当整浇钢筋混凝土梁板结构在受力时，支座、次梁对板、主梁对次梁均存有对弯曲转动变形的弹性约束．由于板与次梁是整浇的，当板在承受荷载时，支座处发生弯曲转动，因此次梁会被板连带着发生扭转．由于次梁具有一定的扭转刚度，因此会约束板在支座处的弯曲转动，从而影响板中的弯矩．同样情况也发生在主梁对次梁的支承中．目前，通常把梁、板整体连接的支座视作铰支座，为了弥补这一影响，利用折算荷载来代替实际荷载[1]．对于板和次梁，统一采用0.50和0.25的活载折算系数，在一定程度上考虑了支承梁的扭转刚度对板、梁弯曲的影响，然而，不考虑支座弯曲刚度与结构弯曲刚度的关系，取统一的活载折算系数，在实际工程中，有时会获得不安全的内力．文献[2-3]对纯框架结构中整体式单向板进行了内力分析，通过回归分析得到了弯矩系数，但是荷载调整的活载折算系数仍然与文献[1]相同．文献[4]对框架边梁的协调扭转的设计作了一定分析，提出了弹性扭矩的估算方法．文献[5]通过协调扭转设计对楼面梁端约束情况做了分析与判断，认为现浇楼面梁均应按梁端节点为刚接进行计算．文献[6]通过试验发现当次梁与边主梁分别在受弯和受扭开裂情况下，主梁所受扭矩与荷载的关系会发生变化．文献[7]针对正交梁系弯扭变形双协调，通过理论计算得出次梁的弯曲刚度对主梁的扭矩具有决定性影响．文献[8]分别对空间框架结构与梁板结构在移除边柱与角柱的情况做了承载试验，发现在缺少约束的中间节点上会出现协调扭转现象．文献[9]通过对框架边柱梁结构建立有限元模型并计算，发现边主梁的扭转角受到周边板、次梁、柱构件的相对刚度影响．文献[10]通过试验发现边主梁扭转屈服后可以和板在板-梁-柱节点处形成拉压杆力学模型．在ACI规范[11]中，柱上板带的弯矩分配取决于边梁的截面抗扭刚度和板的截面弯曲刚度之比及梁的截面抗弯刚度与板的截面抗弯刚度之比．已有文献考虑或涉及到了支承构件的扭转对结构内力的影响，但是都没有定量地分析连续梁中支座弯曲刚度与构件弯曲刚度的关系．为探明目前整浇钢筋混凝土肋梁楼盖梁板计算中，考虑支座弯曲刚度的活载折算系数的适用范围，本研究给出了活载折算系数和支座弯曲刚度与梁弯曲线刚度比值须要满足的数学解析关系．结合算例，说明了给定活载折算系数对应的支座弯曲刚度与梁弯曲线刚度比须要满足的条件，或者一定刚度比对应活载折算系数的上限值．1 支座弹性弯曲刚度本研究做如下假设：板、次梁和主梁构件均为弹性状态；支承梁的抗扭刚度就是连续梁支座的抗弯刚度；当确定支座的弹性约束刚度(例如次梁的扭转刚度)时，支座本身受到的约束视为完全刚性约束(例如主梁对次梁的完全刚性约束)；次梁对板、主梁对次梁支承中，两向线位移视为不动约束；板传给次梁、次梁传给主梁的力矩视为均匀分布的扭矩，扭转刚度在支座宽度范围内不随支座宽度变化．实体矩形截面的单位长度扭转角与扭矩大小的关系由文献[12]给出．计算在均布扭矩作用下，梁上某一点C处的转角．设梁长为lb，单位长度上的均布扭矩大小为t，计算简图如图1所示．图1中A，B两点分别对应梁的左右两端，C为梁上一点，与A点距离为y．10.13245/j.hust.210412.F001图1均布扭矩作用下的梁的计算简图求得C点处的转角θ=ty(lb-y)/(2GIt)，(1)式中：G为梁材料的剪切模量；It为截面的相当极惯性矩．因为板依靠次梁提供支承，所以宽度为bs的板带中心处，次梁的扭转刚度就是板的支座弹性弯曲刚度k，有k=tbs/θ=2bsGIt/(ylb-y2)．(2)从式(2)可以看出：k与G，It，lb，y有关，支承中心越靠近梁端k越大，处于次梁梁端的板带其均布扭矩等效作用点y=bs/2，其k最大，有kmax=8GIt/(2lb-bs)．当支承中心点位于梁的跨中，即y=lb/2时，k最小，有kmin=8bsGIt/lb2．(3)主梁支承次梁，主梁上作用有次梁的扭矩，此时把次梁作用在主梁上的扭矩等效为集中扭矩，主梁对次梁的抗扭刚度，由集中扭矩作用获得．假定主梁支承了n根间距相同的次梁，则主梁上作用有间距相同的n个集中扭矩T，第i个集中扭矩作用处的扭转角θi可以如图2所示计算，有θi=Tlbi(n-i+1)/[2(n+1)GIt]．10.13245/j.hust.210412.F002图2多个集中扭矩作用下的计算简图同理，k可以用扭矩除以该点的扭转角得出，即k=T/θi=2GIt(n+1)/[lbi(n-i+1)]．(4)图2中：lAC=lbi/(n+1)；lCB=lb[1-i/(n+1)]．由式(4)可以看出：计算点越靠近梁跨中，其扭转刚度越小．当i=n/2时，即计算点正好是梁跨中时扭转刚度k最小，即kmin=8GIt(n+1)/[lbn(n+ 2)]．当i=1，n时，计算点位于梁两端，此时k最大，即kmax=2GIt(n+1)/(lbn)．2 活载折算系数与扭转刚度关系的解析式根据位移法，若已知支座的抗弯刚度，则理论上可以求出连续梁支座的弯曲转角，从而求出连续梁各截面的弯矩．假设连续梁各支座弯曲约束刚度相同均为k，设支座弯曲刚度与梁的弯曲线刚度比值k/ic=d，于是可得到跨中、支座处的弯矩值，此时的弯矩是d，l，恒荷载g，活载p的函数，将考虑支座弯曲刚度时求得的弯矩记为M(d,l,g,p)．另一方面，按照文献[1]上的折算荷载系数法计算出来的弯矩，只涉及到g，p，梁的跨度l和活载折算系数α，将此方法求得的弯矩记为M′(α，l，g，p)．推导发现，对于五跨、四跨、三跨和两跨等跨梁的跨中和支座，均有M(d,l,g,p)-M'(a,l,g,p)=X/Y，式中X/Y为化简后的结果．当跨数相同时，连续梁各截面求得的Y均相同，仅仅X不同．等跨五、四、三、二跨梁对应的Y分别为：6 000d3+108 000d2+576 000d+912 000；3 000(d2+12d+28)(d3+20d2+116d+192)；(5)120d2+1 200d+2 400；6 000(d+4)(d2+12d+24)．设计时，为使得采用折算活载系数法偏安全，对于所有跨中最大正弯矩，应该使M(d,l,g，p)-M'(a,l,g,p)≤0，由式(5)可知：任意跨数的连续梁的Y均大于0，只要使X≤0即可；而对于支座负弯矩，则应使M(d,l,g,p)-M'(a, l,g,p)≥0使X≥0．据此，对于五跨、四跨、三跨和两跨等跨连续梁各跨中和支座最大弯矩截面处，可分别获得d和α的关系式．五跨梁第一跨跨中最大弯矩截面为α≤(185g+341p)d3+(2 830g+5 138p)d2156pd3+2 808pd2+14 976pd+23 712p+(9 760g+17 736p)d+120g-168p156pd3+2 808pd2+14 976pd+23 712p. (6)五跨梁第二跨跨中最大弯矩截面为α≤(-52g+221p)d3+(-936g+2 978p)d2273pd3+4 914pd2+26 208pd+41 496p+(-3 992g+8 216p)d+96g-408p273pd3+4 914pd2+26 208pd+41 496p. (7)五跨梁第三跨跨中最大弯矩截面为α≤(13g+130p)d3+(234g+1 840p)d2117pd3+2 106pd2+11 232pd+17 784p+(1 248g+5 480p)d-24g-240p117pd3+2 106pd2+11 232pd+17 784p. (8)五跨梁第一内支座左侧最大弯矩截面为α≤[(65g+107p)d6+(2 100g+3 780p)∙d5+(25 340g+50 052p)d4+(140 800g+305 840p)d3+(352 800g+845 440p)d2+(310 080g+829 824p)d-31 680g-74 304p]/K1. (9)五跨梁第一内支座右侧最大弯矩截面为α≤[(65g+107p)d6+(2 600g+3 780p)d5+(39 340g+51 052p)d4+(278 800g+325 840p)∙d3+(916 800g+969 440p)d2+(1 102 080g+1 045 824p)d-31 680g-74 304p]/K1, (10)式中K1=42pd6+1 680pd5+26 712pd4+215 040pd3+920 640pd2+1 983 744pd+1 685 376p.五跨梁中间内支座左侧最大弯矩截面为α≤[(-13g+83p)d6+(-520g+2 820p)d5+(-7 268g+36 788p)d4+(-42 560g+228 960p)∙d3+(-96 960g+671 360p)d2+(-62 016g+728 256p)d+6 336g-29 376p]/K2，(11)式中K2=96pd6+3 840pd5+61 056pd4+491 520pd3+2 104 320pd2+4 534 272pd+3 852 288p.五跨梁中间内支座右侧最大弯矩截面为α≤[(-13g+83p)d6+(-520g+2 820p)d5+(-8 268g+35 788p)d4+(-64 560g+210 960p)∙d3+(-240 960g+579 360p)d2+(-326 016g+584 256p)d+6 336g-29 376p]/K2. (12)四跨梁第一跨跨中最大弯矩截面为α≤[(179g+338p)d4+(4 154g+7 788p)d3+(28 12g+54 064p)d2+(52 904g+102 288p)d+384g-1 152p]/K3, (13)式中K3=159pd4+4 134pd3+36 252pd2+123 384d+142 464p.四跨梁第二跨跨中最大弯矩截面为α≤[(-17g+115p)d5+(-544g+3 180p)d4+(-6 028g+30 660p)d3+(-26 448g+120 560p)d2+(-36 384g+162 480p)d+4 608g-5 760p]/K4, (14)式中K4=132pd5+4 224pd4+50 688pd3+283 008pd2+732 864pd+709 632p.四跨梁第一内支座左侧最大弯矩截面为α≤[(71g+113p)d5+(1 772g+3 116p)d4+(15 264g+29 392p)d3+(54 224g+110 272p)d2+66 192g+143 376p)d-2 304g+7 488p]/K5, (15)式中K5=42pd5+1 344pd4+16 128pd3+90 048pd2+233 184pd+225 792p.四跨梁第一内支座右侧最大弯矩截面为α≤[(71g+113p)d4+(1 846g+2 438p)d3+(14 188g+15 764p)d2+(27 096g+27 688p)d-384g+1 248p]/K6, (16)式中K6=42pd4+1 092pd3+9 576pd2+32 592pd+37 632p.四跨梁中间内支座左右侧最大弯矩截面为α≤(-37g+71p)d2/K7+[(-444g+352p)d-36g-12p]/K7, (17)式中K7=108pd2+1 296pd+3 024p．三跨梁第一跨跨中最大弯矩截面为α≤(4g+7p)d2+(30g+50p)d3pd2+30pd+60p. (18)三跨梁第二跨跨中最大弯矩截面为α≤(2p-g)d2+(10p-10g)d3pd2+30pd+60p. (19)三跨梁中间支座左侧最大弯矩截面为α≤[(50g+101p)d4+(700g+1 924p)∙d3]/K8+[(1 800g+9 796p)d2+14 640pd+720p]/K8, (20)式中K8=51pd4+1 224pd3+9 996pd2+32 640d+36 720p.三跨梁中间支座右侧最大弯矩截面为α≤[(50g+101p)d4+(1 200g+1 924p)d3]/K9+[(8 800g+11 796p)d2+(18 000g+20 640p)d+720p]/K9, (21)式中K9=51pd4+1 224pd3+9 996pd2+32 640d+36 720p.二跨梁边跨跨中最大弯矩截面为α≤[(125g+311p)d3+(1 500g+3 976p)∙d2+(3 000g+10 392p)d-144p]/K10, (22)式中K10=186pd3+2 976pd2+13 392pd+17 856p．式(6)~(22)的结果均表明：对于给定的结构及荷载，d，g，p都是已确定的值，欲使荷载折算法求得的弯矩绝对值不小于考虑支座弹性弯曲刚度时求得的弯矩绝对值，α具有上限αui，即α≤αui．根据α本身的物理意义，其取值范围应为[0，1]，其中α=0表示不增加恒载也不减小活载；α=1表示所有活载都加至恒载，活载折减至0．因此，活载折算系数α应该同时满足：α≤αui;0≤α≤1．关于αui，各截面都有一个相应的值αi，对于整根梁而言，统一的上限值应该是各截面上限的最小值，即αui=min(αi)．若αui1，则表明将超过原本活载值的荷载折算到恒载上，并加了反向活载，因为总荷载保持不变，此时则应该取αui=1；若αui0，则说明要采用减小恒载、增大活载的方式，才能满足M(d,l，g,p)≤M'(a,l,g,p)；若αui=0，则说明不增加恒载也不减小活载可满足M(d,l,g，p)≤M'(a，l,g,p)．同样，若给定了α，g，p，则可以求得d的下限值，即d≥di或者k≥ki，其中ki为由各个截面得到的支座弯曲刚度．从d的物理意义可以得出d≥0，其中d=0表示支座抗弯刚度为0，即铰接，此时，无须调整荷载，即α=0．因此，d应同时满足：d≥dui,k≥kui；(23)d≥0,k≥0．(24)对于dui或者kui，每个截面都有对应的一个di或ki值，对于整根梁而言，统一的下限值为各截面下限的最大值，即：dui=max(di);kui=max(ki)．(25)对于给定的结构，若欲采用活载折算系数求结构弯矩，则须将已知的g，p，α值代入式(6)~(22)中对应的公式，得到dui值进而得到k的下限kui，若给定的结构满足式(23)和(24)，则说明采用活载折算系数计算弯矩安全，反之则不安全．对于二跨连续梁中间支座最大弯矩，因为活载分布与恒载分布相同，都在两跨内布置，所以没有增加恒载减小活载的情况，自然也就不存在α的解．采用活载折算无法反映出支座的弯曲刚度，荷载折算系数法计算二跨连续梁内支座最大弯矩无效，此时必须采用考虑支座弯曲刚度的方法才能反映出支座弯曲刚度对结构弯矩的影响．3 算例为验证及具体化本研究提出的支座抗弯刚度与活载折算系数的解析关系，采用文献[1]中的算例，计算荷载作用下五跨连续板与次梁的弯矩．梁板平面结构布置图摘录如图3所示，图中：①，②，③为竖向的定位轴线编号；A和B分别为横向的定位轴线编号．材料、几何与荷载参数均与文献[1]相同．混凝土等级C25，弹性模量Ec=3×104 N/mm2，剪切模量Gc=1.2×104 N/mm2．10.13245/j.hust.210412.F003图3四分之一楼盖结构平面(cm)板的参数设定为：hs=8 cm；bs=100 cm；ls=200 cm．次梁的参数设定为：hsb=45 cm；bsb=20 cm；lsb=575 cm．主梁的参数设定为：hm=65 cm；bm=25 cm；lm=660 cm．其中：h，b，l分别表示截面高度、宽度及梁的跨度．考虑自重后，有：g=3.19 kN/m2；p=9.10 kN/m2．3.1　次梁扭转刚度对板弯矩的影响如图3，取位于次梁跨中的板带，y=lb/2=2 875 mm．此时，支座弹性抗弯刚度最小，根据式(3)可得k1=k2=k3=k4=k5=k6=k=8bsGIt/lb2= 2.497×103 kN·m．采用位移法，可以求得五跨连续板在各最不利荷载分布下考虑支座弯曲刚度的跨中和支座处最大弯矩Mmax．在边跨跨中位置处，求得Mmax=2.800 kN·m；在第一内支座左侧，求得Mmax=-4.489 kN·m；在第一内支座右侧，求得Mmax=-4.862 kN·m；在第二跨跨中，求得Mmax=2.724 kN·m；在中间支座左侧，求得Mmax=-4.635 kN·m；在中间支座右侧，求得Mmax=-4.692 kN·m；在第三跨跨中，求得Mmax=2.834 kN·m．文献[1]中的α=0.5，计算得到各截面的最大弯矩M′max．在边跨跨中位置处，求得M′max=3.493 kN·m；在第一内支座，求得M′max=-5.417 kN·m；在第二跨跨中，求得M′max=2.450 kN·m；在中间支座，求得M′max=-4.466 kN·m；在第三跨跨中，求得M′max=2.971 kN·m．对于板带，α=0.5，已知g和p的值，可以求得各截面的d临界值di，从而得到k的临界值ki=diic．由式(6)可得边跨跨中处ki=447.552 kN·m；由式(9)可得第一内支座左侧ki=694.912 kN·m；由式(10)可得第一内支座右侧ki=474.946 kN·m；由式(7)可得第二跨跨中ki=6 342.016 kN·m；由式(11)可得中间支座左侧ki=5 499.392 kN·m；由式(12)可得中间支座右侧ki=6 530.048 kN·m；由式(8)可得第三跨跨中ki=1 774.720 kN·m．同时，根据结构几何和材料确定d及荷载g，p可以得到各截面的α临界值αi．由式(6)可得边跨跨中处αi=1.490；由式(9)可得第一内支座左侧αi=1.308；由式(10)可得第一内支座右侧αi=1.589；由式(7)可得第二跨跨中αi=0.335；由式(11)可得中间支座左侧αi=0.355；由式(12)可得中间支座右侧αi=0.305；由式(8)可得第三跨跨中αi=0.597．对整根连续板统一的支座弯曲刚度k应满足k≥kui=max(ki)=6.530×106 N·m．(26)统一的活载折算系数α应满足0≤α≤αui=min(αi)=0.305．(27)从上述数据中可以看出：满足式(26)和(27)的截面，按照α=0.5计算弯矩M′安全；反之，则不安全，例如第二跨跨中截面和中间支座截面．3.2　主梁扭转刚度对次梁弯矩的影响由图3中梁板结构布置图可知次梁搭承在主梁跨度的1/3处，即y=lb/3=220 cm．由式(4)计算得k1=k2=k3=k4=k5=k6=k=2GIt(n+1)/[lbi(n-i+1)]=1.395×104 kN·m．取文献[1]中作用在次梁上的值为：g=9.47 kN/m2；p=20.02 kN/m2；次梁上的活载折算系数α=0.25．利用位移法可求得各截面的最大弯矩Mmax．在边跨跨中位置处，求得Mmax=70.105 kN·m；在第一内支座左侧，求得Mmax=-104.339 kN·m；在第一内支座右侧，求得Mmax=-101.611 kN·m；在第二跨跨中，求得Mmax=55.605 kN·m；在中间支座左侧，求得Mmax=-93.668 kN·m；在中间支座右侧，求得Mmax=-94.780 kN·m；在第三跨跨中，求得M=53.872 kN·m．已知α=0.25，计算得到各截面的最大弯矩M′max．在边跨跨中位置处，求得M′max=83.595 kN·m；在第一内支座，求得M′max=-109.326 kN·m；在第二跨跨中，求得M′max=54.763 kN·m；在中间支座，求得M′max=-92.912 kN·m；在第三跨跨中，求得M′max=60.723 kN·m．对于次梁，α=0.25，已知g和p的值，可以求得ki．由式(6)可得边跨跨中处ki=2 350.896 kN·m；由式(9)可得第一内支座左侧ki=4 121.001 kN·m；由式(10)可得第一内支座右侧ki=2 628.218 kN·m；由式(7)可得第二跨跨中ki=20 801.507 kN·m；由式(11)可得中间支座左侧ki=17 560.013 kN·m；由式(12)可得中间支座右侧ki=24 554.067 kN·m；由式(8)可得第三跨跨中ki=7 590.692 kN·m．同时，根据结构几何和材料确定各截面αi：由式(6)可得边跨跨中处αi=1.034；由式(9)可得第一内支座左侧αi=0.788；由式(10)可得第一内支座右侧αi=1.083；由式(7)可得第二跨跨中αi=0.189；由式(11)可得中间支座左侧αi=0.214；由式(12)可得中间支座右侧αi=0.162；由式(8)可得第三跨跨中αi=0.385．从上述数据中可以看出，对整根连续梁统一的支座弯曲刚度须满足kui=max(ki)=2.455×107 N•m．(28)统一的活载折算系数应满足0≤α≤αui=min(αi)=0.162. (29)从上述数据中可以看出：满足式(28)和(29)的截面，按照α=0.25计算弯矩M′安全，反之，则不安全，例如第二跨跨中截面和中间支座截面．本算例分析表明，采用总荷载不变，增加恒载，减小活载的方法来考虑支承梁的扭转刚度对板带或次梁弯矩的影响，统一取固定的活载折算系数有时会出现低估弯矩的现象，给设计带来不安全．4 结论a. 对于给定的荷载、结构截面几何和材料，为了确保采用折算荷载系数法算得的弯矩能偏安全，活载折算系数须小于设定值；b. 对于给定荷载、结构材料与活载折算系数，为了确保采用折算荷载系数法算得的弯矩能够偏安全，结构的支座弯曲刚度(支承梁扭转刚度)与连续梁弯曲线刚度比须大于设定值；c. 保证荷载折算系数法所得的弯矩不小于考虑支座抗弯刚度时的弯矩，本研究给出了等截面和等跨度的二、三、四、五跨连续梁各跨中和支座截面处，活载折算系数与支承梁扭转刚度关系的条件解析式．