碳纤维复合材料具有高比强度比刚度、耐疲劳、阻尼减振性能优异等特点，被广泛应用于航空航天、交通运输、能源开采等领域。在航空航天领域中，飞机机翼、机舱内壁及航空发动机等的制造中均使用了大量的碳纤维复合材料。机翼等复杂结构具有密集的固有频率和多重模态振型，在飞行过程中易受到外部扰动，无法避免地产生共振，共振产生的疲劳损伤会导致安全隐患。由于机翼、机舱内壁等的结构复杂，许多专家将其简化为梁或板结构进行振动特性分析。陈浩等[1]使用拉格朗日法给出了悬臂梁的振动方程。吕胜利等[2]基于Hamilton原理推导出层合梁的振动方程。许琪楼[3]提出了矩形薄板主振方向的概念，并推导出满足其边界条件的振动方程。吕书锋等[4]提出了一种抑制功能梯度材料悬臂板振动的鲁棒控制方法。刘艮等[5]利用非线性能量阱(NES)对悬臂矩形板进行减振研究。BAE等[6]提出并利用了一种有效的方法来抑制类似于卫星太阳能电池板的悬臂板的振动。QIU等[7]针对压电柔性悬臂板，研究了一种新型全场非接触式振动测量方法，该方法采用了激光点投影视频测量法。郭琛琛等[8]基于一阶剪切变形理论，使用二维谱切比雪夫法研究了复合材料层合板的振动特性。蒋建平等[9]建立了含压电层的薄板和中厚板的计算模型。随着压电复合材料的快速发展，利用压电陶瓷纤维片对悬臂梁、悬臂板进行振动控制研究受到了各界学者们的广泛关注。魏井君等[10]基于查表法设计了模糊PI控制器，有效地抑制了悬臂梁的振动。曹青松等[11-12]使用模糊PID控制方法和PSO-PID控制方法，对柔性悬臂梁的振动进行控制。马驰骋等[13]基于模糊PID控制器对变质量柔性悬臂梁振动进行主动控制。盛贤君等[14]运用PID控制方法和模糊控制方法对压电悬臂梁的振动进行了研究。QIU等[15-16]基于PD控制方法采用视觉传感技术对压电悬臂板振动进行了研究，并提出了一种复合非线性控制器。ZORIĆ等[17]研究了模糊控制器对纤维增强复合悬臂板的振动控制问题。本实验针对压电悬臂碳纤维层合板，基于Kirchhoff薄板理论和Hamilton原理建立动力学模型，并根据有限元分析获得悬臂层合板应力集中区域，确定压电陶瓷纤维片的铺设位置。采用MATLAB的Simulink模块设计PID控制器、模糊控制器以及模糊PID控制器对悬臂层合板的振动进行仿真研究，并对三种方法的控制结果进行对比分析，期望得到三者中最优的控制方法。1压电悬臂碳纤维层合板动力学模型1.1压电陶瓷纤维片本构方程压电陶瓷纤维片是由压电纤维和环氧聚合物组成的压电复合材料，有横向伸长、收缩和45°斜边伸长三种变形模式，压电陶瓷纤维片的材料为锆钛酸铅(PZT)，图1为压电陶瓷纤维片的结构。10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F001图1压电陶瓷纤维片结构Fig.1Structural of piezoelectric ceramic fiber sheet本实验中用作制动器和传感器的压电陶瓷纤维片型号为MFC-P1，并假设它的材料结构为各向异性，表1为MFC-P1材料参数。10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.T001表1MFC-P1材料参数Tab.1MFC-P1 material parameters参数符号数值弹性模量/GPaE130.30E315.90剪切模量/GPaG125.50泊松比υ120.31υ210.16压电系数/（C·m-2）e1111.60e1218.60介电常数/（10-9C2·N-1m-2）ξ1111.20密度/（kg·m-3）ρ5440.00MFC-P1的压电方程为：σMFC=σxMFCσyMFCτxyMFC=C11C120C12C22000C66εxMFCεyMFCγxyMFC-e11MFC00e12MFC00000E1MFC00 (1)D1MFC00=e11MFCe12MFC0000000εxMFCεyMFCγxyMFC-ζ11MFC00000000E1MFC00 (2)式(1)~式(2)中：[σMFC]为MFC的应力向量；[σxMFC]、[σyMFC]、[τxyMFC]分别为MFC的正应力分量和切应力分量；εxMFC、εyMFC、γxyMFC分别为MFC的正应变分量和切应变分量；C11、C12、C22、C66为MFC的弹性系数；E1MFC和D1MFC分别为MFC的电场强度和电位移；e11MFC、e12MFC、ξ11MFC分别为MFC的压电系数和介电常数。1.2压电悬臂碳纤维层合板运动方程图2为压电悬臂碳纤维层合板的结构。10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F002图2压电悬臂碳纤维层合板结构Fig.2Structural of piezoelectric cantilever carbon fiber laminated plate从图2可以看出，板的长、宽、厚分别为a=80 mm，b=20 mm和h=2 mm，铺层方式都采用单向0°，共4层。表2为碳纤维层合板材料参数。10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.T002表2碳纤维层合板材料参数Tab.2Material parameters of carbon fiber laminates参数符号数值弹性模量/GPaE1166.70E29.20剪切模量/GPaG12、G13、G233.41泊松比υ12、υ130.34υ230.35密度/（kg·m-3）ρ1537.00基于Kirchhoff薄板理论，针对一边固支三边自由边界条件的层合板，板和MFC内任意一点的位移为：u=-z∂w∂x,v=-z∂w∂y,w=w0 (3)层合板的位移与应变关系为：ε=εxεyγxyT=-z∂2w∂x-z∂2w∂y-2z∂2w∂x∂yT (4)式(4)中：[ε]为层合板的应变向量；εx、εy、γxy为层合板的正应变分量和切应变分量。层合板的本构方程为：σl=σxσyτxy=Q11Q12Q16Q12Q11Q26Q16Q26Q66lεxεyγxy=Qlεxεyγxy (5)式(5)中：[Q]l为第l层板的弹性系数矩阵。Hamilton原理的表达式为：∫t1t2δT-Udt+∫t1t2δWdt=0 (6)式(6)中：T为压电层合板的动能；U为压电层合板的变形能；δW为压电层合板作的外力虚功。压电层合板动能的表达式为：T=12∫V ρu2+v2+w2dV+12∫VMFC ρMFCu2+v2+w2dVMFC (7)压电层合板变形能的表达式为：U=12∫V σTεdV+12∫VMFCσMFCTεMFCdVMFC-12∫VMFC D1E1dVMFC (8)式(7)~式(8)中：ρ为碳纤维层合板的密度；ρMFC为MFC-P1的密度；V为碳纤维层合板的体积；VMFC为MFC-P1的体积。外力虚功δW的表达式为：δW=Ftδwx0, y0 (9)式(9)中：F(t)为层合板的横向外载荷；x0，y0为横向外载荷施加位置的横、纵坐标。基于模态叠加原理，用主振型函数和广义坐标函数的乘积表示横向位移w，w的表达式为：wx, y, t=∑i=1m∑j=1nwijx, yqijt (10)式(10)中：m和n为假设的模态阶数；w(x, y)为满足压电层合板悬臂条件的主振型函数；q(t)为假设模态下的广义坐标函数。主振型函数w(x, y)的表达式为：W=W11,...,W1n,W21,...,W2n,Wm1,...,WmnT (11)广义坐标函数q(t)的表达式为：q=q11,...,q1n,q21,...,q2n,qm1,...,qmnT (12)设主振型函数Wmn(x, y)为x方向满足层合板悬臂边界条件的m阶振型函数Gm(x)和y方向满足层合板自由边界条件的n阶振型函数Hn(y)的乘积型函数，即Wmnx, y=GmxHny (13)式(13)中：Gmx=cos hkmx-coskmx-sin hkma-sinkmacos hkma+coskmasin hkmx-sinkmx, m=1,2,... (14)Hny=1,n=131-2yb,n=2sin hkny+sinkny+cosknb-cos hknbsin hknb+sinknbcoskny+cos hkny, n≥3 (15)Gm(x)应满足边界条件。固支边界条件：Wx=0=0,∂W∂xx=0=0 (16)自由边界条件：∂2W∂x2+υ∂2W∂y2x=a=0,∂3W∂x3+2-υ∂3W∂x∂y2x=a=0 (17)∂2W∂x2+υ∂2W∂y2y=0,y=b=0,∂3W∂y3+2-υ∂3W∂x2∂yy=0,y=b=0 (18)式(17)~式(18)中：υ为泊松比。将式(1)~式(5)代入式(7)、式(8)，得到层合板的总动能和总势能关于横向位移的表达式，将其与式(9)代入Hamilton原理表达式(6)，再利用式(10)~式(18)，经过变分运算和化简得到层合板的运动方程：Md2qtdt2+Cdqtdt+Kqt=KMFCTVMFC (19)式(19)中：M、C、K分别为含MFC层合板的模态质量阵、模态阻尼阵、模态弹性阵；KTMFC为MFC-P1的力电耦合阵；VMFC为MFC-P1的控制电压矩阵。1.3压电悬臂碳纤维层合板状态空间方程状态空间方程，是现代控制理论的出发点，已知层合板的运动方程，设系统的状态变量为：Xt=qtqt (20)系统的输入量为VMFC，则层合板的运动方程可以表示为如下状态空间方程的形式：qtqt=0-CM1-KMqtqt+0KMFCTVMFC (21)即：Xt=AXt+BVt (22)Yt=DXt (23)式(22)~式(23)中：矩阵A、B和D表示为：A=0-CM1-KM, B=0KMFCT, D=Wmnx,y,0 (24)2压电陶瓷纤维片的铺设对于悬臂层合板，振动所产生的能量主要集中在低阶区域内，压电陶瓷纤维片应当铺设在应力、应变最大处。对悬臂层合板进行有限元分析，图3为悬臂层合板前两阶模态的应力分布情况，图4为悬臂层合板前两阶模态的应变曲线。10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F003图3悬臂层合板一阶和二阶模态应力分布Fig.3Stress distribution of first order and second order modal of cantilever laminated plate10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F004图4悬臂层合板一阶和二阶模态应变曲线Fig.4Stress distribution of first order and second order modal of cantilever laminated plate从图3a和图4a可以看出，一阶振动模态下，悬臂层合板的最大应力、应变处在其根部。从图3b和图4b可以看出，二阶振动模态下，悬臂层合板的最大应力、应变处位于其根部，次最大应力、应变处位于其中部。因此得出应将压电陶瓷纤维片粘贴在悬臂层合板的根部以获得最大的驱动力。图5为压电陶瓷纤维片铺设情况。10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F005图5压电陶瓷纤维片位置Fig.5The position of piezoelectric ceramic fiber sheets3仿真分析将悬臂层合板的状态空间方程写入MATLAB的Simulink模块，对悬臂层合板的振动控制进行仿真研究。3.1PID控制PID控制因其原理简单、适应性强、操作灵活等特点被广泛应用于工程控制中，图6为PID控制的基本原理。10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F006图6PID控制原理Fig.6PID control principle根据预设的目标值r(t)与被控对象的输出量y(t)构成误差量e(t)，通过比例、积分和微分运算得到控制器的输出量u(t)，对被控对象进行控制，其运算规律满足：ut=kpet+ki∫0tetdt+kddetdt (25)本实验应用Ziegler-Nichols[18]参数整定法，图7为设计的PID控制器。10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F007图7PID控制器Fig.7PID controller3.2模糊控制模糊控制是以模糊集合、模糊函数和模糊规则为核心的控制方法，图8为模糊控制原理。根据预设的目标值r(t)与被控对象的输出量y(t)构成误差量e(t)，将误差量进行微分运算得到误差变化量ec(t)，将e(t)和ec(t)输入模糊控制器，经过模糊化、模糊逻辑推理、清晰化，得到控制器的输出量u(t)，对被控对象实现控制，图9为输出量u的模糊规则。一般的模糊控制不包含积分项导致控制结果产生稳态误差，为了解决这一问题，图10为本文设计的含积分项的模糊控制器。10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F008图8模糊控制原理Fig.8Fuzzy control principle10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F009图9u的模糊规则Fig.9Fuzzy rules for u10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F010图10模糊控制器Fig.10Fuzzy controller3.3模糊PID控制PID 控制作为经典控制理论在控制复杂系统时，会出现控制精度不足，稳定性差等问题。模糊控制相较于PID控制，对于复杂系统的控制精度高，但模糊控制的弊端是，模糊控制规则在实际应用中不能做出及时的调整，且无积分项易产生稳态误差。模糊PID控制器通过模糊控制规则可以实时调整PID的三个参数，使系统稳定性更高，动态适应性更好，图11为模糊PID原理。10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F011图11模糊PID原理Fig.11Fuzzy PID principle根据预设的目标值r(t)与被控对象的输出量y(t)构成误差量e(t)，将误差量进行微分运算得到误差变化量ec(t)，将误差量和误差变化量输入模糊控制器，经过模糊化、模糊逻辑推理、清晰化，得到PID三个参数的修正值Δkp、Δki、Δkd，将三个参数修正值经过线性运算得到PID三个参数的整定值kp、ki、kd，将误差值输入整定后的PID控制器得到控制器输出量u(t)，对被控对象进行控制。图12~图14为PID三个参数的模糊规则，图15为设计的模糊PID控制器。10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F012图12Δkp的模糊规则Fig.12Fuzzy rules for Δkp10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F013图13Δki的模糊规则Fig.13Fuzzy rules for Δki10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F014图14Δkd的模糊规则Fig.14Fuzzy rules for Δkd10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F015图15模糊PID控制器Fig.15Fuzzy PID controller对处于静止状态的悬臂层合板施加正弦激励信号，观察其在无控制和分别在PID控制、模糊控制及模糊PID控制下的振动情况，图16为得到的四种情况下悬臂层合板振幅的对比曲线。从图16可以看出，PID控制器使振动幅值下降了约45%，模糊控制器使振动幅值下降了约50%，模糊PID器使振动幅值下降了约63%。对处于静止状态的悬臂层合板施加正弦激励信号，在2 s后撤除激励并观察其在不受控制和分别在PID控制、模糊控制及模糊PID控制下的振动情况，图17为得到的三种情况下的控制器输出电压，图18为四种情况下的振动位移响应曲线。从图17可以看出，三种控制器输出的控制电压均在压电陶瓷纤维片的电压容许范围内，且模糊PID的反应速度最快。从图18可以看出，PID控制器在1 s左右使悬臂层合板恢复平稳，模糊控制器在0.5 s左右使悬臂层合板恢复平稳，模糊PID器在0.3 s左右使悬臂层合板恢复平稳。10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F016图16悬臂层合板振动幅值Fig.16Vibration amplitude of cantilever laminated plate10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F017图17控制器输出电压Fig.17Controller output voltage10.15925/j.cnki.issn1005-3360.2024.02.005.F018图18悬臂层合板振动位移响应曲线Fig.18Vibration displacement response curves of cantilever laminated plate4结论悬臂层合板一、二阶模态振型是弯曲模态，且应力、应变均集中在根部，压电陶瓷纤维片应铺设在其根部。PID控制、模糊控制和模糊PID控制都对悬臂层合板的振动产生了较好的抑制效果，但使用模糊PID的鲁棒性更高，可实时整定参数，自适应性更强，使悬臂层合板恢复平稳状态的时间最短，在最大程度上减小了悬臂层合板的振幅，控制效果更好。