地震观测分析的对象一般为平动分量，但实际地震波通过地面时各点的波速、周期和相位不同，导致地面运动产生平动分量和转动分量．近几十年间较大地震中都有明显的转动倾斜效应．美国1994年Northridge地震、我国1999年台湾集集地震及2008年汶川地震转动分量引起的地面倾角达到0.8°~3.1°[1-3]，因此须对地震动转动分量进行研究分析，但其获取方法一直是难点．自20世纪60年代开始，学者逐步开始重视转动分量的研究，并通过多种方法获取动转动分量[4]，文献[5-6]通过光纤陀螺、环形激光传感器，文献[7-9]利用密集台阵数据获取了地震动转动分量．虽然地震动转动分量可被以上的特定仪器设备获取，但设置数量有限，无法从一般地震记录中获取转动分量用以研究．一般采用以下两种方法获取转动分量：一种方法是利用地震传播的波动性质，采用基于波动理论的方法进行获取，如文献[10-13]采用不同的方式进行了地震动转动分量推算，但是存在计算参数不足和推导计算较为困难等问题；另一种方法为谱比法，基于地震仪对地震动的差异性，对比水平和竖直向谱线的区别来过滤水平地震波以获取转动分量[14-15]．在利用傅里叶变换进行对比分析的基础上，文献[16]利用小波分析的方法来修正谱比法的不足，获取了较精确的转动分量，但该方法对高频部分地震波研究不足．针对弹性波动理论和谱比分析的特点，本研究采用两者结合的波动-谱比法提取地震动转动分量，在完善波动理论法推导的基础上，将改进的谱比分析与波动理论法进行结合，通过对易引起结构破坏的转动(摇摆)分量[17]在全频域内的获取，建立一种取得的地震动转动分量的新方法．1 波动理论和谱比法获取转动分量1.1　利用波动理论获取转动分量基于弹性动力学，只须明确沿x，y和z的平动位移，就可以从理论上得出微元体组成的地震动所产生的转动效应．实际地震波的理论分析一般采用波动分解的方式进行．在震中距小于100 km的地震区域，地震波的成分以体波为主．在靠近震中的区域，地震动转动分量造成的地面倾斜才较为显著，体波包括纵波(P波)和横波(SV波和SH波)．对转动分量的研究可仅对体波引起的分量进行分析，忽略面波的影响．根据叠加成地震波的简谐波，研究不同介质中传播规律及平面波在弹性截面上的反射定律，入射角θ0与反射角θ1和θ2有如下关系[18]sin θ0sin θ1=sin θ2sin θ0=cPcS=λ+2μμ=2-2υ1-2υ=D，(1)式中：cP和cS分别为P波和SV波的波速；λ和μ为拉梅常数；υ为泊松比．对于确定的介质，比值D为常数．基于波动方程和式(1)，按分离变量法求解可得出P波、SV波和SH波的入射及反射位移函数在该坐标轴的关联．将质点沿坐标轴的位移分量进行分解，P波、SV波和SH波入射和反射坐标示意如图1所示．图中：y向为垂直指向页面，绕z轴的为扭转分量，绕y轴的为转动分量；入射P波(用SP表示)会产生P和SV波两种反射波(用SPP和SSP表示)；入射SV波(用SSV表示)会产生SV和P波两种反射波(用SSS和SPS表示)；入射SH波则仅产生反射SH波(用SSH表示)；ϕgy和ϕgz为转动分量．10.13245/j.hust.210707.F001图1P，SV和SH波入射和反射坐标示意图考虑入射和反射波的关系，可得：u=cos θ0SSV-cos θ0SSS+sin θ2SPS+sin θ0SP   +sin θ0SPP  -cos θ1SSP；(2)w=sin θ0SSV-sin θ0SSS+cos θ2SPS-cos θ0SP+sin θ1SSP+cos θ0SPP；(3)v=2SSH，(4)式中u，w和v分别为沿x，z和y轴的位移．结合微元体转动和平动的关系可得出转动分量为ϕgy=12∂u∂z-∂w∂x=∂w∂x．(5)以对结构影响较大的转动分量ϕgy为例，可采用类似的方法计算扭转分量．结合式(3)，可得转动分量具体表达式为ϕgy=iωsin θ0cSiωsin θ0cSSSV+sin θ0cSSSS+cos θ2cPSPS+  1Diω-cos θ0cPSP+cos θ0cPSPP+sin θ1cPSSP. (6)由上式可知：转动分量只与P和SV波产生的运动有关，与SH波无关．求出θ0，SSV和SP等参数即可由式(6)求出相关转动分量．为此，在考虑边界条件的基础上，对式(2)和(3)消去反射波的相关参数，即可得出u，w和SSV，SP的方程组：u=2D2cos2 θ0sin(2θ1)sin(2θ0)sin(2θ1)+D2cos2(2θ1)SP+2D2cos θ0cos(2θ0)sin(2θ0)sin(2θ2)+D2cos2 θ0SSV; (7)w=2D2cos θ0cos(2θ1)sin(2θ0)sin(2θ1)+D2cos2(2θ1)SP+2Dsin(2θ0)cos θ2sin(2θ0)sin(2θ2)+D2cos2 θ0SSV. (8)求解转动分量过程中平动u和w为已知，而由式(1)可知D仅与介质相关．联立方程则有θ0，SSV和SP三个未知数，无法直接求解．单独SV或P波存在时可求解；但P及SV波同时存在则无法求解．现令两者比值为一常数R，带入式(7)和(8)，并令w/u=T，可得bSΔP+RbPΔS-T(aSΔP+RaPΔS)=0，(9)式中bS，aS，bP，aP，ΔP和ΔS为波速比和入射及反射角参数，取值可参见文献[10]．方程(9)仅有R和sin θ0两个参数，在求出R后可求出sin θ0，代入式(6)，可得ϕgy=∂w∂x=-ω2sin θ0D2cS2DbSΔP+bSΔPRΔPΔSSSV ，(10)SSV可考虑由平动表示(采用w)，代入式(10)，可由平动得出转动关联方程ϕgy=iωsin θ0cSDbSΔP+bSΔPRDbSΔP+DbPΔSRw. (11)在R可以求出的前提下，可由方程(11)求出转动分量ϕgy，但目前没有直接求得R的方法，可采用间接的方法，即利用谱比分析得到部分转动分量，反推确定R．1.2　利用谱比法获取转动分量谱比分析是基于摆式强震仪的原理提出的，考虑了包括平动和转动分量的地震动六分量．通过建立传感仪在各个方向的动力方程后，分析得出：竖直方向的摆片仅记录地面竖向运动加速度时程数据；而水平方向的摆片所记录的数据除包含地面水平运动加速度时程数据外，还包含转动角位移，即转动分量(gϕ1和gϕ2，g为重力加速度)的影响[14]．在此基础上，当地震记录不含转动分量时，水平加速度时程的傅里叶幅值谱与竖向加速度时程的幅值谱在低频部分走势接近，即具有相似性；但当地震动包含平动分量以外，所记录的未修正水平加速度时程数据中还包含转动分量的影响，使得水平与竖向加速度的傅里叶振幅谱有较大差异，不再具有相似性[14-15]．可以得出：转动分量是导致水平和竖向加速度振幅谱在低频部分存在差异的原因，通过低通滤波方式处理加速度时程的低频分量gϕ¨，除以g后，可获取转角位移和加速度时程[14-15]．但实际应用时，存在截断频率和截断频率不易确定、获取的转动分量中存在水平分量等问题．文献[16]利用具有自适应、时频局部化分析能力的小波变换改进谱比法，进行精细化的处理，获取低频转动分量．利用小波分析对阈值选取和信号去噪，比直接采用低通滤波将频率截断的傅里叶谱法准确，获取低频部分转动分量也较为精确．无论是采用傅里叶谱直接低通滤波，还是利用小波分析改进，始终无法获取高频部分转动地震分量，而高频为主的地震动在低周期对结构反应谱有放大效果[19]；长周期结构在高频地震动作用下，瞬态振动影响明显[20]，在计算分析中若对高频部分研究不足，则对不同结构均会产生明显破坏，须进一步完善高频部分的转动效应的研究．2 波动-谱比法获取转动分量1.1节中基于波动理论推导的地震谐波转动分量的计算方法，对仅有P波或SV波单一入射时可直接进行．一般地震动同时包含P波和SV波，单纯利用波动理论无法直接求出P波和SV波的位移势函数之比．谱比法可在低频部分对地震数据进行精确处理，但无法对高频部分做出分析，从频率角度上计算不完整，但波动理论的推导则无此缺陷．基于此，可将谱比法和波动理论结合，计算全频率范围内的转动分量，称为波动-谱比法，研究思路如下：首先，采用基于小波变换的谱比分析，获取转动分量的低频部分；然后，利用低频部分计算结果及弹性波动理论的推导公式反推以确定比例系数；最后，利用弹性波动理论法求得转动分量的高频部分并保留已有的低频部分，结合两种计算方法求出转动分量．令G(sin θ0,R)=sin θ0cSDbSΔP+bSΔPRDbSΔP+DbPΔSR，则式(11)可改写为ϕgy=iωG(sin θ0,R)w, (12)对其进行快速傅里叶变换分解后，可得转动分量角加速度和竖向分量加速度在频域中关系ϕ¨(ωi)=iωG(sin θ0,R)w¨(ωi), (13)式中：ϕ¨(ωi)为转动分量(角速度)经傅里叶变换的频域值，频率为ωi；w¨(ωi)为竖向分量经傅里叶变换的频域值，频率也为ωi．利用谱比分析并联立式(9)和(13)，可求出R和sin θ0，从而求出转动分量的频域解并进一步得到其时域解，具体的实施步骤如下．a. 利用基于小波变换的谱比分析获取低频部分转动分量，求出转角加速度的时域解ϕ¨(t)，进行傅里叶变换，得到其在频域内的解．同时选择合适的频率ωk，保证转角加速度各频率分量的能量集中在该频率之下．此即为转角加速度的低频分量ϕ¨(ωi)．b. 对水平加速度u¨(t)和竖向加速度w¨(t)傅里叶变换，求出水平和竖向加速度频域解u¨(ωi)和w¨(ωi)．c. 在前两步分别求出低频部分转角频域解ϕ¨(ωi)及竖向加速度时程频域解w¨(ωi)的基础上，将式(9)和(13)联立后进行数值求解，得出P波和SV波在不同频率下的R，并采用数值逼近方式求多个频率下的系数R'．d．对于低频，即频率小于ωk时，选择实际计算的R进行计算；对于高频，则选择由步骤c中得到的R'计算，并利用竖向加速度频值w¨(ωi)、式(9)和(13)，求出此部分转角加速度的频域值ϕ¨'(ωi)，再利用逆傅里叶变换，得到时域内转动加速度时程ϕ¨'(t)用以计算分析．3 波动-谱比法的数值验算3.1　地震波的选取选取的地震记录来自1994年Northridge地震在Pacoima大坝左上部基台的记录．该地震动记录站点位于地方震区(震中距100 km)，是著名的强震记录站点．除Northridge地震外，该站点还记录了1971年San Fernando地震，且二者的记录中均有转动倾斜效应，但前者的转动倾角略小(约0.5°)，而在Northridge地震中，经加州强震程序(CSMIP)的工作人员在震后采用电子水准仪测得，在N40E方向(山脊的下坡方向)的地面倾斜约3.1°，此记录和位移倾斜的观测现象可用于分析研究[21]．同时，采用波动-谱比法进行计算时，须采用未经修正的记录，即仅将记录点和电信号数据转换成相关位移和加速度记录，而未经过滤波等方式处理地震仪记录，因对地震记录的处理可能导致转动分量被视作噪声处理，而无法进行后续分析．图2即为该站点竖向及水平Northridge地震未修正加速度时程，总共时长为20 s，时间间隔为0.02 s．10.13245/j.hust.210707.F002图2竖向及水平Northridge地震未修正加速度时程3.2　谱比分析法获取转动分量进行离散小波变换的对象为非平稳特性的地震波，须识别并提取出水平地震数据低频部分．为此，应该选择具有良好正交性和对称性、消失矩较高且支撑宽度较小的小波母函数，以适合对地震数据进行局部精细化处理的需求．综合考虑，选择6阶Symlets小波母函数进行小波变换．利用Matlab中小波变换程序，对图2中Northridge地震加速度数据进行处理，竖向和水平加速度时程经离散小波分解，其中离散层数，根据信号点个数的对数值取整求得．因地震记录中N=1 001，故为9层分解．选取典型的V9，W9，W2和W1水平和竖向加速度时程各空间分量对比，如图3所示．10.13245/j.hust.210707.F003图3水平和竖向加速度时程各空间分量对比由图3可见：在低频段空间差异明显而高频段差异较小，且在频率段最低的V9空间中，水平加速度曲线发生单侧偏移，而竖向加速度曲线无此现象，即转动分量的影响在低频部分起了明显控制作用，此现象与实际的Northridge地震中地面产生明显残余倾斜现象一致，进一步证明利用小波变换对谱比法的改进是合理可行的．经离散小波变换后，可得出各空间分量的小波系数，该系数反映波基函数在原始信号中能量大小．考虑到V9和W7~W9差异明显，仅列出此4个水平和竖向加速度时程空间分量的小波系数(Wf)对比，如图4所示．10.13245/j.hust.210707.F004图4水平和竖向加速度时程空间分量的小波系数对比由图4可见：水平和竖向加速度的小波系数差异性较大，水平加速度的小波系数的绝对值明显大于竖向加速度，但随频率增加差异减少，水平加速度受单侧残余量转动分量的影响，且转动分量在低频段起控制作用．小波系数差异反映水平加速度中包含的转动分量影响量造成的差异，可据此确定各分解空间的阈值：对于高频段空间，阈值取水平加速度小波系数的最大值；对于低频段空间，应保证在阈值内水平加速度与竖向加速度的小波系数较为接近，而在阈值之外，水平加速度的小波系数远大于竖向加速度的小波系数．据此可求出此4层阈值分别是4.2，2.9，0.8和0.28，其余层分解空间的阈值则取水平加速度小波系数绝对值的最大值．利用软阈值函数，根据确定阈值对水平加速度进行小波阈值去噪，并重构阈值外的小波系数，除以g后对时间求两次导即可得到改进谱比法获得的角加速度(at)时程，如图5所示．对其进行傅里叶变换，可得转角加速度时程傅里叶振幅谱(af)，如图6所示．10.13245/j.hust.210707.F005图5改进谱比法获得的角加速度时程10.13245/j.hust.210707.F006图6改进波谱法获得的转角加速度时程傅里叶振幅谱利用改进的谱比法获取的转动角加速度主要含低频成分，振幅谱显示频率分量的能量主要集中在2.3 Hz以下，9 Hz以后几乎消失．利用第2节中步骤b~d计算高频部分结果，其中等效横波波速cS依实际地质条件的剪切波速等效获取，土泊松比则取ν=0.2，数值求解采用Matlab编程实现．最终由波动-谱比法获取的转角位移时程和转角加速度时程见图7和8．10.13245/j.hust.210707.F007图7波动-谱比法获取的转角位移时程 10.13245/j.hust.210707.F008图8波动-谱比法获取的转角加速度时程 3.3　验证和分析对比实际地震记录和图7中位移的转角时程，其最大转动倾斜转角值与3.1节中的实测记录接近，同时，位移的增长和倾斜幅度也符合实际记录(在近10 s达到3°左右的倾斜)，计算与观测记录符合较好，验证了利用波动-谱比法获取转动分量的正确可行．对图8所获取的转动分量加速度时程进行傅里叶变换得到转角加速度时程傅里叶振幅谱，如图9所示．10.13245/j.hust.210707.F009图9波动-谱比法获取的转角加速度时程傅里叶振幅谱对比图6和图9可知：由波动-谱比法获取的地震动转动角加速度时程的幅值，比直接采用谱比法获取的幅值明显增大，且增加了高频部分，是计算过程良好的补充．对9 Hz以后的高频部分，能从能量角度对地震动转动效应进行正确评估，消除了由于缺乏高频部分造成的能量缺失．对于诸如输电塔等长周期高柔结构，利用此方法能较好获取全频域的转动效应对结构影响，以防止忽略高频部分对结构分析的不足及未正确评估转动效应作用．4 结论a. 提出波动-谱比法，综合了波动分解的微观理论推导和谱比分析宏观计算，能根据地震动平动分量求解出转动分量．b. 波动-谱比法在低频部分采用谱比分析，对入射P波和SV波时的波动比值参数进行计算，利用该比值，通过弹性波动理论求出转角加速度的频域值，最终得出时域内转动加速度和位移时程．该方法填补了波动理论计算困难的问题和谱比分析的计算不完整的缺陷，能较为准确地获取转动分量的同时，不忽略高频部分地震动的影响．c. 对具有典型转动倾斜效应的Northridge地震中的实测记录，通过波动-谱比法从平动分量中获取了转动分量，并将结果和该记录对比，符合较好，证明了此方法获取转动分量的可靠性．未来可利用本方法从未修正的地震平动记录中获取全频域范围内的转动分量，从而对转动分量影响明显的输电塔等高柔结构的地震动效应，尤其是高频部分的影响做出正确的分析．