引言有限时间热力学（FTT）已经取得了一系列既有指导意义又有实际应用价值的成果[1-4]。内燃机循环是一种传统的热动力循环，已有文献利用FTT对内燃机循环最优性能进行研究[5-8]。早期对内燃机循环最优性能研究都是假设工质比热在循环过程中保持恒定不变[9-10]，但在实际循环中，工质比热在热机运行过程中是不断变化的，并且工质的不同比热特性对循环的性能产生很大影响。常见的变比热模型包括：比热随温度线性[11]和非线性变化[12]、比热比随温度线性[13]和非线性变化[14]。除了研究比热特性对热机循环性能的影响之外，考虑不同目标极值对热机最优性能的影响也十分重要。已有研究利用一些新的目标函数对热机循环最优性能进行分析与优化。这些新的目标函数包括功率密度[15-18]、生态学函数[19-22]和有效功率[23-28]等。矩形循环由两个定容过程和两个定压过程组成，该循环的吸热和放热过程与Dual循环和Miller循环存在相似的地方，但矩形循环没有绝热过程，由于循环p-v图呈矩形，因此被称为矩形循环。Da[29]首先应用经典热力学理论，给出矩形循环的输出功和效率与循环压缩比之间的关系式。有研究将FTT理论引入矩形循环的性能分析中。考虑工质比热恒定[30-31]、工质比热随温度线性变化[32-33]和非线性变化的情况下[34-35]，分别建立存在传热损失的内可逆[30,32,34]、存在传热和摩擦两种损失的不可逆[31,33,35]矩形循环模型，对循环功率和效率性能进行分析。本研究将在文献[32]建立的工质比热随温度线性变化内可逆矩形循环模型的基础上，应用FTT理论，导出循环功率密度的表达式[36-37]，进一步研究循环功率密度和有效功率最优性能，在最大功率密度、最大有效功率和最大功率条件下，比较循环的性能差异。1循环模型和性能分析矩形循环模型的p-v图如图1所示，矩形循环模型的T-s图如图2所示。循环由两个吸热过程1→2和2→3以及两个放热过程3→4和4→1组成，其中1→2和3→4为定容过程，2→3和4→1为定压过程。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F001图1循环p-v图10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F002图2循环T-s图由理想气体状态方程pV=nRT可得：p2/p1=T2/T1,p4/p3=T4/T3,v3/v2=T3/T2,v4/v1=T4/T1 (1)式中：p——压力，Pa；v——比容，m3/kg。定义循环膨胀比为γ=v3/v2（该膨胀比等于循环的最大比容比v4/v1），循环温比为τ=T3/T1，则推出：T3=γT2 (2)T4=γT1 (3)T2=τT1/γ (4)在实际循环中，工质比热在热机运行过程中不断变化，并且这种变化影响循环的性能。根据文献[11]的处理方法，假定工质比热随温度线性变化，则工质的定压比热和定容比热分别为：cp=ap+k1T (5)cv=bv+k1T (6)式中：ap、bv和k1——常数，cp(cv)——工质的定压（定容）比热容，J/(mol·K)。cp和cv之间的关系：R=cp- cv=ap- bv (7)式中：R——理想气体常数。循环吸热率为：Q˙in=m˙∫T1T2cvdT+m˙∫T2T3cpdT=m˙[bv(T2- T1)+0.5k(T22- T12)+ap(T3- T2)+0.5k1(T32- T22)]=m˙[bv(T2- T1)+ap(T3- T2)+0.5k1(T32- T12)] (8)循环放热率为：Q˙out=m˙∫T4T3cvdT+m˙∫T1T4cpdT=m˙[bv(T3- T4)+0.5k(T32- T42)+ap(T4- T1)+0.5k1(T42- T12)]=m˙[bv(T3- T4)+ap(T4- T1)+0.5k1(T32- T12)] (9)式中：m˙——质量流率，mol/s。将式(2)、式(3)代入到式(8)、式(9)可得循环净输出功率为：P=Q˙in- Q˙out=m˙(ap- bv)(T3+T1- T2- T4)=m˙R(T3+T1- T2- T4)=m˙R(γ- 1)(T2- T1) (10)理想的矩形循环中没有任何损失，但对于实际的矩形循环而言，需要考虑工质与气缸壁之间的传热损失。根据文献[10]、文献[12]和文献[37]的处理方法，传热损失率表示为：Q˙leak=B3T1+T2+T3- 3T0=B1T1+T2+T3- 3T0 (11)式中：T0——环境温度，K；B——传热系数，B1=B/3。循环的热效率为：η=P(Q˙in+Q˙leak)=m˙R(γ- 1)(T2- T1)m˙×A+B1(T1+T2+T3- 3T0) (12)式中：A=bv(T2- T1)+ap(T3- T2)+0.5k1(T32- T12)。根据文献[15]对功率密度的定义：Pd=Pv4=Pγv1=m˙R(γ- 1)(T2- T1)γv1 (13)根据文献[17]的处理方法，定义无因次功率密度和无因次功率为：P¯d=Pd/(Pd)max (14)P¯=P/Pmax (15)定义循环中最大压比为：p3/p1=p2/p1=T2/T1=τ/γ (16)根据文献[23]~文献[24]对有效功率的定义：Wep=P×η (17)根据文献[25]的处理方法，定义无因次有效功率为：W¯ep=Wep/(Wep)max (18)给定循环膨胀比γ、初温T1、温比τ和环境温度T0，结合式(2)、式(3)和式(4)求出T2、T3和T4，将所得结果代入式(10)、式(12)、式(13)和式(17)中，可得循环功率、效率、功率密度和有效功率与膨胀比之间的关系，分别将式(14)、式(15)和式(18)对膨胀比进行求导求极值，可得最大无因次功率P¯max、最大无因次功率密度(P¯d)max和最大无因次有效功率(W¯ep)max。2功率密度和有效功率分析与优化计算时由文献[17]、文献[30]、文献[32]和文献[37]确定各参数。ap=28.182~32.182 J/(mol⋅K)，bv=19.868~23.868 J/(mol⋅K),  γ=1.0~10.0，τ=4.2~6.2，T0=300 K，T1=350 K，B=2.2 W/K，m˙=1 mol/s，k1=0.003 844~0.009 844 J/(mol⋅K2)，R=8.314 J/(mol⋅K)。2.1功率密度分析与优化由式(13)和式(14)可知，k1、bv和B对循环P¯d-γ无影响。无因次功率密度与循环膨胀比的关系曲线均呈类抛物线状，无因次功率密度随循环膨胀比先增大后减小，即存在最佳膨胀比γP¯d使得无因次功率密度达到最大值。无因次功率密度与循环效率的关系曲线为从原点出发最终回到原点的扭叶型，从曲线中看出最大无因次功率密度对应的效率ηP¯d和最大效率对应的无因次功率密度均不为0。k1对P¯d-η的影响如图3所示。由图3可以看出，k1可以改变最大无因次功率密度对应的效率ηP¯d的大小，随着k1的增加，ηP¯d减小；当k1=0时，曲线P¯d-η为恒比热时循环的性能曲线。计算表明，当k1从0.003 844 J/(mol⋅K2)增加到0.007 844 J/(mol⋅K2)时，ηP¯d从0.099 87减小到0.085 52，减小约14.37%。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F003图3k1对循环P¯d-η特性的影响bv对P¯d-η的影响如图4所示。由图4可以看出，bv可以改变最大无因次功率密度对应的效率ηP¯d的大小，随着bv的增加ηP¯d减小。计算表明，当bv从19.868 J/(mol⋅K)增加到23.868 J/(mol⋅K)时，ηP¯d从0.092 14减小到0.082 05，减小约10.95%。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F004图4bv对循环P¯d-η特性的影响循环温比τ对P¯d-γ和P¯d-η的影响如图5和图6所示。τ可以改变最佳膨胀比γP¯d以及最大无因次功率密度对应的效率ηP¯d的大小，随着τ的增长，γP¯d和ηP¯d均增大。计算表明，当τ从4.2增加到6.2时，γP¯d由1.62增加到1.72；ηP¯d从0.083 95增大到0.092 14，增长约9.76%。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F005图5τ对循环P¯d-γ特性的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F006图6τ对循环P¯d-η特性的影响气缸壁与工质之间的传热系数B对P¯d-η特性的影响如图7所示。由图7可知，B影响ηPd的大小，当B为0时，气缸与工质间不存在传热损失，此时气缸壁为绝热条件，循环为理想状态。计算表明，B从2.2 W/K减少为0时，ηPd从0.092 14增加到0.095 55，增加约3.70%。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F007图7B对循环P¯d-η特性的影响循环P¯dmax和P¯max下最大比容比与温比的关系如图8所示。由图8可知，随着温比τ的增加，P¯max对应的最大比容比始终大于P¯dmax对应的最大比容比。计算表明，当循环温比为6.2时，P¯max对应的最大比容比为2.49，而P¯dmax对应的最大比容比为1.722，同比减少30.84%，表明热机在最大功率密度条件下工作时的尺寸更小。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F008图8(P¯d)max和P¯max下（v4/v1）与τ的关系循环P¯dmax和P¯max下最大压比与温比的关系如图9所示。P¯max对应的最大压比总是小于P¯dmax对应的最大压比。当循环温比为6.2时，P¯max下的最大压比是2.49，而P¯dmax下的最大压比为3.60，同比增加约44.57%，表明热机在最大功率密度条件下工作时有更小的尺寸，但是伴随着更大的压比。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F009图9(P¯d)max和P¯max下（p3/p1）与τ的关系循环在P¯dmax时的效率ηP¯d和P¯max时的效率ηP¯与循环温比τ之间的关系曲线如图10所示。在其他参数一定的情况下，随着温比的增加，ηP¯始终大于ηP¯d。当温比为6.2时，对应的ηP¯为0.103 89，对应的ηP¯d为0.092 23，同ηP¯相比ηP¯d减少11.22%。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F010图10(P¯d)max和P¯max时η与τ的关系结合图8和图10可知，当温比为6.2时，循环的效率略有降低，但是最大功率密度时对应的最大比容比最大功率时对应的最大比容减小30.84%，最大比容降低较多，说明以最大功率密度为目标时，虽然牺牲了热机部分效率，但是大幅度减小热机尺寸。2.2有效功率分析与优化循环中无因次有效功率和膨胀比(W¯ep-γ)呈类抛物线型，无因次有效功率随循环膨胀比先增大后减小，存在最佳膨胀比γW¯ep使得有效功率达到最大值，循环无因次有效功率与效率(W¯ep-η)的关系曲线呈扭叶型，最大有效功率对应的效率ηW¯ep和最大效率对应的有效功率均不为0。k1对W¯ep-γ和W¯ep-η的影响分别如图11和图12所示。k1可以改变最大有效功率对应的最佳膨胀比γW¯ep和最大有效功率对应的效率ηW¯ep的大小。随着k1的增长，γW¯ep变化不大，ηW¯ep减小；当k1=0时，曲线W¯ep-γ和W¯ep-η为恒比热时循环的性能曲线。当k1从0.003 844 J/(mol⋅K2)增大到0.007 844 J/(mol⋅K2)时，γW¯ep由2.42增加到2.43，ηW¯ep从0.112 43减小到0.096 92，减小约13.79%。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F011图11k1对循环W¯ep-γ特性的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F012图12k1对循环W¯ep-η特性的影响bv对W¯ep-γ和W¯ep-η的影响分别如图13和图14所示。bv可以改变最大有效功率对应的最佳膨胀比γW¯ep和最大有效功率对应的效率ηW¯ep的大小。随bv增大，γW¯ep变化不大，ηW¯ep减小。当bv从19.868 J/(mol⋅K)增加到23.868 J/(mol⋅K)时，γW¯ep从2.43增加到2.44，ηW¯ep从0.104 09减小到0.093 14，减小约10.52%。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F013图13bv对循环W¯ep-γ特性的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F014图14bv对循环W¯ep-η特性的影响循环温比τ对W¯ep-γ和W¯ep-η的影响分别如图15和图16所示。τ可以改变最大有效功率对应的最佳膨胀比γW¯ep和最大有效功率对应的效率ηW¯ep的大小，随着τ的增长，γW¯ep和ηW¯ep均变大。当τ从4.2增加到6.2时，γW¯ep从2.00增加到2.43，增加约21.5%，ηW¯ep从0.090 08增大到0.104 09，增加约15.55%。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F015图15τ对循环W¯ep-γ特性的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F016图16τ对循环W¯ep-η特性的影响气缸壁与工质之间的传热系数B对W¯ep-γ和W¯ep-η的影响分别如图17和图18所示。B可以影响γW¯ep和ηPd的大小，随着B的增长，γW¯ep变大，ηW¯ep减小。当B为0时，气缸与工质间不存在传热损失，此时气缸壁为绝热条件，循环为理想状态。当B从0增加到2.2 W/K时，γW¯ep从2.42增加到2.43，ηW¯ep从0.107 31减小到0.104 09，减小约3.0%。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F017图17B对循环W¯ep-γ特性的影响10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F018图18B对循环W¯ep-η特性的影响当τ=6.2时，W¯ep-η和P¯-η的关系曲线如图19所示。当温比为6.2时，最大无因次有效功率对应的无因次功率为0.999 30，对应的效率为0.104 09，最大无因次功率对应的效率为0.103 89。最大无因次有效功率对应的功率减小0.07%；最大无因次有效功率对应的效率增加0.20%，效率增加较多。故以有效功率为目标时，热机牺牲部分功率，使热机效率增加，有效功率是功率和效率的折中。10.3969/j.issn.1004-7948.2022.01.008.F019图19τ=6.2时W¯ep-η和P¯-η的关系3结语在已有文献建立的工质线性变比热条件下内可逆矩形循环模型的基础上，应用FTT理论研究循环功率密度和有效功率最优性能，导出循环无因次功率密度和无因次有效功率的表达式，通过计算分析循环各参数对循环无因次功率密度和无因次有效功率的影响，比较热机在最大功率密度、最大有效功率和最大功率条件下的性能差异。结果表明：（1）循环P¯d-γ的关系曲线呈类抛物线型，存在γP¯d使得循环功率密度达到最大值；循环P¯d-η的关系曲线呈扭叶型；随着τ的增大、k1、bv和B的减小，循环ηP¯d增加；热机在最大功率密度下工作时虽然牺牲了部分效率，但使热机尺寸大幅度减小，对于实际中热机的设计有一定的参考作用。（2）循环W¯ep-γ的关系曲线呈类抛物线型，存在γW¯ep使得循环有效功率达到最大值；循环W¯ep-η的关系曲线呈扭叶型；随着τ的增大、k1、bv和B的减小，循环ηW¯ep增加；热机在最大有效功率下的效率始终高于在最大功率下的效率，热机在最大有效功率下工作时牺牲了部分功率，提升了循环效率，有效功率反映功率和效率的折中。