涡旋机械具有结构简单、效率高、噪声低和可靠性高等优点，广泛应用于制冷、空调、有机朗肯循环和余热发电等领域[1]．型线是研究和设计的基础，型线的优劣直接影响到涡旋机械的性能[2]．目前，国内外科研人员对型线的研究主要集中在等截面涡旋型线[3]和变壁厚涡旋型线[4]．变壁厚涡旋型线可分为渐变壁厚涡旋型线和变截面涡旋型线．与等截面涡旋模型相比，这两类变壁厚涡旋型线分别具有以下优点：渐变壁厚涡旋模型的面积利用率高、内容积比高，当涡旋盘直径相同时，排气量提高10%～15%，内容比增加15%～20%，具有较好的综合性能[5]；变截面涡旋模型采用较少圈数就可实现高压缩比/膨胀比，减少气体工质在工作腔的停留时间[6]．建立高效、实用和易加工的变壁厚涡旋模型一直是研究的热点．目前，对渐变壁厚涡旋型线的研究较少，主要集中在代数螺线和变径基圆渐开线．文献[7]利用代数螺线及其包络线建立了一种新的涡旋型线，并对其几何特性进行了详细的研究．文献[8]将变半径基圆渐开线应用于涡旋型线，并对其在涡旋型线中应用的可行性进行了详细的分析．文献[9]提出一种由变径基圆渐开线及其法向等距曲线组成的渐变壁厚且渐变啮合间隙的涡旋型线．文献[10]基于法向等距线法，提出一种由基圆渐开线和变径基圆渐开线组成的新型全啮合渐变壁厚涡旋齿．对变截面涡旋型线的研究主要集中于组合曲线．文献[11]首先提出了由圆渐开线、高次曲线和圆弧组成的变截面涡旋型线．文献[12]提出了由圆渐开线、圆弧和圆渐开线组成的变截面涡旋型线．文献[13]提出了由圆渐开线、高次曲线和圆渐开线组成的变截面涡旋型线．本研究总结渐变壁厚涡旋模型和变截面涡旋模型的优点，尝试构建一种可以具有两种变壁厚涡旋模型优点的新型涡旋模型．分析代数螺线的性质，推导出不同极径的代数螺线相互替代的条件，详细论述新型变截面涡旋模型基线的建立过程．根据法相等距法生成内外壁涡旋型线，由此完成新型涡旋模型的构建．建立的代数螺旋新型涡旋模型兼顾两者的优点，丰富了变截面涡旋机械的种类，为变截面涡旋齿的型线的研究拓宽了思路．1 变壁厚涡旋模型变壁厚涡旋模型包括渐变壁厚涡旋模型和变截面涡旋模型．1.1　代数螺线代数螺线方程式为x(φ)=ρφkcos φ;y(φ)=ρφksin φ, (1)式中：ρ为极径；φ为极角；x(φ)和y(φ)分别为横、纵坐标；k为螺旋系数．根据螺旋系数k取值的不同，生成的涡旋盘不同．方程(1)为外侧涡旋型线，其包络线为内侧涡旋型线，由此生成的涡旋盘模型如图1所示．10.13245/j.hust.210510.F001图1代数螺线涡旋盘1.2　对比等壁厚涡旋模型衡量压缩机最主要的两个性能指标是排气量和功耗，其中排气量尤为重要，有必要对其进行对比分析．等壁厚涡旋模型方程为：x(φ)=Rgcos φ+Rgφsin φ;y(φ)=Rgsin φ-Rgφcos φ,式中Rg为基圆半径．在相同设计条件下，即偏心距Ror=18 mm，终端展角φend=6π，涡旋盘直径D=341.5 mm，齿高h=100 mm，选取k=0.7的代数螺线渐变壁厚涡旋模型与等壁厚涡旋模型进行对比，生成的涡旋盘如图2所示．10.13245/j.hust.210510.F002图2两种涡旋盘在涡旋盘直径、终端展角、偏心距和齿高相同的条件下，代数螺线涡旋模型的吸气容积为1.51 dm3，等壁厚涡旋模型的吸气容积为1.32 dm3，相差14.33%．相比等壁厚涡旋模型，代数螺线涡旋模型的排气量提高14.33%，说明代数螺线涡旋模型具有较好的性能．1.3　变截面涡旋模型变截面涡旋模型相比等截面涡旋模型，采用较少圈数就可实现高压缩比/膨胀比，减少了气体工质在工作腔的停留时间，因此变截面涡旋模型效率更高，性能更好．研究最多的变截面涡旋模型由圆渐开线、高次曲线和圆渐开线(或圆弧)构成，高次曲线方程为：x(φ)=Rgcos φ+Rsφsin φ;y(φ)=Rgsin φ-Rsφcos φ,式中Rs为弦长．计算方程为：Rg=C2+2C3(φ-0.5π)+3C4(φ-0.5π)2;      Rs=C1+C2(φ-0.5π)+C3(φ-0.5π)2+C4(φ-0.5π)3,式中C1，C2，C3和C4为待定系数．等截面和变截面涡旋模型如图3所示，从图3可以看出4圈的等截面涡旋模型转化为3圈的变截面模型．等截面涡旋模型运转4圈才能完成的吸气、压缩/膨胀及排气的工作过程，变截面涡旋模型仅须运转3圈即可完成．当高次曲线代替的圆渐开线圈数越多时，效率提升越大．10.13245/j.hust.210510.F003图3等截面和变截面涡旋模型2 代数螺线的性质传统变截面涡旋模型的建立方法一般是以圆渐开线为原始型线，另一曲线替代圆渐开线中间部分，实现以较少圈数达到同样的几何性能．本研究采用代数螺线作为原始型线来建立变截面涡旋模型．2.1　极径不同的代数螺线相互替代的条件选取ρ不同的两种代数螺线A1和A2，方程式为x1(φ)=ρ1φkcos φ,y1(φ)=ρ1φksin φ    (φ∈[φ1,φ1+2n1π])；x2(φ)=ρ2φkcos φ,y2(φ)=ρ2φksin φ    (φ∈[φ2,φ2+2n2π])，式中：φ1和φ2为任意值；n1和n2为正整数，且n1n2．当代数螺线A1在φ1和(φ1+2n1π)时，坐标点分别设为C和D；当代数螺线A2在φ2和(φ2+2n2π)时，坐标点分别设为E和F．代数螺线ACD和AEF可以相互替代的条件为|LCD|=|LEF|，(2)式中L为两点间距离．方程(2)求解得ρ1ρ2=(φ2+2n2π)k-φ2k(φ1+2n1π)k-φ1k. (3)方程(3)是不同极径的代数螺线相互替代的充要条件，也是构造代数螺线变截面涡旋模型的必要条件．2.2　替代过程赋予参数以具体数值来演示代数螺线AEF代替代数螺线ACD的过程，参数值为：ρ1=10 mm，ρ2=10 mm，φ1=2π，φ2=π，n1=2，n2=1．初始视图如图4(a)所示．AEF绕基圆中心逆时针旋转(φ1–φ2)或顺时针旋转(2π–φ1+φ2)，得到AE'F'，如图4(b)所示．10.13245/j.hust.210510.F004图4初始视图和旋转过程定义控制变量θ为θ=φ1-φ2．空间一点(x,y)绕原点旋转θ，得到点(x*,y*)，变化矩阵如下：顺时针旋转为x*y*=cos θsin θ-sin θcos θxy；逆时针旋转为x*y*=cos θ-sin θsin θcos θxy．AE'F'的方程式求解得：x2(φ)=ρ2(φ-θ)kcos φ;y2(φ)=ρ2(φ-θ)ksin φ    (φ∈[φ1,φ1+2n2π])．上述的旋转过程是一个特例，点E和F旋转之后恰好与点C和D重合．此时，参数φ1和φ2满足φ2=n2φ1/n1．(4)当参数φ1和φ2不满足方程(4)时，点E'和F'不与点C和D重合，如图5所示，经过平移才能进行替代．10.13245/j.hust.210510.F005图5一般情况的旋转过程代数螺线经过旋转，几何圆心不变，但经过平移后，几何圆心发生改变，会降低所设计的涡旋机械的性能，因此平移的距离越小越好，当距离为零时最好，即φ1和φ2满足方程(4)．3 新型变截面几何模型3.1　新型变截面涡旋基线经过旋转后的代数螺线AE'F'和A1在C和D两点的一阶导数不同，不具有公共的法线，如图4(b)所示，因此AE'F'和A1不能平滑地连接．而变截面涡旋型线的基线方程要求不同的曲线在连接点处平滑连接，必须对AE'F'进行处理．对于第一段基线，即代数螺线A1，方程式为：x1(φ)=ρ1φkcos φ;y1(φ)=ρ1φksin φ    (φ∈[0,φ1])．(5)对于第二段基线，求解过程如下．代数螺线A1和AE'F'在C和D两点切线的夹角分别定义为ϕ1和ϕ2．代数螺线A1在C点的切线斜率为μ1=ρ1φ1k-1sin φ1+ρ1φ1kcos φ1ρ1φ1k-1cos φ1-ρ1φ1ksin φ1．代数螺线AE'F'在C点的切线斜率为μ2=ρ2(φ1-θ)k-1sin φ1+ρ2(φ1-θ)kcos φ1ρ2(φ1-θ)k-1cos φ1-ρ2(φ1-θ)ksin φ1．夹角ϕ1方程式为ϕ1=arctan|(μ1-μ2)/(1+μ1μ2)|．同理可求ϕ2．在代数螺线AE'F'绕C点逆时针旋转ϕ1后，可满足构成变截面涡旋基线的要求，旋转后的方程式为：    x2(φ)=ρ2(φ-θ)kcos(φ+ϕ1)-ρ1φ1kcos(φ1+ϕ1)+ρ1φ1kcos φ1;    y2(φ)=ρ2(φ-θ)ksin(φ+ϕ 1)-ρ1φ1ksin(φ1+ϕ1)+ρ1φ1ksin φ1              (φ∈[φ1,φ1+2n2π]). (6)对于第三段基线，求解过程如下．第三段代数螺线A1绕D点顺时针旋转ϕ2，再绕C点逆时针旋转ϕ1，旋转后的方程式为：    x3(φ)=ρ1φkcos(φ+ϕ1-ϕ2)-ρ1(φ1+2n1π)kcos(φ1+ϕ1-ϕ2)+ρ1(φ1+2n1π)k∙cos(φ1+ϕ1)+ρ1φ1kcos φ1;    y3(φ)=ρ1φksin(φ+ϕ1-ϕ2)-ρ1(φ1+2n1π)ksin(φ1+ϕ1-ϕ2)+ρ1(φ1+2n1π)k∙sin(φ1+ϕ1)+ρ1φ1ksin φ1                  (φ∈[φ1+2n1π,φend]). (7)新型变截面涡旋模型的基线包括方程(5)~(7)，基线图如图6(a)所示．10.13245/j.hust.210510.F006图6基线及动静涡旋盘3.2　法向等距法法向等距法[14]是由一型线生成与其啮合的另一型线，而不参与啮合的涡旋齿部分无法生成．只要正确选择涡旋齿的母线，就可以根据法向等距法得到满足啮合的动静涡旋盘．用法向等距法生成代数螺线涡旋齿的步骤如下．步骤1 假设方程(5)~(7)为动涡旋盘的内壁型线，向内等距Ror，生成静涡旋盘的外壁型线；步骤2 动涡旋盘的内壁型线和静涡旋盘的外壁型线，绕基圆圆心旋转π，得到静涡旋盘的内壁型线和动涡旋盘的外壁型线；步骤3 删除最外圈多余的0.5圈型线，对涡旋齿根部位进行修正，动静涡旋盘基圆中心相距Ror正确安装．由以上步骤生成的动静涡旋盘如图6(b)所示．3.3　内外壁型线方程因为动静涡旋盘相同，所以求出内外壁型线之一即可．内壁型线方程分别为方程(5)~(7)，下面求解静涡旋盘的外壁型线．等距曲线计算方程为Cd(t)=C(t)±d(y'(t),-x'(t))x'2(t)+y'2(t)，式中d为等距值．第一段外壁型线方程为：x(φ)=ρ1φkcos φ-Rory1'(t)x1'2(t)+y1'2(t);y(φ)=ρ1φksin φ-Ror-x1'(t)x1'2(t)+y1'2(t)                         (φ∈[0,φ1]).第二段外壁型线方程为：    x(φ)=ρ2(φ-θ)kcos(φ+ϕ1)-ρ1φ1k∙cos(φ1+ϕ1)+ρ1φ1kcos φ1-Rory2'(t)x2'2(t)+y2'2(t);    y(φ)=ρ2(φ-θ)ksin(φ+ϕ 1)-ρ1φ1k∙sin(φ1+ϕ1)+ρ1φ1ksin φ1-Ror-x2'(t)x2'2(t)+y2'2(t)                      (φ∈[φ1,φ1+2n2π]).第三段外壁型线方程为：      x(φ)=ρ1φkcos(φ+ ϕ1-ϕ2)-ρ1(φ1+2n1π)k∙cos(φ1+ϕ1-ϕ2)+ρ1(φ1+2n1π)kcos(φ1+ϕ1)+ρ1φ1kcos φ1-Rory3'(t)x3'2(t)+y3'2(t);      y(φ)=ρ1φksin(φ+ϕ1-ϕ2)-ρ1(φ1+2n1π)k∙sin(φ1+ϕ1-ϕ2)+ρ1(φ1+2n1π)ksin(φ1+ϕ1)+ρ1φ1ksin φ1-Ror-x3'(t)x3'2(t)+y3'2(t)                         (φ∈[φ1+2n1π,φend]).4 优势及快速建立方法4.1　优势在相同设计条件下，即极径ρ=R=10 mm，终端展角φend=8π，偏心距Ror=5 mm，齿高h=100 mm，所建立的代数螺线变截面涡旋模型的吸气容积为0.247 dm3，对应的涡旋盘直径为190.80 mm；等壁厚涡旋模型的吸气容积为0.402 dm3，对应的涡旋盘直径为377.50 mm．后者的吸气容积是前者的1.62倍，但涡旋盘直径的倍数是1.97倍．当涡旋盘直径换算一致时，代数螺线变截面涡旋模型的吸气容积是圆渐开线等壁厚涡旋模型的1.21倍，说明排气量提高21%．相比等壁厚涡旋模型，代数螺线变截面涡旋模型的排气量提高21%．代数螺线渐变壁厚涡旋模型和新型代数螺线变截面涡旋模型如图7所示．从图7可以看出，4圈的代数螺线渐变壁厚涡旋模型转化为3圈的代数螺线变截面涡旋模型．原运转4圈才能完成的吸气、压缩/膨胀及排气的工作过程，现仅须运转3圈即可完成．代替的圈数越多，效率提升越大．10.13245/j.hust.210510.F007图7两种代数螺线涡旋模型4.2　快速建立方法在实际工程应用中，根据不同的要求直接选取基本参数φ1，n1，n2，ρ1，仅须满足方程(3)和方程(4)即可．借助于AutoCAD，Solid Works，UG或Proe等软件，可快速完成几何模型的生成，具体步骤如下．步骤1 选取基本参数φ1，n1，n2和ρ1，根据式(4)计算φ2，之后根据式(3)计算ρ2．步骤2 借助于AutoCAD等设计软件，绘制第一段代数螺线A1、第三段代数螺线A1和第二段代数螺线AEF．第三段代数螺线A1绕D点顺时针旋转ϕ2(ϕ1和ϕ2可借助于AutoCAD等软件直接测量)，再绕C点逆时针旋转ϕ1，得到基线的第三段型线．第二段代数螺线AEF绕基圆中心逆时针旋转(φ1–φ2)，再绕C点逆时针旋转ϕ1，得到基线的第二段型线．由此得到完整的基线．步骤3 利用法向等距法得到内外壁型线(AutoCAD等软件自带等距曲线命令)．由此完成新型变截面涡旋几何模型的构建，无须对基线方程式和内外壁曲线方程式等进行计算，可以大幅减少建立变截面涡旋齿的计算量．5 结语本研究总结渐变壁厚和变截面涡旋模型的优点，尝试构建一种可以兼顾两种变壁厚模型优点的模型，由此提出一种以代数螺线组成的新型变截面涡旋机械．阐述了建立基线的基本条件，论述了型线的生成方法，推导出型线的一般方程，根据不同的要求可以快速建立一系列代数螺线变截面涡旋型线的几何模型，减少建立变截面涡旋齿的计算量．