引言自有限时间热力学(FTT)理论创立以后，国内外学者将其引入到各种循环研究中并且取得了巨大的进展[1-10]。磁流体动力(MHD)循环类似于传统布雷顿循环，但MHD循环产生功率的来源完全不同，当气态导体工作流体通过有磁场的发电机时产生电流。自有限时间热力学(FTT)理论创立以后，国内外学者将其引入到各种循环研究中并且取得巨大进展。应用FTT理论对MHD循环开展性能优化研究是其代表性的研究领域之一。Aydin[11]等分析不可逆MHD循环最大输出功率和相应的效率，但在循环模型中仅考虑发电机的损失而没有考虑压缩机中的损失。Sahin[12]等分析不可逆MHD循环在最大功率密度(循环输出功率与最大比容之比)条件下的循环特性。Assad[13-15]等建立恒温热源条件下不可逆MHD循环的模型，并对循环的功率和效率性能进行分析优化；陈林根[16]等建立变温热源条件下不可逆MHD循环模型，导出恒定气体速度和恒定马赫数情况下循环输出功率和效率的解析式。除了功率P和效率η等目标函数之外，部分学者对热机的其他性能目标进行优化。严子浚[17]首次将循环输出功率与效率的乘积作为目标函数，分析内可逆卡诺热机的性能。Yilmaz[18]首次将该目标函数称为有效功率。有效功率优化已经引入到粒子热机[19]，三级量子激光热机[20]和低耗散热机[21]的最优性能研究中。文中在文献[14]建立的MHD循环模型的基础上，将有效功率优化目标引入到性能分析中，导出有效功率的表达式，研究有效功率与效率之间的最优关系，比较最大有效功率和最大输出功率两种目标函数下循环的性能差异，分析循环各参数对有效功率最优性能的影响。1循环模型和性能分析MHD循环模型图如图1所示[12]。MHD循环T-s图[14]如图2所示。图2中，过程1→2表示压缩机中非等熵不可逆压缩过程，过程2→3表示高温侧的等压吸热过程，过程3→4表示MHD发电机中非等熵不可逆膨胀过程，过程4→1表示低温测的等压放热过程。过程1→2s和3→4s分别表示压缩机中等熵压缩过程和发电机等熵膨胀过程。循环工作流体视为理想气体，具有恒定热容率Cwf。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.08.006.F001图1MHD循环模型10.3969/j.issn.1004-7948.2021.08.006.F002图2MHD循环T-s图根据文献[16]可得循环吸热率、放热率分别为：QH=Cwf(T3-T2)=CwfEH(TH-T2) （1）QL=Cwf(T4-T1)=CwfEL(T4-TL) （2）式中：EH——高温侧换热器的有效度，EH=1-exp(-NH)；EL——低温侧换热器的有效度，EL=1-exp(-NL)；NH——高温侧换热器的传热单元数，NH=UH/Cwf；NL——低温侧换热器的传热单元数，NL=UL/Cwf；UH——高温侧换热器热导率；UL——低温侧换热器热导率。循环输出功率和效率分别为：P=QH-QL （3）η=WQH （4）一维稳态流的MHD发电机中的动量和能量方程分别为[16]：ρu(du/dZ)+dP/dZ=-JB （5）ρu[d(h+05u2)/dZ]=-JB （6）式中：ρ——气体密度，kg/m3；u——气体速度，m/s；h——气体的比焓，J/kg；J——气体的电流密度，A/m2；B——气体的磁场，T；E——电场的轴方向；Z——发电机的轴向方向。定义MHD发电机和压缩机的效率分别为[16]：ηe=JE/(JuB)=E/(uB) （7）ηc=T2S-T1T2-T1 （8）对于MHD循环，需要讨论MHD发电机中两种气体流动情况，即恒定气体速度情况和恒定马赫数情况。1.1恒定气体速度情况对于恒定气体速度情况，由式（5）、式（6）和式（7）可得：(k-1)(ηe/k)dP/P=dT/T （9）式中：k——工作气体的比热比。定义压缩机的等熵温比为：x=T2sT1=(P2P1)(k-1)k （10）对循环3→4过程，由式（9）和式（10）可得：T3T4=(P2P1)ηe(k-1)/k=xηe （11）联立式（8）和式（10）可得：T2T1=x-1+ηcηc （12）联立式（1）、式（2）、式（11）和式（12）可得：T2=xηe(x-1+ηc)ELTL-(x-1+ηc)(EL-1)EHTHηcxηe+(x-1+ηc)(1-EH)(EL-1) （13）T4=ηcEHTH+(x-1+ηc)(1-EH)ELTLηcxηe+(x-1+ηc)(1-EH)(EL-1) （14）将式（13）和式（14）代入式（1）和式（2）中，可得无量纲输出功率P¯u=P/(CwfTL)和效率η分别为：P¯u=ηcxηeEHτ+(x-1+ηc)(EHELτ+EHEL-EHτ-EL)-(x-1+ηc)xηeEHEL-ηcEHELτ+ηcxηeELηcxηe+(x-1+ηc)(1-EH)(EL-1) （15）η=ηcxηeEHτ+(x-1+ηc)(EHELτ+EHEL-EHτ-EL)-(x-1+ηc)xηeEHEL-ηcEHELτ+ηcxηeELηcxηeEHτ+(x-1+ηc)(EHELτ-EHτ)-(x-1+ηc)xηeEHEL （16）式中：τ——循环热源温比，τ=TH/TL。根据文献[17]、[18]对有效功率的定义，由式（15）和式（16）可得循环的有效功率为：EP=[ηcxηeEHτ+(x-1+ηc)(EHELτ+EHEL-EHτ-EL)-(x-1+ηc)xηeEHEL-ηcEHELτ+ηcxηeEL]2[ηcxηe+(x-1+ηc)(1-EH)(EL-1)][ηcxηeEHτ+(x-1+ηc)(EHELτ-EHτ-(x-1+ηc)xηeEHEL] （17）1.2恒定气体马赫数情况对于恒定马赫数情况，由式（5）、式（6）和式（7）可得：(k-1)(ηe/k)dP/P=[1+0.5(k-1)M2(1-ηe)]dT/T （18）对循环3→4过程，由式（18）可得：T3T4=xα （19）式中：α=ηe/[1+0.5(k-1)M2(1-ηe)]。比较式（11）和式（19）可知，恒定马赫数情况下的无量纲输出功率和效率表达式与恒定气体速度情况下无量纲输出功率和效率表达式类似。将恒定气体速度情况下的表达式中的ηe换成α，得到恒定马赫数情况下的无量纲输出功率、效率和有效功率表达式分别为：P¯M=ηcxαEHτ+(x-1+ηc)(EHELτ+EHEL-EHτ-EL)-(x-1+ηc)xαEHEL-ηcEHELτ+ηcxαELηcxα+(x-1+ηc)(1-EH)(EL-1) （20）η=ηcxαEHτ+(x-1+ηc)(EHELτ+EHEL-EHτ-EL)-(x-1+ηc)xαEHEL-ηcEHELτ+ηcxαELηcxαEHτ+(x-1+ηc)(EHELτ-EHτ)-(x-1+ηc)xαEHEL （21）EP=[ηcxαEHτ+(x-1+ηc)(EHELτ+EHEL-EHτ-EL)-(x-1+ηc)xαEHEL-ηcEHELτ+ηcxαEL]2[ηcxα+(x-1+ηc)(1-EH)(EL-1)][ηcxαEHτ+(x-1+ηc)(EHELτ-EHτ-(x-1+ηc)xαEHEL] （22）比较式（15）、（16）、（17）和式（20）、（21）、（22），可以看出，当M=0时，恒定马赫数情况下的性能参数表达式转变成恒定速度情况下相应的性能参数表达式。2数值计算与分析根据文献[14]确定恒定速度和恒定马赫数情况下的相关参数τ=(TH/TL)=5，NH=NL=1，k=1.4。恒定速度情况下，压缩机效率ηc和发电机效率ηe对有效功率EP与等熵温比x关系曲线的影响如图3所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.08.006.F003图3恒定速度情况下ηc和ηe对EP-x关系的影响由图3可知，EP-x关系曲线均为类抛物线型，即存在最佳的等熵温比xopt，使有效功率达到最大值EPmax。随着ηc和ηe的减小（即不可逆性损失增加），最大有效功率EPmax及其对应的最佳等熵温比xopt均减小。恒定速度情况下，ηc和ηe对EP与η和P与η关系曲线的影响如图4所示。由图4可知，当ηc=ηe=1时，循环Ep-η和P-η关系曲线为类抛物线型，此时循环最大有效功率和最大输出功率对应的效率均不为0，而最大效率时，对应的有效功率和输出功率为0，即循环仅存在最大有效功率和最大输出功率工作点。当ηc和ηe均不为1时，循环Ep-η和P-η关系曲线均为回原点的扭叶型，此时循环最大有效功率和最大输出功率对应的效率以及最大效率时对应的有效功率和输出功率均不为0，循环既存在最大有效功率和最大输出功率工作点，也存在最大效率工作点。比较曲线1'、曲线2'和曲线3'可知，随着ηc和ηe减小，最大功率Pmax及其对应的效率ηp减小，当ηc和ηe从1减小到0.9时，Pmax从0.706 0减小到0.362 7，减小了48.63%。ηp从0.555 6减小到0.277 0，减小50.14%。比较曲线1、曲线2和曲线3可知，随着ηc和ηe减小，最大有效功率EPmax及其对应的效率ηEP减小，当ηc和ηe从1减小到0.9时，EPmax从0.421 4减小到0.106 1，减小74.82%，ηEP从0.629 6减小到0.299 6，减小52.41%。当ηc和ηe分别等于1、0.95和0.9时，与最大输出功率点相比，最大有效功率点对应的输出功率分别减小5.5%、4.0%和2.35%，但是效率分别增加13.3%、10.1%和8.1%。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.08.006.F004图4恒定速度情况下ηc和ηe对Ep-η和P-η关系的影响恒定速度情况下，热源温比τ对Ep-η关系曲线的影响如图5所示。由图5可知，随着τ增大，最大有效功率EPmax及其对应效率ηEP增加。当τ从4增加到6时，EPmax从0.125 4增加到0.375 3，增加119.3%，ηEP从0.392 4增加到0.519 5，增加32.4%。恒定速度情况下，ηEP-ηc(ηe)和ηp-ηc(ηe)关系曲线如图6所示。由图6看出，最大有效功率对应的效率ηEP始终大于最大输出功率对应的效率ηp。恒定马赫数情况下，压缩机效率ηc、发电机效率ηe和马赫数M对有效功率EP与等熵温比x关系曲线的影响如图7所示。由图7可知，EP-x关系曲线均仍为类抛物线型。随着ηc和ηe减小，最大有效功率EPmax及其对应的最佳等熵温比xopt均减小。随着马赫数M减小，EPmax和xopt增大。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.08.006.F005图5恒定速度情况下τ对Ep-η关系的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2021.08.006.F006图6恒定速度情况下ηEP-ηc(ηe)和ηP-ηc(ηe)的关系10.3969/j.issn.1004-7948.2021.08.006.F007图7恒定马赫数情况下ηc、ηe和M对EP-x关系的影响恒定马赫数情况下，压缩机效率ηc、发电机效率ηe和马赫数M对Ep-η和P-η关系曲线的影响如图8所示。由图8可知，当ηc=ηe=1时，不论M取何值，结果都与恒定速度情况相同，循环EP-η和P-η关系曲线仍为类抛物线型。当ηc和ηe均不为1时，循环Ep-η和P-η关系曲线仍为回原点的扭叶型。比较曲线2'和3'可知，ηc和ηe一定时，随着马赫数M增大，最大功率Pmax及其对应效率ηp减小，当M从0.5增加到1时，Pmax从0.528 0减小到0.513 8，减小2.76%，ηp从0.418 5减小到0.400 6，减小4.47%。比较曲线2和3可知，ηc和ηe一定时，M增大，EPmax和ηEP减小，当M从0.5增加到1时，EPmax从0.233 4减小到0.220 2，减小5.66%，ηEP从0.460 4减小到0.443 4，减小3.69%。当ηc=ηe=0.95，M分别等于0.5和1时，相比于最大输出功率点，最大有效功率点对应的输出功率分别减小4.2%和3.4%，但是效率分别增加10%和10.7%。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.08.006.F008图8恒定马赫数情况下ηc、ηe和M对Ep-η和P-η关系的影响恒定马赫数情况下，热源温比τ对有效功率EP与效率η关系曲线的影响如图9所示。由图9可知，随着τ增大，最大有效功率EPmax及其对应效率ηEP增加。当M=1、τ从4增加到6时，EPmax从0.114 4增加到0.350 6，增加206.5%，ηEP从0.370 3增加到0.499 9，增加35%。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.08.006.F009图9恒定马赫数情况下τ对Ep-η性能的影响马赫数M=1和热源温比τ=5时，ηEp-ηc(ηe)和ηEp-ηc(ηe)的关系曲线如图10所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.08.006.F010图10恒定马赫数情况下ηEp-ηc(ηe)和ηp-ηc(ηe)的关系ηc=ηe=0.95和τ=5情况下，最大有效功率EPmax对应的效率ηEP和最大输出功率Pmax对应的效率ηP与马赫数M之间的关系曲线如图11所示。由图11可知，无论在哪种情况下，最大有效功率时对应的效率ηEP都大于最大输出功率时对应的效率ηP。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.08.006.F011图11恒定马赫数情况下ηEp-M和ηp-M的关系3结语在已有文献建立的MHD循环模型的基础上，将有效功率作为目标函数，导出有效功率与效率之间的最优关系，比较最大有效功率和最大输出功率两种目标函数下循环的性能差异，分析循环中各参数对有效功率最优性能的影响，结果表明：（1）恒定气体速度和恒定马赫数情况下，循环Ep-x为类抛物线型；当ηc=ηe=1时，循环Ep-η为类抛物线型；当ηc、ηe均不为1时，循环Ep-η均为回原点的扭叶型。（2）恒定气体速度情况下，EPmax和ηEP随着ηc、ηe和τ的增大而增大；恒定马赫数情况下，EPmax和ηEP随着ηc、ηe和τ的增大而增大，随着M的增大而减小。（3）恒定气体速度和恒定马赫数情况下，最大有效功率对应的效率ηEP始终大于最大输出功率对应的效率ηP；以最大有效功率为目标优化时虽然牺牲了部分输出功率，但可以使循环效率得到提高，因此有效功率目标函数体现功率与效率的折中。