梁式结构是结构系统中必不可少的构件，并广泛用于工程学科，准确预测移动荷载作用下梁式结构的振动响应具有重要的理论意义和工程实用价值．文献[1]推导了封闭形式单层梁的动力响应，还利用Newmark-β方法分析了运动质量、梁的阻尼比对梁动力响应的影响．文献[2]研究了弹性支撑梁在高速移动荷载作用下的动力响应，探讨了考虑阻尼对系统共振时动力响应的影响以及弹性支撑的作用．文献[3]研究了两层欧拉-伯努利梁在移动荷载作用下的振动，给出了两层梁系统动态挠度的解析解，并分析了运动荷载的速度、黏弹性层的阻尼和刚度对梁动力响应的影响．文献[4]提出了一种计算单个移动质量作用下两层简支梁动力响应的简便方法，并分析了质量大小、移动质量速度、温克尔层弹簧的刚度和阻尼对系统动力响应的影响．文献[5]研究了单个移动荷载在移动质量作用下三层弹性连接梁系统的动力响应及阻尼对梁动力响应的影响．综上可知：单层梁[6-9]、双层梁及多层梁系统在移动荷载作用下的振动和动力响应研究已经形成了较为完整的理论体系，但对于综合考虑移动荷载列效应及层间阻尼效应的研究尚不多见．本研究使用有限傅里叶变换对移动荷载列作用下的多层梁系统动力响应进行计算，并分析梁抗弯刚度、层间阻尼及层间刚度对多层梁系统动力响应的影响．1 移动荷载列作用下多层梁系统动力响应的求解1.1　数学模型建立与参数求解如图1所示的欧拉伯努利简支梁模型总共s层，图中：Fi为荷载列中第i个荷载，并设t=0 s时刻F1作用在x=0 m处；di为Fi到F1的距离；v为移动速度．可得出荷载列P(x,t)表达式为Px,t=∑i=1NFiδ[x-v(t-ti)]S[v(t-ti)/l]，式中：l为多层梁系统计算长度；ti=di/v；δ为狄拉克函数；Sσ为构造函数，表达式为Sσ=1    (0≤σ≤1),0    (σ0或σ1).10.13245/j.hust.210511.F001图1任意移动荷载列多层梁系统模型多层梁系统运动方程可表示为E1I1∂4y1∂x4+m1∂2y1∂t2+c1∂(y1-y2)∂t+κ1(y1-y2)=Px,t; (1)EpIp∂4yp∂x4+mp∂2yp∂t2-cp-1∂(yp-1-yp)∂t+cp∂(yp-yp+1)∂t-κp-1(yp-1-yp)+κp(yp-yp+1)=0    (p≠1,s); (2)EsIs∂4ys∂x4+ms∂2ys∂t2-cs-1∂(ys-1-ys)∂t-κs-1(ys-1-ys)=0, (3)式中：y1,yp和ys分别为第一层、第p层和最后一层的竖向位移；E1,Ep和Es分别为第一层、第p层和最后一层的弹性模量；I1,Ip和Is分别为第一层、第p层和最后一层的惯性矩；m1,mp和ms分别为第一层、第p层和最后一层的单位长度质量；κ1,κp和κs-1分别为第一层、第p层和倒数第二层的层间弹簧分布刚度；c1,cp和cs-1分别为第一层、第p层和倒数第二层层间分布阻尼．定义关于空间坐标x的正弦傅里叶变换为ψ[yn(x,t)]=Un,k(t)=∫0lyn(x,t)sin(ξkx)dx；(4)ψ-1[Un,k(t)]=yn(x,t)=2l∑k=1∞Un,k(t)sin(ξkx)，(5)式中：ξk=kπ/l；n=1,2,…,s；k=1,2，…，∞．对(1)~(3)两边进行正弦傅里叶变换，并以矩阵形式表示为MkU¨k+CkU˙k+KkUk=Pk，(6)式中：Mk=diag(m1,m2,…,ms)；Ck=c1-c10⋯0-c1c2+c1-c2⋯⋮0⋯0⋯⋯-cs-2cs-2+cs-1-cs-10⋯0-cs-1cs-1；Kk=κ1+ξk4E1I1-κ10⋯0-κ1κ2+κ1+ξk4E2I2-κ2⋯⋯0⋯0⋯⋯-κs-10⋯0-κs-1κs-1+ξk4EsIs；Uk=[U1,k,U2,k,⋯,Us,k]T；Pk=[Pk(t),0,⋯,0]T．将傅里叶幅值谱{Uk}作正则坐标变换可得Uk=Γkqk，(7)式中：Γk为刚度矩阵Kk相对于质量矩阵Mk的广义特征向量矩阵，有Γk=ϕk1,1ϕk1,2⋯ϕk1,sϕk2,1ϕk2,2⋯ϕk2,s⋯ϕks,1ϕks,2⋯ϕks,s；qk为广义傅里叶幅值谱向量，有qk=[q1,k,  q2,k,  ⋯,  qs,k]T．将式(7)代入式(6)，两边左乘ΓkT后简化得q¨n,k(t)+2ζn,kωn,kq˙n,k(t)+ωn,k2qn,k(t)=Pn,k/Mn,k，(8)式中：ζn,k=Cn,k/(2ωn,kMn,k),其中，Cn,k=[ϕk1,n,ϕk2,n, ⋯,  ϕks,n]Ck[ϕk1,n,  ϕk2,n,  ⋯,  ϕks,n]T,   Mn,k=[ϕk1,n,  ϕk2,n,⋯,ϕks,n]Mk[ϕk1,n,  ϕk2,n,  ⋯,  ϕks,n]T；Pn,k=[ϕk1,n,  ϕk2,n, ⋯, ϕks,n]Pk；ωn,k为梁系统第n阶自振圆频率，ωn,k2= Kn,k/Mn,k，其中Kn,k=[ϕk1,n,  ϕk2,n,  ⋯,ϕks,n]Kk[ϕk1,n, ϕk2,n,  ⋯,  ϕks,n]T．1.2　荷载列的傅里叶级数表达通过对Pk(t)进行傅里叶级数展开[10]可得Pk(t)=a0+∑j=1∞[ajcos(jθt)+bjsin(jθt)]，式中：a0=1-cos(ξkl)ξk(l+dN)∑i=1NFi；aj=-v∑i=1NFil+dNcos(ξkl+jθl/v+jθti)-cos(jθti)ξkv+jθ+cos(ξkl-jθl/v-jθti)-cos(jθti)ξkv-jθ;bj=v∑i=1NFil+dNsin(ξkl-jθl/v-jθti)+sin(jθti)ξkv-jθ-sin(ξkl+jθl/v+jθti)-sin(jθti)ξkv+jθ.1.3　移动荷载列作用下多层梁系统的动力响应根据杜哈梅积分，方程(8)初始条件为零的特解可表示为qn,k1t=ϕk1,nMn,kωn,k∙D1+∑j=1∞12aj(D2-D.3)+12bj(D4-D5),式中：D1=a0ωCn,k2+ωDn,k2{ωDn,k-e-ωCn,kt[ωCn,k∙sin(ωDn,kt)+ωDn,kcos(ωDn,kt)]};D2={ωCn,ksin(jθt)-(jθ-ωDn,k)cos(jθt)-e-ωCn,kt[ωCn,ksin(ωDn,kt)-(jθ-ωDn,k)cos(ωDn,kt)]}/[(jθ-ωDn,k)2+ωCn,k2];D3={ωCn,ksin(jθt)-(jθ+ωDn,k)cos(jθt)-e-ωCn,kt[ωCn,ksin(-ωDn,kt)-(jθ+ωDn,k)cos(-ωDn,kt)]}/[(jθ+ωDn,k)2+ωCn,k2];D4={ωCn,kcos(jθt)+(jθ+ωDn,k)sin(jθt)-e-ωCn,kt[ωCn,kcos(-ωDn,kt)+(jθ+ωDn,k)sin(-ωDn,kt)]}/[(jθ+ωDn,k)2+ωCn,k2];D5={ωCn,kcos(jθt)+(jθ-ωDn,k)sin(jθt)-e-ωCn,kt[ωCn,kcos(-ωDn,kt)+(jθ-ωDn,k)sin(-ωDn,kt)]}/[(jθ-ωDn,k)2+ωCn,k2],其中，ωCn,k=ωn,kζn,k，ωDn,k=ωn,k1-ζn,k2．方程(8)考虑初始条件的齐次解可以表示为qn,k0(t)=e-ωCn,kt[qn,k0(0)cos(ωDn,kt)+(q˙n,k0(0)+ωCn,kqn,k0(0))sin(ωDn,kt)/ωDn,k].由式(7)由式(4)以及简支梁初始条件为零可得qn,k0(t)=0．因此方程(8)的通解可表示为qn,k(t)=qn,k1(t)+qn,k0(t)=ϕk1,nMn,kωn,k∙D1+∑j=1∞12aj(D2-D.3)+12bj(D4-D5). (13)将式(7)和(13)代入(5)可得多层梁模型在荷载列作用下的动力响应为y=2l∑k=1∞Γkqksin ξkx，式中y=[y1,y2,⋯,ys]T．2 解析解与有限元解对比验证为验证本研究的解析计算方法的正确性，选取铁路桥梁中常用32 m跨度的铁路梁-轨系统模型[11]为例，将移动荷载列作用下的梁-轨系统跨中动力响应解析计算结果和ANSYS有限元计算结果进行比较．具体参数[12]如下：轨道板弹性模量E1=2.06×1011 Pa，竖向惯性矩I1=3.217×10-5 m4，单位长度质量m1=60 kg/m，主梁弹性模量E2=3.5×1010 Pa，竖向惯性矩I2=10.42 m4，单位长度质量m2=3.6×104 kg/m，层间刚度为κ1=6×107 N/m2，层间阻尼为c1=4.47×104 N/m2，层间弹簧竖向长为0.5 m，荷载F=160 kN，荷载间距L1=2.5 m，L2=14.875 m，L3=4.9 m，L4=24.775 m．任取两个不同速度(33，97，135 m/s)荷载列，梁-轨系统跨中动力响应解析计算结果与ANSYS有限元结果如图2所示，图中：y1为轨道挠度；y2为主梁挠度．由图2可以看出：不同速度荷载列工况下，解析计算方法与ANSYS有限元数值方法得到的梁-轨系统跨中动力响应时程曲线基本重合，说明解析计算结果与ANSYS有限元数值计算结果符合较好，验证了本研究的解析计算方法的可靠性．10.13245/j.hust.210511.F002图2不同速度下跨中时程曲线图3 参数分析3.1　抗弯刚度对梁-轨系统动力响应影响为研究轨道抗弯刚度对移动荷载列作用下梁-轨系统动力响应的影响，改变轨道的抗弯刚度(0.50E1I1，0.75E1I1，1.00E1I1，1.50E1I1)，并对不同移动速度(0~200 m/s)的荷载列作用下梁-轨系统跨中动力响应进行计算，计算结果如图3所示．10.13245/j.hust.210511.F003图3轨道抗弯刚度变化对系统跨中动力响应影响由图3可以看出：轨道抗弯刚度的变化对移动荷载列作用下主梁动力响应的影响可以忽略，而轨道抗弯刚度变化对移动荷载列作用下轨道的动力响应有一定程度的影响，随着轨道抗弯刚度的增大，轨道的动力响应缓慢减小．为研究主梁抗弯刚度对移动荷载列作用下梁-轨系统动力响应的影响，改变主梁的抗弯刚度(0.50E2I2，0.75E2I2，1.00E2I2，1.50E2I2)，并对不同移动速度(0~200 m/s)的荷载列作用下梁-轨系统跨中动力响应进行计算，计算结果如图4所示．10.13245/j.hust.210511.F004图4主梁抗弯刚度变化对系统跨中动力响应影响由图4可以看出：主梁抗弯刚度对移动荷载列作用下梁-轨系统的跨中动力响应有较为显著的影响，随着主梁抗弯刚度的增大，轨道及主梁的跨中动力响应均显著减小．3.2　层间刚度对梁-轨系统动力响应影响为研究层间刚度对梁-轨系统动力响应的影响，改变梁-轨系统层间刚度(0.50κ1，0.75κ1，1.00κ1，1.50κ1)，并对不同移动速度(0~200 m/s)的荷载列作用下梁-轨系统跨中动力响应进行计算，四种层间刚度情况下梁-轨系统跨中动力响应计算结果如图5所示．10.13245/j.hust.210511.F005图5层间刚度变化对系统跨中动力响应影响由图5可以看出：不同层间刚度情况下的主梁跨中动力响应时程曲线基本重合，说明层间刚度对主梁跨中动力响应的影响可以忽略；层间刚度对轨道跨中动力响应有一定程度影响，随着层间刚度的增大，轨道的跨中动力响应缓慢减小．3.3　层间阻尼对梁-轨系统动力响应影响为研究层间阻尼对梁-轨系统动力响应的影响，改变梁-轨系统层间阻尼(0.00c1，0.50c1，0.75c1，1.00c1，1.50c1)，并对不同移动速度(0~200 m/s)的荷载列作用下梁-轨跨中动力响应进行计算，不同层间阻尼情况下梁-轨系统系统跨中动力响应计算结果如图6所示．10.13245/j.hust.210511.F006图6层间阻尼变化对系统跨中动力响应影响由图6可以看出：层间阻尼的存在会对轨道跨中动力响应产生影响，而对主梁跨中动力响应无影响．在不同层间阻尼情况下，梁-轨系统中主梁的跨中动力响应时程曲线基本重合，说明层间阻尼的变化对主梁的动力响应的影响可以忽略．层间阻尼的变化对移动荷载列作用下轨道的动力响应有一定程度影响，随着层间阻尼的增大，轨道的跨中动力响应缓慢减小．