当今，电液伺服系统在航空航天、船舶控制等领域得到了广泛应用[1-2]．作为生产锻造产品的关键设备，液压机的控制性能决定锻造产品的质量．文献[3-4]将观测器技术用于液压机控制，以提高其在外部扰动下的性能．文献[5-6]针对多缸液压机的调平问题展开研究，将控制分配理论用于控制器设计，但存在计算量大等不足．容错能力是考察过驱动系统稳定性和可靠性的重要方面，能使系统部件在发生故障时最大限度地满足期望控制特性，因此开展相关研究至关重要[7-8]．文献[9-10]针对扰动观测器技术展开研究，但并未考虑其在液压机容错领域的应用．文献[11-12]针对飞行器与船舶的容错控制问题展开研究，但所提容错控制方法均存在未考虑执行器约束等不足．文献[13]首次提出了基于优化的动态控制分配方法，但并未考虑执行器故障及外干扰．文献[14]针对过驱动电车提出了自适应节能控制分配方案，但仍未考虑执行器故障．本研究以具有过驱动特性的多缸液压机为研究对象，将其描述为考虑多类型故障的仿射非线性系统数学模型，提出了一种新型容错控制方法．首先，将执行器故障与外界扰动共同作为集总扰动，由扰动观测器对故障及扰动进行估计和补偿，并利用滑模设计方法设计了虚拟容错控制律；然后，利用动态优化方法进行控制分配设计，以将虚拟控制输入高效分配给各执行器，该控制分配方案无须进行迭代求解，计算效率更高，且在控制分配设计过程中充分考虑了执行器约束、输出能量及分配误差等性能指标要求；最后，给出了系统的整体稳定性证明．1 系统模型关于多缸液压机的建模过程在文献[7，15]中进行了详细描述，此处不再赘述．1.1　仿射非线性系统模型首先给出一类不含故障模型的仿射非线性系统x˙1=x2; (1)x˙2=f(x2,t)+h(x2,t)v+d; (2)v=Bu，(3)式中：x1=[x11,x12,⋯,x1n]T，x1i(i=1,2，⋯,n)为与时变参考轨迹相关的跟踪误差；x2=[x21,x22,⋯,x2n]T，x2i为x1i的一阶导数；f(x2,t)∈Rn为非线性函数；h(x2,t)∈Rn×n为对角矩阵；d∈Rn为未知有界干扰，即存在正常数D，使得||d||≤D；v∈Rn为系统的虚拟控制输入；B∈Rn×m为系统的配置矩阵，u=[u1,u2,⋯,um]T为系统各执行器的控制输入．假设1 B∈Rn×m为行满秩矩阵，rank(B)=nm．1.2　执行器故障模型执行器常见的故障有乘性故障和加性故障，故障模型可定义为[16]u=ρuc+σ，(4)式中：uc=[uc1,uc2,⋯,ucm]T，ucj(j=1,2,⋯,m)为控制分配模块生成的第j个执行器命令控制输入；ρ=diag{ρ1,ρ2,…,ρm}为乘性故障，ρj为第j个执行器的效率因子，且0≤ρj≤1；σ=[σ1,σ2,…，σm]T，σj为加性故障对执行器输出产生的影响．由式(4)可知，ρj和σj取值不同代表不同的故障类型，本研究主要考虑以下两种故障类型．a. 失效故障当发生失效故障时，执行器效能下降．针对本文研究对象，液压系统中管路破损，液压油泄漏，可能导致此类故障发生．此类故障可表示为：uj=ρjucj+σj;0ρj1;σj=0．b. 混合时变故障混合时变故障即乘性故障与加性故障同时存在，ρj和σj均不为0，且都用时变函数ρj(t)与σj(t)表示．针对本文研究对象，液压系统中管路破损且压强传感器发生故障时，可能导致此类故障发生．此类故障可表示为：uj=ρjucj+σj;ρj=ρj(t);σj=σj(t)．1.3　带有故障模型的仿射非线性系统模型将式(3)和(4)代入式(2)并结合式(1)可得带有故障模型的仿射非线性系统模型x˙1=x2;x˙2=f(x2,t)+h(x2,t)vc+dF;vc=Buc;dF=d+h(x2,t)(B(ρ-Im×m)u+Bσ), (5)式中：vc∈Rn为控制分配模块生成的实际虚拟控制输入；dF∈Rn为集总扰动，由外部扰动及系统故障两部分构成．2 容错控制器设计2.1　虚拟控制律设计假设2 系统中所有位置信息和速度信息均可测．针对闭环容错系统(5)设计扰动观测器，由于通常情况下扰动的变化远小于观测器动态的变化，因此可以合理地假设[17]d˙F=0．(6)定义集总扰动观测器的观测误差为d˜F=dF-d̂F，(7)式中：d˜F=[d˜F1,d˜F2,⋯,d˜Fn]T，d˜Fi为第i个集总扰动观测误差；d̂F∈Rn为dF的估计值．由式(5)可知，dF可以表示为[18]dF=x˙2-f(x2,t)-h(x2,t)vc．(8)设计系统的集总扰动观测器为d̂˙F=-Ld̂F+L(x˙2-f(x2,t)-h(x2,t)vc)，(9)式中L=diag{L1,L2,⋯,Ln}∈Rn×n，Li为观测器增益．由式(6)～(9)可得d˜˙F=-Ld˜F，(10)因此，当Li0时，d˜F将以e-Lit的速度指数收敛．首先设计如下PID型滑模面s=cx1+x2+k∫t0tx1dτ，(11)式中：s=[s1,s2,⋯,sn]T，si为第i个滑模面；c=diag{c1,c2,⋯,cn}；k=diag{k1，k2,⋯,kn}，ci,ki0为滑模面参数．由式(5)和(11)得s˙=cx˙1+f(x2,t)+h(x2,t)vc+dF+kx1．(12)设计基于扰动观测器的虚拟容错控制律为vd=-h-1(x2,t)[cx2+f(x2,t)+d̂F+kx1+εs+L-1s/4], (13)式中：ε=diag{ε1,ε2,⋯,εn},εi0为控制器参数；vd∈Rn为期望虚拟控制输入．2.2　控制分配设计将控制分配问题转化为如下数学优化模型的求解问题minucJ(t,x1,x2,uc);vd-vc=0;ucmin≤uc≤ucmax, (14)式中：ucmin=[uc1min,uc2min,⋯,ucmmin]T，ucmax=[uc1max,uc2max,⋯,ucmmax]T，ucjmin与ucjmax分别为第j个执行器输出下限及上限．等式约束表示生成的虚拟控制输入等于期望的虚拟控制输入，不等式约束为执行机构物理约束，因此可转化为拉格朗日函数l(t,x1,x2,uc,λ,d̂F)=J(t,x1,x2,uc)+(vd-vc)Tλ,式中：λ∈Rn为拉格朗日乘子；J(t,x1,x2,uc)为性能函数，可包含功耗、输入约束等多个性能指标．本研究中，该性能函数选择为J(t,x1,x2,uc)=ucTHuc/2-μ∑k=12∑j=1mlogCkj(uc)，式中：H=HT∈Rm×m为对称正定权矩阵，C1j(uc)=ucj-ucjmin,C2j(uc)=ucjmax-ucj，μ0为惩罚因子．由于式(14)的局部极小值满足l的一阶最优性条件，因此可定义式(14)的极限最优集为E*={(uc,λ)|∂l/∂uc=0,∂l/∂λ=0}．设计如下李雅普诺夫函数，以保证系统状态渐进趋向极限最优集V=V1+12∂lT∂uc∂l∂uc+∂lT∂λ∂l∂λ;V1=(sTs+d˜FTd˜F)/2. (15)为此，设计如下形式的动态更新律u˙c=-Γα+ζ;λ˙=-Wβ+ϕ，(16)式中：Γ=ΓT0,W=WT0为控制器参数；ζ和ϕ为通过求解αTζ+βTϕ+δ=0获得的向量，求解方法见文献[13]，其中                   α=∂lT∂uc∂2l∂uc2+∂lT∂λ∂2l∂uc∂λT,                  β=∂lT∂uc∂2l∂λ∂uc+∂lT∂λ∂2l∂λ2T,      δ=∂lT∂uc∂2l∂t∂uc+∂lT∂λ∂2l∂t∂λ+∂lT∂uc∂2l∂x1∂uc+∂lT∂λ∂2l∂x1∂λx˙1+∂lT∂uc∂2l∂x2∂uc+∂lT∂λ∂2l∂x2∂λ∙x˙2+∂lT∂uc∂2l∂d̂F∂uc+∂lT∂λ∂2l∂d̂F∂λd̂˙F+sTh(x2,t)(vc-vd). (17)α,β可整理为如下形式：αβ=Λ∂l∂uc∂l∂λ;Λ=∂2lT∂uc2∂2lT∂uc∂λ∂2lT∂λ∂uc∂2lT∂λ2.根据文献[13]，当系统运行时，可选用如下动态更新律[13]u˙cλ˙=-γ[ΛTΛ+ψΙm+n]-1αβ+ζϕ，式中γ0,ψ≥0为控制器参数．定理1 针对闭环容错系统(5)，若满足假设1和假设2，且滑模面由式(11)给出，则在存在执行器故障和外部有界扰动的情况下，控制算法(9)、(13)和(16)能够保证闭环容错系统(5)的所有信号一致有界，且系统状态渐进稳定，即当t→∞时，(uc,λ)→E*,s→0．证明 定义李雅普诺夫函数如式(15)所示，为了便于后续证明，在此引入如下引理．引理1[19] 若Λ为非奇异矩阵，则α=0,β=0⇔∂l/∂uc=0,∂l/∂λ=0．将V1对时间求导，将式(10)、(12)和(13)代入得V˙1=-sTεs-∑i=1n[Lid˜Fi-si/(2Li)]2+sTh(x2,t)(vc-vd). (18)将V对时间求导，并将式(16)～(18)代入其中得V˙=-sTεs-∑i=1n[Lid˜Fi-si/(2Li)]2-αTΓα-βTWβ.因为εi0,Γ=ΓT0,W=WT0，所以V˙≤0，闭环容错系统(5)的所有信号一致有界．当V˙=0时，由引理1可得：V˙=0⇒s=0;α=0;β=0⇒s=0;∂l/∂uc=0;∂l/∂λ=0.系统的动态解能够渐近收敛到极限最优集，且滑模面渐近收敛到零．证毕．3 仿真分析以文献[5]中的液压机为对象进行算法验证，模型参数及负载力变化均与文献[5]相同，并同其控制方法(以下简称为传统控制方法)进行对比．给定相同斜坡信号输入，以验证传统控制方法和本文方法对滑块位移xs的跟踪性能，通过滑块绕y轴偏角φy及绕x轴偏角φx来检验两种控制方法的调平能力．设Δ1为缸1顶杆与缸3顶杆下行位移的差值；Δ2为缸2顶杆与缸4顶杆下行位移的差值，以此描述滑块绕y和x轴的调平精度；dF1,dF2和dF3为液压机的三个集总扰动；vd1,vd2和vd3为顶层控制器的三个期望虚拟控制输入；vc1为第一个实际虚拟力；vc2和vc3为控制分配模块分配后的实际虚拟力；uc1～uc5代表缸1～5输出力．根据文献[5]中液压机模型特性，vd1与vd2,vd3差距较大，为了达到良好的控制效果，仅对vd2和vd3进行分配以获得四角缸出力，中心缸出力根据u5=vd1-∑i=14uci获取．控制器参数为：c=diag{3 000，3 000，3 000}，k=diag{2×106，1 000，1 000}，ucmax=[1.4×107，1.4×107，1.4×107，1.4×107]T，ucmin=[0，0，0，0]T，H=diag{1×10-8，1×10-8，1×10-8，1×10-8}，ψ=1×10-9，γ=diag{1×104，1×104，1×104，1×104，800，800}，L=diag{8，7，6}，μ=diag{4×105，4×105，4×105，4×105}，ε=diag{100，100，100}．3.1　失效故障为了验证所提控制方法对失效故障的容错能力，考虑故障情形：当t12 s时，系统正常运行；当t≥12 s时，1号液压缸失效20%．仿真结果如图1～5所示．10.13245/j.hust.210806.F001图1绕y轴和绕x轴偏角10.13245/j.hust.210806.F003图5各缸输出力响应曲线图6绕y轴和绕x轴偏角图7位移跟踪和调平误差图1中0～12 s及12～25 s区间段分别展现了两种控制方法在系统正常运行及发生失效故障运行阶段的调平精度．显然，在正常运行阶段，本文方法使滑块绕y轴及x轴的偏转角均小于2×10-5 rad，其调平精度明显优于传统控制方法；在发生失效故障运行阶段，本文方法使滑块绕x轴的偏转角度远低于传统控制方法，因此本文方法具有更高的调平精度及容错能力．图2(b)表明：在系统正常运行阶段及发生失效故障运行阶段，本文方法的最大调平误差均小于传统控制方法．图3表明本研究所设计的集总扰动观测器可以及时估计集总扰动并进行合理补偿，以达到容错目的．由图4(b)和图5(a)可以看出：本文方法能在满足执行器约束条件下实现有效分配．10.13245/j.hust.210806.F002图2位移跟踪和调平误差曲线图3集总干扰估计曲线图4虚拟力响应曲线表1为不同时刻的控制分配误差值，表中：ev2=vc2-vd2,ev3=vc3-vd3．表1表明：控制分配误差存在且逐渐减小，符合动态分配算法使系统状态渐进趋向极限最优集的特点，体现了在控制分配设计中考虑分配误差对系统影响的必要性．10.13245/j.hust.210806.T001表1不同时刻的控制分配误差值分配误差3 s6 s9 sev26.51.51.1ev32.31.60.5210-33.2　混合时变故障考虑故障情形：当t10 s时，系统正常运行；当t≥10 s时，2号缸失效30%，5号缸失效10%，3号缸发生混合时变故障．可描述如下：ρ3=0.8-(t-10)/50，10 s≤t≤15 s;ρ3=0.7,t15 s；σ3=1×106+(t-10)/(5×10-6)，10 s≤t≤15 s；σ3=2×106，t15 s．同时测试了该故障情景下传统控制器的容错能力，由于此时传统控制器无法收敛，因此仅展示所提方法的控制效果，仿真结果如图6～10所示．10.13245/j.hust.210806.F004图8集总干扰估计曲线图9虚拟力响应曲线图10各缸输出力响应曲线图6表明：系统在第10 s发生混合时变故障时，采用本文方法，依然能有效抑制执行器故障对系统的影响，实现了高精度的调平控制．图7(a)表明：当发生混合时变故障时，采用本文方法依然能实现高精度的位移跟踪．图7(b)表明：当发生混合时变故障时，采用本文方法，实现了高精度的调平性能．图8表明：本研究集总扰动观测器对包含混合时变故障的集总扰动依然具有良好的估计能力．图9表明：当发生混合时变故障时，基于扰动观测器的扰动估计，虚拟控制输入能及时做出相应调整．图9(b)和图10(a)表明：当发生混合时变故障时，本文方法依然能在满足执行器约束条件下实现有效分配．4 结语本研究针对具有过驱动特性的多缸液压机鲁棒容错控制问题展开了研究，将多缸液压机描述为包含多种类型故障的仿射非线性系统数学模型，并基于该模型提出了一种新型容错控制方法．首先将执行器故障视为集总扰动的一部分，由扰动观测器进行估计和补偿，为系统设计基于扰动观测器的虚拟控制律；然后采用动态优化方法，为系统设计控制分配方案，以将虚拟控制输入高效分配给各执行器．仿真结果表明：所提容错控制方法能实现高精度的位置跟踪与调平，且具有较强的容错能力．