感应式电能传输(inductive power transfer，IPT)技术利用电磁感应在供电设备与储、用电设备间实现无线电能传输．它能够摆脱金属导线的限制，实现设备的非接触式供电，在提高供电灵活性的同时，有效避免传统接触式供电所存在的积碳、火花、磨损等痼疾，极大提高供电的灵活性和安全性；因此，IPT技术不仅在家用电器等小功率场合得到应用，在轨道交通[1]、新能源汽车[2]、海工装备[3]等中大功率场合的应用以及多负载无线供电技术[4]也成为近些年的研究热点．典型的IPT系统包括电源、功率变换器、补偿网络、耦合线圈和负载等．其中，耦合线圈是发生高频电磁感应的场所，是IPT系统进行无线能量传输的核心，其自感、互感等电路参数直接关系到系统的谐振状态和传输特性[5]，因此有必要建立能够反映耦合线圈电磁特性的解析模型和参数计算公式，为系统的设计和运行提供指导．目前，耦合线圈的建模方法主要有理论计算法和有限元方法，且研究重点大多只关注空心线圈．文献[6]考虑了磁芯的影响，实现了良好的建模效果，但研究对象的结构较为特殊，所建立的模型适用范围有限．理论计算法从毕奥-萨伐尔定律出发，结合电磁学理论推导电感参数的准确表达式．文献[7]在前人研究[8]的基础上给出了同轴圆形线圈的自感和互感通用计算方法；文献[9]则将完整的平面矩形线圈简化为一系列同轴单矩形线圈的叠加，并利用二阶矢量位建立了线圈互感的矢量模型．以上基于理论计算建立的解析模型形式准确，物理意义明晰，但均未考虑铁氧体对线圈电磁特性的影响．有限元方法通过将连续的物理实体进行网格划分，用网格节点处的物理量代替完整实体建立公式，化连续为离散进行求解．有限元方法可以通过多种编程语言进行自编程实现，基于有限元的商业仿真计算软件也较为成熟，可用于耦合线圈的电感求解．通过有限元方法可以全面、完整地反映各种材料和结构因素对线圈参数的影响，计算结果较为精确，但无法得到形式明了的解析表达式．为建立更具普适性并计及铁氧体影响的耦合线圈模型和电感计算公式，本课题采用理论分析与有限元仿真相结合的方法，并以IPT系统中应用最为广泛的平面矩形线圈为例进行研究．首先建立该类线圈的精确磁路模型，得到线圈自感和互感表达式；然后应用磁场分割法，将完整磁场进行分割、近似、计算与整合，并考虑边缘效应的影响进行修正后，求得磁路磁阻，进而得到线圈自感和互感的计算公式；最后通过实际测量与计算结果对比，验证所建立模型和表达式的准确性．1 耦合线圈磁路模型1.1　线圈结构与磁场分布IPT系统耦合线圈的结构形式主要包括平面圆形、平面矩形、锥型磁芯式、罐型磁芯式和E型磁芯式等，其中平面矩形线圈的应用最为广泛，线圈结构包括绕制线圈、铁氧体、铝板、聚氯乙烯封装层及防水胶圈．为研究线圈工作时的磁场分布情况，在Maxwell 2D中建立如图1所示的线圈截面2D模型，求解模式设置为涡流场，接收线圈设置为开路，在不同传输距离下进行磁场仿真，得到磁场分布如图2所示．10.13245/j.hust.220106.F001图1线圈截面2D模型10.13245/j.hust.220106.F002图2不同间距下磁场分布1.2　磁场分区与磁路模型从图2看出：平面矩形线圈绝大部分磁场被限制在两线圈的正对区域；且随着传输距离的改变，磁场与线圈的交链情况也会发生变化．依据与发射、接收线圈交链情况，将所有磁通进行分类，在全距离范围内将线圈分为两种耦合状态．状态1 如图2(a)所示，当传输距离较小时，存在ΦLP，ΦMP1，ΦMP2和ΦMF 4种磁通．状态2 如图2(b)所示，当传输距离变大时，存在ΦLP，ΦLF，ΦMP和ΦMF 4种磁通．在IPT系统实际运行中，当传输距离很小时，容易因固有频率和电路固有频率不一致，导致系统出现频率分裂现象[10]，对传输性能和运行控制产生影响．基于此，将研究重点放在符合实际工况的耦合状态2．分析图2(b)中耦合状态2的磁场，可知平面矩形线圈的磁场共有4条磁路．磁路1对应磁通ΦLP，由发射侧电流产生并交链部分发射线圈，不与接收线圈交链；磁路2对应磁通ΦLF，由发射侧电流产生并交链全部发射线圈，同样不与接收线圈交链；磁路3对应磁通ΦMF，由发射侧电流产生并交链全部发射线圈，同时交链部分接收线圈；磁路4对应磁通ΦMP，由发射侧电流产生，并交链全部发射和接收线圈．根据上述磁场划分的结果，忽略线圈和铁氧体层的磁阻，则可按图3定义每条磁路的磁阻，进而得出图4所示的平面矩形线圈等效磁路图．10.13245/j.hust.220106.F003图3各磁路磁阻示意图10.13245/j.hust.220106.F004图4等效磁路图2 电感参数计算2.1　电感参数表达式对于发射和接收结构对称的耦合线圈，可近似认为二者的自感数值相等，即Lp=Ls=L．根据自感和互感的定义，有Mi=ψM;Li=ψL,式中：M为线圈互感；i为线圈中通入的电流；ΨM为发射线圈通入电流i时与接收线圈交链的磁链；L为线圈自感；ΨL为发射线圈通入电流i时与自身交链的磁链．由于磁通ΦLF并未完全与发射线圈耦合，因此计算时ΨL时不能直接带入线圈匝数N，不妨设与发射线圈交链的等效匝数为N2．同理，设ΦMF与发射线圈交链的等效匝数为N1，则有：Mi=N1ΦMP+NΦMF;Li=N2ΦLP+NΦLF+NΦMP+NΦMF, (1)根据磁路基本定理，结合磁路模型，得到：ΦLP=FRLP=NiRLP1+RLP2;ΦLF=FRLF=NiRLF1+RLF2;ΦMP=FRMP=NiRMP1+RMP2+RMP3;ΦMF=FRMF=NiRMF1+RMF2．(2)同时，定义：α=N1N;β=N2N，(3)将式(2)和(3)代入式(1)，即可得到：M=N2αRMP+1RMF;L=N2βRLP+1RLF+1RMP+1RMF. (4)由式(4)可知：要利用建立的磁路模型计算耦合线圈的电感，首先须计算各磁路的磁阻和等效匝数．2.2　磁路磁阻计算如图2(b)所示，铁氧体和铝板对线圈通电时的磁场产生了极大的影响，因此难以直接应用纽曼公式[11]来计算线圈的电感．采用磁场分割法将线圈间气隙磁场沿磁通路径分割成许多具有最简单几何形状的磁通管，分别计算各磁通管的磁导后，再根据磁阻串并联原理求得整体磁路的磁阻值．a. 磁通管划分．线圈间的磁场分布如图2(b)所示，依据按磁通路径分割原则，并做适当简化，可将整体不规则磁场分割为一系列规则形状的磁通管．图5为划分后磁通管的截面图，各磁通管的编号及截面尺寸均在图中以字母标出，箭头代表磁场流向．10.13245/j.hust.220106.F005图5磁通管分布截面图b. 磁通管磁阻计算．规定磁通管截面与磁场方向相切，则磁通管的磁阻取决于截面内磁力线平均长度与平均截面积之比．平均截面积为Aav=V/lav，式中：V为磁通管的体积；lav为磁力线平均长度．则磁通管磁阻R=lav/(μ0Aav)，式中μ0为真空磁导率．这样即可求得各磁通管的磁阻．通过上述计算可以发现：磁通管截面各边长和磁通管在磁场垂直方向的整体长度对磁通管磁阻的计算至关重要．磁通管整体长度可利用相似原理求解．以磁通ΦLP流经磁路中的半圆柱磁通管RLP2为例，其整体形状与位置如图6所示．图中：x和y为线圈边长；a为磁通管的半径；lx和ly为磁通管在对应边处的中心线长度；dx和dy为对应的磁通管中心线与相似中心的距离．10.13245/j.hust.220106.F006图6磁通管RLP2整体形状与位置根据相似原理，同时考虑到实际IPT系统中，平面矩形线圈多缠绕为方形或方形线圈的组合，即即有x=y=l，dx=dy，且dx+a=l/2，可得len=2(lx+ly)=4(l-2a)，式中len为该磁通管的整体长度．类似地，可根据相似求得其他各磁通管的整体长度．截面各边长采用仿真测量的方法求解．按照1.1节的方法求解不同传输距离下线圈间的磁场分布，并利用麦克韦斯自带的测量功能测得对应传输距离下各几何量数值，然后利用最小二乘法对测得数据进行拟合，得到图5中各几何量与传输距离的函数关系式．实际测量中发现，a，d，h和t随传输距离变化的幅度并不大，为简化计算，取测量数据的平均值作为这部分边的长度．最终测量结果为：h=36.969 mm，a=54.875 mm，{b}mm=0.380{g}mm+35.268，{c}mm=-0.183{g}mm+42.753，g为发射与接收线圈之间的距离，d=73.218 mm，t=45.880 mm，{θ}(°)=-0.004{g}mm2+1.704{g}mm-71.323，la=10 mm，l=410 mm．至此，可求出所有磁通管的磁阻，计算结果汇总如下：RLP1_1=la4μ0hl;RLP1_2=la4μ0h(l-2a-h);RLP2=11.04μ0(l-2a);RLF1=la4μ0(b-a)l;RLF2=144μ0(b+g)π[3(b+g)-4gb]-0.26μ0(l-2a);RLF3=la4μ0(b-a)(l-4a);RMP1_1=h+h2+t24μ0t[l+2(b-a)+t];RMP1_2=π[g/sin(θ/2)+t]16μ0t[l+2(b-a)+t];RMP2=la42μ0t[l-2(b-g)+t];RMP3_1=la4μ0d(l-22t-d];RMP3_2=g2+(f-e)2+g2+(d+f-c-e)24μ0(c+d)[l-2t-(a+b)-(c+d)/2];RMP3_3=la4μ0c[l-2(a+b)-c];RMF1=10.692μ0(l+g);RMF2_1=la4μ0f(l-22t-2d-f);RMF2_2=g+(f-e)2+g24μ0(e+f)[l-(a+b+c+d)-2t-(e+f)/2];RMF2_3=la4μ0e[l-2(a+b+c)-e]．(5)c. 磁通管串联与修正．式(5)给出了各磁通管磁阻的表达式，同一条磁路中的各磁通管属于串联关系，将各磁通管的磁阻相加即可得到磁路磁阻，即有：RLP=laμ0hl+laμ0h(l-2a-h)+10.26μ0(l-2a)/4；RLF=laμ0b-al+laμ0b-a(l-4a)+14μ0(b+g)-0.26μ0π[3b+g-4gb](l-2a)/4；RMP=πg/sinθ+t4μ0t[l-2b-a+t]+h+h2+t2μ0t[l+2b-a+t]+la2μ0t[l+2b-a+t]+laμ0d[l-22t-d]+laμ0c[l-2(a+b)-c]+g2+(f+e)2+g2+(d+f-c-e)2μ0(c+d)[l-2t-(a+b)-(c+d)/2]/4；RMF=laμ0e[l-2a+b+c-e]+laμ0f(l-22t-2d-f)+10.173μ0(l+g)+g+(f-e)2+g2μ0(e+f)[l-(a+b+c+d)-2t-(e+f)/2]/4．(6)如图7(a)所示，磁场在线圈拐角处存在边缘效应，考虑到这个因素，按图7(b)所示对磁通管整体长度进行修正．10.13245/j.hust.220106.F007图7磁场边缘效应及修正假设磁场在每条边长1/3处发生弯折，则修正后的磁通管整体长度(len')可表示为len'=4l'/3+2πl'/3=3.428l'=0.857×4l'，故RX'=RX/0.857，(7)式中：l'为修正前磁通管整体长度；RX为修正前磁路磁阻；RX'为修正后磁路磁阻；下标X=LP，LF，MP，MF．2.3　等效匝数计算式(4)中的α和β为部分耦合磁通耦合到线圈的等效匝数，具体数值会随传输距离和磁场分布的变化在0~1之间变化，难以通过原理分析求得，因此考虑采用数值方法．在麦克韦斯3D中建立耦合线圈仿真模型(N=15)，计算耦合线圈在特定距离下的自感和互感．将仿真得到的自感、互感及式(6)和(7)计算所得对应距离下的磁路磁阻代入式(4)，可求得这一系列传输距离下的等效匝数，进而用最小二乘法拟合得到等效匝数(α和β)与传输距离的函数关系：      α=-730.068{g}mm3+401.833{g}mm2-67.607{g}mm+4.333;      β=-742.250{g}mm3+363.300{g}mm2-56.410{g}mm+3.000. (8)综合上述分析，将式(6)~(8)代入式(4)，即可求得平面矩形线圈的自感L和互感M大小关于传输距离g的表达式，M=N2αRMP'+1RMF' ;L=N2βRLP'+1RLF'+1RMP'+1RMF', (9)式中：RLP'=laμ0hl+laμ0h(l-2a-h)+10.26μ0(l-2a)/3.428；RLF'=laμ0b-al+laμ0b-a(l-4a)+14μ0(b+g)-0.26μ0π[3(b+g)-4gb](l-2a)/3.428；RMP'=π(g/sinθ+t)4μ0t[l-2(b-a)+t]+h+h2+t2μ0t[l+2b-a+t]+la2μ0t[l+2b-a+t]+laμ0d[l-22t-d]+laμ0c[l-2(a+b)-c]+g2+(f+e)2+g2+(d+f-c-e)2μ0(c+d)[l-2t-(a+b)-(c+d)/2]/3.428；RMF'=laμ0e[l-2a+b+c-e]+laμ0f(l-22t-2d-f)+10.173μ0(l+g)+g+(f-e)2+g2μ0(e+f)[l-(a+b+c+d)-2t-(e+f)/2]/3.428．(10)3 实验验证与分析3.1　实验装置与方法实验原理图如图8所示．其中：三轴台架可在x，y和z三个方向上将耦合线圈进行相对移动，实现线圈之间的轴向和径向偏移；线圈移动的启停、方向和距离通过控制器进行控制；阻抗测量仪用于测量线圈在不同相对位置时的自感和互感．线圈几何参数如图5所示．10.13245/j.hust.220106.F008图8实验原理图实验开始前，调整台架位置，使发射和接收线圈正对紧密接触．实验时，保持y和z轴位置不变，以1 cm步长沿x轴逐次移动其中一个线圈，并调整阻抗测量仪的频率为85 kHz，测量并记录传输距离为0~20 cm时耦合线圈的自感和互感．3.2　实验结果与分析由于耦合线圈结构对称，测得的发射和接收线圈自感高度一致，因此以下分析皆用发射线圈的自感值作为线圈自感．不同距离下线圈自感和互感如图9所示．从图9可以看出：耦合线圈的参数变化明显以g=9 cm(耦合系数k=0.34)为界分为自感变化和自感稳定两个区域：10.13245/j.hust.220106.F009图9不同距离下线圈自感和互感自感变化区：当传输距离较近时，耦合线圈的自感和互感均会随传输距离变化而急剧变化．线圈自感与系统谐振状态密切相关；因此，在耦合线圈存在相对运动的应用场合必须同时考虑线圈自感和互感变化对系统运行的影响．自感稳定区：传输距离相对拉远后，耦合线圈的自感趋于稳定，但互感仍会随传输距离发生变化．线圈互感对IPT系统的输出状态有直接影响，互感变化会导致系统输出不稳定，影响供电质量．将线圈几何尺寸代入式(9)~(10)，取匝数N=15，计算对应传输距离下的线圈自感和互感，并将计算结果与测得数据进行比较，结果如图10所示．值得注意的是，耦合线圈封装最外层的聚氯乙烯封装层有一定厚度，确定传输距离时须考虑到这个因素．10.13245/j.hust.220106.F010图10线圈自感和互感的计算数据与实测数据对比如图10(a)所示，互感计算结果与实际测梁值基本符合．在自感稳定区(g9 cm)，互感计算的误差范围为0.26%~4.04%；在自感变化区的后段(g=6~9 cm)计算结果也有较好的准确性，误差最大为9.79%．当传输距离过近时，计算结果出现较大误差，因为此时发射和接收线圈的耦合状态处于耦合状态1或状态1和2的过渡阶段，与建立磁路模型时所依据的磁场分布并不完全一致．如图10(b)所示，自感公式计算结果与实际测量值较符合．自感稳定区(g9 cm)计算结果的误差范围为0.52%~5.44%；在自感变化区的后段(g=6~9 cm)，误差最大为2.36%．当传输距离过远时，计算结果出现较大误差，因为此时磁场的边缘效应增强，对磁通管的形状产生较大影响．根据计算结果与实测数据对比可知：建立的磁路模型及由此得到的电感表达式L和M能够较好地反映平面矩形线圈在自感变化区后段和自感稳定区(6~20 cm)内的电磁特性．4 结论针对IPT系统中广泛应用的平面矩形线圈自感和互感建模问题进行研究，在分析线圈磁场分布的基础上建立线圈的磁路模型，利用磁场分割法求出各磁路磁阻，进而建立了带铁芯的平面矩形线圈自感L和互感M与传输距离g的函数关系式．在实验室中对全距离范围内线圈的自感和互感进行测量，得出以下结论．a. 随着传输距离由近到远，平面矩形线圈分为两个耦合阶段．传输距离较远时线圈自感比较稳定，互感会随传输距离发生变化；传输距离较近时不仅互感不稳定，线圈自感也会发生变化，对系统运行造成影响．b. 所建立的表达式L和M在考察距离范围内能够较好地预测线圈自感和互感的变化情况，自感的计算误差最小仅4.35%，互感误差最小仅0.26%，对IPT系统的参数设计与运行控制有一定的指导意义．