引言化石燃料的消耗十分严重，提高能源的利用效率成为当下研究的重点。斯特林热机是一种燃料来源广泛、工作效率高、对环境友好的外燃式发动机，近年来对斯特林热机的理论研究和优化设计成为热点[1-3]。有限时间热力学作为现代热力学的一个分支，已应用于斯特林热机循环的性能分析和优化设计中[4-8]。严子浚[9]等分析存在热阻损失、热漏损失和回热损失时，斯特林热机的功率和效率界限。吴锋[10]等对斯特林热机内存在的不可逆性进行较为全面的描述，采用多种目标函数对斯特林热机的性能优化。贾小权[11]等以生态学性能系数为目标，对不可逆斯特林热机进行分析与优化。戴东东[12]等导出线性唯象传热定律下斯特林热机的生态学函数并进行多目标优化。吴艳秋[13]等应用火积理论和熵产生最小化理论，对基于广义传热定律下斯特林热机的输出功和热效率进行优化。Scheunert[14]等研究活塞运动状况对斯特林循环平均输出功率的影响。文献[15]~文献[18]对热声斯特林热机、低温差斯特林热机和量子斯特林热机进行热力学分析和优化。Senft[19]提出斯特林热机机械效率理论，并进一步与有限时间热力学理论相结合，在牛顿传热定律q∝Δ(T)下，研究传热损失和机械摩擦损失对斯特林热机循环轴功率和制动热效率的影响。丁泽民[20]等进一步研究线性唯象传热定律q∝Δ(T-1)下，斯特林热机的轴功率和制动热效率。除功率、效率和生态学函数等目标外，部分学者提出有效功率（功率与效率的乘积）这一新的目标函数。严子浚[21]推导内可逆卡诺热机的有效功率表达式，指出热机工作在最大有效功率点时，功率和效率都能达到较大值。Chimal[22]等研究布朗热机的有效功率特性。本研究在文献[20]的基础上，以有效功率为目标，研究工质与热源间的传热服从线性唯象传热定律q∝Δ(T-1)时，理想回热斯特林热机的性能，分析热漏系数、传热系数和热源温度对有效功率与温比和有效功率与制动热效率特性关系的影响，比较最大有效功率和最大轴功率条件下循环性能差异。1热机循环模型和性能分析工作于高、低热源温度分别为TH和TL（THTL）之间的理想回热斯特林热机循环模型如图1所示[20]。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.12.007.F001图1斯特林热机循环模型图假设工质为理想气体，存在理想回热，循环包括两个等温过程（等温膨胀过程和等温压缩过程）和两个等容过程。循环存在热阻和热漏损失，Qi为热漏量；Ci为热漏系数；T1和T2分别表示等温膨胀和压缩过程中工质的温度；V2为等温膨胀过程后工质的体积；V1为压缩过程后工质的体积。设工质与热源间的传热服从线性唯象传热定律，并根据理想气体的性质，工质与两热源间交换的热量分别为：Qh=α(1T1-1TH)t1=Q1=nRT1lnλ (1)Qc=β(1TL-1T2)t2=Q2=nRT2lnλ (2)式中：α和β——传热系数；λ——工质膨胀前后的膨胀比，λ=V2/V1；n——工质的摩尔数；t1——工质膨胀过程所经历的时间，s；t2——工质压缩过程所经历的时间，s；R——普适气体常数。由式(1)和式(2)可得t1和t2分别为：t1=nRT1lnλα(1T1-1TH) (3)t2=nRT2lnλβ(1TL-1T2) (4)设回热过程工质温度T与时间t满足方程：dTdt=±K1 (5)式中：K1——仅与回热器中所添加的材料有关的常数，K10；“＋”——回热升温过程；“－”——降温过程。回热过程所经历的时间t3和t4可通过对式(5)进行积分求得：t3=(T1-T2)K1=t4 (6)在实际循环过程中，还存在热漏损失，每次循环的热漏量可表示为：Qi=Ci(1TL-1TH)τ (7)式中：τ——一个循环的周期，s。由于τ=t1+t2+t3+t4，故由式(3)、式(4)和式(6)可得循环周期为：τ=nRT1lnλα(T1-1-TH-1)+nRT2lnλβ(TL-1-T2-1)+2(T1-T2)K1 (8)由式(1)、式(2)和式(7)可得，存在热阻和热漏时两热源的放、吸热量分别为：QH=Q1+Qi (9)QL=Q2+Qi (10)循环的输出功率和效率分别为：P=QH-QLτ=(Q1-Q2)τ=nRlnλ(T1-T2)t1+t2+t3+t4 (11)η=QH-QLQH=Q1-Q2Q1+Qi (12)联立式(7)~式(12)，可将输出功率和效率进一步表示为：P=AαB2αB+AC (13)η=AαTHTLBCi(TH-TL)(AC-2αB)-AαTHTL(T2-TL)(T2-xTH) (14)式中：A=nRlnλK1；B=(x-1)(T2-TL)(xTH-T2)；C=T22(TH-δ2xTL)+THTLT2(δ2x2-1)，δ=α/β；x——两等温过程工质的温比，x=T2/T1。在TH、TL、α和β给定时，令式(13)和式(14)中的P和η分别对T2求导，得到最佳温度T2以及此时的功率P和效率η分别为：T2=THTL[TH(1+δx)-TLδ(1+δ)]/(TH2-δTL2) (15)P=AD(xTH-TL)2[2THTL(xTH-TL)-(xTH3δ-1-δTL3)-THTL(δxTL-THδ-1)]-ATHTLD(δx2+2x+δ-1)(16)η=AαTH(1-x)G2αCi(TH-TL)(x-1)[xE2+F2THTL+EF(TL+xα2δ-2TH)]+ATHTLCi(TH-TL)F[F(TH-xδ2TL)+(TH2-δ2TL2)(δ-1-δx2)]-AαG(17)式中：D=TH2δ-1-2THTL+δTL2；E=δ-1TH2-δTL2；F=(δ-1+x)TH-(xδ+1)TL；G=THTL(xTH-TL)2(TH-δTL)(δ-1TH-TL)。2机械损失分析往复式热机模型如图2所示。M、F、B和Ws分别为机械装置、飞轮、缓冲空间的缓冲压力和循环输出功。缓冲空间中的缓冲气体一般为大气，产生的缓冲压力为大气压力，缓冲压力直接作用在活塞上。机械装置M的有效度E定义为实际输出功与理想情况下输出功的比值，有效度E决定循环的输出功Ws的大小。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.12.007.F002图2往复式热机模型机械效率指循环的轴功与指示功的比值，在λ、x以及E一定的条件下，机械效率表示为：ηms(E,x,λ)=E-S(x,λ)(1E-E)  (18)S(x,λ)=           0                    x λ≤1xlnx-(1+x)[ln(1+x)-ln(1+λ)]-lnλ(1-x)lnλ  x λ1 (19)由式(16)~式(19)可以得到轴功率和制动热效率分别为：Ps=Pηms (20)ηs=ηηms (21)联立式(20)和式(21)可得热机的有效功率：Ep=Psηs (22)3数值计算与分析由文献[20]确定参数取值，R=8.314、n=1.0 mol、TH=800 K、TL=300 K、K1=8.0×103 K/s、α=β=5.0×106 W/K、λ=4、Ci=2.0×104 W/K。在其他参数确定的情况下，热漏损失对Ep-x特性关系的影响，如图3所示，热漏损失对Ep-ηs特性关系影响，如图4所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.12.007.F003图3Ci对循环Ep-x特性的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2021.12.007.F004图4Ci对循环Ep-ηs特性的影响由图3可知，无论是否存在热漏损失，有效功率与温比的关系曲线都呈类抛物线形，即存在最佳的温比xEp使得有效功率达到最大值Ep(max)。随着热漏量增加，即热漏系数增大，Ep(max)降低，Ep(max)对应的最佳温比xEp增大。由图4可知，当不存在热漏损失，即热漏系数Ci=0时，有效功率与制动热效率的特性曲线为类抛物线形，此时只存在最大有效功率工作点。当存在热漏损失时，有效功率与制动热效率的特性曲线呈回原点的扭叶形，即循环既存在最大有效功率工作点也存在最大制动热效率工作点，并且随着Ci的增大，Ep(max)和最大有效功率对应的制动热效率ηsEp减小。数值计算表明，当热漏系数从Ci=2.0×104 W/K增大到Ci=5.0×104 W/K时，Ep(max)从126.765 W减小到120.033 W，降低5.6%；ηsEp从0.339减小到0.318，降低6.6%；xEp从0.525增大到0.529，升高0.76%。在其他参数确定的情况下，工质与高温热源间的传热系数α对Ep-x特性关系的影响如图5所示，对Ep-ηs特性关系的影响，如图6所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.12.007.F005图5α对循环Ep-x特性的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2021.12.007.F006图6α对循环Ep-ηs特性的影响由图5和图6可知，随着α的增大，Ep(max)增大，ηsEp增大，xEp减小。数值计算表明，当α从4.0×106 W/K增大到6.0×106 W/K时，Ep(max)从100.696 W增大到152.740 W，升高51.7%；ηsEp从0.335增大到0.342，升高2.0%；xEp从0.526减小到0.524，降低0.4%。在其他参数确定的情况下，高温热源温度TH对Ep-x特性关系的影响，如图7所示，对Ep-ηs特性关系的影响，如图8所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.12.007.F007图7TH对循环Ep-x特性的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2021.12.007.F008图8TH对循环Ep-ηs特性的影响由图7和图8可知，随着TH的增大，Ep(max)增大，ηsEp增大，xEp减小。数值计算表明，当TH从770 K增大到800 K时，Ep(max)从126.380 W增大到126.765 W，升高0.3%；ηsEp从0.337增大到0.339，升高0.6%；xEp从0.526减小到0.525，降低0.2%。当热漏系数、工质与高温热源间的传热系数和高温热源温度分别为Ci=2.0×104 W/K、α=5.0×106 W/K和TH=800 K时，Ep-ηs和Ps-ηs的特性关系，如图9所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.12.007.F009图9循环Ep-ηs和Ps-ηs的特性关系数值计算表明，有效功率最大值为Ep(max)=126.765 W，对应的轴功率为PsEp=373.766 W，制动热效率为ηsEp=0.339；在最大轴功率点处，对应的轴功率、制动热效率和有效功率分别为Ps(max)=402.801 W、ηsPs=0.282、EPps=113.686 W；最大有效功率下的制动热效率ηsEp相较于最大功率下的制动热效率ηsPs，提升20.2%，而此时的轴功率PsEp相较于最大轴功率Ps(max)只降低7.8%。以上结果表明，以最大有效功率为目标进行优化时，虽然降低了部分轴功率，却可以使热机的制动热效率得到较大提升。最大有效功率对应的制动热效率ηsEp和最大轴功率对应的制动热效率ηsPs与热漏系数之间的关系，如图10所示。10.3969/j.issn.1004-7948.2021.12.007.F010图10ηs和Ci的特性关系由图10可知，随着循环热漏系数的增大，最大有效功率下的制动热效率ηsEp和最大轴功率下的制动热效率ηsPs都逐渐减小，但是ηsEp始终大于ηsPs。4结语在文献[20]的基础上，以有效功率为优化目标，研究线性唯象传热定律下，存在热阻、热漏和机械损失时具有理想回热过程的斯特林热机的有效功率性能特性，导出有效功率表达式，由数值计算分析热漏系数、工质与高温热源间的传热系数和高温热源温度对热机性能的影响，比较最大有效功率和最大轴功率下热机的性能差异，结果表明：（1）最大有效功率点相较于最大轴功率点牺牲了部分轴功率，但是热机的制动热效率得到较大提升，这为斯特林热机的优化提供一种新的设计方案。（2）有效功率与温比的特性曲线都呈类抛物线形，当热漏系数为0时，有效功率与制动热效率的特性曲线为类抛物线形；当热漏系数不为0时，有效功率与制动热效率的特性曲线呈回原点的扭叶形。（3）减少热漏损失、增大工质与高温热源间的传热系数和提高高温热源温度使热机的最大有效功率和最大有效功率时，对应的制动热效率增大，最大有效功率时的最佳温比降低，与热机的实际运行情况相符。