13-14]、谐振子[15-16]、1/2自旋系统[17-18]、理想量子气体(费米子与玻色子)[19-20]。许多学者从热阻、热漏、量子摩擦等不可逆因素出发，研究效率[21-22]、熵产率[15,23]、生态学函数[24-25]等目标函数的热力循环的最优性能。除效率、熵产率、生态学函数等目标函数外，还有部分学者提出其他优化目标。严子浚[26]以功率与效率之积作为目标函数，研究卡诺热机的最优性能，这一目标函数后来被命名为有效功率[27]。王瑞博[28]等研究不可逆Atkinson循环在传热损失和摩擦损失情况下的最大有效功率性能。吴庆坤[29]等研究磁流体动力循环模型，并导出恒温条件下该循环的有效功率表达式。Singh[30]利用Tannor和Boukobza体系研究三能级量子热机有效功率的最优性能，在最大功率状态下热机产生至少88.89%的最大功率输出。在文献[31]的基础上建立不可逆量子狄塞尔热机循环模型，工质为囚禁于一维深势阱中的粒子，研究系统各参数对循环性能的影响。在考虑高低温热源间热漏的情况下，推导该热机循环功率、效率和有效功率的表达式，给出其最优工况并对该循环的性能进行分析与优化。1循环的量子热力学描述由量子力学中的薛定谔方程可知，一维无限深势阱内的粒子满足如下关系式：ℏ22m⋅d2ψ(x)dx2+Eψ(x)=0 (1)式中：ℏ——约化普朗克常数，ℏ=h2π；ψ(x)——势阱中粒子的波函数；E——粒子的能量，J；m——粒子的质量，kg。采用边界元法对式(1)进行求解，即ψ(0)=0与ψ(L)=0。利用该方法可以计算各种形式下的波方程，求得其解析解或近似解。因此，式(1)的解为：ψ(x)=∑n=1∞an2Lsin(nπxL)    (n=1,2,3,⋅⋅⋅) (2)En=π2ℏ2n22mL2    (n=1,2,3,⋅⋅⋅)(3)式中：L——势阱的宽度，m；En——粒子能量本征值，J。系数an满足归一化条件。∑n=1∞|an|2=∑n=1∞pn=1 (4)式中：pn——概率密度。系统能量的期望值为：E=∑n=1∞Enpn (5)对式(5)求全微分，可得：dE=∑n(pndEn+Endpn) (6)对比式(6)与热力学第一定律微分式，可得[32-34]：dQ=∑nEndpn (7)dW=-∑npndEn (8)2量子狄塞尔热机循环2.1循环描述循环工质为囚禁于一维无限深势阱中的N个质量为m的粒子。不可逆量子狄塞尔循环由两个绝热过程、一个等势阱宽度过程和一个等压力过程构成[20]。考虑热漏对整个系统的影响且整个系统与一个高温热源和一个低温热源耦合。不可逆量子狄塞尔热机循环的F-L关系曲线如图1所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.08.013.F001图1不可逆量子狄塞尔热机循环的F-L关系曲线系统总内能U为：U=π2ℏ2n22mL2∑i=1N∑n=1∞|an(i)|2 (9)令Ri=n2∑i=1N∑n=1∞|an(i)|2，定义作用在势阱壁上的力F为：F=dW/dL=-∑i=1N∑n=1∞π2ℏ2n2mL3|an(i)|2=π2ℏ2mL3Ri (10)2.2循环过程分析（1）定熵压缩过程。过程1→过程2为量子绝热压缩过程，粒子在势阱内与高低温热源进行的热量交换为0，即dU=-dW，势阱壁从L1位移到L2，此过程外界对系统所做的功W12为：W12=-(E2-E1)=π2ℏ22mL12Ri-π2ℏ22mL22Ri (11)令λ1=L1/L2，由图1可知，压缩比λ1大于1[20]。将λ11代入式(11)，可得：W12=π2ℏ22mL22Ri(1λ12-1) (12)（2）定压吸热过程。过程2→过程3为定压吸热过程，对势阱壁施加的作用力恒定，即F2=F3。由式(10)可得，在状态3时，系统作用在势阱壁上的力F3为：F3=∑i=1N∑n=1∞π2ℏ2n2mL33|bn(i)|2 (13)同理，令Rf=n2∑i=1N∑n=1∞|bn(i)|2，由F2=F3，可得：RiL23=RfL33 (14)此过程系统对外所做的功W23为：W23=∫L2L3F2dL=π2ℏ2mL22Ri(L3L2-1) (15)令λ2=L3/L2且λ21，代入式(15),得：W23=π2ℏ2mL22Ri(λ2-1) (16)该过程内能的变化量ΔU23为：ΔU23=E3-E2=π2ℏ22mL22(Rfλ22-Ri) (17)系统吸收的来自高温热源的热量Qin为：Qin=W23+ΔU23=π2ℏ22mL22(Rfλ22-3Ri+2λ2Ri) (18)（3）定熵膨胀过程。过程3→过程4为定熵膨胀过程。该过程系统对外做的功W34为：W34=π2ℏ22mL22(1λ22-1λ12)Rf (19)（4）定容放热过程。过程4→过程1为等容放热过程，此过程势阱宽度基本恒定，系统不对外做功，系统向低温热源释放的热量Qout为：Qout=π2ℏ22mL12(Ri-Rf) (20)2.3循环周期假设势阱的壁面沿着轴线以一定的速率v¯运动，在循环过程中，势阱壁的总移动距离L为2(L1-L2)。该量子系统的弛豫时间是ℏ/E，若L/v¯≪ℏ/E，可以把系统从一个状态到另一个状态的转变视为无限慢，每一状态是平衡的[35]。该循环的周期τ为：τ=2(L1-L2)v¯ (21)2.4循环性能参数考虑热漏对整个系统的影响，假设每个周期的平均热漏率Q˙r为：Q˙r=π2ℏ22mL22α (22)其中，α0且为恒定值，在此周期内，每个周期的热漏量Qr为：Qr=Q˙τ=π2ℏ22mL22⋅2αL2v¯(λ1-1) (23)系统吸收的来自高温热源的真实热量Q1以及释放的来自低温热源的真实热量Q2分别为：Q1=Qin+Qr=π2ℏ22mL22Ri3(λ2-1)+π2ℏ22mL22⋅2αL2v¯(λ1-1) (24)Q2=|Qout|+Qr=π2ℏ22mL22Riλ23-1λ12+π2ℏ22mL22⋅2αL2v¯(λ1-1) (25)由式(12)、式(16)和式(19)，可得循环的输出功W为：W=π2ℏ22mL22Ri1-λ23-3λ12+3λ12λ2λ12 (26)由式(24)和式(26)，可得循环的效率η为：η=WQ1=1-λ23-3λ12+3λ12λ23λ12(λ2-1)+2αL2v¯λ12(λ1-1) (27)由式(21)和式(26)，可得循环的输出功率P为：P=Wτ=π2ℏ2Ri2mL22⋅1-λ23-3λ12+3λ12λ22L2v¯λ12(λ1-1) (28)无量纲输出功率P*=P/π2ℏ2Ri2mL22，为：P*=1-λ23-3λ12+3λ12λ22L2v¯λ12(λ1-1) (29)有效功率EP=P*η，为：EP=π2ℏ2Ri2mL22⋅[1-λ23-3λ12+3λ12λ2]2λ14(λ1-1)2L2v¯[3(λ2-1)+2αL2v¯(λ1-1)] (30)无量纲有效功率EP*=EP/π2ℏ2Ri2mL22，为：EP*=[1-λ23-3λ12+3λ12λ2]2λ14(λ1-1)2L2v¯[3(λ2-1)+2αL2v¯(λ1-1)]=[3(λ2-1)2L2v¯(λ1-1)+α]η2 (31)3循环性能分析为了方便计算，令2L2/ v¯=1。由式(27)可知，热漏系数α为0.01时，截止比λ2取值分别为2.0、2.5、3.0，截止比不同时压缩比对循环效率的影响如图2所示。循环效率与压缩比的关系是单调递增曲线，在截止比恒定的情况下，循环效率与压缩比呈正相关；给定压缩比，循环效率与截止比呈负相关。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.08.013.F002图2截止比不同时压缩比对循环效率的影响给定截止比λ2为3时，热漏系数α分别为0.01、0.02、0.03，不同热漏系数时压缩比对循环效率的影响如图3所示。压缩比越大，循环效率越高，变化规律越明显；压缩比一定时，循环效率随着热漏系数的增大而减小。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.08.013.F003图3不同热漏系数时压缩比对循环效率的影响截止比λ2分别为2.0、2.5、3.0时，压缩比和截止比对无量纲输出功率的影响如图4所示。无量纲输出功率和压缩比呈负相关；在压缩比不变的情况下，无量纲输出功率与截止比呈正相关。随着截止比的增大，无量纲输出功率升高。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.08.013.F004图4压缩比和截止比对无量纲输出功率的影响截止比λ2为4时，热漏系数α分别为0.01、0.10、0.20，热漏系数和压缩比对无量纲有效功率的影响如图5所示。无量纲有效功率与压缩比的关系曲线为类抛物线形，在最佳工况下，EP*-λ1曲线斜率为0。随着压缩比增大，无量纲有效功率先增大后减小。在压缩比相同的情况下，无量纲有效功率与热漏系数呈负相关。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.08.013.F005图5热漏系数和压缩比对无量纲有效功率的影响热漏系数α为0.01时，截止比分别为4.8、4.9、5.0，压缩比和截止比对无量纲有效功率的影响如图6所示。无量纲有效功率与压缩比的关系曲线为类抛物线型，在最佳工况下，其斜率为0。随着压缩比增大，无量纲有效功率先增大后减小。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.08.013.F006图6无量纲有效功率与压缩比和截止比的关系曲线令λ3=3(λ2-1)(λ1-1)，且λ3∈(0,3)。热漏系数α为0.01时，λ3分别为1.5、1.7、1.9，λ3和热效率对无量纲有效功率的影响如图7所示。无量纲有效功率与效率的关系曲线为单调递增曲线，无量纲有效功率随着效率的增大而增加。当效率一定时，无量纲有效功率随λ3的增大而增大。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.08.013.F007图7无量纲效率与效率的关系曲线4结语应用有限时间热力学理论和薛定谔方程，以有效功率作为目标函数，导出循环效率、无量纲输出功率和无量纲有效功率的表达式，研究截止比、压缩比与热漏系数对循环性能参数的影响，得出如下结论：给定热漏系数，循环效率与压缩比之间的关系曲线为单调递增曲线，循环效率随着压缩比的增加而增加，在压缩比恒定的条件下，效率与截止比呈负相关；给定截止比，循环效率与压缩比的关系曲线为单调的递增曲线，循环效率随压缩比的提高而提高，在压缩比不变的情况下，效率与热漏系数呈负相关。在截止比一定的条件下，无量纲输出功率与压缩比呈负相关，且随着压缩比的增加而降低；在压缩比恒定的条件下，截止比增大，无量纲输出功率也增大。给定截止比，无量纲有效功率与压缩比的关系曲线为类抛物线形，在最佳工况下，其斜率为0。随着压缩比增大，无量纲有效功率先增大后减小，压缩比一定时，无量纲有效功率与热漏系数呈负相关；给定热漏系数，无量纲有效功率与压缩比关系曲线呈类抛物线形，在最佳工况下，其斜率为0。随着压缩比增大，无量纲有效功率先增大后减小。给定热漏系数，无量纲有效功率与效率的关系曲线为单调递增曲线，随着效率的增大而增加，当效率一定时，无量纲有效功率随λ3的增大而增大。