由于地下交通客流量日渐增加，地铁车站不仅要满足地铁隧道所需要的地下空间，而且要保证每天密集的人流量所需空气流通的空间，因此出现了地铁车站与通风竖井之间开挖多孔风道，该风道局限于车站隧道轮廓线内，形成了一上两下的品字形排风隧道．与单孔隧道不同的是，双孔及三孔以上隧道的开挖须要考虑各个隧道间相互开挖的影响[1]．相比于单孔和双孔隧道，小净距三孔隧道开挖顺序对围岩的稳定同样有着不小影响，已有研究者对其开挖顺序进行研究，寻找不同地层条件及不同形式断面下的合理开挖方式[2-4]．复变函数法不仅可以对不同形状的单孔隧道进行求解[5-10]，而且可以解决双孔和多孔问题[11-12]．为了探索双孔及三孔隧道开挖后围岩变形、应力分布和地表沉降的规律，学者们利用该方法进行了大量围岩应力和位移分析[13-17]．然而，针对工程实际中局限于一定范围的三孔隧道研究，鲜有关于最小安全间距及该条件下不同开挖长度下对围岩稳定的影响分析的报道．为此，本研究利用复变函数法对给定范围内三孔平行隧道形成的品字形隧道进行理论推导，分析小净距品字形隧道的最小安全距离，并结合数值模拟研究不同开挖长度对围岩和支护受力及地表沉降的影响．1 理论计算原理平面三孔问题属于多连通域问题，复变函数在处理平面多连通域问题时结合Schwarz交替法具有明显的优势，该方法可以将每个孔洞的开挖处理为单连通域问题，使求解平面多孔问题得以实现．本研究利用Matlab程序并基于Schwarz交替法思想对平面三孔间距局限性的问题进行了理论推导．在给定范围内，三个孔洞的距离会有局限性(相互间最大距离有限)，根据先后开挖顺序对三孔隧道进行编号(洞1、洞2和洞3)，其中：洞1为先开挖隧道，其次为洞2，最后为洞3．为实现三孔至少以最小安全间距开挖，先对后开挖两个孔洞的位置进行处理，将其中两孔洞固定为同一水平(此时迭代洞2和洞3的间距时为实数，便于计算)，寻找出洞1移动时的三孔安全间距；同时考虑三个孔洞先后开挖对彼此的影响，即应力场的复变函数法孔边面力的叠加分布式处理，给出平面三孔问题的理论解．该计算原理全过程如下．步骤1 在无限平面内求解出仅存在洞1时的复变函数解[18]，即φ1(1)(z1)=pz1/2；ψ1(1)(z1)=-pr12/z1，式中：φ1(1)和ψ1(1)为洞1坐标系下第一次开挖洞1后的复变函数解；z1为该坐标系下复数；p为无限平面的初始荷载；r1为洞1半径．将洞1坐标系转换到洞2所在坐标系，则坐标转换前和转换后洞1复变函数解的导数关系为              φ2(1)'(z2)=φ1(1)'(z2+c12)=φ1(1)'(z1);      ψ2(1)'(z2)=ψ1(1)'(z2+c12)+c¯12φ1(1)″(z2+c12)=ψ1(1)'(z1)+c¯12φ1(1)″(z1), (1)式中：φ2(1)和ψ2(1)为在洞2坐标系下第一次开挖洞1后的复变函数解；φ2(1)'和ψ2(1)'分别为φ2(1)和ψ2(1)的导数；φ1(1)″为φ1(1)的二次导数；φ1(1)'和ψ1(1)'分别为φ1(1)和ψ1(1)的导数；z2为洞2坐标系下复数；c12为洞1中心到洞2中心的复数距离；c¯12为c12的共轭复数．步骤2 假设平面内洞1不存在，将所求得复变函数解以式(1)所示方法转换到洞2所在坐标系下，利用转换后的复变函数应力场求出洞2洞周上的面力，此时可认为求解过程为单连通域问题，因而可在洞2洞周上施加大小相等方向相反的面力，并求出对应的复变函数以实现对洞2的开挖，洞2复变函数解为φ2(2)(z2)=-pr12r22/[c12(c12z2+r22)]；ψ2(2)(z2)=-pr22/z2-ρ22pr12r22/[z2(c12z2+r22)2]，式中：φ2(2)和ψ2(2)为洞2坐标系下第一次开挖洞2的复变函数解；r2为洞2的开挖半径；ρ2为洞2坐标系下计算点到洞2中心的距离．步骤3 同样假设洞1和洞2不存在，由于须要考虑洞1和洞2开挖产生的应力场，因此将洞1和洞2对应的复变函数相加，并将其转换到洞3所示局部坐标系，再求出在洞3洞周上的面力，然后施加由于两个应力场叠加后对洞3产生面力的反向面力，求出对应洞3开挖的复变函数解，即φ3(3)(z3)=pr22z3/(r32-c¯23z3)+pr22/c¯23-pr12r32/[c13(c13z3+r32)];ψ3(3)(z3)=-r32pr12r22/{z3[c12(z3-c23)+r22]2}-ρ32pr22/[z3(r32-c¯23z3)]-ρ32pr22c¯23/(r32-c¯23z3)2-pr32/z3-ρ32pr12r32/[z3(c13z3+r32)2],式中：φ3(3)和ψ3(3)为洞3坐标系下第一次开挖洞3的复变函数解；z3为洞3坐标系下复数；r3为洞3的开挖半径；c13为洞1中心到洞3中心的复数距离；c23为洞2与洞3孔洞中心的实数距离(因洞2与洞3在水平位置，故c23和c¯23同为两孔洞中心的实数距离)；ρ3为洞3坐标系下计算点到洞3中心的距离．此时，三个孔洞都实现了第一次开挖，但为了考虑三个洞开挖产生的相互影响，须要继续迭代．步骤4 考虑洞2和洞3开挖对洞1的影响，将洞2和洞3的复变函数解相加，求出在洞1洞周上的面力，再次转换坐标到洞1局部坐标系，施加反向面力并求对应复变函数，实现对洞1的第二次开挖，即φ1(11)(z1)=-pr22(z1+c13)/[r32-c¯23(z1+c13)]-1/c¯23+pr32z1/(r12-c¯13z1)+pr32/c¯13+pr22z1/(r12-c¯12z1)+pr22/c¯12;ψ1(11)(z1)=pr22r12/{z1[r32-c¯23(z1+c13)]}+pr22(z1+c13)r12c¯23/{z1[r32-c¯23(z1+c13)]2}+ρ12pr22(z1+c13)c¯23/{z1[r32-c¯23(z1+c13)]2}+ρ12pr22c¯23/{z1[r32-c¯23(z1+c13)]}-pr12r34/{z1[c13(z1+c13)+r32]2}-ρ12pr32/[z1(r32-c¯13z1)]-ρ12pr32c¯13/(r32-c¯13z1)2-r32pr12r22/{z1[c12(z1-c12)+r22]2}-ρ12pr22/[z1(r32-c¯12z3)]-ρ12pr22c¯12/(r32-c¯12z1)2,式中：φ1(11)和ψ1(11)为洞1坐标系下第二次开挖洞1的复变函数解；c¯13为c13共轭复数；ρ1为洞1坐标系下计算点到洞1中心的距离．此时，三个孔洞都施加过一次反向面力，将求出的结果相加，并记为完成一次迭代．步骤5 进行以上重复计算的过程，将迭代两次的复变函数结果相加作为最终计算结果．步骤6 将以上计算结果编写计算程序代码，并输入Matlab程序进行计算，得到最终需要的应力计算结果，本研究将洞1所在局部坐标作为最终计算结果的坐标系．2 工程概况隧道建设项目地处贵阳市老城区，其周边楼房密集，交通设施繁多、环境复杂，隧道的施工对地表沉降控制和围岩稳定性都提出了较高要求.为了减少车站主体隧道侧向开孔，将2号风亭组移出主体隧道，集中从端头区间隧道开一个横通道引出地面，主体隧道的端头处由两个区间隧道孔变为三孔，形成了品字形隧道，如图1所示．10.13245/j.hust.210518.F001图1品字形隧道布置方案2.1　计算模型概况该工程为平面三孔平行隧道，为了便于计算，可将其处理为无限平面内三孔问题．本研究结合复变函数和Schwarz交替法，考虑三孔先后开挖的相互影响，计算出在洞1坐标系下的围岩应力解．由前可知，品字形三孔隧道的分布局限于车站隧道轮廓线内．为分析三孔的安全距离，根据实际设置了洞2到洞3圆心距离为14 m，洞1圆心到洞2和洞3的距离S为14 m和8 m的情况(8 m时三个洞相切)，如图2所示．10.13245/j.hust.210518.F002图2各洞不同间距的计算图示在实际工程中，洞1圆心到洞2和洞3的圆心距离S为10.6 m．随着洞1向洞2和洞3中心线靠近，围岩应力σρ理论计算结果如图3所示．10.13245/j.hust.210518.F003图3各洞围岩应力计算结果2.2　安全距离从图3(a)中可以看到：在洞1的洞周应力中(90°~300°)，较为危险的地方是洞周底部，即计算点坐标转角为270°位置处，当洞1与洞2和洞3的距离减小到9 m时，围岩应力处于压应力与拉应力的临界，在小于9 m后，该部分围岩出现拉应力；洞1的洞周上次要危险地方为靠近洞2和洞3的部位，即计算点坐标转角为240°和300°；在圆心距离减小到10.5 m前，该部位围岩应力随着距离的减小而增大，但超过10.5 m后，围岩应力出现明显减小，其原因为：由于受到后期隧道开挖的影响，当洞2和洞3到洞1距离足够远时(≥11 m)，该部分围岩应力能够保持稳定，但随着距离减小，其受到的扰动逐渐表现出来，且直到洞1与洞2、洞3相切时，该部位减小到0.2 MPa．较为安全的部位为顶部，该部分围岩随着距离的减小变化较小，稳定在原岩应力值附近(0.785 MPa)．图3(b)为洞2洞周围岩应力随着圆心距离减小的计算结果(0°~270°)．在圆心距离减小到10 m前，洞2洞周应力受到的影响不明显，其应力值与原岩应力值相差较小；在距离减小到10 m以下，洞周应力出现变化，可以看到0°~60°范围的应力较其他洞周处更大，其中，洞周30°部位应力变化较为明显，最大达到了2.38 MPa，此时三个洞相切，距离最小．图3(c)为洞3洞周围岩应力，选取了0°~270°范围进行计算，洞3与洞2的洞周围岩应力变化相似，其120°~180°范围的应力较其他洞周处更大，围岩最大应力出现在洞周上150°的部位，与洞2的洞周应力在30°处相对应，为洞3洞周上最靠近洞1和洞2的位置，该处围岩应力最大值为2.35 MPa；计算结果整体呈现出随着距离减小而增大的现象，是三个孔洞中最为安全的，这与其为三个洞中最后开挖有关．综上可知：通过分析洞1底部出现拉应力的临界距离以及洞2和洞3围岩出现明显应力集中的临界距离，可以得到当洞2和洞3圆心距为14 m时，洞1与洞2、洞3的圆心安全距离为10 m．3 数值模拟为探索品字形隧道开挖长度对隧道围岩应力及地表沉降的影响，采取数值模拟的研究方法，设置与理论分析中相同的开挖顺序和布置方式，并根据理论计算结果将洞1与洞2、洞3的距离设置为安全距离以上．隧道上覆岩土体从上到下依次为杂填土、可塑状红黏土、强风化白云岩和中风化白云岩，隧顶埋深为15~20 m．设置模型尺寸为140 m×L×80 m(宽×长×高)，其中L为品字形隧道开挖长度，L设置为5，10，15，20 m，三维数值模型如图4所示．10.13245/j.hust.210518.F004图4三维模型示意图岩体力学参数如表1所示，根据现场勘察资料，依次取杂填土、可塑状红黏土和强风化白云岩的厚度为3，7，3 m，中风化白云岩厚度为67 m．10.13245/j.hust.210518.T001表1岩体力学参数表材料重度/(kN•m-3)弹性模量/MPa泊松比黏聚力/kPa摩擦角/(°)杂填土17.021.00.333012可塑状红黏土17.118.10.333010强风化白云岩27.01 000.00.1810025中风化白云岩27.52 500.00.15300304 数值模拟结果与分析4.1　围岩与支护结构的影响品字形隧道围岩和支护结构的数值计算结果如图5和图6所示．从图5可以看到：当开挖长度为5 m时，围岩岩体的最大主应力σsMax为82 kPa，为各个工况下的最大值，在开挖长度从10~20 m的增加过程中，岩体最大主应力变化较稳定，为78 kPa左右；图5中的各个情况下都显示出上部隧道底部围岩应力值大于其他部位，这是由于隧道先后开挖对其产生的二次影响所导致，且该隧道底部靠近后开挖的双孔隧道．从应力集中的程度上看，后开挖的下方两个隧道拱腰部位较上方隧道更大，且为较大应力集中区域的主要位置(图5中蓝色区域)．随着开挖长度的增加，应力集中逐渐向隧道内部延伸，但下部的后开挖隧道(洞3)比先开挖隧道(洞2)应力集中程度更小，这也是受隧道先后开挖的相互影响所致．10.13245/j.hust.210518.F005图5不同开挖长度下围岩最大主应力分布10.13245/j.hust.210518.F006图6不同开挖长度下支护结构最大主应力分布从图6的支护结构计算结果对比来看：较为危险的地方集中在上部隧道直墙底部两侧的拉应力区域，该部位拉应力达到了5.83 MPa；与岩体的计算结果相比，支护结构上承受了较大应力，但主要以压应力为主，下部两个隧道都为压应力；随着开挖长度的增加，可以看到支护结构受力变化较稳定，受其影响较小．4.2　地表沉降的影响图7为不同开挖长度下数值计算的地表最终沉降槽线图，图中：D为地表距离；V为沉降量．图中各沉降槽线大致相同，且曲线几乎重合，可见品字形隧道5~20 m不同开挖长度对地表沉降影响较小；品字形三孔隧道的开挖导致地表的明显沉降主要为洞1隧道中线左右30 m影响范围内(如图中直线a和直线b范围内)，即使设置了依次开挖，沉降槽线也基本以其对称分布；不同开挖长度下的沉降从洞1隧道中线向两侧逐渐递减，最大沉降值都在-1.076 mm附近．10.13245/j.hust.210518.F007图7不同开挖长度地表位移对比特别地，为了分析L=5 m时(品字形隧道实际长度)对地表沉降产生的影响，得到实际工况下的品字形隧道开挖与地表监测点的历史曲线，取数值模型中三个隧道中线垂直正对的地表点作为分析点，分析随着隧道施工步骤(以N表示)依次开挖，选取的地表点产生的沉降变化，如图8所示．10.13245/j.hust.210518.F008图8地表点沉降变化图从图8可以看到：三个隧道分别对应的地表曲线发生较大沉降的时段为每次开挖初期，而后沉降变化较为平稳，在下一个隧道开挖时再次发生较大变化，这与围岩的自稳调整有关．随着三个隧道依次开挖，地表点的沉降变化率增大，呈现出了对地表沉降的递进式影响，最终沉降值分别为：洞1中线地表点-1.075 mm，洞2中线地表点-0.898 mm，洞3中线地表点-0.902 mm．4.3　现场监测与模拟数据对比当L=5 m时为品字形隧道实际长度，现场监测点设置在洞1、洞2和洞3中线上的地表．现场监测数据得到监测点的沉降较小，均为2 mm以内，其值分别为-1.23，-1.74，-1.31 mm，与数值模型计算结果相比，最大相差仅为0.842 mm，因此本次数值模拟的计算结果具有一定准确性．5 结论a. 品字形隧道随着间距的减少会出现逐渐破坏的趋势，本研究基于复变函数，利用Schwarz交替法得到了品字形隧道的最小安全净距．b. 理论与数值模拟计算结果都表明：品字形隧道中先开挖隧道由于受到后开挖隧道的影响出现多次应力重分布，为三个隧道中最为危险的隧道，主要表现为该隧道出现拉应力区域和最大主应力区域较其他两个隧道分布更广、围岩受力更大．c. 当品字形隧道尺寸较小时(最大直径仅为9 m)，不同开挖长度(5~20 m)对地表最终沉降无明显影响，主要影响体现在岩土体和支护结构受力差异上．