柔性直线轴承，亦称为板弹簧，起到径向支撑和轴向弹簧的双重作用，是长寿命高可靠空间用脉冲管制冷机、自由活塞斯特林制冷机和发动机的关键部件，可以保证活塞与气缸严格的间隙密封要求，避免互相接触而产生的摩擦[1-3]．评价板弹簧性能的主要参数为轴向刚度、径向刚度和额定寿命下的许用行程等[4-5]．板弹簧可分为涡旋臂板弹簧和直臂板弹簧．直臂板弹簧具有较大的径轴刚度比[6]，但尺寸较大、行程较小．涡旋臂板弹簧的径轴刚度比和旋臂的扫角(极坐标下旋臂中心线最大与最小涡旋角的差值)存在负相关关系[7]，为了获得较大的径轴刚度比，涡旋板弹簧旋臂的扫角通常设计得较小．涡旋板弹簧的径轴向刚度比与直臂板弹簧相比虽然较小，但许用行程较大，外形尺寸较小，因而应用更加广泛．随着渐开线扫角的减小，涡旋板弹簧的径轴刚度比增加，同时应力也会增加，许用行程减小．为了进一步提高涡旋板弹簧的许用行程，减少轴向变形时的最大应力值，须要进行特殊的涡旋槽线型设计．通常的方法是将渐开线槽线进行偏心平移处理，使得旋臂的两端较宽，中间较窄．这种设计会使得应力分布更加均匀，从而许用行程增加[8-9]．偏心渐开线法采用二维向量描述偏心程度，通常靠穷举不同向量校核寻找应力最小的板弹簧形状[4]．文献[10-11]提出的形状因子法通过修改渐开线方程和调节系数f控制旋臂形状，但不改变槽线起始位置，成为更优的偏心设计方式．大多数板弹簧设计方法都是通过设计槽线的方法来确定板弹簧旋臂的形状，但仅通过设计和优化槽线很难做到板弹簧旋臂各截面最大应力完全均匀，如文献[12]采用形状因子法试图改善板弹簧应力分布的最优结果应力明显存在分布不均匀的现象．为此，本研究提出了优化伸出式根部固定结构及旋臂宽度分布迭代设计法，以降低轴向变形时板弹簧最大应力，获得应力更加均匀的板弹簧，可有效提高原有板弹簧的许用行程．1 旋臂应力分析理论基础1.1　曲梁臂板弹簧根部应力优势旋臂根部到固定结构的过渡方式是决定板弹簧行程和寿命的关键因素[8]．通常采用水滴状扩孔缓解根部应力集中，如图1(a)和(b)．把类似直臂板弹簧常用的伸出式夹板应用到偏心涡旋臂板弹簧，如图1(c)和(d) [13]．为方便讨论，下文称这种由伸出式结构固定根部的涡旋臂板弹簧为曲梁臂板弹簧．10.13245/j.hust.210804.F001图1两种类型的板弹簧实物照片曲梁臂板弹簧和偏心涡旋臂板弹簧的主要区别是前者采用了伸出式结构固定板弹簧旋臂内外两端的根部，而后者对旋臂根部不做特别约束．当旋臂根部不做约束时，旋臂外边缘与固定边缘的交叉点很容易引发应力集中，因此须要设计开孔结构以进行应力卸载．合理设计的伸出式根部固定结构能显著减少根部应力的集中，使旋臂内外两边缘根部可以较均匀地分担应力，因此根部几乎无须进行旋臂根部的过渡线修正设计．经过推导和模拟，伸出式固定结构的最佳伸出角(旋臂中心线和固定边缘的切线夹角中开口离心朝向的角)约为60°~80°．合理设计的伸出式结构固定根部能显著减少根部应力集中，相较于普通偏心渐开线板弹簧减少20%~40%．图2为上述两种固定方式的板弹簧轴向位移为5 mm时的应力分布云图(材料为7C27Mo2弹簧钢)，图中P为板弹簧范式等效应力．可以看出：当旋臂根部不做约束时，最大应力为521 MPa，使用伸出式夹板后应力降为312 MPa，且最大应力不再出现在根部．10.13245/j.hust.210804.F002图2不同根部固定结构的偏心渐开线板弹簧应力分布1.2　板弹簧旋臂等效力及其作用点典型旋臂模型内力分析如图3(a)所示，轴向变形时旋臂的任意截面承受的内力可以分解为三个方向的分力和三个方向的分力矩．沿旋臂中心线方向建立流动坐标系uvw，中心线方向为w，垂直于板弹簧平面朝下的方向为v，截面力可以分解为垂直于板弹簧所在平面方向的力Qv、平面内力Qu和Qw；截面力矩可以分解为板弹簧平面内力矩(弯矩Mu和扭矩Mw)及垂直于板弹簧平面的力矩Mv．图4为轴向变形时弹簧旋臂截面平面内力的Ansys模拟结果．模拟结果以固定坐标系xyz方式给出，垂直于板弹簧平面朝下的方向为z，xy平面和uw平面重合，如图3(b)所示，内力换算关系为10.13245/j.hust.210804.F003图3垂直于旋臂中心线的截面内力10.13245/j.hust.210804.F004图4弹簧旋臂截面平面内力的Ansys模拟结果Mu=Mxcos φ+Mysin φ;Mw=Mxsin φ-Mycos φ;Qv=Qz,式中：Mx和My分别为绕x和y方向的力矩；φ为x和u坐标轴所夹锐角．通过有限元分析发现：在小变形假设下，Qu，Qw和Mv分量几乎为0，其中Qu和Qw比Qv低4个数量级，Mv比Mu和Mw低4个数量级．由此本研究对模型进行了简化，假设弹簧旋臂截面力只存在垂直于板弹簧平面方向的分量Qv，弹簧旋臂截面力矩只存在平面内弯矩分量Mu和扭矩分量Mw，简化的内力分析及坐标换算如图3(b)所示．根据力的平移原理，作用在物体上的力可以等效地向物体上的任意点平移，但须附加一个力偶，该力偶矩矢量等于原力对平移点的力矩矢量．对于旋臂而言，Qv和Mu，Mw的合力矩可以等效为一个作用在O点的力，如图4所示，点O可定义为等效力作用点，附加力偶为0，这样旋臂受力可简化为作用于点O的等效力．等效力作用点位置计算公式为xO=xi-My/F;yO=yi-Mx/F,式中：(xi,yi)为第i号截面中心位置坐标；F为截面受力即轴向力．沿旋臂各截面的等效力作用点都重合于一点，且每个截面等效力大小相等、方向相同．作用点位置与轴向变形程度无关，任何形状改变都会影响等效力作用点的位置，包括臂宽分布变化和中心线形状变化．为了获得均匀的应力分布，旋臂臂宽分布根据应力的不均匀性进行调整，即应力大的部位变宽，应力小的部位变窄，调整后等效力作用点位置就会发生变化．1.3　等效力作用点迭代法优化臂宽分布基于前述的等效力作用点，提出曲梁臂板弹簧旋臂臂宽分布的应力迭代设计算法，以获得应力分布更加均匀的弹簧旋臂形状．当旋臂中心线形状和轴向刚度一定时，各截面最大应力均匀分布的旋臂形状应唯一存在，此时旋臂最大应力值最小，可将旋臂许用行程优化到最大．基于上述思路，可以在中心线形状和轴向刚度一定时，通过调整旋臂各截面的宽度以达到应力均匀一致并最小的目的，即通过曲梁臂板弹簧旋臂臂宽分布的迭代设计算法获得应力分布均匀的弹簧旋臂形状．旋臂模型如图5所示，在等效力作用点已知情况下，即可求出截面内力分布，即Mu=FLsin α，Mw=FLcos α，其中：L为作用点位移矢量的长度；α为作用点位移矢量和截面之间的锐角．10.13245/j.hust.210804.F005图5旋臂模型流动坐标系uvw下任意微元的范式等效应力表达式代入弯矩Mu造成的最大正应力(σu)max和扭矩Mw造成的最大切应力(τuw)max，忽略其他次要应力分量，在忽略根部附近固定约束导致的翘曲应力的情况下，可得到旋臂任意截面最大范式应力表达式为σmax≈FLsin αW2+3RcRieFLcos αI2，(1)式中：Rc为截面处弹旋臂中心线的曲率半径；Rie为截面处旋臂内边缘的曲率半径(约等于Rc-b/2)；Rc/Rie为曲臂梁扭转产生的切应力相对于直臂梁的修正系数；W=bh2/6为矩形截面抗弯截面系数，其中h为旋臂厚度，b为旋臂截面宽度；I=bh2/(3+2h/b)为矩形截面抗扭截面系数．一个应力不均匀的旋臂，若简单地按照应力大的部位变宽、应力小的部位变窄的思路进行臂宽分布调整，很难达到应力均匀分布，因为形状调整后等效力作用点位置也发生变化，即调整一处宽度，旋臂其他位置应力也会发生变化．由式(1)可知：已知等效力及其作用点位置，可求得旋臂沿程各截面的最大应力分布情况；反之，已知要求的最大许用应力值，可以得到合理的臂宽分布，求出旋臂截面宽度．在上述应力表达式中，当求解臂宽分布时，除了b是未知量，其他均为已知量，因此可以用Mathematica软件求得旋臂中心线上各位置b的数值解．根据中心线和计算出的臂宽分布构建旋臂形状，但由于宽度b优化后，旋臂形状发生变化，实际等效力作用点位置也发生偏移，为此基于新的等效力作用点位置重新计算臂宽分布，构建新旋臂，如此往复迭代，直到等效力作用点位置变化不超过0.1 mm，结束迭代．经校核，等效力作用点位置变化越来越小，最后趋近于一点，证实了各截面最大应力均匀分布的旋臂形状唯一存在的假设．在设计流程中，中心线形状迭代和最大轴向承载力调整目的是使得旋臂环形阵列成板弹簧形状时旋臂能够紧凑地布置，使得空隙均匀最小．在无须紧凑布置的设计中，该调整也可以省去．一般情况下，由于b相对于Rc和h相对于b均为小量，因此可简化为b/Rc→0，h/b→0，代入最大范式应力表达式，得到b的近似表达式为b≈3FL4sin2 α+3cos2 α/([σ]h2)=3FL3+sin2 α/([σ]h2), (2)式中[σ]为材料加工成零件后的许用应力．由式(2)可以看出：3F/([σ]h2)为恒定量，L3+sin2 α为沿旋臂不同截面位置的变量，对旋臂截面宽窄的相对变化起决定性作用．式(2)可以用于对旋臂宽度进行简易计算．2 设计算例区别于通过设计不同的槽线及校核迭代来确定板弹簧旋臂形状的传统方法，新方法通过沿旋臂中心线优化求解沿程旋臂宽度的方式，直接构建旋臂形状，以获得所需板弹簧．以旋臂内径15 mm、外径65 mm和旋臂扫角240°(对应槽线扫角360°)的三旋臂曲梁臂板弹簧的优化设计为例，介绍旋臂形状迭代设计算法的具体过程．2.1　旋臂迭代初始中心线和臂宽分布的选取从一个优化程度较高的起点开始迭代设计，可以减少迭代步数，因此选择把形状因子法优化结果作为迭代起点．相比于形状因子法，如果以等臂宽圆弧旋臂为迭代起点，虽然迭代结束后最终结果一定相同，但是迭代步数会大幅增加．图6为旋臂中心线获取方法，其槽线扫角为360°，最佳形状因子f=0.08．采用Mathematica编写程序可以提取该旋臂的中心线．在旋臂外边缘平均取15个点，寻找对应的内边缘距离最近的点，两者的中点插值曲线即为旋臂的中心线(有效旋臂扫角为240°)．在优化臂宽分布使旋臂应力均匀的过程中，始终保证中心线固定．10.13245/j.hust.210804.F006图6旋臂中心线获取方法(m)2.2　旋臂的等效力作用点计算以形状因子法得到的结果为初始设计，用ANSYS有限元软件计算轴向位移为5 mm时外侧固定端面的力、力矩及作用点位移，结果如表1．计算得到旋臂的等效力作用点位置如表2所示．10.13245/j.hust.210804.T001表1力、力矩及作用点位移矢量计算方向力/N力矩/(N•m)作用点位移/mmx-1.38×10-41.06×10-13.83y-9.89×10-51.36×10-229.8z-3.54-2.28×10-50.0010.13245/j.hust.210804.T002表2等效力作用点位置计算方向截面中心坐标/mm位移/mm等效力作用点/mmx-11.93.83-8.07y-25.229.84.682.3　弹旋臂的臂宽分布计算和新旋臂的构建由首轮等效力作用点0(-8.07 mm，4.68 mm)得到板弹簧第一轮迭代臂宽分布曲线如图7，图中θ为截面中心角度．在旋臂中心线上密集取点，根据中心线坐标和臂宽分布，得到内外边缘线一系列点坐标．分别对内外边缘线的点进行样条插值曲线连接，得到旋臂内外边缘线．根据臂宽分布构建旋臂形状方法见图8，图中：步骤1为经过A点做中心线的切线l1；步骤2为经过A点做直线l1的垂线即截面所在线l2；步骤3为在直线l2上取点B和C满足AC=AB=0.5b；步骤4为样条插值曲线得到旋臂内外边缘；D为槽线起点和终点所在直径．新构建旋臂的等效力作用点1(-9.51 mm，4.32 mm)与点0相比发生了移动，在此基础上进行迭代计算．10.13245/j.hust.210804.F007图7第一轮迭代臂宽分布曲线10.13245/j.hust.210804.F008图8根据臂宽分布构建旋臂形状方法2.4　迭代收敛过程与结束判据以点1为作用点位置，计算新的臂宽分布，构建的旋臂作用点位置为点2(-10.60 mm，4.01 mm)．再以点2为作用点位置，计算新的臂宽分布，构建新的旋臂作用点位置．如此反复，计算出一系列等效力作用点，相邻等效力作用点距离会越来越小，如图9所示，本算例逐渐趋近于点9(-12.40 mm，1.55 mm)．10.13245/j.hust.210804.F009图9迭代过程中的旋臂变形和等效力作用点移动过程图10为迭代收敛指标(等效力作用点前后两次迭代移动距离)变化，图中：n为点序号；∆L为与上一次作用点的距离．当迭代到第9轮时，作用点9和作用点8的距离仅有0.05 mm，小于迭代终止条件0.1 mm，继续迭代下去对旋臂形状改变不大．10.13245/j.hust.210804.F010图10迭代收敛指标(等效力作用点前后两次迭代移动距离)变化以该点为等效力作用点位置计算出臂宽分布，得到的旋臂应力分布均匀，且等于设计许用应力．图11为旋臂优化前后相同行程下应力分布云图，可以看出：优化后的旋臂最大应力从初始的312 MPa降为266 MPa，减小了14.7%，相应的许用行程从6.4 mm提高到7.5 mm，增加了17.2%，应力分布更加均匀．当行程为5 mm时，应力变化范围为260±6 MPa，浮动不超过3%．优化前旋臂的轴向刚度为2.1 N/mm，径向刚度为582 N/mm，优化后的轴向刚度和径向刚度分别为2.0和574.0 N/mm，优化前后轴向刚度和径向刚度改变不大．10.13245/j.hust.210804.F011图11旋臂优化前后相同行程下应力分布云图2.5　应力均匀化设计的曲梁臂板弹簧及其性能测试图12为根据上述应力均匀化设计方法设计制造的旋臂扫角为120°、厚度为0.5 mm的大孔径曲梁臂板弹簧实物和应力分布，可以看出：当轴向位移为5 mm时，旋臂应力分布均匀，处于400±10 MPa范围内．该板弹簧采用小扫角设计获得了较大的径向刚度．弹簧根部采用了伸出式夹板固定方式，固定朝向满足伸出角为70°的条件，根部最大应力349 MPa，小于旋臂最大应力400 MPa．图13为实验室常用的旋臂扫角为310°、厚度为1 mm的等臂宽涡旋板弹簧，两者设计行程均为5 mm，直径均为70 mm．10.13245/j.hust.210804.F012图12曲梁臂板弹簧实物和应力分布10.13245/j.hust.210804.F013图13等臂宽涡旋板弹簧10.13245/j.hust.210804.T003表3应力均匀化设计的曲梁臂板弹簧刚度值刚度实验值模拟值轴向刚度3.623.61平衡位置处径向刚度1 4531 427轴向位移5 mm处径向刚度1 3501 345N•mm-110.13245/j.hust.210804.T004表4等臂宽涡旋板弹簧刚度值刚度实验值模拟值轴向刚度4.804.80平衡位置处径向刚度134135轴向位移5 mm处径向刚度129128N•mm-1表3和4分别给出了旋臂扫角为120°的应力均匀化设计的曲梁臂板弹簧和旋臂扫角为310°的等臂宽涡旋板弹簧的刚度值，轴径向刚度与模拟结果均符合较好．当曲梁臂板弹簧径轴刚度比达到400以上，涡旋板弹簧径轴刚度比仅为27．在相同的行程和设计尺寸以及应力满足要求的前提下，旋臂扫角为120°的曲梁臂板弹簧性能优于普通等臂宽涡旋弹簧．3 结语旋臂扫角在60°~240°范围内的板弹簧具有较大的径轴向刚度比，但行程较短．为此，须解决根部应力集中和旋臂应力均匀分布问题，以降低板弹簧旋臂最大应力．伸出式固定结构的最佳伸出角约为60°~80°，其根部能显著减少根部应力集中，较普通偏心渐开线板弹簧减少20%~40%．将板弹簧旋臂等效力作用点应用到设计中，并推导出旋臂应力分布公式，利用二者迭代设计出应力分布均匀的旋臂宽度分布曲线构建旋臂形状．优化结果表明：该方法设计出的板弹簧轴向刚度和径向刚度与形状因子法设计出的板弹簧相差不超过3%，但旋臂应力值均匀化有明显提高，应力不均匀度偏差不超过3%，最大应力值减少14.7%，相应许用行程增加17.2%，较大程度地提升了板弹簧性能．