直齿面齿轮传动[1]是指由直齿圆柱齿轮和能与直齿圆柱齿轮相啮合的锥齿轮构成的一类面齿轮传动，其突出优点是圆柱齿轮轴向位置自由且无轴向力、无须防错位设计，可实现径向浮动安装[2-3]．直齿面齿轮双分支传动系统用于阿帕奇武装直升机AH-64主减速器[4]中，由于能够自定心消除轴向力，保证对安装误差的低敏感性，使得功率分流误差仅为±1%，齿轮箱总成质量减轻了40%，承载能力提高了35%，并节省了大量空间．鉴于面齿轮传动在直升机分流均载性能的优异表现[5]，以及各国对航空航天等重大装备的战略需求[6]，面齿轮分支传动已成为国内外齿轮研究的热点问题[7-8]．但是，因面齿轮分支传动技术的军用背景，国外关于其均载机理和均载设计方法的研究鲜见报道，文献[9]首次建立了直齿面齿轮分支传动有限元模型，利用有限元法确定的间隙单元相互作用力计算了扭矩分配情况．近年，国内也对面齿轮分流传动展开了多方面研究．杨振[10]建立了面齿轮分支传动系统的非线性动力学模型，分析了动载荷及齿轮振动状态变化规律．张乐等[11]分析了啮合刚度、轴弯曲及扭转刚度对面齿轮分扭系统固有频率的影响，并研究了轴弯曲、扭转刚度及输入扭矩对均载特性的影响．彭先龙等[12]计算了面齿轮功率分支传动系统的转矩分配．任薇[13]分析了面齿轮-圆柱齿轮两次分流传动系统的均载性能及主要参数对均载特性的影响．莫帅等[14]分析了齿轮偏心误差、输入转速等对面齿轮-行星传动串联系统的均载性能影响．李旺等[15]分析了同轴面齿轮分扭传动系统的载荷分配不均问题及影响因素．然而，现有研究主要存在两个不足：分流模型均是针对正交面齿轮建立的，但正交面齿轮仅为非正交偏置的一般性面齿轮特例，故分支布置形式单一，而考虑非正交、偏置的面齿轮分支传动设计，可为航空传动系统总体设计提供机动灵活的多种布置选择，特别利于狭小的空间里实现最紧凑的布置；分流模型未综合考虑齿轮副各类安装误差、系统啮合相位差等因素，无法系统研究各因素对均载性能的影响．对非正交偏置的一般性直齿面齿轮双分支布置形式、系统啮合相位差进行分析，并结合系统功率流闭环特点，推导系统的变形协调条件，建立一般性直齿面齿轮双分支传动系统的扭矩分配模型，分析安装误差、输入载荷、支撑刚度、扭转刚度以及啮合刚度波动幅值对系统静态均载特性的影响．研究一般性直齿面齿轮双分支传动系统的均载特性，可为我国开展含面齿轮分支传动的新型直升机动力传输系统的研制提供参考价值．1 双分支布置形式和系统啮合相位差1.1　双分支布置形式图1为非正交偏置的一般性直齿面齿轮双分支传动系统简图，扭矩从输入轴进入，由直齿轮1采用功率两分支传递给分流级非正交偏置直齿面齿轮2和3，轴24两端分别联接分流级非正交偏置直齿面齿轮2和汇流级斜齿轮4，轴35两端分别联接分流级非正交偏置直齿面齿轮3和汇流级斜齿轮5，扭矩最后汇流到斜齿轮6，并由输出轴输出．10.13245/j.hust.210912.F001图1一般性直齿面齿轮双分支传动系统简图由偏置直齿面齿轮副构成的分流传动系统的典型双分支布置形式分为2类，如图2所示，β12和β13分别为面齿轮副12和13的偏置角．图2(a)中β12=-β13=β≠0，此时面齿轮2与3的齿面形状是完全相同的，但是两者的工作齿面不在同一侧，所以面齿轮副12和13的啮合性能不同，此布置形式可能不利于实现两路分支载荷的平衡．图2(b)中β12=β13=β≠0，此时面齿轮2和3的工作齿面完全相同，两对面齿轮副的啮合性能相同，此种布置形式有利于实现两路分支载荷的平衡．采用偏置分流传动形式的主要优点是预留了面齿轮2的轴线空间，使两个面齿轮都具备了双跨支承条件，对于提高支撑刚度、保证轮齿正确啮合条件，从而提高分支传动系统的稳定性和寿命大有益处．由非正交面齿轮副构成的分流传动系统的典型双分支布置形式如图3所示，γ12和γ13分别为面齿轮副12和13的轴错角，且γ12=γ13=γ≠0.5π，若γ12=γ13=γ=0.5π，此时即为传统正交面齿轮传动分流形式．采用非正交分流传动形式有利于合理、灵活地安排功率输入方向，可适应在狭小的空间里实现最紧凑的布置，为航空传动系统总体设计提供丰富多变的构型布置选择．10.13245/j.hust.210912.F002图2偏置面齿轮副双分支布置形式示意图10.13245/j.hust.210912.F003图3非正交面齿轮副双分支布置形式示意图1.2　系统啮合相位差定义两对面齿轮副啮合线之间的直齿轮1上弧长所对应的圆心角为啮合相位差[16]，如图4所示，并设两对面齿轮副中公共直齿轮1的啮合相位差为λ1．坐标系Sp以直齿轮轴线方向为xp轴、齿厚方向为yp轴、齿高方向为zp轴．直齿轮1与面齿轮2的啮合点为确定点时，直齿轮1与面齿轮3的啮合点的相对位置取决于啮合相位差λ1的大小．若λ1等于啮合周期的整数倍，则直齿轮1与面齿轮3的啮合点的相对位置保持不变，若λ1不等于啮合周期的整数倍，则直齿轮1与面齿轮3的啮合点的相对位置在啮合线上变化．因为齿轮的一个齿距角对应一个完整的啮合周期，所以上述啮合相位差与啮合周期的关系可表示为A1+a1=λ1/(2π/z1)，式中：A1为λ1对啮合周期倍数的整数；a1为λ1对啮合周期倍数的小数；z1为齿轮1齿数．设齿轮6在两对相邻斜齿轮副中的啮合相位差为λ2，如图5所示，坐标系Sg以面齿轮齿宽方向为xg轴、齿厚方向为yg轴、轴线方向为zg轴．同理，其啮合相位差与啮合周期的关系可表示为A2+a2=λ2/(2π/z6)，式中：A2为λ2对啮合周期倍数的整数；a2为λ2对啮合周期倍数的小数；z6为轮6齿数．10.13245/j.hust.210912.F004图4两对面齿轮副啮合相位差10.13245/j.hust.210912.F005图5两对斜齿轮副啮合相位差2 扭矩分配模型的建立2.1　静力学分析模型对图1系统进行静态建模时作如下简化处理：齿轮的支承、轮齿视作弹簧，轮体本身视作刚体；各齿轮间无脱齿和反向冲击现象；忽略摩擦力、惯性力、重力和热膨胀力；轴和轴承的等效支撑刚度作用于齿轮中心的等效节点上；不考虑齿轮的扭摆振动．图6给出了非正交偏置的一般性直齿面齿轮双分支传动系统的静力学分析模型．T1和T6为系统输入、输出扭矩；Kx2  和Kx3  分别为面齿轮2和3的xg方向支撑处的等效支撑刚度，Ky1  为直齿轮1的yp方向支撑处的等效支撑刚度，Ky2  和Ky3  分别为面齿轮2和3的yg方向支撑处的等效支撑刚度，Kz1  为直齿轮1的zp方向支撑处的等效支撑刚度，Kz2  和Kz3  分别为面齿轮2和3的zg方向支撑处的等效支撑刚度，Kx4  ，Kx5  和Kx6  分别为斜齿轮4，5和6的xg方向支撑处的等效支撑刚度，Ky4  ，Ky5  和Ky6  分别为斜齿轮4，5和6的yg方向支撑处的等效支撑刚度；K12  ，K13  与K46  ，K56  分别为面齿轮副12，13与斜齿轮副46，56的时变综合啮合刚度；K24  和K35  为中间轴24和35的扭转刚度．10.13245/j.hust.210912.F006图6一般性直齿面齿轮双分支传动系统力学模型2.2　安装误差和弹性变形设y1和z1分别表示直齿轮1支撑在yp和zp方向上的弹性变形，x2与x3、y2与y3、z2与z3分别表示面齿轮2与面齿轮3支撑在xg，yg和zg方向上的弹性变形，ΔEm和Δqm分别表示两对面齿轮副中第m(m=1,2,3)个齿轮在yp方向上的偏置误差和zg方向上的轴向位移误差，Δγm表示两对面齿轮副中第m个齿轮的轴错角误差．将面齿轮副12和13支撑变形和安装误差引起的位移等效转化为沿其啮合线方向的相对位移ΔL12和ΔL13，具体为ΔL12=x2(sin γsin βsin ζ12+cos γcos ζ12)+(y1-y2cos β+ΔE1-ΔE2)sin ζ12 +z1cos ζ12-(z2+Δq1-Δq2)(sin γcos ζ12-cos γsin βsin ζ12)+(z1+L2Δγ1-L2Δγ2)cos ζ12;ΔL13=x3(sin γsin βsin ζ13+cos γcos ζ13)+(y1-y3cos β+ΔE1-ΔE3)sin ζ13 +z1cos ζ13- (z3+Δq1-Δq3)(sin γcos ζ13-cos γsin βsin ζ13)+(z1+L3Δγ1-L3Δγ3)cos ζ13,式中：L2和L3为面齿轮2和3的齿宽中径；ζ12=1.5π-αt1和ζ13=0.5π-αt1为面齿轮副12和13的啮合线与zp轴正向夹角(见图4)，其中αt1为直齿轮1的端面压力角．以xj和yj表示各斜齿轮支撑在xg和yg方向上的弹性变形，以Δxn和Δyn表示两对斜齿轮副中第n(n=4,5,6)个斜齿轮在xg和yg方向上的安装误差．将斜齿轮副46和56支撑变形和安装误差引起的位移，等效转化为沿其啮合线方向的相对位移ΔL46和ΔL56为ΔL46=[(x4-x6+Δx4-Δx6)cos ζ46]cos βb+[(y4-y6+Δy4-Δy6)sin ζ46]cos βb;ΔL56=[(x5-x6+Δx5-Δx6)cos ζ56]cos βb+[(y5-y6+Δy5-Δy6)sin ζ56]cos βb,式中：βb为斜齿轮基圆螺旋角；ζ46和ζ56为斜齿轮副46和56的啮合线与xg轴正向夹角(见图5)，其表达式为ζ46=π+0.5Ω-αt2，ζ56=π-0.5Ω-αt2，其中，Ω为系统初始安装时中心线连线O4O6和O5O6的夹角(见图5)，αt2为斜齿轮6的端面压力角．2.3　扭矩分配数学模型建立扭矩分配数学模型须联立扭矩平衡条件、静力平衡条件和扭转角变形协调条件得到．系统的扭矩传递关系及各齿轮扭转角关系见图7．φi为齿轮i(=1,2,⋯,6)的啮合转角，Δφ12，Δφ13，Δφ46，Δφ56分别为齿轮副12，13，46，56的扭转角变形，Δφ24和Δφ35分别为轴24和35的扭转角变形．T1  经由轮1分解为T12  和T13  ，作用在面齿轮2和3上的扭矩为T21  和T31  ，作用在斜齿轮4和5上的扭矩为T46  和T56  ，斜齿轮6受到斜齿轮4和5传递的扭矩为T6 4 和T6 5 ，斜齿轮6输出扭矩为T6  ，作用在轴24与35两端的扭矩分别为T24  ，T42  与T35  ，T53  ．10.13245/j.hust.210912.F007图7系统扭矩传递关系及扭转角关系根据系统扭矩传递关系，可得扭矩平衡条件为T1-T12-T13=0;T12-(rb1/rb2)T46=0;T13-(rb1/rb3)T56=0, (1)式中：rb1为直齿轮1的基圆半径；rb2和rb3分别为面齿轮2和3的等效基圆半径．根据系统扭转角关系可得系统的扭转角变形协调条件为T12K12rp1rb1cos αt1-ΔL12rb1+ΔL13rb1+I12T46K24-I13T56K35+I12T46K46rp4rb4cos αt2cos2βb+I13ΔL56rb5cos βb-I13T56K56rp5rb5cos αt2cos2βb-I12ΔL46rb4cos βb-T13K13rp1rb1cos αt1=0, (2)式中：rp1为直齿轮1的节圆半径；rb4和rp4为斜齿轮4的基圆、节圆半径；rb5和rp5为斜齿轮5的基圆、节圆半径；I12和I13为面齿轮副12和13的传动比．系统中各齿轮的静力平衡条件表示为-T12sin ζ12rp1cos αt1-T13sin ζ13rp1cos αt1=Ky1y1;-T12cos ζ12rp1cos αt1-T13cos ζ13rp1cos αt1=Kz1z1;-T12sin ζ12sin βsin γrp1cos αt1-T12cos ζ12cos γrp1cos αt1=Kx2x2;T12sin ζ12cos βrp1cos αt1=Ky2y2;T12cos ζ12sin γrp1cos αt1-T12sin ζ12sin βcos γrp1cos αt1=Kz2z2;-T13sin ζ13sin βsin γrp1cos αt1-T13cos ζ13cos γrp1cos αt1=Kx3x3;T13sin ζ13cos βrp1cos αt1=Ky3y3;T13cos ζ13sin γrp1cos αt1-T13sin ζ13sin βcos γrp1cos αt1=Kz3z3;-T46cos ζ46rp4cos αt2=Kx4x4;-T46sin ζ46rp4cos αt2=Ky4y4;-T56cos ζ56rp5cos αt2=Kx5x5;-T56sin ζ56rp5cos αt2=Ky5y5;T46cos ζ46rp4cos αt2+T56cos ζ56rp5cos αt2=Kx6x6;T46sin ζ46rp4cos αt2+T56sin ζ56rp5cos αt2=Ky6y6.和式(1)和(2)联立即可得到非正交偏置的一般性直齿面齿轮双分支传动系统的扭矩分配数学模型．3 静态均载系数计算方法目前，国内外关于多级齿轮分支传动系统均载系数尚无统一的标准定义，即使是已公开的面齿轮分支传动研究文献[12-15]中，其对均载系数的定义也不尽相同．按照2018年新实施的国标GB/T 33923—2017中关于行星齿轮传动[17]的均载系数的表述，将均载系数的定义为分支传动系统中各齿轮副实际分配扭矩与该分支的理论分配扭矩之比．解出各齿轮副扭矩分配，则任意t时刻齿轮副的均载系数zjk (j=1,k=2,3及j=4,5,k=6)表示为：z12(t)=2T12(t)/T1;z13(t)=2T13(t)/T1;z46(t)=2T46(t)/(T1rb1rb2);z56(t)=2T56(t)/(T1rb1rb3). (3)在一个系统周期内取两对面齿轮副中最大均载系数为系统的分流级均载系数，取两对斜齿轮副中最大均载系数为系统的汇流级均载系数，即j1=max(j12(t),j13(t));j2=max(j46(t),j56(t)), (4)式中：j1为分流级均载系数；j2为汇流级均载系数．由式(3)和式(4)获得的均载系数能够表征各种因素造成的各分支通道中载荷分配的差异，如啮合相位差、安装误差等对均载的影响，更加准确地反映出了分流系统不均载产生的原因．根据式(1)和式(3)可推导出当非正交偏置面齿轮2和3的等效基圆半径相同，即rb2=rb3时，静态中各均载系数存在如下关系：jz12(t)=jz46(t);jz13(t)=jz56(t). (5)此时由式(4)和式(5)可知j1始终等于j2，现设j1=j2=j，并称j为系统静态均载系数．4 系统静态均载特性分析系统仿真参数如下：分流级模数、压力角分别为4 mm和25°，轴错角γ=72°，偏置角β=2.830 6°，轮1，2和3齿数分别为27，86和86，轮1齿宽为25 mm，轮2和3中径L2和L3均为202.5 mm，轮1径向支撑刚度Ky1  和Kz1  均为4.132 1×108 N/m，轮2和3的径向支撑刚度Kx2  与Ky2  ，Kx3  与Ky3  均为5.168 3×108 N/m，轮2和3的轴向支撑刚度Kz2  和Kz3  均为1.928 9×109 N/m；汇流级模数、法向压力角、齿宽、螺旋角分别为4 mm，20°，25 mm，15.007°，轮4，5和6齿数分别为65，65和27，轮4，5和6的径向支撑刚度Kx4  与Ky4  ，Kx5  与Ky5  ，Kx6  与Ky6  均为1.029 3×109 N/m，轴24、35扭转刚度K24  和K35  均为7.024 1×105 N/m，输入扭矩T1  为650 N·m，输入转速为5 000 r/min．两对面齿轮副采用图2(b)和图3所示的组合布置形式，此时λ1=λ2=π，a1=a2=0.5，故面齿轮副12和13的相对啮合位置相差半个啮合周期，斜齿轮副46和56的相对啮合位置也相差半个啮合周期．本研究4对齿轮副的时变综合啮合刚度采用文献[18]中方法计算．图8为无误差时系统各齿轮副瞬时均载系数曲线，可知分流级和汇流级齿轮副瞬时均载系数形状完全一样，表现为幅值是1的上下波动曲线，且波形具有较明显的分流级齿轮副的啮合周期性，但由于两级齿轮副的啮合周期不相等，因此各周期内瞬时均载系数曲线并不完全相同．无误差时系统均载系数为1.025 8，即两分支通道中载荷分配是不均匀的，此时不均载是由于分流系统中同级的2对齿轮副之间存在啮合相位差，使得2对齿轮副在同一时刻的时变综合啮合刚度不相同，故两分支的瞬时参数并不完全一致．10.13245/j.hust.210912.F008图8无误差时分流系统瞬时静态均载系数图9为啮合相位差系数a1和a2在[0，1]区间同步变化时无安装误差条件下的系统均载系数变化情况，因此要保证两分支分流系统的均载，首先应消除同级各齿轮副的啮合相位差影响，如当λ1=λ2=π时，为使a1=a2=0，须将轮1和轮6的齿数均设计为偶数，这与文献[19]中“驱动两个端面齿轮的小齿轮是齿数为偶数的一般直齿轮”的论述是相符的．图10~图12为系统均载系数随某一单一安装误差变化曲线．由于双分支的结构参数对称，面齿轮2与面齿轮3的安装误差对均载特性的影响规律一致，故仅研究其一即可，同理斜齿轮4与斜齿轮5也仅研究其一．由图10~12可见：分流级中轮1的安装误差对均载的影响较面齿轮2要大，即在相同安装误差下，轮1的安装误差造成的不均载现象更严重，类似地汇流级中轮6的安装误差造成的不均载现象较轮4严重；随着各安装误差的增大，系统均载系数近似线性增加；分流级安装误差中轴错角误差对系统均载的影响最大，汇流级安装误差中Δyn对系统均载的影响较Δxn大．10.13245/j.hust.210912.F009图9啮合相位差系数a1和a2对系统均载的影响10.13245/j.hust.210912.F010图10分流级误差ΔEm和Δqm对系统均载的影响10.13245/j.hust.210912.F011图11分流级误差Δγ1和Δγ2对系统均载的影响10.13245/j.hust.210912.F012图12汇流级误差Δxn和Δyn对系统均载的影响图13为系统均载系数随输入载荷变化曲线．无安装误差时，系统均载系数几乎不随输入载荷增大而变化，而当系统存在安装误差时，系统的弹性变形对安装误差有一定的补偿作用，且由于载荷越大弹性变形越大，补偿效果越明显，故均载系数随输入载荷增大而减小，尤其是当载荷较小时，输入载荷大小对系统均载系性能影响很大，如在ΔE1=0.05 mm条件下，输入载荷350 N•m时系统均载系数为1.270 5，而输入载荷增大到450 N•m，系统均载系数减小为1.209 9．当输入载荷足够大时，存在安装误差时的均载系数将接近无安装误差时的均载系数．图14为无安装误差条件系统均载系数随轮1和轮2支撑刚度倍数nz变化曲线．单独改变轮2的支撑刚度，将使得两路分支结构不再对称，支撑刚度倍数越远离1，两路分支结构越不对称，均载系数越大，这也说明图2(b)所示偏置分流传动形式可以保证轮2和轮3具备相同的支撑刚度，进而可提高分支传动系统的均载性能；均载系数随轮1的支撑刚度的增大而增大，因此可考虑通过轮1浮动降低其支撑刚度来改善两路载荷分配不均的问题．图15为系统均载系数随两轴扭转刚度倍数nt变化曲线．随着扭转刚度的增大，系统均载系数增大，尤其是存在安装误差时，通过减小两轴的扭转刚度，可有效减轻两路载荷分配不均情况．10.13245/j.hust.210912.F013图13输入载荷对系统均载的影响10.13245/j.hust.210912.F014图14支撑刚度倍数对系统均载的影响10.13245/j.hust.210912.F015图15扭转刚度倍数对系统均载的影响图16为系统均载系数随分流级和汇流级齿轮副啮合刚度波动幅值倍数nk变化曲线．随着啮合刚度波动幅值的增大，系统均载系数增大，且分流级较汇流级的啮合刚度波动幅值对均载系数影响更大．为使两路载荷分配尽可能均匀，可考虑通过齿面修形[18]降低两级齿轮副的啮合刚度波动幅值．10.13245/j.hust.210912.F016图16啮合刚度波动幅值倍数对系统均载的影响5 结语无误差情况下系统的不均载主要是由于分流系统中各齿轮副的啮合相位差造成的，但此时不均载是比较轻微的．安装误差对系统均载性能有重要影响，尤其是分流级轴错角误差影响最大，且当存在安装误差时，输入载荷和扭转刚度对系统均载性能影响较大．采用偏置分流传动形式保证两面齿轮具有相同的支撑刚度，减小输入小轮支撑刚度及各齿轮副啮合刚度波动幅值，均可改善系统的均载性能．