齿轮传动具有效率高、结构紧凑、工况适应性强和工作可靠等优点，在工业机械、交通运输和航空航天等各个领域应用广泛．齿轮传动系统振动特性分析是优化和提高传动性能的重要手段．齿轮传动振动特性研究一般是基于工程背景和物理问题，建立系统振动的数学模型并求解振动控制方程，进而分析系统的固有特性及在传递运动和动力过程中的振动、冲击和噪声等响应[1-3]．文献[4-6]以单对直齿轮传动副为研究对象，采用集中质量法建立啮合副扭转振动的动力学模型，分析了齿轮副的幅频响应曲线和主共振区域，发现了齿轮副的分岔与混沌等非线性振动现象．文献[7]研究了行星齿轮传动系统的振动模态和固有频率，并将其分为行星轮模态、旋转模态和平移模态等．文献[8]研究了齿轮副动态啮合力、动载系数和动态传动误差的计算方法，并分析了啮合刚度、啮合阻尼等对动态传动误差的影响规律．文献[9]研究了含齿侧间隙的直齿轮副动态响应，齿轮副振动特性分析在斜齿轮[10]、锥齿轮[11]和面齿轮[12-13]等形式的传动副设计和优化方面也受到重视．随着研究的深入，振动分析模型由传统的单对齿轮副发展为包含齿轮副、转动轴和支撑轴承等结构的复杂系统模型．文献[14-15]基于有限元理论建立了齿轮-转轴-轴承传动系统的振动特性分析模型，研究了支撑轴承、啮合刚度和啮合阻尼等对固有频率和振动响应的影响规律．文献[16]基于齿轮-转轴-轴承-箱体系统的有限元模型和集中参数法振动模型，分析了系统振动响应的传递路径和噪声辐射特性．文献[17-18]从齿轮-转轴-轴承传动系统动力学的角度，分析了轮齿修形对振动特性的影响规律．文献[19]仿真分析了船用齿轮-转轴-轴承-箱体传动系统在复杂激励下的动力学响应并进行了实验验证．本研究以齿轮-转轴-轴承传动系统为对象，考虑齿轮啮合效应、转轴柔性、齿轮和转轴的陀螺效应及支撑轴承，基于有限元节点法建立传动系统的振动特性分析模型，通过数值模拟和仿真分析系统的共振临界转速、齿轮副动态传动误差和支撑轴承处振动加速度等振动响应，并基于齿轮传动测试平台对系统振动行为进行了实验研究和验证，分析了理论模型在系统振动特性分析中的有效性．1 动力学模型及其控制方程基于有限元思想和齿轮动力学理论，建立整个齿轮-转轴-轴承传动系统的动力学模型及振动控制方程[18]，主要过程如下．1.1　齿轮啮合模型齿轮副在工作过程中振动行为的广义位移为qd=[qp,qg]T, (1)式中qi=[xi，yi，zi；θxi，θyi，θzi]，下标i=p代表主动轮，i=g代表从动轮；x，y和z为齿轮沿着径向和轴向的振动位移；θx为绕X轴的转动位移，θy为绕Y轴的转动位移，θz为绕Z轴的微小振动转角位移．引入静态传动误差激励e(t)，可以将齿轮副传动过程中沿着啮合线方向的振动位移表示为δm=Qqd-e(t), (2)Q=[sin αn,cos αn,0,0,0,rbp,-sin αn,-cos αn,0,0,0,rbg], (3)式中：Q为系数向量；αn为压力角；rbp和rbg分别为主动轮和从动轮的基圆半径．引入弹簧和阻尼元件来模拟啮合时的啮合刚度km和啮合阻尼cm，则齿轮副的刚度矩阵和阻尼矩阵分别可以表示为：Km=kmQTQ; (4)Cm=cmQTQ. (5)齿轮副的动态啮合力可以表示为弹性力与阻尼力的和，其中须要引入分段间隙函数来模拟齿侧间隙的影响，Fm=km(B0δm+B1b)+cmB0δ˙m, (6)式中：b为齿侧间隙值的一半；B0和B1为间隙函数的系数判断式，B0=1(|δm|b),0(|δm|≤b),B1=-1(δmb),0(|δm|≤b),1(δm-b). (7)联立方程(1)～(7)，可以给出轮齿啮合模型对应的矩阵形式的振动控制方程Mmq¨d+CmB0q˙d+KmB0qd=(kmB0e(t)+cmB0e˙(t)-kmB1b)QT. (8)1.2　轮体转子模型将齿轮轮体假设为随轴旋转的刚性转子，Ω为在输入功率驱动下齿轮绕Z轴转动的角速度，轮体转子的精确角速度可以表示为ωi=[cos(Ωit+θzi)θ˙yi+sin(Ωit+θzi)θ˙xi]ζ+[sin(Ωit+θzi)θ˙yi-cos(Ωit+θzi)θ˙xi]η+[(Ωi+θ˙zi)+(θxiθ˙yi-θyiθ˙xi)/2]ξ, (9)式中ζ，η和ξ为轮体转子上随体坐标系的单位坐标向量．基于拉格朗日方程，得到轮体转子的振动控制方程Midq¨id+ΩiGidq˙id=0．(10)1.3　转轴模型基于铁木辛柯梁单元来建立弹性转轴的有限元节点振动模型．将转轴分为若干个轴段，轴段两端各添加一个有限元节点，每个节点有6个自由度．轴段的节点位移列向量可以表示为qs=[xj,yj,zj;θxj,θyj,θzj;xj+1,yj+1,zj+1;θx(j+1),θy(j+1),θz(j+1)]T. (11)基于拉格朗日方程，可以得到转轴模型对应的振动控制方程Msq¨s+ΩGsq˙s+Ksqs=0, (12)式中Ms，Gs和Ks分别为转轴的质量矩阵、陀螺效应矩阵和刚度矩阵．1.4　支撑轴承模型本研究将轴承的刚度矩阵和阻尼矩阵按照轴承在实际传动系统中的节点位置，添加到整体的刚度矩阵和阻尼矩阵中来模拟其支撑效应[18]．将各轴段和轮体转子的质量矩阵、阻尼矩阵、陀螺效应矩阵、刚度矩阵和啮合效应及支撑轴承的刚度及阻尼矩阵等，根据节点位置进行组装，可以得到齿轮-转轴-轴承传动系统完整的振动控制方程Mq¨+(ΩG+C)q˙+Kf(q)=F(t), (13)式中：M，G，C和K分别为组装后整体的质量矩阵、陀螺矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；q为系统广义位移向量；f(q)为齿侧间隙函数；F(t)为啮合力、静态传动误差激励和外负载的和．2 数值模拟2.1　系统参数选取某直齿轮-转轴-轴承传动系统的有限元节点法动力学模型见图1．主动轮和从动轮所在转轴分别设置1至13和14至26节点，齿轮啮合副置于节点7和节点20，支撑轴承位于节点5，9，18和22．其中直齿轮副的主从动轮齿数分别为29和49，模数为3 mm，压力角为25°，齿宽20 mm，齿侧间隙70 μm．轴承的支撑刚度分别为kxx=kyy=1.5×108 N/m，kzz=5.2×106 N/m，扭转刚度为kθxθx=2.9×103 N·m/rad，kθyθy=1.7×103 N·m/rad，轴承阻尼为1 000 N·s/m．直齿轮副啮合刚度和静态传动误差激励随主动轮转动角度的变化曲线如图2和图3所示，图中：θ为主动轮转角；e为齿轮副静态传动误差激励，以主从动轮的累积齿距误差为主．10.13245/j.hust.210610.F001图1齿轮-转轴-轴承系统动力学模型10.13245/j.hust.210610.F002图2齿轮副啮合刚度激励10.13245/j.hust.210610.F003图3齿轮副静态传动误差激励2.2　临界转速分析不同工作转速下系统的啮合频率可以表示为fm=n×zp/60, (14)式中：n为工作转速；zp为主动轮齿数．基于系统振动控制方程式(13)对应特征方程得到传动系统的各阶固有频率(ωn)．基于式(14)得到轮齿啮合频率随转速的变化曲线，即系统同步涡动曲线．各阶固有频率和同步涡动曲线的交点则为系统共振容易出现的临界转速(Ωc)，见表1．10.13245/j.hust.210610.T001表1转速影响明显的固有频率及对应临界转速ωn/HzΩc/(r•min-1)ωn/HzΩc/(r•min-1)1 0542 1802 1894 5291 0832 2403 0236 2551 1792 4393 0606 3322 0114 1613 1306 4762 0254 1903 1916 6012 1044 3542.3　振动特性分析定义齿轮副的动态传动误差为实际工作时从动轮的实际转角与理论转角之差D=θg-θprp/rg．工作转速(V)在500～1×104 r/min范围齿轮副动态传动误差均方根值的升速扫频曲线和降速扫频曲线如图4所示．从图4中可以看出：在工作转速2 410，10.13245/j.hust.210610.F004图4动态传动误差均方根值扫频图1—升速扫频；2—降速扫频．3 268，4 128，6 228和7 804 r/min附近出现了共振波峰，其中2 410，4 128，6 228 r/min等转速接近第3，4和8阶临界转速；3 268 r/min处的振动波峰对应3 191 Hz固有频率的2倍超谐共振；齿轮副啮合固有频率对应的临界转速为8 560 r/min，可以发现7 804 r/min处的振动波峰为齿轮啮合引起的主共振响应，附近出现了明显的频率跳跃现象，表现出一定的软弹簧效应．如图5所示，对7 740 r/min转速下齿轮副动态传动误差做频谱分析，发现动态传动误差在低频区域主要以输入轴的轴频fs1=129 Hz和输出轴的轴频fs2=76 Hz为主要的频率分量，在高频区域以轮齿啮合频率fm=3 741 Hz为主要频率分量，多种频率成分耦合叠加构成了拟周期性质的动态传动误差响应．造成系统上述振动响应特性的主要原因为齿轮啮合副的静态传动误差激励包含了轴频的长周期累积齿距误差和齿频的短周期齿形偏差、齿距偏差等分量．10.13245/j.hust.210610.F005图57 740 r/min转速下动态传动误差频谱图工作转速在500～1×104 r/min范围支撑轴承2处水平方向振动加速度(a)均方根值的升降速扫频曲线如图6所示．可以看出支撑轴承处振动加速度峰值较大的共振临界转速与齿轮副动态传动误差的共振临界转速基本符合；同时，在齿轮啮合引起的主共振区内，振动加速度峰值最为明显．图7给出了7 740 r/min转速下支撑轴承2处水平方向振动加速度的时间-历程图和频谱图，从图中可以看出：与齿轮副动态传动误差有所不同的是，在当前转速下支撑轴承处的振动加速度表现出明显的周期性，频率分量主要以啮合频率及其2倍频和3倍频为主．10.13245/j.hust.210610.F006图6支撑轴承处振动加速度均方根值扫频图10.13245/j.hust.210610.F007图77 740 r/min转速下支撑轴承处振动加速度的时间-历程图和频谱图通过分析可以发现：支撑轴承处的振动加速度表现为高频响应，主要被啮合刚度和静态传动误差的齿频分量激励出来；而在齿轮副静态传动误差含较明显的长周期轴频累积齿距误差等分量情况下，其动态传动误差主要表现为输入轴和输出轴轴频附近的低频响应；同时，在啮合频率附近也会有微弱的高频响应被激励出来．3 实验研究3.1　实验方案为了验证理论分析结果的有效性和准确性，搭建齿轮-转轴-轴承传动系统振动测试实验台．利用磁栅角度编码器测试输入轴和输出轴的转动角度，利用加速度传感器测试轴承端盖处的振动加速度信号，基于LMS振动测试系统完成转动角度和振动加速度数据的同步采集与存储任务，最后导入Matlab分析软件进行实验数据的处理和分析工作．3.2　实验分析与验证当工作转速为1 000 r/min时，齿轮副动态传动误差和轴承处振动加速度的数值仿真解和实验测试值对比结果分别如图8和图9所示．10.13245/j.hust.210610.F008图 8动态传动误差数值解和测试值对比1—数值仿真解；2—实验测试值.10.13245/j.hust.210610.F009图9振动加速度数值解和测试值对比1—数值仿真解；2—实验测试值．齿轮副的动态传动误差测试值在低频区域以输入轴的轴频和输出轴的轴频为主要的频率分量，在高频区域以轮齿啮合频率为主要频率分量，与数值仿真值保持一致．轴承处的振动加速度频率分量主要以啮合频率及其2倍频为主，在啮合频率处，频率分量幅值与数值仿真解一致，在2倍啮合频率处，数值模拟得到的频率峰值高于实验测试得到的频率峰值．升速过程中支撑轴承2处水平方向振动加速度均方根值的数值仿真解曲线和实验测试值曲线对比如图10所示．10.13245/j.hust.210610.F010图10振动加速度均方根值的理论曲线和实验曲线对比1—数值仿真解；2—实验测试值．当仿真得到的振动加速度均方根值幅值随转速升高时，共振波峰出现的区域与实验测量结果较为一致．因为理论建模过程中未考虑箱体和轴承端盖的支撑和阻尼作用及轴承的时变支撑刚度，多数工作转速下振动加速度均方根值仿真解的幅值略高于实验测量结果．4 结论本研究基于有限元节点法建立齿轮-转轴-轴承传动系统振动分析模型，仿真得到齿轮副动态传动误差和支撑轴承处的振动加速度等响应，结合实验测试平台得到的振动信号进行验证和分析，可以得出以下结论．a. 齿轮-转轴-轴承传动系统有限元节点法振动模型可以用来快速分析系统的固有频率和临界转速，为系统设计提供指导．b. 当齿轮副含较明显的轴频累积齿距误差时，动态传动误差的低频响应较为突出，频谱主要以输入轴和输出轴的轴频为主，在啮合频率附近也会有微弱的高频响应出现；而支撑轴承处的振动加速度表现为高频响应，主要以啮合频率及其低倍频为主．c. 齿轮-转轴-轴承传动系统的有限元节点法模型用于分析齿轮副动态传动误差和支撑轴承处振动加速度的共振临界转速时具有较高的有效性，共振波峰出现的转速区域理论仿真结果与实验测量结果较为一致．另一方面，多数转速下振动加速度均方根值理论幅值略高于实验测量结果，系统振动分析模型还有进一步优化的空间．