引言作为经典不可逆热力学的拓展，有限时间热力学[1-2]考虑有限时间和有限尺寸的约束条件，所得结论贴近实际。在不能视为理想气体（低温、高密度）和微观尺度的情况下，经典热力学理论不能准确描述气体性质[3]。为了贴合实际情况，在循环模型中引入量子工质[4-5]。许多学者建立了以一维无限深势阱中的极端相对论粒子[6-9]、自旋粒子[10]、费米子[11]等为工质的量子热机进行研究，也有学者通过建立多能级模型[12-14]、设置不同优化目标[15-21]、研究不可逆因素[22-24]的影响等方式讨论热机的性能。吴锋[25]等建立了二能级量子斯特林热机循环模型，导出了输出功和热效率的表达式，得到了热机的最佳运行区段。KLATZOW[26]等通过金刚石设计了在实验室条件下运行的两种量子热机，研究量子热机的性能特性。PARGA-REGALADO[27]在有限时间热力学的背景下研究等温内可逆化学热机的热力学性能与热经济性优化。在文献[3]、文献[5]、文献[6]、文献[18]、文献[19]、文献[25]的基础上建立一个量子卡诺热机循环模型。循环工质为无数个囚禁于一维无限深势阱中的极端相对论粒子。考虑高低温热源之间的热漏，导出无量纲功率、效率和有效功率的表达式，并讨论了多种因素对循环性能的影响。1系统的量子热力学描述研究对象为囚禁于一维无限深势阱中的极端相对论粒子，其能量[9]为E=cp，其中c为光速，p为粒子的动量。囚禁于势阱宽度为L的一维无限深势阱中的极端相对论粒子的波函数满足：d2Φdx2+E2ℏ2c2Φ=0 (1)式中：Φ——波函数；ℏ——约化普朗克常数。波函数满足两个边界条件Φ(0)=0和Φ(L)=0。Φ(x)=∑n=1∞an2Lsin(nπLx) (n=1,2,3,⋅⋅⋅) (2)其中，系数an和粒子分布概率pn满足归一化条件∑n=1∞pn=∑n=1∞an2=1。粒子的能量本征值En为：En=hc2Ln (n=1,2,3,⋅⋅⋅) (3)式中：h——普朗克常数；n——量子数。哈密顿量的期望值E(L)为：E(L)=∑n=1∞an2En=∑n=1∞pnEn (4)类比于经典热力学中活塞的运动过程，势阱壁匀速运动时作用在其上的广义力Yn[9]为：Yn=-dWdyn (5)式中：dyn——广义力Yn对应的坐标位移。因此，系统中作用在势阱壁上的力F为：F=∑n=1∞pnFn=∑n=1∞pnhcn2L2 (6)2循环过程分析循环工质为囚禁于一维无限深势阱中的极端相对论粒子。热源的温度较低时，粒子在能量较高的能级分布的概率很小，因此只考虑基态和第一激发态两个能级，粒子的分布概率服从吉布斯分布。经典热力学中的卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程组成，分别对应量子卡诺循环的两个等能量过程与两个等概率过程。过程1→过程2，系统从温度为TH的高温热源吸热，对外做功；过程3→过程4，系统释放热量给温度为TL的低温热源。考虑高低温热源间的热漏，该循环是一个不可逆量子卡诺热机循环。作用在势阱壁上的力F(L)与势阱宽度L的关系如图1所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2024.02.013.F001图1作用在势阱壁上的力F(L)与势阱宽度L的关系在不同状态点时系统的总能量Ei为：Ei=1-piEa+piEb (i=1,2,3,4) (7)式中：i——不同的状态点；pi——i状态点时粒子处于第一激发态能级的概率；Ea和Eb——分别为基态和第一激发态能级的能量，Ea=hc/2Li，Eb=hc/Li。假设循环处于状态点1时粒子在基态和第一激发态都有分布。因此，系统在4个状态点时的总能量分别为：E1=1-p1Ea+p1Eb=1+p1hc2L1 (8)E2=1-p2Ea+p2Eb=1+p2hc2L2 (9)E3=1-p3Ea+p3Eb=1+p3hc2L3 (10)E4=1-p4Ea+p4Eb=1+p4hc2L4 (11)过程1→过程2为等能量吸热过程，系统的总能量不变，由E1=E2可得：L1/L2=1+p1/1+p2 (12)过程1→过程2，势阱宽度从L1增大到L2，系统吸收的热量与对外所做的功相等。该过程系统吸收的热量Q1→2为：Q1→2=THΔS=THS2-S1 (13)不同状态点时系统的熵Si[9]为：Si=k1-pilnpi1-pi-lnpi (14)式中：k——玻尔兹曼常数；pi——在状态点i时系统工质处于激发态n=2的概率。由式(13)和式(14)可得：Q1→2=kTHlnp1p2+1-p1ln1-p1p1-1-p2ln1-p2p2 (15)由广义力对位移积分，可以求出过程1→过程2中系统对外所做的功W1→2为：W1→2=∫L1L2FdL=hc21L1-1L2+kTHln1-p11-p2 (16)过程2→过程3为等概率膨胀过程，p2=p3，势阱宽度从L2增大到L3，系统不与外界换热，则系统对外界所做的功W2→3为：W2→3=1+p2hc21L2-1L3 (17)过程3→过程4为等能量放热过程，系统向低温热源释放热量，势阱宽度从L3减小到L4，系统释放的热量与外界对系统所做的功相等。由E3=E4可得：L3/L4=1+p2/1+p1 (18)过程3→过程4释放的热量Q3→4为：Q3→4=kTLlnp3p4+1-p3ln1-p3p3-1-p4ln1-p4p4 (19)外界对系统所做的功W3→4为：W3→4=∫L3L4FdL=hc21L3-1L4+kTLln1-p31-p4 (20)过程4→过程1为等概率压缩过程，p4=p1，势阱宽度由L4减小到L1，则外界对系统所做的功W4→1为：W4→1=1+p1hc21L4-1L1 (21)系统在各个状态点时分布在激发态上的概率[9]由吉布斯分布律给出。p1=1/1+expΔ1/kTH (22)p2=1/1+expΔ2/kTH (23)p3=1/1+expΔ3/kTL (24)p4=1/1+expΔ4/kTL (25)由式(22)可得：Δ1=hc2L1=kTHln1p1-1 (26)Δi=Eib-Eia为各个状态i(i=1,2,3,4)的能级宽度。由式(23)、式(24)和式(25)可得：p2=1/1+expx/rln1/p1-1 (27)p3=1/1+exp1/rln1/p1-1 (28)p4=1/1+exp1/xln1/p1-1 (29)式中：x——高低温热源的温度比，x=TH/TL；r——势阱宽度比，r=L3/L1。由p2=p3、p4=p1可得：L1=xrL2=1rL3=1xL4 (30)由式(12)可知，x/r的取值范围为0.5≤r/x≤2。3性能参数假设单位时间内循环的热漏量Q˙[12]为：Q˙=αhc2L1 (31)式中：α——高低温热源之间的热漏系数。因此，每个循环的热漏量Qr为：Qr=Q˙τ (32)式中：τ——循环周期。假设势阱壁的运动类似于经典热力学中的活塞，一个循环的路程为2(L3-L1)，势阱壁的平均速度为v¯，则有τ=2(L3-L1)/v¯考虑热漏时，每个循环系统从高温热源吸收的热量QH为：QH=Q1→2+Qr=kTHlnp1p2+1-p1ln1-p1p1-1-p2ln1-p2p2+αhc2L12L3-L1v¯ (33)每个循环系统释放给低温热源的热量QL为：QL=Q3→4+Qr=kTLlnp3p4+1-p3ln1-p3p3-1-p4ln1-p4p4+αhc2L12L3-L1v¯ (34)由式(16)、式(20)和式(26)可得循环的输出功W为：W=kTH1+1-xr-1xln1p1-1+ln1-p11-p2-1xln1-p31-p4 (35)循环的输出功率P为：P=Wτ=v¯kTH2L11r-11+1-xr-1xln1p1-1+ln1-p11-p2-1xln1-p31-p4 (36)无量纲功率P*=P/v¯kTH/2L1为：P*=1r-11+1-xr-1xln1p1-1+ln1-p11-p2-1xln1-p31-p4 (37)循环的热效率η和有效功率Pe为：η=WQH=1+1-xr-1xln1p1-1+ln1-p11-p2-1xln1-p31-p4lnp1p2+1-p1ln1-p1p1-1-p2ln1-p2p2+αln1p1-12L1r-1v¯ (38)Pe=P*η=1+1-xr-1xln1p1-1+ln1-p11-p2-1xln1-p31-p42lnp1p2+1-p1ln1-p1p1-1-p2ln1-p2p2+αln1p1-12L1r-1v¯r-1 (39)4性能分析在计算中取ξ=2L1/v¯=1，其中ξ是无量纲常数。假设热漏系数α=0.01，工质温比x=2。r和p1对循环性能（P*、η和Pe）的影响如图2~图4所示。由图2可知，P*与p1(r)的关系为类抛物线曲线，存在一个p1(r)使得P*取最大值。由图3可知，η与p1的关系为单调递增凹曲线，p1取值越大（意味着系统的总能量越大，高温热源的温度越高），η越高；η与r的关系为单调递增凸曲线，η随着r取值的增大而增大。由图4可知，Pe与p1的关系为单调递增凹曲线，p1取值越大，则高温热源的温度越高，Pe越大；Pe与r的关系为类抛物线形曲线，Pe随着r的增大而先增大后减小。10.3969/j.issn.1004-7948.2024.02.013.F002图2P*与r和p1的关系10.3969/j.issn.1004-7948.2024.02.013.F003图3η与r和p1的关系10.3969/j.issn.1004-7948.2024.02.013.F004图4Pe与r和p1的关系α、x对P*与η的关系曲线的影响如图5和图6所示。由图5可知，P*与η的关系曲线为扭叶形，存在一个最大无量纲功率Pmax*及相应的效η，也存在一个最大效率ηmax及相应的P*。α对η有较大的影响，α的取值越大，η的最大值越小，而P*的最大值不受α取值变化的影响。如图6可知，工质温比对P*有较大的影响，x的取值越大，P*的最大值越小，而在x=4时循环的效率高于x=2和x=8时循环的效率。10.3969/j.issn.1004-7948.2024.02.013.F005图5热漏系数对无量纲功率与效率的关系曲线的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2024.02.013.F006图6工质温比对无量纲功率与效率的关系曲线的影响α、x对Pe与η的关系曲线的影响如图7和图8所示。Pe与η的关系曲线为扭叶形，存在一个最大有效功率Pemax及相应的η，也存在一个最大效率ηmax及相应的有效功率。由图7可知，α对Pe和η均无明显影响，α取值越大，Pe和η的最大值越小。由图8可知，x对Pe有较大的影响，x取值越大，Pemax越小，而在x=4时循环的效率高于x=2和x=8时循环的效率。10.3969/j.issn.1004-7948.2024.02.013.F007图7热漏系数对有效功率与效率的关系曲线的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2024.02.013.F008图8工质温比对有效功率与效率的关系曲线的影响取α=0.01，在x=2、p1=0.1时的曲线进行比较，由图5得出无量纲功率与效率的关系曲线的最大值点，分别为无量纲功率最大值点(Pmax*=0.333 9，η=0.018 2)和效率最大值点(P*=0.203 9，ηmax=0.025 1)；由图7得出有效功率与效率的关系曲线的最大值点，分别为有效功率最大值点(Pemax=0.006 8，η=0.022 0)和效率，最大值点(Pe=0.005 1，ηmax=0.025 1)。根据图1和图2可得在无量纲功率和有效功率取得最大值时对应的势阱宽度比分别为(r=2.85，Pmax*=0.333 9)，(r=3.77，Pemax=0.006 8)。有效功率最大(Pemax=0.006 8)时，相应的无量纲功率为P*=0.309 1，相比于最大无量纲功率(P*max=0.333 9)下降了7.3%，相应的效率为η=0.022 0，相比于无量纲功率最大时的效率(Pmax*=0.333 9，η=0.018 2)上升了17.3%；在无量纲功率最大(P*max=0.333 9)时，相应的有效功率为Pe=0.006 1，相比于最大有效功率(Pemax=0.006 8)下降了10.3%。由以上分析可以看出，有效功率能够同时考虑功率与效率，在保证功率较大时兼顾较高的效率。有效功率较大的工作点可以作为量子热机设计时的参考工作点。5结语以一维无限深势阱中极端相对论粒子为工质，建立不可逆量子卡诺热机循环模型，应用有限时间热力学与量子热力学的研究方法导出循环性能参数的表达式，分析循环性能系数与各参数之间的关系，研究α、p1和r对循环性能的影响。结果表明：第一，P*是p1的类抛物线型曲线函数，η和Pe都是p1的单调递增凹曲线函数；P*与Pe都是r的类抛物线型曲线函数，η是r的单调递增凸曲线函数。第二，P*与η的关系曲线中α取值越大，η越低，α变化对P*无明显影响；Pe与η的关系曲线中α的变化对Pe和η都有明显影响，α取值越大，Pe和η都越小。第三，在P*与η、Pe与η的关系曲线中都有工质温比取值越大，P*和Pe越小，而在x=4时循环的效率高于x=2和x=8时循环的效率。第四，有效功率能够在考虑功率的同时保证效率，将其作为优化目标时可以兼顾功率与效率，在有效功率较大的工作点运行的热机能够拥有较大的功率和较高的效率。