夹层板由上下面板和中间的芯层组成，具有强度高、质量轻、隔声吸能效果好等优点[1]，在航空航天、船舶等领域中得到了广泛的应用．最早研究的蜂窝式夹层板其芯层多是宏观表现为正泊松比的蜂窝结构，但随着负泊松比材料的发展，具有负泊松比特性的蜂窝结构被不断发现并研究．负泊松比蜂窝结构具有独特的拉胀效应，使其与同尺度同质量的正泊松比蜂窝结构相比表现出更大的平台应力[2]，表明吸能效果更好、抗冲击性能更优，因此越来越多的学者对负泊松比蜂窝夹层板展开了研究．当对蜂窝夹层板进行有限元分析时，由于芯层的胞元数量大，胞元尺寸相对结构整体尺寸偏小，导致此类结构存在建模时间长、计算效率低等缺点；因此，当研究蜂窝夹层板在弹性范围内的工程问题时，国内外学者对其芯层的等效力学性能及结构整体的等效方法进行了研究．文献[3]推导了星型负泊松比结构的等效弹性模量．文献[4]采用数值模拟和试验方法，对星型和箭型负泊松比结构的力学性能进行了研究．文献[5-6]对一种新型类蜂窝结构开展力学性能研究，推导了面内和面外等效力学参数．文献[7]给出了不同弧角下圆弧曲线蜂窝芯结构在小变形范围内等效弹性模量和泊松比的理论公式．上述文献对不同蜂窝结构的等效力学参数进行了研究，但未对箭型负泊松比结构的剪切模量进行理论推导，而芯层在夹层板中主要抵抗横向剪切变形，因此有必要对等效剪切模量进行推导．文献[8]针对正六边形蜂窝夹层板，对比了静态等效法、动态等效法、三明治理论的等效精度及适用性．文献[9]开展了六边形蜂窝夹层板四种等效方法的静动力学等效精度研究．文献[10]为寻求最优的六边形蜂窝夹层板动力学等效建模方法，研究了三明治夹芯板法、Hoff等刚度法和改进Allen法的特点及建模适用性．上述学者主要对六边形蜂窝夹层板的等效方法进行了研究，但对于负泊松比蜂窝夹层板，特别是箭型负泊松比蜂窝夹层板等效方法的研究很少，因此有必要探讨其等效方法问题．本研究以箭型负泊松比蜂窝夹层板为研究对象，给出了蜂窝芯层的等效力学参数理论公式，通过试验及有限元方法对其准确性进行验证；选取三种常见的等效方法对夹层板进行等效，建立有限元模型；从位移、应力、固有频率三个方面，将等效模型计算结果与实体单元模型计算结果进行对比，分析了不同加载形式下各等效方法的等效精度．1 芯层等效力学参数1.1　等效弹性模量及泊松比假设箭型负泊松比蜂窝胞元的胞元壁为均匀细长梁，且在受力状态下处于线弹性变形范围内，则可利用欧拉梁理论来推导等效弹性模量和泊松比．由于胞元关于y轴对称，只取一半结构作为研究对象，如图1所示，图中：l为胞元宽度；θ1和θ2为胞壁与对称轴的夹角；h为胞元壁厚．10.13245/j.hust.211021.F001图1蜂窝胞元受力示意图假设蜂窝结构受到无穷远处应力σ∞的作用，可求得A点的垂向受力F．令C点为固支端，A点的水平位移和转角固定，用N和M表示支反力和力矩，分别推导得到A点垂直方向的位移uyA及B点水平方向的位移uxB，并进一步求出应变εy和εx，即εx=uxB/l；εy=uyAsin θ1sin θ2/[lsin(θ1-θ2)]．根据定义得到芯层等效弹性模量Ex，Ey和等效泊松比νxy的表达式[11]，即νxy=-εxεy=-cos θ1cos θ2sin θ1sin θ2;Ex=σ∞εx=3ESIbl3α(θ1,θ2);Ey=σ∞εy=3ESIbl3α'(θ1,θ2), (1)式中：b为胞元的面外宽度；ES为基体材料的弹性模量；α=csc(θ1-θ2)sin θ1sin θ2(sin θ1tan2 θ1+sin θ2tan2 θ2);α'=(cos θ1cos θ2+3)(cos θ1cos θ2-1)/(cos θ1-cos θ2)-4(cos θ1-cos θ2)/(sin θ1∙sin θ2)-(cos θ1cos θ2-3)(cos θ1cos θ2-1)2/[sin θ1sin θ2(cos θ1-cos θ2)];I=bh3/12．1.2　等效剪切模量同样取一半结构作为研究对象，并考虑胞元受力平衡．图2为等效剪切模量推导过程，图2(a)为所示胞壁受力模型，图中：FN和FS分别为胞壁端点处y向及x向受力；μx为B点在x方向的位移；ω为B点挠度．令AB胞壁对B点取矩(∑MB=0)，求得弯矩M．将BC胞壁看成C点固支的悬臂梁，根据挠曲线近似微分方程求得ω．假设剪切变形是由BC胞壁绕B点的弯曲形成的，且BC胞壁没有轴向伸长，可求得μx，如图2(b)所示．由定义求得芯层等效剪应变γxy、等效剪应力τ及等效剪切模量Gxy．10.13245/j.hust.211021.F002图2等效剪切模量推导过程关键过程公式为：M=FNl/2；ESIω″=(FNsin θ1-FScos θ1/2)x+M；ω=FNsin θ1l3/(6ESIsin3 θ2)-FNcos θ1l3/(6ESIsin2 θ2cos θ2)+FNl3/(4ESIsin2 θ2);ux=ωcos θ2；γxy=ux/l,τ=FS/(bl);Gxy=2tan θ2/{[sin θ1l3/(6ESIsin3 θ2)-cos θ1l3/(6ESIsin2 θ2cos θ2)+l3/(4ESIsin2 θ2)]cos θ2b}.1.3　等效密度芯层等效密度ρeq为芯层相对密度ρR与基体材料密度ρS的乘积．假设结构为无限大，选取相对密度计算单元如图3所示，基体材料面积SM与计算单元面积SN的比值即为相对密度．根据图中几何关系可求得ρeq，有：SN=(l/tan θ2-l/tan θ1)l；SM=[(l/tan θ2-l/tan θ1)/cos θ2+l/sin θ1+l/(tan θ1cos θ2)]h;ρeq=ρSh(sin θ1+sin θ2)/[lsin(θ1-θ2)]．(2)10.13245/j.hust.211021.F003图3相对密度计算单元由式(2)可知：ρeq与ρS，h成正比，与l成反比；ρeq在θ1，θ2取值范围内，随着θ1和θ2差值的增大而减小．2 试验及有限元验证2.1　试验方案为验证等效弹性模量和泊松比理论公式的准确性，设计了箭型负泊松比蜂窝芯层拉伸试验．由于蜂窝结构胞元尺寸小，传统工艺加工难度大、加工精度低，因此采用3D打印完成试验试件的制作，打印材料为韧性加强的光敏树脂，如图4所示．与普通光敏树脂材料相比，此种材料发生脆性断裂的可能性更小，应力-应变关系具有明显的非线性，更加接近于金属的材料特性，能很好地体现负泊松比蜂窝结构的拉胀效应．由式(1)可知：芯层等效弹性模量与基体材料的弹性模量有关，为获得这种光敏树脂材料的弹性模量，采用3D打印制作了标准拉伸试件．10.13245/j.hust.211021.F004图4箭型负泊松比蜂窝芯层拉伸试件试验设备采用WDW-100电子万能试验机，加载方式为位移控制，加载速度为1 mm/min．为了便于试验机夹持及载荷施加，在箭型负泊松比蜂窝芯层拉伸试件的两端各加一个20 mm宽的夹持段，夹持工装与拉伸试件之间采用螺栓连接．试验采用引伸计测量试件的变形．由于影响蜂窝芯层等效弹性模量和泊松比的胞元参数是θ1和θ2，因此采用控制变量法分别使θ1和θ2保持不变，研究等效弹性模量和泊松比随θ1，θ2的变化规律，如表1所示．对于韧性加强的光敏树脂材料拉伸试验，为消除随机误差的影响，进行五次重复试验，试验结果取平均．10.13245/j.hust.211021.T001表1箭型负泊松比蜂窝芯层拉伸工况表胞元参数试件1试件2试件3试件4试件5θ1/(°)4560756060θ2/(°)3030301545l/mm2020202020h/mm222222.2　试验结果绘制出光敏树脂材料的拉伸力-位移曲线，表明此种材料在拉伸力作用下具有较好的线弹性特性，如图5所示．由于芯层拉伸试验在线弹性小变形范围内进行，因此取图中小变形时的弹性模量作为韧性加强光敏树脂材料的弹性模量，大小为2.56 GPa．10.13245/j.hust.211021.F005图5拉伸力-位移曲线图根据芯层拉伸试验结果，统一取拉伸力为100 N时的力与位移作为等效弹性模量和泊松比的计算参数，得到Ex，Ey及νxy随θ1，θ2的变化曲线如图6~8所示．图6(a)，7(a)和8(a)的误差曲线(红色虚线)误差范围为±5%；图6(b)，7(b)和8(b)的误差曲线(红色虚线)误差范围为±10%．10.13245/j.hust.211021.F006图6Ex随θ1和θ2变化曲线图10.13245/j.hust.211021.F007图7Ey随θ1和θ2变化曲线图10.13245/j.hust.211021.F008图8等效泊松比随θ1和θ2变化曲线图如图6所示：Ex的理论公式值与试验值符合较好；当θ2=30°，θ1=45°时，误差最大为3.73%；当θ1=60°，θ2=15°时，误差最大为7.31%．如图7所示：Ey随θ1和θ2的增大而非线性增大，曲线总体符合度较好；当θ2=30°，θ1=75°时，误差最大为4.01%；当θ1=60°，θ2=15°时，误差最大为8.13%．如图8所示：随着θ1的增加，νxy近似呈线性增加，理论公式值较试验值稍大，当θ1=75°时，误差最大为4.9%；νxy随θ2的增加而增加但速率逐渐降低，当θ2=15°时，误差最大为7.68%．根据试验结果可知：当θ1=60°，θ2=15°时，Ex，Ey及νxy的理论公式值与试验值误差均最大．这是因为当θ2较小时，胞壁之间连接位置较大，不满足理论推导的细长梁假设，所以此时根据欧拉梁理论推导的结果与试验结果相比误差较大．2.3　有限元仿真计算利用有限元软件ABAQUS验证等效剪切模量理论公式的准确性．有限元计算工况与拉伸试验相同(见表1)，b=8 mm．ρS=8 500 kg/m3，ES=206 GPa，泊松比νS=0.3．有限元模型采用四节点减缩积分壳单元(S4R)，单元长度为1 mm，施加周期性边界条件．剪切力为100 N[4，12]．图9(a)误差曲线(红色虚线)的误差范围为±5%，图9(b)误差曲线(红色虚线)的误差范围为±10%．10.13245/j.hust.211021.F009图9等效剪切模量随θ1和θ2变化曲线图由图9可见：Gxy随θ1的增大而减小，随θ2的增大而增大，曲线总体符合较好．当θ2=30°，θ1=45°时，理论公式值与有限元值的误差最大为4.78%；当θ1=60°，θ2=15°时，误差最大为9.01%．与试验结果相似，当θ1=60°，θ2=15°时，Gxy的理论公式值与有限元值之间的误差最大．综上所述，拉伸试验及有限元计算结果与理论公式所得曲线基本符合，理论公式可用于后续蜂窝夹层板等效方法研究．3 箭型蜂窝夹层板等效方法对比3.1　等效模型建立以箭型负泊松比蜂窝夹层板为研究对象，进行静力分析和模态分析．分别采用三明治夹芯板理论、Reissner等刚度理论、Hoff等刚度理论对夹层板进行等效并建立有限元模型．其中三明治夹芯板理论等效模型的面板参数是其基体材料参数，芯层参数由理论公式计算求得，Reissner等刚度理论、Hoff等刚度理论的等效模型参数可根据文献[13]中的公式求得．同时为了提供一个较精确的值以供三种等效方法结果进行对比，用ANSYS中的Shell63壳单元和Solid64各向异性实体单元建立了夹层板的实体单元模型[9]．箭型负泊松比蜂窝夹层板的具体尺寸如下：长、宽均为500 mm，面板厚度t=4 mm，l=20 mm，h=2 mm，b=8 mm，胞元壁与对称轴的夹角θ1=60°，θ2=30°．ρS=8 500 kg/m3，ES=206 GPa，νS=0.3．分别计算得到各等效理论的等效参数．根据三明治夹芯板理论，得到：Ex=180 MPa；Ey=123 MPa；νeq=-1；Geq=12.93 MPa；ρeq=2.32×10-9 t•mm-3．根据Reissner等刚度理论，得到：teq=20.78 mm；Eeq=79.3 GPa；νeq=0.30；ρeq=3.85×10-9 t•mm-3．根据Hoff等刚度理论，得：teq=21.17 mm；Eeq=79.3 GPa；νeq=0.30；ρeq=3.77×10-9 t•mm-3．为模拟拉伸、弯曲及剪切受力状态，将蜂窝夹层板处于悬臂状态，板的一边采用刚性固定端约束，另一边施加均布载荷p，如图10所示．有限元模型边界条件及载荷形式如表2所示．10.13245/j.hust.211021.F010图10蜂窝夹层板边界条件及载荷示意图10.13245/j.hust.211021.T002表2边界条件及载荷边界条件载荷形式载荷数值/(kN•m-1)刚性固定端约束沿x轴均布力px1.00刚性固定端约束沿y轴均布力py1.00刚性固定端约束沿z轴均布力pz0.05刚性固定端约束绕y轴纯弯矩My0.503.2　结果比较选取点A为位移参考点，分别读取不同载荷形式下对应变形方向的位移数据(px对应的变形方向为x，py对应的变形方向为y，pz对应的变形方向为z，My对应的变形方向为z)，对各有限元模型的位移计算结果进行对比，如表3所示．10.13245/j.hust.211021.T003表3参考点的位移结果对比项目pxpypzMy标准模型位移/mm0.2160.0322.9710.459三明治模型位移/mm0.2150.03172.8140.435误差/%0.4630.9385.2845.229Reissner模型位移/mm0.2100.02962.6560.426误差/%2.7787.50010.6027.190Hoff模型位移/mm0.2110.02952.7000.431误差/%2.3157.8139.1226.100由表3可见：当蜂窝夹层板受载荷pz作用时，各等效理论的位移计算结果与实体单元模型之间的误差最大，分别为5.284%，10.602%，9.122%．这是由于各等效理论均假定芯层很软并忽略了弯曲刚度，然而在实际情况中虽然芯层刚度较面板刚度小，但芯层厚度较大，使其仍具备一定的抗弯能力．当剪切受力状态时，三明治夹芯板理论等效精度明显高于其他两种理论，原因是三明治夹芯板理论考虑了蜂窝芯层的横向剪切变形．四种加载形式下Reissner等刚度理论和Hoff等刚度理论的位移误差相当，在弯曲受力状态下Hoff等刚度理论等效精度比Reissner理论高，因为Hoff等刚度理论考虑了面板的抗弯刚度．三明治夹芯板理论的位移误差最小，精确度最好，能较好地反映蜂窝夹层板的各种受力状态．选取点B为应力参考点，将不同载荷形式下各等效理论的应力计算结果与实体单元模型进行比较(px对应的应力形式为σx，py对应的应力形式为τy，pz对应的应力形式为σx1和σy)，如表4所示．10.13245/j.hust.211021.T004表4参考点的应力结果对比项目σxτyσx1σy标准模型应力/MPa2.7824.3864.5151.484三明治模型应力/MPa2.7244.3134.4601.393误差/%2.0851.6641.2186.132Reissner模型应力/MPa2.6703.8124.3261.337误差/%4.02613.0874.1869.906Hoff模型应力/MPa2.6563.7964.3491.365误差/%4.52913.4523.6778.019分析表4可见：三明治夹芯板理论与实体单元模型的应力计算结果在弯剪受力状态下误差最大，为6.132%，在其他受力状态下误差最大为2.085%，可见三明治夹芯板理论在静力计算中能够较真实地反映应力分布情况．纯剪切受力状态下，Reissner等刚度理论和Hoff等刚度理论的误差较大，分别为13.087%和13.452%，三明治夹芯板理论的等效精度明显高于其他两种理论，表明三明治夹芯板理论能较真实地反映芯层的剪切受力状态．将三种等效理论的前四阶固有频率与实体单元模型计算结果进行对比，如表5所示．从表5中可以看出：各等效理论的固有频率与实体单元模型相比普遍偏大，说明等效模型在等效过程中刚度得到了加强.与实体单元模型相比，三明治夹芯板理论的等效误差均在4%以内，能较好地实现蜂窝夹层板的动力学等效．Reissner等刚度理论和Hoff等刚度理论一阶、二阶固有频率误差较小，最大误差为4.611%＜5%，但三阶、四阶固有频率误差有所增大，最大误差达到了8.609%和9.239%．10.13245/j.hust.211021.T005表5固有频率结果对比项目一阶二阶三阶四阶标准模型固有频率/Hz59.4104.1141.8190.5三明治模型固有频率/Hz60.2104.3143.0197.8误差/%1.3470.1920.8463.832Reissner模型固有频率/Hz61.1108.9151.3206.9误差/%2.8624.6116.7008.609Hoff模型固有频率/Hz61.6107.2149.5208.1误差/%3.7042.9785.4309.2394 结论a. 胞元几何参数及基体材料的改变会引起蜂窝芯层等效力学性能的改变．芯层等效参数理论公式与拉伸试验及有限元计算值符合较好，具有较高的准确性．b. 三明治夹芯板理论的等效精度最高，能够较好地实现箭型负泊松比蜂窝夹层板的静动力学等效．在剪切受力状态下的等效精度远高于其他两种等效理论，但在受到弯曲载荷作用时等效误差有所增大．c. Reissner等刚度理论和Hoff等刚度理论的等效精度相当，在拉伸受力状态下对位移和应力的等效结果及对低阶固有频率的等效结果相对较好．Hoff等刚度理论在弯曲受力状态下的等效误差小于Reissner等刚度理论．