频率分集阵(frequency diverse array，FDA)由于具有距离和角度二维相关特性，在参数估计和干扰、杂波抑制方面拥有更高的自由度，近年来获得广泛关注．针对FDA的距离和角度参数联合估计问题，学者们展开了大量研究．文献[1]提出了一种基于多频移的参数估计方法，将阵列分成多个不同频移的子阵，通过各子阵估计结果比对得出二维参数估计，该策略会减小阵列等效孔径，且计算量大、工程实现困难．文献[2]通过设计不同的频移方案，对距离和角度进行解耦，得出了二维参数估计结果，但也存在工程实现困难的问题．文献[3]将二维参数估计转化为二维稀疏重构问题，利用贝叶斯方法加以求解，须进行二维稀疏求解，算法复杂度较高．文献[4]利用二维MUSIC和二维ESPRIT等多种谱估计手段对FDA-MIMO的二维参数估计手段进行了研究，并对比了多种方法的估计性能．在现有文献中，针对FDA参数估计问题的研究较少考虑导向矢量时变性影响，由于频差的存在，FDA导向矢量时变特性是客观存在的．本研究针对导向矢量时变给FDA参数联合估计带来的困难，首先分析导向矢量时变性对参数估计性能的影响，然后提出基于块稀疏的参数联合估计方法，利用单次快拍实现多个目标二维参数的成功估计．1 信号模型及导向矢量时变性分析设均匀线性FDA有N个阵元，结构如图1所示．10.13245/j.hust.210811.F001图1均匀线性FDA结构图阵列信号均为窄带信号，阵元n发射信号为sn(t)=exp(j2πfnt)    (n=1,2,⋯,N)，式中：j为虚数单位；t为时间序列；fn=f0+n-1Δf为阵元n的发射信号频率，其中f0和Δf分别为载频和频差．设空间存在一远场点目标，相对于阵列距离为R，角度为θ，则阵元n的发射信号到达该目标时可表示为srn(t)=exp[j2πfn(t-rn/c)]，式中：c为光速；rn=R-ndsin θ，其中d为阵元间距．对集中式FDA-MIMO，各阵元发射正交信号，接收端各阵元后包含N个接收机，每个阵元后的第m个接收机仅接收第m个阵元发射的信号，则阵元后接收机接收的回波为snm(t)=exp{j2πfm[t-2R/c+(n+m)dsin θ/c]}，式中fm=f0+m-1Δf．设空间中拥有K个目标，Rk和θk分别为第k(k=1,2,⋯,K)个目标的距离和角度，则FDA-MIMO的导向矢量可表示为A(R,θ)=a(R,θ)⊙b(θ)，(1)式中：a(R,  θ)=[a1,  a2,  ⋯,  aK]，ak=[1,ej2πBk，ej2π2Bk,⋯,  ej2πN-1Bk]T，Bk=Δft+dsin θk/λ-2ΔfRk/c，λ为工作波长；b(θ)=[b1,b2,⋯，bK],bk=[1,ej2πBk',ej2π2Bk',⋯,ej2πN-1Bk']T,Bk'=dsin θk/λ;⊙为Khatri-Rao积．FDA-MIMO接收信号可表示为x(t)=A(R,θ)s(t)+n(t) =∑k=1K(ak⊗bk)sk(t)+n(t)  , (2)式中：n(t)为噪声矢量；s(t)为信号矢量．从式(1)和(2)可以看出：FDA-MIMO导向矢量中ak与t相关，bk与t无关．设一次估计总快拍数为Z，采样间隔为Δt，则第z次采样的导向矢量可表示为Az(R,θ)=∑k=1K[akz(R,θ)⊗bk(θ)]  ;                        akz(R,θ)=[1,ej2πBz,ej2π2Bz,⋯,ej2π(N-1)Bz]T,式中Bz=ΔfzΔt+dsin θk/λ-2ΔfRk/c．FDA-MIMO的信号模型可表示为x(z)=∑k=1K{[at(z)*a0(Rk,θk)]⊗bk(θ)}∙sk(z)+n(z),式中：at(z)=[1,e-j2πΔfzΔt,e-j2πΔf2zΔt,⋯,e-j2πΔf(N-1)zΔt]T；a0(Rk,θk)=ak|t=0为t=0时ak的值；*为Hadamard积．利用Z次快拍进行导向矢量估计时，等效的导向矢量[5-6]可表示为AavgR,θ=∑k=1K1Z∑z=0Z-1at(z)*a0(Rk,θk)⊗bk=∑k=1K[a¯k(R,θ)⊗bk].  (3)由∑m=0M-1e-j2πΔfmΔt=sin(πMΔfΔt)e-jπM-1ΔfΔtsin(πΔfΔt)得a¯k(R,θ)=[α1k,α2k,⋯,αNk];    αnk=βexp{j2πn-1{f0dsin θk/c-Δf[2Rk+cZ-1Δt/2]/c}};β=sin[2π(Z-1)(n-1)ΔfΔt]Zsin[2π(Z-1)(n-1)ΔfΔt]. (4)由式(3)和(4)得，导向矢量时变，即e-j2πΔfzΔt项对基于导向矢量进行参数估计的影响有两方面：一方面会产生幅度调制，调制项β为辛克函数，Z越大，空间谱峰的形状变的越平坦，这样会增大参数估计的随机误差，当Δf=0或Z=1时，该调制项为1；另一方面给距离估计带来固定误差，当无时变项时，估计的距离参数为Rk，当存在时变项时，估计的距离参数为Rk+cZ-1Δt/4，距离估计误差为δRk=cZ-1Δt/4，(5)Z越大，该固定误差越大．根据式(5)，可以基于已知快拍数对估计结果进行距离误差补偿，但无法补偿因幅度调制增大的随机误差．2 块稀疏参数估计理论近年来，压缩感知(compressed sensing，CS)理论已成为信号/图像处理和参数估计等众多领域的热点[7-9]，基于CS的参数估计算法，通过信号稀疏性对信号参数进行估计，在低快拍下保持了良好的参数估计性能[10-11]．2.1　压缩感知基本理论以一维DOA估计[12]为例，设阵列有N个阵元，空间有K个远场信号源，阵列接收信号为x(t)=A(θ)s(t)+n(t)，式中Aθ=[a(θ1),a(θ2),⋯,a(θK)]为阵列导向矢量．对x(t)进行稀疏化表示，得x(t)=Gδ=[ȃ(θ1),  ȃ(θ2),⋯,  ȃ(θQ)]∙[δ1,δ2,⋯,δQ]T+n(t), (6)式中：G=[ȃ(θ1),  ȃ(θ2),⋯, ȃ(θQ)]为过完备字典，其中ȃ(θi) (θi=θ1,θ2,⋯,θQ)为原子，Q为θ的等网格划分数；δ为Q维系数向量，δ中非零元素个数为K，非零元素位置对应的角度为目标角度．将参数估计问题转化为以下参数求解问题，即：δ=arg min||δ||1;s.t.  ||x(t)-Gδ||22≤γ2，(7)式中γ2为期望的误差均方项．目前，式(7)的求解方法主要有贪婪算法[13]和凸优化方法[14]．其中，凸优化方法中的正交匹配追踪算法运用最为广泛．本研究利用该算法对应的改进算法对FDA-MIMO中的参数估计问题进行求解．2.2　块稀疏与块正交匹配追踪FDA-MIMO参数联合估计可利用块稀疏思想进行求解，块稀疏和块正交匹配追踪(block orthogonal matching pursuit，BOMP)具体原理[15-16]如下．给定x∈Rm×N，mN，考虑δ为块稀疏的，即稀疏向量δ的非零向量呈块状分布，式(6)可等效表示为x=GδB，块稀疏向量δB可看成由块δB{n} (n=1,2,⋯,N)级联而成，块n包含的列向量数di均为大于1的整数，具体结构为δB=[δB'[1],δB'[2],⋯,δB'[N]]'．所有非零块向量构成的集合为δB的支撑集Γ={nδB{n}≠0}，根据G中的列与向量元素的对应性，可将G看成由大小为m×dn的列-子块矩阵G{n}级联而成．BOMP利用块间的互相关度进行块向量选取，具体过程[17]如下．输入 接收信号x∈RN，过完备字典G∈RN×Q初始化 Γ0=∅，初始残差向量r0=x，令k=1a. 求G中与rk-1相关性最强的块-列向量Λk∈arg maxn|〈rk-1,G{n}〉|;Γk=Γk-1⋃{Λk}，式中：Λk为第k次迭代取出的相关性最强的向量；arg max|∙|为取相关性最强的运算．b. 求最小化问题minx||x-Gδ||2的解，得δk=(ΓkHΓk)-1ΓkHx．c. 令k=k+1，重复迭代直至满足某停止条件．3 FDA-MIMO二维参数的块稀疏估计运用块稀疏估计，可使用单快拍估计多目标参数．此时，FDA-MIMO接收信号可表示为x(t)=∑k=1K[(aRk*aθk)⊗bk]sk(t)+n(t) ，(8)式中：aRk=[1,e-j2πΔf(2Rk/c),e-j2π2Δf(2Rk/c),⋯，e-j2πN-1Δf(2Rk/c)]T；aθk=[1,e-j2πdsin θk/λ,e-j2πd2sin θk/λ,⋯，e-j2πd(N-1)sin θk/λ]T．设an(θk)=e-j2πn-1dsin θk/λ，an(Rk)=e-j2πΔfn-1(2Rk/c)，则第k个目标的等效导向矢量可表示为Ξk=(aRk*aθk)⊗bk=a1(Rk)a1(θk)bka2(Rk)a2(θk)bk                            ⋮aN(Rk)aN(θk)bk=[diag(aθk)⊗bk]aRk. (9)同时，式(9)还可重新表示为Ξk=[diag(aRk)⊗IN](aθk⊗bk)，(10)式中IN为N维单位阵．依据式(9)，式(8)可重新表示为x(t) =∑k=1K[diag(aθk)⊗bk]aRksk(t)+n(t)，(11)设Ĝ=[ξ(θ1),ξ(θ2),⋯,ξ(θQ)]，ξ(θi)=diag[a(θi)]⊗b(θi)，则式(14)可重新表示为x(t)=Ĝδ̂+n(t),式中δ̂为字典对应的系数向量，δ̂中的非零项为θk上对应目标的距离与采样时刻信号幅值的乘积．与式(11)不同，字典Ĝ中每个网格θ对应的不是一个列向量，而是一个块-列向量．设FDA-MIMO接收端使用线阵，阵元数量为N，则每个网格对应的块-列向量大小为N2×N，Ĝ的大小为N2×QN．同样δ̂中非零项并非单独出现，而是以块的形式出现，每个非零系数块的长度为N．实际上，δ̂中的非零块的系数值为δB[k]=aRksk(t)=[1,e-j4πΔfRk/c，⋯,e-j4πΔfN-1Rk/c]sk(t)，从第二项开始，每一项除以δB[k]的第一项，取相位，即可得到新的向量δ˜B=4πΔf[Rk,2Rk,⋯, (N-1)Rk]/c，由此可得到利用块稀疏估计的距离值为R̂k=1N-1∑n=2N{ϑ[(δB[k])n/(δB[k])1]}c4π(n-1)Δf ，(12)式中ϑ∙为取相位运算．同理，根据式(10)，式(8)也可重新表示为x(t)=[diag(aRk)⊗IN](aθk⊗bk)sk(t)+n(t)．以相同的方式建立与距离导向矢量相关的过完备字典，此时，δ˜B将变化为与角度导向矢量相关的量．以式(11)的求解为例，得出基于块稀疏进行FDA-MIMO二维参数估计的步骤为：a. 将角度区间[θ0,θmax]等距划分为Q个网格，构造角度向量θ及对应的aθ；b. 建立Ĝ=[ξ(θ1),ξ(θ2),⋯,ξ(θQ)]；c. 输入x，利用BOMP算法求解系数向量δ̂；d. 将δ̂进行矩阵化，构造系数向量矩阵B，即矩阵B第q行的元素为δ̂中第(q-1)×N+1至第q×N个元素，求取B中各行平均值，得到维数为1×Q的列向量Bnew，取出Bnew中所有的非零系数，设其对应的位置序列为L，则对应的目标角度集合为θL，当目标个数为K时，L和θL的理论维度均为1×K；e. 取出B中的第l行，根据式(12)求取各目标距离值Rk．在多快拍情况下应用BOMP进行二维参数估计，相当于对每一个原子进行了扩充，即X=[x1,x2,⋯,xn]T=∑k=1KD(θk)βB[k]+n(t).此时，字典G中各网格θ对应的块-列向量由ξ(θ)∈N2×N扩展为D(θ)=IZ⊗ξ(θ)∈ZN2×ZN，系数也由N维的δB(θ)，拓展为Z×N的βB[k]，利用式(11)可计算出一个距离估计值，在多快拍情况下，利用βB[k]可以计算出Z个距离估计值，加权平均即可求出最终距离估计值．在多快拍下，单个原子对应的矩阵维数较高，运算度复杂，且利用块稀疏的目的就是解决低快拍下参数估计问题，因此本研究不对多快拍情况进行进一步分析．由以上分析知，与传统谱估计相比，基于BOMP的参数估计有以下优势：a. 无须协方差矩阵分解，能够实现单快拍下的多目标参数估计，而当利用空间谱方法进行估计时，要求所用快拍数Z≥K；b. 可通过单次稀疏求解同时估计距离和角度两个参数，且能够实现参数的自动配对．4 仿真分析基础仿真参数为：载频f0=1 GHz，FDA-MIMO含20个阵元，阵元间距为半波长，频差Δf=1 kHz．首先分析导向矢量时变性对参数估计性能影响，一目标位于(10°，50 km)处，单次估计快拍数为100，总用时为T，由式(8)知导向矢量时变仅对距离参数产生影响．假设角度参数已知，对距离空间谱进行分析，在不同T下利用最大似然估计法得到FDA-MIMO的距离空间谱如图2，图中：R为距离；A为相对幅度．10.13245/j.hust.210811.F002图2不同T值下FDA-MIMO的距离空间谱从图2可看出：加入时变项后谱峰位置发生平移，平移量随T的增大而增大；谱峰被展宽，峰值被拉低，且T越大，谱峰降低程度越大，展宽程度越大，与式(4)的推论一致．其次分析块稀疏估计性能，设有3个目标，分别位于(10°，10 km)、(20°，20 km)和(30°，30 km)处，信噪比αSNR=30 dB．以0.1°为步进将角度稀疏化，建立过完备字典G．利用BOMP算法进行二维参数估计，图3(a)为单快拍数下向量Bnew中各系数幅值及对应角度，图中：A2为幅度绝对值；θ为角度．利用式(12)计算各目标距离值，得到参数估计结果如图3(b)所示．可以看出：BOMP算法可利用单快拍对多目标二维参数进行成功估计，这是经典谱估计算法无法实现的．10.13245/j.hust.210811.F003图3基于BOMP的二维参数估计结果(字典与角度相关)然后分析估计精度，将BOMP与二维MUSIC和文献[4]中的二维ESPRIT算法的估计精度进行比较．由于空间谱算法单快拍下均只能实现单目标估计，因此仅对单目标估计精度进行比较．目标位于(10°，10 km)处，建立与角度相关的字典，蒙特卡罗仿真次数为100，图4为单快拍单目标下各类算法估计精度(字典与角度相关)．由图4可知：在单快拍下，BOMP算法角度估计精度优于其他算法，距离估计精度优于二维MUSIC算法但差于二维ESPRIT算法．10.13245/j.hust.210811.F004图4单快拍单目标下各类算法估计精度(字典与角度相关)同样，建立与距离相关的字典，估计结果如图5所示，单快拍单目标下各类算法估计精度(字典与距离相关)如图6所示．10.13245/j.hust.210811.F005图5基于BOMP的二维参数估计结果(字典与距离相关)10.13245/j.hust.210811.F006图6单快拍单目标下各类算法估计精度(字典与距离相关)由图6可知：利用稀疏字典得到的距离参数精度优于其他两类算法，利用系数向量得到的角度参数精度介于两算法之间．5 结语由于阵元间频差的存在，FDA-MIMO的距离空间谱与估计用时相关，估计用时越长，距离估计误差越大，且会出现固定误差量．本研究提出了基于块稀疏的FDA-MIMO距离和角度参数联合估计方法，通过推导证明了块稀疏理论在参数联合估计中的适用性，给出了利用块稀疏理论进行参数联合估计的具体流程．仿真结果表明：基于块稀疏的参数联合估计方法，可利用单次快拍同时实现多目标的距离和角度参数联合估计，且利用字典求取的参数精度优于同类二维ESPRIT和二维MUSIC算法，利用系数向量求取的参数精度介于两算法之间．