近年来，双足机器人成为机器人领域的研究热点．双足机器人动力学模型极为复杂，一般采用简化模型进行控制．其中，线性倒立摆模型(linear inverted pendulum model，LIPM)被广泛应用于双足机器人的步态规划[1-2]．在早期研究中，将基于零力矩点(zero moment point，ZMP)理论和LIPM相结合，在平地步行应用中取得良好成果[3-4]．然而，LIPM未能考虑柔顺性，难以用于规划跑、跳等需求柔性的运动模式，极大地限制了其进一步应用[5-6]．文献[7]提出一种弹簧倒立摆模型(spring-loaded inverted pendulum，SLIP)，用于实现双足机器人的柔顺步态．基于SLIP模型的步态规划具有减小足部冲击、运动模式和人类似的优势[7-9]．通过和柔性驱动器如串联弹性驱动器相结合，SLIP模型被成功应用于双足机器人步行、跑、跳控制[9-12]．文献[13]通过控制腿部刚度和触地角实现了双足机器人的步行．文献[14]提出一种无差拍控制，提高了双足机器人抗扰动能力．针对不平整地面，文献[15]提出一种非线性落脚控制策略．文献[16]通过调整机器人腿部原长，实现对不平整地面的适应．文献[17]将摆动腿和支撑腿控制解耦，提出一种滑模控制器来抑制落脚冲击．上述研究忽略了位姿跟踪误差带来的扰动．本研究考虑位姿扰动影响，提出一种适应非平整地面的2D双足机器人快速步行规划方法．改进步态模型以提高机器人的灵活性，并提出一种速度补偿策略对整个步态周期的速度进行控制，提高了连续步行速度跟踪精度．为获得高质量的步态，采用改进鲸鱼群算法(improved whale swarm algorithm，IWSA)[18]，对触地角以腿部刚度进行优化．仿真结果表明：所提的规划方法能实现机器人在不平整地面上快速步行．1 双足步态规划1.1　双足弹簧倒立摆建模双足SLIP动力学模型[19]如下mp¨m=mg+∑ki(l0-||li||)êi，(1)式中：m为机器人质量；pm=[px，py，pz]为质心的空间位置，px，py和pz为质点在x，y和z三轴上的位置坐标；g为重力加速度；ki为腿部等效刚度；l0为腿部原长；li为腿部方向向量；êi为单位方向向量；i∈{A，B}分别描述两条腿A和B着地状态．双足步行模型如图1所示．图中：θ为触地角在矢状面的分量；xTD为摆动腿的触地位置．仅考虑2D步态规划，即矢状面运动；冠状面运动(y轴方向)被约束，即质点运动满足py=0．基于质心初始状态x0=[px0,pz0,p˙x0,p˙z0]及控制量u=[θ，kA，kB]，px0和pz0分别为质心在x轴和z轴上的初始位置，p˙x0和p˙z0分别为质心在x轴和z轴上的初始速度，可以通过数值法得到整个运动过程．10.13245/j.hust.210717.F001图1基于SLIP模型的双足步行模型1.2　周期性步态规划问题讨论在双足机器人步态规划中，Poincare回归映射被广泛应用于周期性步态求解[12-13]．该方法通过建立第n次穿越状态xn到第n+1次穿越状态xn+1的映射，得到离散步态，表示为xn+1=P(xn,un)，(2)式中：P(·)为Poincare映射；un为该周期的控制量．一般地，在一个完整步态周期中，机器人依次经历单腿支撑相(SSA)、双腿支撑相(DS)和单腿支撑相(SSB)三个过程，最终回到预设位姿[16，19]．如图2所示，若存在位姿扰动，当质心运动至足B正上方，准备进入下一个步态周期时，腿A和B均未完全伸直，这时足A始终和地面接触，无法离地摆动至预设位置．位姿扰动实质上是引入了如下步长约束xtdl02-(||li||-h)2，(3)式中h为位姿扰动．当前研究方法将上述情况视为不可行步态[13，16]．这种处理方法虽然简化了步态规划流程，但仅适用于扰动较小的情况．10.13245/j.hust.210717.F002图2存在位姿扰动步态1.3　考虑位姿扰动的步态规划改进的步态规划方法允许机器人基于当前状态，在无法回到预设位姿时跳过SSB相直接进入下一步态周期．该策略使机器人更加灵活，使其更好适应复杂环境，更具普适性．改进的步态规划方法如下．考虑位姿扰动，SSA相定义如下PSSA={(pm,p˙m)|p˙z〈0,pz〉zTD,p˙z0=0,pz0=l0}，(4)式中zTD=l0sin θ+h为摆动腿触地时的质心高度．该位置受初始腿长和触地角θ约束．触地后，进入DS相．DS相描述如下PDS={(pm,p˙m)|lAl0,pxxTD}，(5)若质心达到触地点正上方(即px=pxTD，pxTD为触地时质心x轴坐标)时，腿A未离地，则直接进入下个步态周期；若腿A离地，则进入SSB相PSSB={(pm,p˙m)|lA=l0,pxxTD}．(6)各相之间的切换条件描述为：PSSA→DS={(pm,p˙m)|p˙z0,pz=zTD}；(7)PDS→SSB={(pm,p˙m)|lA=l0,pxxTD}；(8)PDS→SSA={(pm,p˙m)|lAl0,px=xTD}；(9)PSSB→SSA={(pm,p˙m)|lA=l0,px=xTD}．(10)式(8)为存在位姿扰动时的步态切换方式．在整个步态周期中，须满足约束：pzh，p˙x0，li≤lmax，lmax为腿原长．1.4　速度跟踪补偿传统基于Poincare回归映射的步态规划方法对末端速度进行控制．然而，末端速度不能准确描述一个完整步态周期的平均速度，存在一定误差．提出一种速度跟踪补偿方法．在第n步态周期结束后，用整个步态周期的平均速度v¯n，而不是末端速度vxfn来描述该步速度．v¯n表示为v¯n=xTDn/tfn，(11)式中tfn为第n步的持续时间．1.5　基于Bezier曲线的足部轨迹规划为方便计算，亦将质心固定于髋关节处．在给定初始状态x0及控制量u后，基于式(1)获得一个完整步态的质心运动轨迹．采用Bezier曲线规划足关节的轨迹．五阶Bezier曲线具有如下参数化表达式[20]G(t)=a0(1-t)5+5a1t(1-t)4+10a2t2(1-t)3+10a3t3(1-t)2+5a4t4(1-t)1+a5t5,式中：aj(j∈(0，4))为Bezier曲线参数；t∈(0，1)为归一化的时间参数．为了使曲线平滑，并减小落脚冲击，约束足部轨迹末端速度及末端加速度均为0．基于触地位置xTD和约束即可计算得到相应的aj，获得足部轨迹．1.6　优化问题建立允许机器人在不同支撑相，双腿刚度kA和kB可以不同．定义控制量u=[kSSA,kDSA,kDSB，kSSB，θ]，kSSA,kDSA,kDSB,kSSB和θ分别描述SSA相腿A、DS相腿A和腿B、SSB相腿B的对应腿部刚度及触地角．基于质心初始状态x0=[px0,pz0,p˙x0,p˙z0]及控制量u可以确定一个完整步态．若期望的末端状态xdf=[pxdf,pzdf,v¯xdf,pzdf]，则可以建立优化模型来求解控制量u，minu||xdf-P(x0,u)||，(12)式中xdf为期望的末端状态．1.7　腿部变刚度方案腿部刚度调整一般采用导纳控制方法．基于目标导纳模型建立负载力和腿部压缩量之间的映射，通过控制膝关节转角实现腿部刚度变化[21]．基于液压串联弹性驱动器(series elastic actuator，SEA)的位置控制方法[22]，提出腿部变刚度方案如图3所示，图中：θd为期望的角度；θs为实际的角度；Δθ为角度的校正量．10.13245/j.hust.210717.F003图3腿部变刚度方案2 基于改进鲸鱼群算法的步态优化2.1　IWSA算法基于IWSA算法[18]对式(12)所建立的优化模型进行求解，获得最优的步态曲线．IWSA算法中，个体X会搜寻附近更优秀的个体Y，基于下式进行位置移动X*=X+rand(0,2)*(Y-X)，(13)式中rand(0,2)为一个在0到2之间的随机数．对于当前最优个体Xi，移动方式为Xi*=Xi+rand(0.5,1)*(Xj-Xk)，(14)式中Xj和Xk为离Xi最近的个体．2.2　目标函数的建立以x方向平均速度及末端位姿建立目标函数，适应度值为fn．末端位姿包括质心在z轴方向的位置和速度，表示为[pzf,p˙zf]．若期望x方向平均速度为v¯xd，期望位姿为[pzdf,p˙zdf]，则一个完整步态周期的目标函数表示为fn=α1||v¯xf-v¯xd||+α2||pzf-pzdf||+α3||p˙zf-p˙zdf||，式中[α1,α2,α3]为设定权重，选为[2，3，1]．对于不满足式(11)的个体，通过设置较大适应度值fp=1 000给予惩罚，当达到预设的最大迭代次数为500时停止优化．2.3　基于IWSA算法的步态优化流程根据待优化控制参数u和目标函数，基于IWSA算法寻找满足约束的最优控制量，然后基于所提的规划方法规划得到质心和足部轨迹．完整的步态规划流程如图4所示．10.13245/j.hust.210717.F004图4基于IWSA算法的双足柔顺步态优化流程3 仿真设置及结果分析3.1　仿真设置仿真1 平地单步优化仿真．选取初始速度和末端目标速度范围1~3 m/s，速度间隔0.1 m/s．仿真2 不平整地面行走仿真．规划2步行走轨迹，地面为阶梯式，即落脚点与支撑平面存在高度差0.1 m，速度为2 m/s，阶梯宽度为0.3 m．仿真3 连续匀速不平整地面行走仿真．规划20步2 m/s匀速行走的轨迹，每一步存在高度差0.1 m．仿真4 连续变速行走仿真．规划20步变速行走轨迹，速度从1 m/s加到3 m/s．仿真5 基于Webots平台仿真．环境为高度差±0.2m连续变化的不平整地面，以3m/s的速度连续行走10步．机器人模型和连杆图如图5所示．其中，Li和mi分别为对应连杆的长度和质量，i∈{1，2，3}，Lah为脚踝高度，Lab和Laf分别表示前后脚掌的长度；R1和R2为对应腿部的初始原长，R1=R2=1 m．具体数值：g=9.81 m•s-2，m1=14 kg，m2=16 kg，m3=55 kg，L1=0.55 m，L2=0.55 m，L3=0.8 m，Lah=0.115 m，Lab=0.125 m，Laf=0.205 m．10.13245/j.hust.210717.F005图5双足机器人模型和连杆图基于人类腿部刚度[23]，刚度搜索域设置为10~50 kN/m，触地角1~90°．3.2　结果分析仿真1中441组单步优化结果如表1所示．表中：Δvmean为平均速度误差；Δvmax为最大速度误差；t为平均时间．相较于传统3相步态，改进模型的平均速度误差降低24.1%(从0.069 6 m/s降到0.052 8 m/s)，最大速度误差降低了27.3%(从1.650 6 m/s降到1.200 4 m/s)．改进模型可以移除式(3)的约束，更容易找到高质量的解．10.13245/j.hust.210717.T001表1441组单步优化结果模型Δvmean/(m•s-1)Δvmax/(m•s-1)t/s传统0.069 61.650 622.6改进0.052 81.200 4仿真2非平整地面行走结果如表2所示，表中：Δvzf为z轴速度误差；Δpzf为z轴位姿误差．非平整路面2步行走的速度误差可以控制在3.5%以内，位姿误差控制在10%以内，具有较高精度．10.13245/j.hust.210717.T002表2非平整地面行走结果步数Δvmean/(m•s-1)Δvzf/(m•s-1)Δpzf/m10.0110.0080.06020.0700.0980.071仿真3连续爬坡规划结果及连续匀速非平整行走结果如图6和表3所示．图中：n为步数；v为速度．在非平整路面，机器人能保持x轴方向的匀速前进．无补偿速度最大误差为0.357 3 m/s，平均误差为0.106 6 m/s；加入补偿后，最大误差减小67.9%(从0.357 3 m/s降到0.114 7 m/s)，平均误差降低了78.3%(从0.106 6 m/s降到0.023 1 m/s)．所提的速度补偿策略能有效降低机器人的速度跟踪误差．该仿真也验证了所提方法在连续步行规划中的有效性．10.13245/j.hust.210717.F006图6连续爬坡规划结果10.13245/j.hust.210717.T003表3连续匀速非平整行走结果策略ΔvmeanΔvmax补偿后0.106 60.357 3补偿前0.023 10.114 7m•s-1仿真4连续变速规划及行走结果如图7和表4所示．机器人通过调整腿部刚度和触地角，实现对变化速度的跟踪．仿真4结果同样验证了所提速度补偿策略的作用．所提的速度补偿策略可以有效降低90%(从0.043 2 m/s降到0.004 3 m/s)的平均误差和74.9%(从0.064 2 m/s降到0.016 1 m/s)的最大误差．10.13245/j.hust.210717.F007图7连续变速规划结果10.13245/j.hust.210717.T004表4连续变速行走结果策略ΔvmeanΔvmax补偿后0.043 20.064 2补偿前0.004 30.016 1m•s-1仿真5第3步行走侧视图如图8所示，机器人可以平稳通过不平整的地形，而且在摆动腿触地后，和人类类似，机器人质心有一个缓冲的过程，可以对质心动量进行吸收．10.13245/j.hust.210717.F008图8第3步行走侧视图综合仿真1～5可知：所提的适应位姿扰动的步态规划方法能获得更高质量的步态．4 结语提出了一种双足机器人柔顺步态规划方法．考虑因控制和扰动带来的位姿误差，提出改进SLIP模型，允许机器人从双腿支撑相直接进入下一步态周期，提高了机器人的灵活性；提出一种速度补偿策略，对一个步态周期的平均速度进行控制．基于IWSA算法优化得到合适的控制参数．仿真结果表明：和传统规划方法相比，所提方法能有效提高机器人水平速度跟踪精度，且能适应更复杂的路面．此外，本方法充分考虑实际应用中存在的位姿扰动，使机器人能根据当前状态自主切换不同步态相，更具普适性．然而，采用优化算法求解步态需要较长时间，难以满足实时性的要求；因此，下一步的研究将考虑基于优化得到步态数据，采用神经网络进行学习，获得自适应的、高实时性的步态控制器．