作为海洋监测关键技术之一，海洋传感网(OSNs)的构建是重要基础与支撑，它可利用节点间的信息交互获取监测海域内所需的信息，为海洋环境保护、生产作业及海事保障等活动提供更好的技术手段和信息平台[1-2]．而在OSNs中，目标节点位置信息的获取是其中的一项关键问题．由于GPS信号无法在水下传播，因此水下目标节点位置通常较难得到[3]．为此，一些学者研究利用部署在海面上的带有GPS信号的浮标节点(锚节点)，通过水声通信，结合测距方法，即接收信号强度指示值(RSSI)(或到达时间(TOA)、到达角度(AOA)、到达时间差(TDOA))来定位水下目标节点[4-14]．相较于其他测距方法，RSSI不需要额外的硬件设施，亦无须校正时钟偏差，能够有效节约能耗、降低开销，被广泛应用于定位[15-17]．基于RSSI的测距定位会受到多径传播等不确定性因素的干扰，研究表明：有效的锚节点部署策略能够降低这种干扰，提高定位精度[18-23]．文献[21]考虑信号在水下的等梯度线声速剖面传播图，在高斯噪声的情况下，利用最小化信息矩阵逆的迹(A-最优准则)来构建目标函数，并用一种梯度下降法对该函数进行求解，得到一种3D情况下的最优部署策略．文献[22]则考虑目标水深已知情况，将3D映射到2D平面，利用最大化信息矩阵的行列式(D-最优准则)构建目标函数，随后对目标函数进行分析，得出锚节点数量不同时的部署策略．文献[23]综合考虑2D及3D情况，分别对A-最优准则以及D-最优准则构建的目标函数进行比较，考虑一种目标节点位置的先验知识已知情况下的最优部署．虽然现有一些研究针对最小化定位误差的最优部署策略问题给出了相应的解决方案，但是仍然存在以下两方面问题．a．研究是基于噪声高斯分布的假设而展开，一方面该假设有利于得到费雪信息矩阵的闭环表达式，另一方面该假设被认为是估计不同来源的噪声累积效应较为方便的统计工具，但值得注意的是，声信号在水下传播不仅会受到信号衰减的影响，而且会受到信号在水介质传播过程中吸收效应的影响[24]．在实际环境中，由于受到两种混合噪声的影响，因此其测距噪声往往是非高斯分布[15]．b．研究的最佳部署策略往往是在已知目标节点的初始位置或先验知识而展开，这在实际情况下通常较难实现．现阶段的研究一方面无法获取目标节点的初始位置，另一方面由于噪声的非高斯分布令信息矩阵的闭环表达式较难获取，进而较难得到OSNs最优部署策略．为此，本研究利用一种蒙特卡罗(MC)策略，基于粒子化的思想得到信息矩阵的闭环表达式，随后推导得出该函数的一种可行解，进而得到一种OSNs的最优部署策略．为获取在非高斯噪声下目标节点的初始位置，本研究将原定问题转化为一种广义信赖域子问题来进行求解．仿真实验验证了提出的定位算法及最优部署策略的有效性．1 问题描述假设OSNs中含有一个目标节点和N个锚节点，它们的位置可分别表示为x=[x1,x2,x3]T与ai=[aix,aiy,aiz]T(i=1,2,…,N)．通常锚节点通过收到目标节点的RSSI信息，利用对数-常态分布模型将传输损耗转化为距离，从而计算得到与目标节点的相对距离[6]，即Pri=Ps-PL(d0)-10αlgx-ai/d0+γi, (1)式中：Pri为第i个锚节点收到的目标节点的RSSI信息；Ps为目标节点的发射功率；PL(d0)为参考距离为d0时的功率损失值，d0通常为1 m；α为路径损耗因子；⋅为二阶范数；γi为第i个锚节点的信号衰减噪声，通常表示为均值为零、方差为σi2的高斯噪声，即γi~G(0,σi2)．在式(1)中，目标节点的发射功率、参考距离的损耗值及路径损耗因子可通过经验值得出，因此对于式(1)模型的雅可比矩阵可表示为J=ξcos θ1cos ϕ1d1ξcos θ2cos ϕ2d2ξsin θ1cos ϕ1d1ξsin θ2cos ϕ2d2ξsin ϕ1d1ξsin ϕ2d2⋮ξcos θNcos ϕNdNξsin θNcos ϕNdNξsin ϕNdN, (2)式中：ξ=-10α/ln10；θi和ϕi分别为第i个锚节点相对于目标节点的方位角和仰角．由此，费雪信息矩阵(FIM)可得FIM=JTΣ-1J, (3)式中Σ=diagσ12,σ22,⋯,σN2．2 基于蒙特卡罗的闭环表达式值得注意的是：除了信号的衰减噪声，声信号在水下环境的传输还会受到吸收效应的影响而产生额外的吸收噪声[9，25]．在实际环境中，噪声由两部分组成，即衰减噪声和吸收噪声，可表示为δi=βγi+(1-β)εi, (4)式中：β为衰减噪声占的比例；εi为吸收噪声，服从均值为零、方差为ϑi2的高斯分布，即εi~G(0,  ϑi2)．由式(4)可以看出：相较于理想环境下只有高斯的衰减噪声，实际水下环境的噪声应为非高斯分布(混合高斯分布)．而当噪声为非高斯分布时，无法得到信息矩阵的闭环表达式［24］，即Σ≠diag[σ12,σ22,⋯,σN2]．为此，本研究采用MC方法来求解其闭环表达式，即I≈1NC∑s=1NC[∇p(γi,εi)s]2p2[(γi,εi)]s, (5)式中：I=Σ-1；s为粒子数；NC为粒子总数；p(∙)为混合高斯的概率分布；∇p(∙)为对于混合高斯分布的一阶导数．由此，基于MC的信息矩阵闭环表达式可进一步表示为FIM=JTIJ. (6)3 OSNs最优部署策略3.1　目标函数为实现OSNs目标定位误差最小的最优部署，通常有三种评价准则，即A-最优准则、D-最优准则和E-最优准则，分别对应的是最小化FIM-1的迹、最大化FIM的行列式及最小化FIM-1的最大特征值．相较于D-最优准则和E-最优准则，A-最优准则不仅能够减少计算复杂度，而且能保证较小的估计误差[19]．因此本研究选取A-最优准则，基于式(6)得到的信息矩阵闭环表达式来构建目标函数．为简化表达式，使      μ=[(ξ/d1) cos θ1cos ϕ1, (ξ/d2) cos θ2cos ϕ2,⋯, (ξ/dN) cos θNcos ϕN]T;      ν=[(ξ/d1) sin θ1cos ϕ1, (ξ/d2)sinθ2cos ϕ2,⋯, (ξ/dN) sinθNcos ϕN]T;κ=[(ξ/d1) sin ϕ1, (ξ/d2) sin ϕ2, ⋯, (ξ/dN) sin ϕN]T. (7)基于A-最优准则的目标函数Φ可表示为Φ≥arg min{θi,ϕi}(i=1,2,⋯,N) ξ-2I-1μ-2+ν-2+κ-2. (8a)s.t. ∑i=1Nsin θicos θicos2ϕidi2=∑i=1Nsin θicos ϕisin ϕidi2=     ∑i=1Ncos θicos ϕisin ϕidi2=∑i=1Ncos 2θicos2ϕidi2=0. (8b)对于任意ι0与τ0，都有1ι2+1τ2≥2ι2τ2≥4ι2+τ2. (9)因此，式(8a)中的目标函数可进一步转化为Φ≥ξ-2I-1∑i=1Ncos2ϕi4di2-1+∑i=1Nsin2ϕidi2-1. (10)从式(10)可以看出：目标函数通过变化将方位角θi消除，并且只与仰角ϕi有关．3.2　目标函数可行解将仰角作为变量，利用目标函数对仰角进行求导，即∂Φ∂ϕ=ξ-2I-18sin ϕicos ϕi∑i=1Ncos2ϕidi22-2sin ϕicos ϕi∑i=1Nsin2ϕidi22. (11)要使目标函数最小，则式(11)须要为零，即∂Φ/∂ϕ=0，由此可得到：2sin ϕicos ϕi=sin 2ϕi=0; (12a)∑i=1Ncos2ϕidi2=2∑i=1Nsin2ϕidi2. (12b)当满足条件(12)中任意一个时，目标函数最小．为此，将条件(12a)与(12b)分别代入式(10)，有：Φ≥∑i=1Nξ2Icos2ϕi4di2-1+∑i=1Nξ2Isin2ϕidi2-1;               s.t.  式8(b)和式12(a) (13a)Φ≥3ξ-2I-1/∑i=1Nsin2ϕidi2;s.t.  式8(b) 和 12(b). (13b)由于需要至少三个锚节点才能确定目标节点的位置，因此本研究讨论N≥3情况下的可行解．a．对于式(13a)，仰角ϕi满足条件的解仅为0,±π/2．当N=3时，若各个锚节点到目标节点的距离相等，即d1=d2=d3=d，则目标函数的可能取值为4d2/(3ξ2I)+∞,3d2/(ξ2I),d2/(3ξ2I)+∞，因此目标函数的最小值为3d2/(ξ2I)．当N≥4时，式(13a)取等号时的函数值最小，假设有k个仰角为0°，若d1=d2=d3=d，则式(13a)的函数最小值为Φ=4d2kξ2I+d2N-kξ2I=d24N-3kkN-kξ2I. (14)以k为变量，使目标函数即式(14)对k进行求导．当导数为零时，则是k的最优值，即∂Φ∂k=8Nk-4N2-3k2kN-k2=0. (15)利用求根公式对分子进行求解，可得变量k的值为2N,2N/3．由于k的值不能超过锚节点总数N，因此k=2N/3．代入式(14)，目标函数Φ最小值为9d2/(Nξ2I)．b．对于式(13b)，在满足限制条件(12b)情况下，当分母最大时，目标函数值最小．要使得∑i=1Nsin2ϕi/di2最大，根据限制条件(12b)，意味着∑i=1Ncos2ϕi/di2也须最大，因此将两项相加，若d1=d2=⋯=dN=d，则有3∑i=1Nsin2ϕid2=Nd2⇒∑i=1Nsin2ϕid2=N3d2．(16)对于式(13b)，目标函数Φ最小值为9d2/(Nξ2I)，该结果与式(13a)一致．虽已得目标函数最小值，但锚节点相对于目标的仰角根据式(13)较难得出．为此，考虑一种特殊情况，即ϕ1=ϕ2=⋯=ϕN=ϕ，根据限制条件(12b)可求得tan ϕ=±2/2，即ϕ≈35.26°．相对于仰角，方位角的解只须根据限制条件(8b)求得．由式(8b)可知，当给定某个初始角度θ0，若满足条件：2πi-1/N+θ0(ϕi≈35.26°);2πi-1/N-π+θ0(ϕi≈-35.26°), (17)则能使得目标函数最优．3.3　目标节点估计位置在实际情况下，目标节点的位置通常未知，而OSNs最优部署策略的目标函数是要通过目标节点位置来求解．为此，在部署锚节点前，须要提前部署一部分锚节点，通过基于RSSI观测值来定位得到目标节点的优化位置，并以此为基础再利用最优部署策略来布置相关锚节点．在一般情况下，当噪声为高斯分布时，利用最大似然算法可得到目标节点位置，但由于存在吸收噪声，非凸特性高，较难通过最大似然来求解，因此本研究提出一种目标节点定位方法(TLM)．首先，基于式(1)变化可得x-ai=d010P0-Pri10α10δi10α. (18)当参考距离d0=1 m时，利用一阶泰勒级数展开式(18)，可得x-ai≈10P0-Pri10α[1+δiln10/(10α)]. (19)定位问题可进一步转化为argminx∑i=1Nωix-ai2-r̂i22, (20)式中：r̂i2=d010P0-Pri10α10δi10α；ωi为权值，取值为ωi=1-r̂i/∑i=1Nr̂i．式(20)可进一步转化为广义信赖域子问题来求解，即argminR ωAR-B2;s.t.  RTDR+2fTR=0, (21)式中：R=[x1,  x2,  x3,  x2]T；ω=diag[ω12,  ω22,⋯,ωN2]；A=a1Ta2T⋮aNT-1-1⋮-1;Β=a12-r12a22-r22     ⋮aN2-rN2;   D=I301×303×10;f=03×1-1/2.随后利用二分法来求解目标节点的估计位置．4 仿真实验为验证所提出的OSNs最优布置策略，在Matlab R2018b平台进行仿真．仿真实验分以下步骤进行：a．验证3.3节提出的定位算法是否能够有效地找到目标节点的位置；b．验证3.2节得到的最优仰角相较于其他角度是否估计值最小；c．在实际水下作业中，若深度已知，如何在水面上布置浮标节点，使得定位误差最小．4.1　定位算法的有效性较为精确的定位算法能够有助于得到目标节点的初始位置，可为接下来的锚节点部署提供有效的目标位置信息．为此，本研究通过对比有效集定位法(ASM)[6]、权值最小二乘法(WLS)[12]、线性定位法(LLA)[13]、非限制平方距离法(USR)[14]以及基于最小优化框架的非限制平方距离法(USRMM)[24]来验证3.3节提出的TLM的有效性．节点部署在30 m×30 m×30 m的区域中．由于存在风流等外界因素的干扰，因此节点位置往往处于动态变化中．为此，将每一次MC仿真的锚节点与目标节点动态变化，利用rand函数实现．其他仿真参数设置如下：P0=-55 dBm，α=3，d0=1 m，β=0.63，σi=5 dB，ϑi=6 dB，q=1 000．利用最小均方根误差(ΔRMSE)来评价各个算法的定位效果，即ΔRMSE=1q∑o=1qx̂-x2, (22)式中：o为MC仿真的次数；q为仿真总次数．当锚节点数量增加时，可供定位的测距信息也随之增加．从图1可看出：当锚节点数量增加时，各算法的定位误差均有所降低．当锚节点数量N=14时，USRMM和ASM的定位误差与TLM较为接近．但相较于其他算法，本文算法TLM能够在锚节点较低数量时保持较高的定位精度．为进一步统计每次MC仿真时的定位误差，考虑对仿真中锚节点数量的中位数，即N=9时的累积分布函数(ρCDF)进行统计．从图2可以看出：TLM对于x̂-x≤5 m的概率达到了90%，而WLS，LLA，ASM，USR及USRMM达到相同概率时的情况分别为x̂-x=7.46 m，x̂-x=12.3 m，x̂-x=5.76 m，x̂-x=11.3 m和x̂-x=5.23 m．10.13245/j.hust.211105.F001图1不同锚节点数量的定位误差10.13245/j.hust.211105.F002图2锚节点数量N=9情况下的累积分布函数对于WLS，LLA，ASM及USR，由于求解过程是基于线性最小二乘框架实现，因此算法复杂度与锚节点数量N呈线性关系，即ON．而USRMM是基于梯度下降法迭代求解问题，若总迭代次数为η，则算法复杂度为ON+η．相较于其他算法，TLM在每次二分法求解过程中都须要求解对角矩阵的逆矩阵，若总迭代次数为η，考虑最坏情况，则TLM算法复杂度为OηN．由此可知 TLM是牺牲了一定的计算成本而保障相对较好的定位精度．4.2　OSNs最优仰角的部署策略在获取最优目标位置后，可开展基于信息的OSNs最优部署策略仿真．为探究3.2节所推导得出的最优仰角是否能使估计误差最小，以仰角为变量进行仿真，锚节点数量N=100，衰减噪声及吸收噪声设置同4.1节，目标节点位置x=0,0,-30T，各锚节点距离目标距离di=40 m，仰角取值为ϕ=0°,20°,30°,35.26°,40°,50°,60°,70°,80°．由于噪声为非高斯概率分布，利用扩展卡尔曼滤波(EKF)或无迹卡尔曼滤波(UKF)不能在完全非线性系统里较好估计目标状态[16]，因此采用粒子滤波(PF)对目标状态进行估计．图3为仰角不同情况下的锚节点部署情况，图4为不同部署情况下对目标状态的估计误差．从图4可看出：虽然开始时ϕ=35.26°的估计误差稍大，并处于波动状态，但是随着时间的推移，其估计误差逐渐减少，相较于其他仰角，其估计误差在相对较低的情况下波动．10.13245/j.hust.211105.F003图3OSNs不同仰角的部署策略10.13245/j.hust.211105.F004图4不同仰角所对应的状态误差4.3　作业深度已知的海面锚节点最优布置在实际的情况下，水下深度通常已知，而当目标在海底进行水下作业时，如何在水面上布置浮标等含有位置信息的锚节点是亟待解决的问题．基于3.3节的推导及上述验证可知：当仰角ϕ=35.26°时，能够达到使目标节点定位误差最小的最优部署．当水下作业深度与最优仰角已知时，水面上锚节点的部署半径则可求得．考虑实际部署成本的问题，海面上往往不会部署如4.2节仿真验证部分数量的锚节点．就实际情况而言，若目标作业深度变化为10～50 m，设置锚节点数量N=10．由于目标作业水深(h)已知，根据前面推导并验证的最优仰角ϕ=35.26°，则在海面上部署锚节点的最优半径为r=h/tan ϕ．根据式(17)条件可知：若锚节点部署在以该半径为边长的圆上，则为最优部署，如图5所示．若锚节点数量少于5且大于等于2，则相应的部署可参考文献[22]中2D场景推导的结果，这里不过多描述和推导．10.13245/j.hust.211105.F005图5已知目标水深的海面锚节点最优部署5 结语针对OSNs最小化定位误差的锚节点部署策略进行研究，利用一种MC策略，基于粒子化的思想得到RSSI信息矩阵的闭环表达式．基于该表达式构建目标函数，推导得到该函数在限制条件下的一种可行解，进而提出一种OSNs的最优部署策略．为避免利用最大似然算法因存在非高斯噪声而难以求解的问题，提出一种TLM定位算法，将原定位问题转化为广义信赖域子问题并通过二分法进行求解以获取目标节点的初始位置，为最优部署策略提供有效的目标位置信息，仿真结果表明该部署策略能够最小化目标节点定位的误差．基于该部署策略，进一步提出一种已知作业水深情况下的海面浮标节点的最优布置，所提出的OSNs最优部署策略为构建海洋传感网来观测海洋提供了一种可行方案．