内曲线径向柱塞马达因其转矩脉动小、启动转矩大等优点[1]被广泛应用于船舶和采矿机械等多个领域[2-3]．国内对该马达的重视程度及研发投入不足，使得高端市场一直被国外企业所垄断，严重制约了我国先进装备的发展．内曲线马达内部包含多个摩擦副，这些摩擦副起着润滑、密封和力传递的作用[4]．在马达工作过程中，摩擦副之间往往会形成一层油膜，以保证润滑．若摩擦副的配合间隙设计不合理，则会导致摩擦副被磨损、烧坏或者泄漏增加、影响密封[4]．滚柱-柱塞摩擦副作为内曲线径向柱塞马达的关键摩擦副之一，优化该摩擦副的配合间隙对改善马达的磨损及泄漏问题具有重要意义．目前针对内曲线径向柱塞马达摩擦副油膜的研究成果相对较少．文献[5-7]基于稳态线接触弹流润滑理论对导轨与滚柱之间的最小油膜厚度进行了计算．文献[8]对Hagglunds的CA马达(内曲线径向柱塞马达)的滚柱-柱塞副建立了稳态弹流润滑仿真模型，通过该模型对滚柱-柱塞摩擦副的油膜压力、摩擦力、泄漏量进行了仿真分析．然而该模型未考虑油沟压力与油膜边界压力的耦合作用，同时无法对油膜进行动态仿真分析，即无法考虑油膜动压效应．本研究在充分考虑内曲线径向柱塞马达滚柱-柱塞摩擦副工作特点的情况下，首先建立了非稳态弹流润滑模型，该模型考虑了黏压效应、油液的压缩性、空化效应、油沟的静压支撑作用及油沟压力与油膜压力的耦合作用；然后建立了柱塞组件的动力学模型，并将其求解结果作为非稳态弹流润滑模型的输入参数；最后设定边界条件，利用该多场耦合仿真模型对滚柱-柱塞配合间隙进行分析优化．1 非稳态弹流润滑模型滚柱-柱塞摩擦副剖面如图1所示，柱塞的摩擦面上包含形状复杂的油沟．柱塞腔的油液经柱塞内部的阻尼孔进入油沟，油沟一方面为摩擦副提供润滑油，另一方面为滚柱提供静压支撑．为求解多场耦合下的油膜参数，本研究建立了基于雷诺方程、油液黏压方程、密度-压力方程、油膜厚度方程、载荷平衡方程、质量流量平衡方程和结构变形方程的非稳态弹流润滑仿真模型．10.13245/j.hust.210802.F001图1滚柱-柱塞摩擦副剖面示意图a. 雷诺方程考虑无滑移的边界条件，可压缩牛顿流体的非稳态雷诺方程为[9]∂∂zρh312η∂p∂z+∂∂yρh312η∂p∂y=∂∂z(ρwh)+∂∂y(ρvh)+∂∂t(ρh), (1)式中：ρ为油液密度；h为油膜厚度；η为动力黏度；p为油膜压力；t为时间；w=(w1+w2)/2，v=(v1+v2)/2，其中w1和v1，w2和v2为两个接触面沿两个坐标轴方向的切向速度．由于柱塞相对于摩擦副静止，因此w2和v2均为0；由于滚柱具有自转运动，因此w1和v1的大小与转速ωr有关．此外通过式(1)可知雷诺方程还与η，ρ和h有关，因此还须建立η，ρ和h的方程．b. 油液黏压方程当油膜压力超过0.02 GPa时，黏度将随压力发生显著的变化[10]．其中，油液的黏度由Barus指数关系式[11]确定，即η=η0eαp，(2)式中：η0为一个大气压下的动力黏度；α为黏压系数．c. 密度-压力方程由于油液具有压缩性，因此油液的密度会随压力的增大而增加．同时当偏心率达到某一数值后，楔形油膜可能在其扩散区内自然破裂，形成空化．对于空化特性的计算，采用Elrod算法[12-13]．该算法引入了油液的体积弹性模量β来描述密度与压力的关系，其表达式为β=ρ∂p/∂ρ．(3)Elrod算法还引入了压缩比φ和开关函数g[14]，φ=ρ/ρ0，(4)g=1    (φ≥1);0    (φ1), (5)式中：ρ0为油膜正好破裂时的密度；g=0表示空化，g=1表示无空化．d. 油膜厚度方程图2为油膜厚度示意图，图中：R为滚柱半径；c为配合间隙；e为偏心距；θ为偏位角，表示偏心线与z轴正向的夹角；Fn为轨道对滚柱的作用力；点A为油膜上的任意一点；ψ为定位角，表示油膜一点A与z轴负向之间的夹角；hmin为油膜区域的最小油膜厚度；ωr为滚柱转速；o1为滚柱圆心；op为柱塞与滚柱配合圆弧的中心．根据几何关系可推出油膜厚度的近似解析式10.13245/j.hust.210802.F002图2油膜厚度示意图h=c+ecos(ψ-θ)+Δδ，(6)式中：Δδ为接触面的弹性变形量；偏心距e和偏位角θ为未知变量．e和θ会影响油膜压力的分布，根据力平衡原理，通过两个方向的载荷平衡方程确定．e. 载荷平衡方程在运动过程中，滚柱受到轨道的反作用力、滚动摩擦力、油膜和油沟的压力及油液的黏性阻力．其中摩擦力和黏性阻力相对较小，为简化计算，可忽略不计．轨道对滚柱的反作用力Fn可分解为沿柱塞轴线的径向力Fr和垂直于柱塞轴线的切向力Ft，因此可得力平衡方程为Fr=-∬Ωpcos ψdxdy;Ft=-∬Ωpsin ψdxdy, (7)式中：Fn=Fr2+Ft2，Fr和Ft通过动力学模型求解；Ω为柱塞油膜及油沟的有效作用面．f. 质量流量平衡方程由于油沟的深度远大于油膜的厚度，假设同一时刻油沟压力恒为pc，pc会影响油膜及阻尼孔的流量，因此可根据质量守恒原理建立包含pc的质量流量平衡方程．由于油液的β非常大(1 GPa左右)，因此为简化计算，在质量流量平衡方程中忽略油液密度的变化．如图3所示，以摩擦副的两个相对滑动面及垂直于油沟外边界L的环面S2围成的控制域作为研究对象，建立质量流量平衡方程pp-pcRc=∬S1∂h∂tdxdy+∫Lhvndl, (8)式中：vn为环面S2上沿油膜厚度方向的平均流速，且垂直于环面S2，指向控制域外正；pp为柱塞腔压力；Rc为柱塞腔到油沟的液阻；S1为控制域与柱塞的接触面；L为油沟外圈边界线．等式左侧表示柱塞腔油液经阻尼孔进入控制域的质量流量；等式右侧第一项表示由于滚柱移动而引起的质量流量变化，第二项表示由于滚柱转动、油液切向流动所引起的控制域质量流量变化．10.13245/j.hust.210802.F003图3质量流量平衡示意图g. 固体域控制方程固体域的变形会影响油膜厚度，其变形量的大小通过下式求解[15]ρsδ¨=∇σs+Fs，(9)式中：ρs为固体域的密度；δ¨为固体域的局部加速度；σs为柯西应力张量；∇为梯度算子；Fs为固体体积力张量．2 动力学模型2.1　建模在弹流润滑模型中，由于雷诺方程包含与ωr相关的参数，载荷平衡方程中包含滚柱的外载荷Fr和Ft，因此求解弹流润滑模型前，必须先通过动力学模型求解ωr，Fr和Ft．对柱塞组件进行受力分析并建立力平衡方程Ft-Ffcos γ-Fτ-Fk+F2-F1=0; (10)-Fr-Ffsin γ+Fω-Fa+Fp-Ff1-Ff2=0; (11)-FfR+F1[l-l0+(l0-l2)/3]-F2(l-l2/3)+Ff1d/2-Ff2d/2+(Fτ+Fk)lg=0, (12)式中：Fn(Fr和Ft)和Ff分别为轨道对滚柱的支撑力和摩擦力；Fτ为缸体的角加速度引起的惯性力；Fk为哥氏加速度引起的惯性力；F1和F2为柱塞与孔壁之间垂直于柱塞轴向的接触力；γ为压力角；Fω为离心力；Fa为相对加速度所引起的惯性力；Fp为柱塞底部的液压力；Ff1=fF1和Ff2=fF2分别为F1和F2引起的摩擦力，f为柱塞副摩擦系数，取0.08；l为柱塞组件的名义长度；l0为柱塞与孔壁的有效接触长度；l2为接触力F2的作用长度；d为柱塞直径；lg为柱塞组件质心到滚柱中心的长度．假设滚柱与轨道之间为纯滚动，则滚柱的自转角速度为ωr=ωρr/R, (13)式中：ρr为轨道理论曲线极径；ω为马达缸体角速度．2.2　求解选用八作用单排十四柱塞的内曲线径向柱塞马达，导轨采用带过渡区的等加速曲线(过渡区幅角为1°)，额定工作压力为25 MPa，回油压力为1 MPa，额定转速为170 r/min．考虑过渡区的存在，0～21.5 ms柱塞腔处于高压，22.5～44.4 ms柱塞腔处于低压，21.5～22.5 ms为过渡区．假设压力从25 MPa线性降为1 MPa．当缸体转过一个作用幅角时，通过式(10)～(13)求得ωr，Fr和Ft随时间的变化关系如图4和图5所示．10.13245/j.hust.210802.F004图4滚柱自转速度随时间的变化10.13245/j.hust.210802.F005图5滚柱所受径向力、切向力随时间的变化3 弹流润滑数值分析仿真模型参数传递示意图如图6所示，图中p0为空化压力．10.13245/j.hust.210802.F006图6仿真模型参数传递示意图以动力学模型的求解结果作为弹流润滑模型的输入，设置边界条件：a. 油膜外边界压力为2×105 Pa(马达壳体泄漏压力)；b. 根据摩擦副表面粗糙度，设定油膜下限为1 μm；c. 油沟横截面形状为半径1 mm的半圆．弹流润滑模型的主要设置参数如下：滚柱半径R=19 mm；油液动力黏度η0=0.04 Pa•s；黏压系数α=0.015 MPa-1；空化密度ρ0=880 kg•m-3；当量弹性模量E=1.3×1011 Pa；柱塞、滚柱泊松比μ=0.3；柱塞直径d=48 mm；液阻Rc=7.81×108 kg/(m4•s)．取配合间隙c为0.02，0.03，0.04，0.05，0.06，0.07，0.08，0.09 mm，进行8组仿真．先进行稳态仿真，并将稳态仿真结果作为瞬态仿真的初始值．3.1　最小油膜厚度为了减小磨损，提高摩擦副使用寿命，须保证摩擦面之间有足够的油膜厚度，因此首先分析配合间隙对最小油膜厚度的影响．如图7所示，0～21.5 ms之间，8组仿真结果的最小油膜厚度均为先减小后增大，并在6 ms附近出现最小值．由图5可知：该时间段内油膜厚度的变化主要受Fn=Fr2+Ft2的影响，当反作用力增大时，油膜厚度减小，油楔效应增强，进而达到新的平衡状态．10.13245/j.hust.210802.F007图7油膜区域中的最小油膜厚度随时间变化曲线当t=0～2 ms时，同一时刻最小油膜厚度随着配合间隙的增加而增加．如图8所示，当配合间隙从0.02 mm增加到0.09 mm时，油沟压力在1 ms时下降51.9 kPa，而在12 ms时下降526.3 kPa．因此，当t=0～2 ms时配合间隙对油沟压力影响较小，该时段内最小油膜厚度主要受楔形油膜效应影响．10.13245/j.hust.210802.F008图8柱塞位于进油区时油沟压力的变化当t=7～14 ms时，最小油膜厚度开始增加且配合间隙越小，最小油膜厚度增加幅值越大．当c=0.02 mm时，最小油膜厚度增加6.3 μm，增加量是c=0.09 mm的5.73倍．这一现象主要是由滚柱转速和油沟压力的变化引起的．图4中该时段内滚柱转速增加9.63 rad/s，动压效应增强，不同配合间隙下的最小油膜厚度均呈增加趋势．但由图8可知：若配合间隙增大，则油沟压力下降，静压支撑力减小，因此在动压支撑和静压支撑的混合作用下，配合间隙越大，最小油膜厚度的增加幅度越小．而油沟压力随配合间隙的增大而减小主要是由于随着配合间隙的增大，滚柱两侧的楔形区域角度增大，即可变间隙阻尼开口增大，阻尼作用减弱，因此油沟压力下降．在回油区t=22.5～44.4 ms时，随着配合间隙由0.02 mm增加到0.09 mm，同一时刻的最小油膜厚度随之增加．同时由于外载荷的减小，回油区的最小油膜厚度大于进油区．不同配合间隙下，hmin在一个工作周期内的最小值(Hmin)如图9所示，Hmin随着配合间隙的增加先增大后减小．这一现象主要是由于滚柱-柱塞摩擦副采用动静压混合润滑，当配合间隙较小时，静压支撑起主要作用；当配合间隙较大时，动压支撑起主要作用．同时，当c=0.04 mm时，动静压混合支撑作用达到最大，Hmin最大．10.13245/j.hust.210802.F009图9不同配合间隙下hmin在一个工作周期内的最小值3.2　阻尼孔质量流量为提高容积效率，须要控制阻尼孔处的质量流量．阻尼孔质量流量(Qh)随时间的变化曲线如图10所示．10.13245/j.hust.210802.F010图10阻尼孔质量流量随时间的变化曲线对于8组仿真，柱塞处于进油区的泄漏流量均大于回油区，8～14 ms时泄漏较严重．该时段内滚柱受到的切向力Ft较大，且在8.83 ms处达到最大值17.36 kN．由于切向力越大，滚柱的偏位角θ越大，油沟上方的油膜厚度也相应增大，泄漏增加，因此该时段泄漏较严重．不同配合间隙下Qh的最大值Qhmax如图11所示．由图11可知，Qhmax在c=0.02 mm处最小．10.13245/j.hust.210802.F011图11不同配合间隙下Qh的最大值当配合间隙由0.02 mm增加到0.03 mm时，泄漏流量增加20.01 g/s，当配合间隙由0.08 mm增加到0.09 mm时，泄漏流量增加168.64 g/s，因此配合间隙越大泄漏越严重．3.3　油膜空化空化会影响油膜的压力分布、承载能力及油膜厚度[16]，进而影响摩擦副的磨损和泄漏，因此对配合间隙的优化须要考虑空化．对柱塞配合面上油膜的质量分数进行积分，油膜质量分数等于1表示无空化．油膜质量分数在柱塞配合面上的积分(κ)如图12所示，κ越小表示空化越严重．由图12可知：c=0.04～0.09 mm时对κ值影响较大，并且0～21.5 ms时，随着配合间隙的增加，同一时刻κ值减小，油膜空化加重．10.13245/j.hust.210802.F012图12油膜的质量分数在柱塞配合面上的积分对于0.05～0.09 mm的配合间隙，在0～6 ms时κ值随时间增加而递减．在6 ms时5组仿真的hmin均达到各自的最小值，hmin的减小会使滚柱后方发散区的楔形油膜角度增大，同时由于空化区远离油沟，两者共同作用使得油膜空化加重．t=16～22 ms时段油膜空化再次加剧．以c=0.07 mm为例，hmin增加0.029 4 mm，因此该时段内空化加剧的主要原因是油膜厚度快速增加，油膜体积增大，而油液无法及时补充，进而加剧空化．从图12中还可以得出：在22.5～44.4 ms时段内，c=0.04 mm时空化最严重，在30.5 ms处，κ达到最小值0.149 957 %•m2．为解决内曲线马达的磨损和泄漏问题，滚柱-柱塞配合间隙的设计须综合考虑最小油膜厚度、阻尼孔泄漏量及空化三个因素．当配合间隙为0.02 和0.03 mm时对空化影响最小，其次是0.04 mm．当配合间隙为0.02 mm时，阻尼孔泄漏流量最小，但Hmin仅有2.48 μm，是配合间隙为0.03 mm时的0.57倍．当配合间隙为0.04 mm时，Hmin达到最大值5.7 μm，但此时的最大泄漏流量是配合间隙为0.03 mm时的2.33倍．综合考虑，0.03 mm为滚柱-柱塞配合间隙的最优值．4 结论针对内曲线径向柱塞马达磨损及泄漏严重的问题，本研究在考虑黏压效应、油液压缩性、空化效应及油沟压力与油膜边界压力的耦合作用下，对其关键摩擦副——滚柱-柱塞摩擦副建立了非稳态弹流润滑和动力学仿真模型．通过对该摩擦副油膜的仿真分析，得出如下结论．a. 对于动静压混合润滑的滚柱-柱塞摩擦副，减小配合间隙可以增加静压支撑作用，增加配合间隙可以提高动压支撑作用．最小油膜厚度的最小值Hmin随着配合间隙的增大而先增大后减小．b. 滚柱所受切向力是影响阻尼孔质量流量的决定性因素，并且配合间隙越小，泄漏也越小．c. 当c≤0.03 mm时对空化影响较小，增加配合间隙会加剧空化．d. 综合考虑最小油膜厚度、泄漏量和空化，0.03 mm为最优配合间隙．