引言1959年Scovil提出三能级量子热机模型[1]，此后许多学者提出了以各种不同的量子系统（一维无限深势阱中的粒子[2]、一维无限深势阱中相对论粒子[3]、谐振子系统[4]等）为工质的量子能量转换装置与量子热力循环。利用这些常见的量子工质，许多学者应用有限时间热力学[5-6]研究了量子卡诺循环、布雷顿循环[7]等的热力性能，得到许多结论。在热机的优化性能参数之中，功率和效率作为两种最主要的参数被学者们广泛研究[8-9]。此外，有效功率（功率与效率的乘积）也是重要的热机性能指标之一。在有效功率点，热机的效率和功率可以取较大值。矩形循环是一种新的热机循环模型，该循环由两个等压过程和两个等容过程组成。Ferreira[10]应用经典热力学理论，推导矩形循环的输出功率和效率公式。在此基础上，刘雄[11]等应用有限时间热力学理论，研究了存在传热损失的内可逆空气标准矩形循环模型中的系统功率、效率特性。巩启锐[12-14]等研究了内可逆矩形循环的功率密度[12]和有效功率[13]特性，并应用NSGA-II算法进一步实现了不可逆矩形循环的四目标优化[14]。文献[10]至文献[14]均以宏观矩形循环为研究对象。在文献[11]至文献[14]的基础上，文中将以无数个囚禁于一维无限深势阱中的极端相对论粒子为工质，建立不可逆量子矩形热机循环。考虑高低温热源间的热漏，导出循环的无量纲功率、热效率和有效功率表达式，分析这些指标在以势阱宽度比为控制变量下的性能极值。1系统的量子力学描述考虑相对论效应，自由粒子的能量E为：E=cm2c2+p2 (1)式中：m——粒子质量，MeV；p——动量，MeV；c——光速，m/s。在极端相对论情形下(m=0)，式(1)为E=cp。一维无限深势阱中的相对论粒子的波函数Φ(x)满足以下关系[15]：ℏ2c2d2Ф(x)dx2+E2Ф(x)=0 (2)式中：ℏ——约化普朗克常量。波函数Φ(x)满足边界条件Φ(0)=0和Φ(L)=0。系统波函数Ф(x)为：Ф(x)=∑n=1∞an2Lsin(nπLx) (n=1,2,3,......) (3)系数an满足归一化条件：∑n=1∞an2=∑n=1∞pn=1 (4)式中：pn——粒子出现在第n个能级的概率。粒子的能量本征值En为[15]：En=hc2Ln (n=1,2,3,......) (5)式中：h——普朗克常量；n——量子数；L——势阱壁的宽度。因此，系统的哈密顿量的期望值E(L)为：E(L)=∑n=1∞an2En=∑n=1∞pnEn (6)在经典热力学循环中，系统通过活塞往复运动实现对外做功。在量子循环中，系统通过势阱壁的运动实现对外做功。因此，定义施加于势阱壁上的广义力Yn为：Yn=-dWdyn (7)式中：dyn——广义力Yn对应的广义坐标。根据式(5)~式(7)得到施加在势阱壁上的力F为：F=∑n=1∞pnhc2L2n (8)2不可逆量子矩形循环以一维无限深势阱中的相对论粒子为研究对象，粒子在各个能级上的概率由吉布斯分布率描述。考虑基态与第一激发态两个能级，循环工质由无数个上述粒子组成。该量子循环由两个等势阱力过程（过程1→2和过程3→4）与两个等势阱宽度过程（过程2→3和过程4→1）组成。量子矩形循环F-L关系如图1所示。图1中该循环为一个矩形，故称其为量子矩形循环。量子矩形循环T-s关系如图2所示。系统从温度为TH的高温热源吸收热量，并向温度为TL的低温热源释放热量，考虑高低温热源间的热漏，该循环为不可逆量子矩形循环。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.09.010.F001图1量子矩形循环F-L关系10.3969/j.issn.1004-7948.2023.09.010.F002图2量子矩形循环T-s曲线过程1→2为等势阱力吸热过程，作用在势阱壁上的力不发生变化，根据热力学第一定律有：dQ=dE+FconstdL (9)在状态点1时，施加在势阱壁上的力F1为：F1=hc2L12(1+p1) (10)式中：pi(i=1,2,3,4)——粒子在第一激发态的占有概率。在状态点2时，施加在势阱壁上的力F2为：F2=hc2L22(1+p2) (11)从状态点1到状态点2的过程中，施加在势阱壁上的力不变，系统对外做功W12为：W12=∫L1L2FdL=hc(1L1-1L2)+kTHlnp1p2 (12)在状态点1时，系统的总能量E1为：E1=hc2L1(1+p1) (13)同理可得状态点2的系统总能量，应用文献[2]和文献[3]的处理方法，将式(12)和式(13)代入式(9)，得出该过程系统吸收的热量Q12为：Q12=E2-E1+W12=hc2L1(1-p1)+hc2L2(p2-1)+kTHlnp1p2 (14)过程2→3为等势阱宽度放热过程，势阱壁的宽度不发生变化，根据热力学第一定律有：dQ=dE (15)该过程系统释放的热量Q23为：Q23=E3-E2=hc2L2(p3-p2) (16)过程3→4为等势阱力放热过程，系统做功W34为：W34=∫L2L1FdL=hc(1L2-1L1)+kTLlnp3p4 (17)该过程系统释放的热量Q34为：Q34=E4-E3+W34=hc2L2(1-p3)+hc2L1(p4-1)+kTLlnp3p4 (18)过程4→1为等势阱宽度吸热过程，该过程系统吸收的热量Q41为：Q41=E1-E4=hc2L1(p1-p4) (19)3循环主要性能参数理想的矩形循环模型无任何损失，但实际情况中需要考虑高低温热源之间热漏的影响。根据文献[2]和文献[3]的处理方法，假设高低温热源之间存在热漏，热漏率Q˙i为：Q˙i=hcv¯4L12α (20)式中：α——热漏系数，为常数；v¯——势阱壁的平均运动速度。循环的漏热量Qe为：Qe=Q˙iτ (21)式中：τ——循环周期。因此，由式(14)、式(19)和式(21)得出系统从高温热源吸收的热量QH为：QH=Qin+Qe=Q41+Q12+Qe=hc2L1(1-p4)+hc2L2(p2-1)+kTHlnp1p2+hcv¯4L12ατ (22)由式(16)、式(18)和式(19)得出系统向低温热源释放的热量QL为：QL=Qout+Qe=Q23+Q34+Qe=hc2L1(1-p2)+hc2L2(p4-1)+kTLlnp3p4+hcv¯4L12ατ (23)根据文献[16]对循环周期的处理方法，假设势阱壁的运动类似经典热力循环中的活塞运动，势阱壁以速度v(t)运动，平均速度为v¯，可以得到以下关系式：L2-L1=∫L1L2v(t)dt=v¯τ12 (24)循环中等势阱力过程1→2与过程3→4所需要的时间τ12和τ34为：τ12=τ34=L2-L1v¯ (25)循环中过程2→3和过程4→1为等势阱宽度过程，过程中系统内能变化。假设系统的内能随时间的变化率为常数，系统温度随时间的变化率为M。dTdt=±Mi (26)式中：M——等势阱宽度过程中工质温度随时间的平均变化率，正负号分别表示吸热过程4→1(i=1)和放热过程2→3(i=2)。因此等势阱宽度过程2→3和过程4→1所需要的时间τ23和τ41分别为：τ23=TH-TLM2 (27)τ41=TH-TLM1 (28)由式(25)、式(27)和式(28)得出该不可逆量子矩形循环的周期τ为：τ=τ12+τ23+τ34+τ41=(1M1+1M2)(TH-TL)+2(L2-L1)v¯ (29)由式(12)和式(17)得出系统输出净功W为：W=kTHlnp1p2+kTLlnp3p4 (30)引入势阱宽度比x=L2/L1(x1)，高低温热源比r=TH/TL(r1)，则该不可逆量子矩形循环功率P为：P=Wτ=kTLv¯2L1rlnp1p2+lnp3p4(x-1)+v¯TL2L1(1M1+1M2)(r-1) (31)无量纲功率P*=P/(kTLv¯/2L1)可以表示为：P*=rlnp1p2+lnp3p4(x-1)+v¯TL2L1(1M1+1M2)(r-1) (32)热效率η和Wη为：η=WQH=[1/ln(1p1-1)]×{(lnp1p2+1rlnp3p4)/[1-p4+1xp2-1x+(lnp1p2)/ln(1p1-1)+α(x-1)+αv¯TL2L1(1M1+1M2)(r-1)]} (33)Wη=P*⋅η=(rlnp1p2+lnp3p4)2/{[rln(1p1-1)]×[1-p4+p2-1x+(lnp1p2)/ln(1p1-1)+α(x-1)+αv¯TL2L1(1M1+1M2)(r-1)]×[x-1+v¯TL2L1(1M1+1M2)(r-1)]} (34)系统在各个状态i(i=1,2,3,4)时，第一激发态上的占有概率为吉布斯分布[2]。pi=1/{1+exp[Δi/KT]} (35)Δi=Ei2-Ei1 ()式中：k——玻尔兹曼常数；Δi——各个状态i(i=1,2,3,4)的能级宽度。其中，Δ1为：Δ1=hc2L1=KTHln(1p1-1) (36)由式(34)和式(35)得出：p2=1/{1+exp{[ln(1/p1-1)]/x}} (37)p3=1/{1+exp{[ln(1/p1-1)]r/x}} (38)p4=1/{1+exp{[ln(1/p1-1)]r}} (39)根据式(36)~式(38)，在r给定时，p2、p3和p4是关于x和p1的函数。4循环性能分析与优化P*随x和p1的变化趋势如图3所示。计算时取温比r=2，ξ=v¯TL2L1(1M1+1M2)=2，ξ是由系统决定的无量纲纯数。P*随x或p1的变化趋势呈现凸单调的关系，存在最大无量纲功率Pmax*和其对应的最佳xmp、p1mp。η随x与p1的变化趋势如图4所示。计算时α取0.1。η随x(p1)的变化趋势也呈凸单调的关系，存在最大热效率ηmax和其对应的最佳xmη、p1mη。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.09.010.F003图3P*随x和p1的变化趋势10.3969/j.issn.1004-7948.2023.09.010.F004图4η随x和p1的变化趋势p1取定值0.1，以x作为控制变量，P*-η的关系曲线如图5所示。该曲线是回原点的扭叶形。热漏系数α对P*-η关系曲线有影响。以α=0.01时的曲线为例，存在一个无量纲功率最大值Pmax*以及对应的热效率ηmp；同样也存在一个最大的热效率ηmax以及对应的无量纲功率Pmη*，ηmp=0.311、Pmax*=0.096和ηmax=0.336、Pmη*=0.080。将曲线分段，区间A的范围是由无量纲功率与热效率优化曲线所决定的热机的最优设计区间。同理可得，α=0.02时，ηmp=0.273、Pmax*=0.096和ηmax=0.286、Pmη*=0.088。α=0.05时，ηmp=0.198、Pmax*=0.096和ηmax=0.202、Pmη*=0.093。随着热漏系数α的增大，热机的最优设计区间越小。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.09.010.F005图5p1=0.1时P*-η的关系曲线α不同时Wη与η的关系曲线如图6所示。循环中Wη和η的关系为扭叶形，可得到有效功率最大时对应的热效率。由式(34)表明：Wη和x为类抛物线形关系，Wη随x先增大后减小，存在最佳势阱宽度比使有效功率达到最大值。势阱宽度较小(x1.5)时，α的变化对有效功率和势阱宽度比的关系曲线的影响较小；势阱宽度较大(x1.5)时，随着α的增加，有效功率最大值Wηmax降低。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.09.010.F006图6α不同时Wη与η的关系曲线α=0.02时Wη-η和P*-η的关系曲线如图6所示。最大有效功率Wηmax对应的热效率ηmw为0.278，最大无量纲功率P*对应的热效率ηmp为0.273，相比可知，最大有效功率Wηmax对应的热效率比最大无量纲功率P*对应的热效率提高1.83%；有效功率Wηmax最大时，无量纲功率Pmw*为0.095 83，略小于无量纲功率最大值Pmax*(0.096 34)，有效功率最大时的无量纲功率比无量纲功率最大值降低0.53%。无量纲功率最大时有效功率为0.026，略小于有效功率最大值Wηmax(0.027)，有效功率降低3.70%。与无量纲功率最大相比，以有效功率最大为优化目标时，采取功率和效率的折中，热机牺牲部分功率，能够换来热机效率的增加，有效功率兼顾了功率与效率性能。10.3969/j.issn.1004-7948.2023.09.010.F007图7α=0.02时Wη-η和P*-η的关系曲线5结语文中以无数个囚禁于一维无限深势阱中的极端相对论粒子为工质，建立不可逆量子矩形热机循环模型，应用有限时间热力学与量子热力学，导出循环的无量纲功率、热效率和有效功率的表达式，研究了循环的最优性能，得出以下结论。无量纲功率P*随x或p1的变化关系为凸单调的关系；热效率η随x或p1的变化趋势亦呈凸单调的关系；以势阱宽度比为控制变量，无量纲功率P*与热效率η的关系曲线为回原点的扭叶型。以无量纲功率与效率为优化目标时，量子矩形循环的最优设计区间处于无量纲功率P*的最大值与热效率η的最大值之间。随着热漏系数α的增大，热机的最优设计区间越小。循环Wη-x的关系曲线为类抛物线形，存在最佳势阱宽度比使有效功率达到最大值；循环Wη-η的关系曲线为扭叶形，与以功率最大为优化目标相比，以有效功率为优化目标兼顾了功率与效率，热机牺牲部分功率能够换来热机效率的增加。研究结果对以无数个囚禁于一维无限深势阱中的极端相对论粒子为工质的不可逆量子矩形循环设计有一定的理论参考价值。