为了满足新应用如虚拟现实、自动驾驶、物联网和无线回程等需求，越来越多的国家和组织开始聚焦第六代(6th generation，6G)通信．6G重点关注频谱效率(spectral efficiency，SE) [1]．目前，超奈奎斯特(faster-than-Nyquist，FTN)已成为提升SE的重要技术之一．FTN技术应用于微波无线回程[2]、beyond 5G无线通信[3]、可见光通信[4]、光纤通信[5]和卫星通信[6]等场景．FTN预编码包括有限长脉冲响应(finite impulse response，FIR)型[7-8]、无限长脉冲响应 (Infinite impulse response，IIR)型[9-10]和矩阵(matrix precoding，MP)型[11-13]．其中，IIR-FTN和MP-FTN的接收机复杂度低．IIR预编码包含线性预均衡[9]和THP (Tomlinson-Harashima预编码)[9-10]两种．当FTN压缩因子τ1/(1+β)时，线性预均衡[9]失效，其中β为根升余弦(root raised cosine，RRC)脉冲的滚降因子，低复杂度的FTN预编码仅有THP[10]和MP[11-13]两种．基于能量分配(energy allocation，EA)的MP-FTN即EA-MP-FT，可应用于卫星通信、光纤通信和微波无线回传．在文献[11-13]中，EA-MP-FTN采用传统EA，记为TraEA-MP-FTN，其仅考虑能量约束条件，存在带宽扩展问题．TraEA-MP-FTN[11-13]实际使用带宽大于预设带宽．为解决带宽扩展问题，本研究改进EA-MP-FTN的EA，提出ProEA-MP-FTN．针对文献[11-13]中的带宽扩展问题，提出了基于带宽约束的改进能量分配．根据EA-MP-FTN受限容量最大化和增加带宽约束获得改进的能量分配，推导基于快速傅里叶变换(fast Fourier transformation，FFT) 的EA-MP-FTN容量和SE，用FFT替代奇异值分解(singular value decomposition，SVD)降低计算复杂度．1 矩阵预编码超奈奎斯特的模型EA-MP-FTN系统框图如图1所示．在发送端，信源u经过信道编码、比特交织、星座映射、矩阵预编码(B)、添加循环前缀(cyclic prefix，CP)、FTN成形等流程，得到FTN发送信号s(t)．s(t)经过加性高斯白噪声 (additive white Gaussian noise，AWGN)信道输出接收信号r(t)．在接收端，接收信号r(t)分别经历采样、去CP、均衡(Γ)、软解调、解比特交织、信道译码等流程．10.13245/j.hust.220104.F001图1基于编码调制的EA-MP-FTN系统框图对于矩阵预编码B，x=Bv，(1)式中：v=[v0,v1,⋯,vN-1]T，vi为星座映射符号；x=[x0,x1,⋯,xN-1]T，xi为预编码后的符号；N为符号长度．先不考虑CP，MP-FTN接收信号r(t)为r(t)=s(t)+w(t)=∑nxnh(t-nTs)+w(t)，(2)式中：FTN符号周期Ts=τT，τ为压缩因子，T为Nyquist符号周期；h(t)为RRC成形脉冲；w(t)为双边带功率谱密度(power spectral density，PSD)，为N0/2的高斯白噪声．实际应用中，h(t)持续时间不能无限长，须进行±ζT的截断．若截断因子ζ足够大，截断后的RRC可维持与原RRC基本相同的PSD，则发送信号s(t)的预设带宽为WB=(1+β)/T．当τ≤1/(1+β)时，系统无须上采样．接收信号r(t)经t=kTs采样后，式(2)对应的离散形式为r=s+w=Hx+w，(3)式中：r=[r0,r1,⋯,rN-1]T；s=[s0,s1,⋯,sN-1]T；H为由h=[h-L,h-L+1,⋯,hL]T构成的实托普利兹矩阵，hl=h-l，hl=h(t=lTs)，L=ζ/τ；𝔼ww†=N0I，𝔼(⋅)为期望运算，N0为白噪声的功率谱密度，I为单位矩阵；w=[w0,w1,⋯,wN-1]T，w†为w共轭转置．H为符号间干扰（inter-symbol interference，ISI）矩阵．通过在发送端添加CP和接收端去CP，可将实托普利兹矩阵H变为实循环矩阵H˜．循环矩阵H˜的奇异值是特征值的模，循环矩阵H˜的特征值分解为H˜=F†ΛF，(4)式中：F=1/Ne-2πjkl/N(k,l=0,1,⋯,N-1)为离散傅里叶变换矩阵；Λ=diagλ为对角向量为λ的对角阵，特征值向量λ=[λ0,λ1,⋯,λN-1]T为复数向量．若H˜的第一行形如[h0,h1,⋯,hL,0，0,⋯,0,h-L,h-L+1,⋯,h-1]，则λ为实向量．根据SVD的定义，式(4)等效为奇异值分解．直接SVD的复杂度为O(N3)，基于FFT的特征值分解的复杂度为O(Nlog2N)．为了提升性能，MP-FTN采用能量分配EA．EA矩阵Φ=diag{ρ}，ρ=[ρ0,ρ1,⋯ρN-1]T，ρi为实数．在式(1)中，矩阵B=F†Φ．均衡矩阵Γ=F，则有y=Γr=FF†ΛFF†Φv+Fw=ΛΦv+ŵ，(5)式中：ŵ=Fw；𝔼(ŵŵ†)=N0I．由于Λ和Φ为对角阵，EA-MP-FTN(包括ProEA-和TraEA-)等效为N个并行传输的奈奎斯特(Nyquist)子流，即yn=ρnλnvn+ŵn   (0≤nN-1)，(6)式中，ŵn的方差为N0．均衡后EA-MP-FTN无ISI，因此其接收机的复杂度低．能量分配矩阵Φ对性能和带宽影响较大．而文献[11-13]中的能量分配(矩阵Φ)存在带宽扩展问题，须改进和优化．2 改进的能量分配2.1　改进方法定理1 EA-MP-FTN的容量为CFTN(λ)=limN→∞1N∑n=0N-1log21+ρn2λn2N0．(7)证明 根据系统模型(3)，EA-MP-FTN系统的信息速率为I(x;r)=limN→∞1NΨr-Ψr/x，式中：I(x;r)为发送向量x和接收向量r之间的互信息；Ψ(⋅)为熵运算，Ψ(r/x)=Ψ(w)，r为圆对称复高斯(circularly symmetric complex Gaussian，CSCG)时，Ψr达最大值[13]．对于接收向量有𝔼(rr†)=H𝔼(xx†)H†+𝔼(ww†)=Φ2HH†+N0I，式中：𝔼(xx†)=EsΦ2，Es=1，𝔼ww†=N0I．输入为CSCG时，则有Ψ(r)-Ψrx=log2det[πexp𝔼(rr†)]detπexp𝔼(ww†)=log2detI+Φ2HH†N0,式中，det(⋅)表示行列式，若矩阵A和B为方阵且A可逆，则det(B)[det(A)]-1=det(A-1B)．矩阵行列式可由其奇异值计算．假设实托普利兹矩阵H的奇异值为φ，对应的实循环矩阵H˜的奇异值为λ．据文献[14-15]中原理二，φ和λ之间的最大差距为o1/N，其中o(⋅)为无穷小量．为降低复杂度，用实循环矩阵H˜替代实托普利兹矩阵H．N足够大，循环矩阵H˜和托普利兹矩阵H的奇异值差距非常小，可以忽略不计，则limN→∞detHH†=λ02λ12⋯λN-12，EA-MP-FTN容量为CFTNλ=limN→∞1Nlog21+ρn2λn2N0，证毕．为保证ProEA-MP-FTN的基带发送信号s(t)的带宽为WB，即WB之外的能量泄露很小，则有S(f)≈0   (fWB/2)，式中S(f)为信号s(t)的频谱．s(t)的离散频谱为[S0,S1,⋯,SN-1]T．当K≤k≤N-K-1时，Sk≈0，K为带内能量对应的有效长度K=WB/(2Δf)=Nτ(1+β)/2．频率分辨率Δf=Fs/N，采样频率Fs=1/Ts．据此，ProEA-MP-FTN的带宽约束条件为ρnλnvn≈0    (K≤n≤N-K-1)，即带外的能量分配因子满足约束∑n=KN-K-1ρn2λn2≈0．由于偶对称特性(hl=h-l)，因此带内特征值(或奇异值)个数K¯=2K．将带内K¯个奇异值从大到小排列为λ¯=[λ¯0,λ¯1,⋯,λ¯K¯-1]，对应的EA因子ρ¯=[ρ¯0,ρ¯1,⋯ρ¯K¯-1]T．发送符号的总能量为EN=s†s=∑n=0N-1ρn2λn2=N，能量归一化𝔼(vkvk*)=1.0，有EN=∑n=0N-1ρn2λn2=∑k=0K¯-1ρ¯k2λ¯k2=N．(8)根据受限容量、带宽约束和能量约束，构造如下拉格朗日函数J=1N∑k=0K¯-1log21+ρ¯k2λ¯k2N0-α∑k=0K¯-1ρ¯k2λ¯k2-N，(9)式中α为拉格朗日乘因子．为使容量最大化，式(9)中的J函数对EA因子ρ¯k求偏导数，∂J∂ρ¯k=λ¯k2Nln[2(N0+ρ¯k2λ¯k2)]-αλ¯k2=0，其中ρ¯k≥0，得到ρ¯k2=1λ¯k21Nαln2-N0≥0，(10)将EA因子带入能量约束式(8)得到乘因子，即α=1Nln[2(N/K¯+N0)]，将乘因子带入式(10)得到最终的EA为ρ¯k=ϕ/λ¯k   (0≤kK¯)，其中ϕ=N/K¯=1/τ(1+β)，β为滚降因子，则ProEA-MP-FTN的改进能量分配为：ρn=ϕ/λn(nK,N-K≤n≤N-1);0    (K≤n≤N-K-1).     (11)将式(11)带入式(7)，ProEA-MP-FTN的等效形式为yn=ϕvn+w˜n   (nK,   N-K≤n≤N-1);w˜n   (K≤n≤N-K-1). (11)根据式(11)，当K≤n≤N-K-1时Es/N0=0；当n为其他值时，Es/N0=ϕ2/N0=1/[τ(1+β)N0]．受压缩因子τ影响，τ越小，有效长度K越小，关闭的信道(ρk=0)越多，有效信道分配的能量(ϕ2)越大．ProEA-MP-FTN的SE为ηB=I(v;r)WTs=I(v;r)τ(1+β)，式中：带宽W=WB；I(v;r)为可达信息速率[8]．定理2 当输入满足零均值高斯分布时，ProEA-MP- FTN能够获的最大SE为香农限，即ηB≤CFTN(λ)τ(1+β)=1Nτ(1+β)∑k=0K¯-1log21+ρ¯k2λ¯k2N0≤ηS，(12)式中ηS=log2(1+1/N0)为香农限(β=0)．ProEA-MP-FTN的SE最大值为ηS，对应的最优压缩因子τopt=1/(1+β)．当τ1/(1+β)时，减小压缩因子τ不能提升SE．2.2　方法对比文献[11-13]中的能量分配因子为ρn=1/λn   (0≤nN)，预设带宽WB=(1+β)/T．由于ht时域截断，因此带宽WB之外的λn≠0．传统能量分配TraEA [11-13]通过式(12)将带宽WB外的功率谱也注水为矩形功率谱(ρnλn=1)．当τ1/(1+β)时，传统方法实际带宽Fs=1/Ts，且FsWB．实际的SE比其所声称的SE要低，能量分配存在带宽扩展问题．针对该问题，增加带宽约束并根据受限容量最大化得到改进能量分配ProEA．ProEA-MP-FTN和TraEA-MP-FTN的功率谱如图2所示，图中A为功率谱密度．成形脉冲为RRC(β=0.3)，蓝色部分代表传统能量分配引起的带宽扩展．TraEA-MP-FTN将带宽从WB扩展到Fs，τ=0.7时带宽扩展了9.89%．ProEA-MP-FTN在带宽WB外几乎没有能量泄露．传统能量分配方法存在带宽扩展问题，且τ越小带宽扩展越严重．10.13245/j.hust.220104.F002图2ProEA-MP-FTN和TraEA-MP-FTN的功率谱对比3 性能分析3.1　改进方法的理论性能分析假设滚降因子β=0.3，4QAM调制，当τ= 0.769 2，0.700 0，0.625 0时，分析ProEA-MP-FTN的AIR和SE性能．ProEA-MP-FTN的可达信息速率如图3所示，Eb/N0为比特能量噪声比．ProEA-MP-FTN的最大AIR为2mτ(1+β)．当τ相同时，无预编码和ProEA-MP-FTN的AIR性能曲线有交叉．可以看出：中低AIR(或码率) 时，ProEA-MP-FTN的性能优于无预编码的性能；高AIR(或码率)时，ProEA-MP-FTN的性能比无预编码差．为了突出ProEA-MP-FTN的优势要合理选择τ和编码码率．10.13245/j.hust.220104.F003图3ProEA-MP-FTN的可达信息速率ProEA-MP-FTN和TraEA-MP-FTN的频谱效率(R)对比如图4所示．TraEA-MP-FTN[11-13]预设带宽为WB，实际带宽为Fs．当压缩因子τ1/(1+β)时，FsWB，因此TraEA-MP-FTN 计算的SE (式(12)中W=WB)比TraEA-MP-FTN实际的SE(式(12)中W=Fs)高，如图4中τ=0.7情况(虚线族曲线)．10.13245/j.hust.220104.F004图4ProEA-MP-FTN和TraEA-MP-FTN的频谱效率对比TraEA-MP-FTN使用宽度为Fs的矩形功率谱传递信息，而计算SE时采用较小的带宽W=WB，因此宣称的SE增大．τ≤1/(1+β)时，ProEA-MP-FTN的SE为定值，即奈奎斯特(β=0)-高斯白噪声(Nyquist-AWGN)的性能．τ=0.769 2和0.700 0时，ProEA-MP-FTN的SE曲线与Nyquist-AWGN曲线重合．有限阶信源时ProEA-MP-FTN的最优压缩因子为τopt=1/(1+β)，减小压缩因子τ不能再提升SE，该结论与定理2一致．3.2　改进方法的BER性能和复杂度分析当τ1/(1+β)时，低复杂度的FTN预编码有THP和MP．EA-MP-FTN(包括ProEA-和TraEA-)选取与THP-FTN[10]相同的参数，即β=0.3，τ=0.7，4QAM调制，低密度奇偶校验(low density parity check，LDPC)码的码率rc=0.5．EA-MP-FTN采用的LDPC码与基准LDPC码[10]的性能相近．τ=0.7,rc=0.5时预编码FTN系统的误码性能(E)比较如图5所示．THP为THP-FTN．当BER为1×10-5，TraEA-MP-FTN[11-13]实际和计算的SE分别为1和1.098 9 bit·s-1·Hz-1；THP-FTN[10]和ProEA-MP-FTN实际的SE都为1.098 9 bit·s-1·Hz-1．当SE相同时，ProEA-MP-FTN比THP-FTN[10]有1.11 dB的增益．TraEA-MP-FTN的BER性能比ProEA-MP-FTN好0.34 dB，但TraEA-MP-FTN的SE比ProEA-MP-FTN低9.89%．编码调制的TraEA-MP-FTN[11-13]以SE降低(9.89%)为代价换取能效提升(0.34 dB)．10.13245/j.hust.220104.F005图5τ=0.7,rc=0.5时预编码FTN系统的误码性能比较THP-FTN和ProEA-MP-FTN的接收机复杂度分析如下：THP-FTN[10]的接收端采用自迭代的软干扰消除(soft interference cancellation，SIC)，SIC的自迭代次数为3，相邻干扰符号数为5，SIC与LDPC译码器之间的Turbo迭代次数为3．EA-MP-FTN的接收端采用软解调方法，无Turbo迭代．FTN的ISI系数是实数型的，基带信号的I/Q路独立进行解调或均衡以降低复杂度．I/Q路的星座点数为M，量化比特数m=log2M．THP-FTN与EA-MP-FTN的接收机复杂度见表1，表中非线性运算代表log(⋅)和exp(⋅)运算．在本例中，THP-FTN接收机复杂度为(加法，乘法，除法，非线性)=(255N，306N，27N，24N)；EA-MP-FTN接收机复杂度为(加法，乘法，除法，非线性)=(2N，4N，0，4N)．THP-FTN接收机复杂度高于EA-MP-FTN．考虑到THP-FTN单次迭代的复杂度依然高于ProEA-MP-FTN，THP-FTN时延更大．ProEA-MP-FTN的性能比THP-FTN有1.1 dB增益；ProEA-MP-FTN的复杂度比THP-FTN更低．综合来看，ProEA-MP-FTN在低复杂度的预编码FTN中是最好的．10.13245/j.hust.220104.T001表1THP-FTN与EA-MP-FTN的接收机复杂度对比运算THP-FTNEA-MP-FTN加法[(4M-5LT/N+4LT)T1+mM-1]NT2[Mm+1-2m]N乘法(7M+4LT+LT/N)NT1T22MN除法M+1NT1T2非线性(MT1+2m)NT2mM+2N4 结语为解决带宽扩展问题，提出了基于带宽约束的改进能量分配．通过增加带宽约束，根据EA-MP-FTN的受限容量最大化，得到改进能量分配，即ProEA-MP-FTN．基于特征值分解(FFT运算)推导EA-MP-FTN的容量和SE．特征值分解相比于传统SVD具有更低的复杂度．编码调制的TraEA-MP-FTN以SE降低为代价换取能量效率提升．当τ1/(1+β)时，低复杂度的FTN预编码有THP和MP．与THP-FTN相比，ProEA-MP-FTN有1.1 dB的增益，复杂度更低．ProEA-MP-FTN在高SE时存在性能缺陷，为突出ProEA-MP-FTN的优势要合理选择压缩因子和信道编码码率．10.13245/j.hust.220104.F006