混凝土结构(桥梁、路面等)会持续受到太阳辐射、气温和风速等环境因素的影响，进而在结构内形成非线性温度场，由此产生的温度应力甚至会超过活载．对于大跨度或复杂桥梁，其不同构件的温度时空分布规律不一致，相应地表征桥梁温度作用的标准值也不同[1]．混凝土结构在不同程度上受到温度效应的影响，国内外学者很早就注重结构传热的理论研究．文献[2-3]分别利用格林函数法及拉普拉斯变换法求得混凝土路面温度的级数解，分析路面的损坏机理．相较于混凝土路面的半无限温度场分布特点，桥梁截面或构件均为有限尺寸，边界条件的个数和组合形式无疑增加了方程的求解难度．在实际工程中，一般采用半理论半经验公式或全经验公式计算混凝土桥梁结构的温度场．文献[4]给出了高速铁路道床板温度的计算方法，并分析了极端天气条件下结构温度场的分布规律．文献[5]结合气象数据对无砟轨道板的等效温度进行修正，推导了轨道板温度的计算公式．文献[6]采用三种规范推荐的温度预测方法分别对7种大体积混凝土结构的温度场进行了对比计算，结果显示基于导热定律的施密特(Schmidt)法的计算误差最小．当前，桥梁温度场的研究方法主要采用数值模拟及试验测试，不方便现场操作，相应的研究成果缺少普适性；桥梁规范中的结构温度预测方法过于笼统，没有结合实时的气象数据，很难实现准确预测[7]．文献[4-5]的温度预测公式缺少严格的计算推导，其可行性还须要进一步验证．本研究在已有混凝土箱梁温度场的研究基础上，建立了第三类边界条件的混凝土日照温度场模型，并采用积分变换法简化了方程的求解过程；同时，根据解的级数式对混凝土温度场进行分解，对温度场模型的热扰动边界进行对比分析，得到一些有益实际工程应用的结论，其求解方法及思路可为混凝土结构的温度预估提供参考．1 温度场预估模型建立首先假定混凝土的热物性参数不随时间变化，将混凝土结构的温度场简化为一维瞬态、无内热源的边值问题；其次确定结构表面流体介质的函数形式．太阳辐射下混凝土表面的流体介质随时间呈余弦规律变化，其函数式为fi(τ)=ti,a-ti,bcos(wi(τ-δi))(τ∈(τ1∼τ2))，(1)式中：i为结构边界的个数；ti,a和ti,b分别为太阳辐射时长内流体的平均温度和幅值；wi和δi为频率及相位；τ1和τ2分别为日出和日落时刻．在温度场模型的边界条件确定后，须要指定初始条件．根据本研究的实测数据及文献[7-8]的研究结果可知：在太阳日出时刻，混凝土桥梁的截面温度分布比较均匀，以此时的结构均匀温度为初始温度(t0)．至此，导热方程的定解条件确认完毕．为使结构温度场的初始扰动为零，引入新变量θx,τ，即θ(x,τ)=t(x,τ)-t0，则一维有限域混凝土结构的过余温度方程为α∂2θ/∂x2=∂θ/∂τ(0xd)；-k∂θ/∂x+h1θ=h1f1(τ)(x=0)；k∂θ/∂x+h2θ=h2f2(τ)(x=d)，式中：α和k分别为混凝土的热扩散系数和导热系数；d为一维混凝土结构的截面深度；h1和h2分别为结构外表面、内表面的对流换热系数．由双对流边界条件可以确定方程的本征函数式［9］为X(βn,x)=βncos(βn,x)+H1sin(βn,x)，式中：βn为本征值，由方程tan(βnd)=(H1+H2)βn/(βn2-H1H2)计算得到；H1和H2分别由h1/k和h2/k计算得到．一维有限大域的热传导方程的一般解[9]为：θ(x,τ)=∑n=1∞X(βn,x')N(βn)e-αβn2τ∫0τeαβn2τ'A(βn,τ')dτ'；(2)A(βn,τ')=(α/k)[X(βn,0)h1f1(τ')+        X(βn,d)h2f2(τ')]；N(βn)=∫0dX(βn,x')2dx'．为得到方程解的计算公式，先对式(1)进行变换，即fi(τ)=Δtf,i+tf,i(τ)，(3)式中：Δtf,i=ti,a-t0；tf,i(τ)=-ti,bcos(wi(τ-δi))．将边界函数的变换式(3)代入一般解式(2)，对其进行定积分计算，可得原方程的级数解为t(x,τ)=t0+∑i=12∑n=1∞Ci,nX(βn,x)[fi,n(τ)-    e-αβn2(τ-τ1)fi,n(τ1)]，(4)式中：fi,n(τ)=Δtf,i/cos(wiφi,n)+tf,i(τ-φi,n)；Ci,n=Hicos(wiφi,n)X(βn,xi)/(N(βn)βn2)；cos(wiφi,n)=αβn2/(αβn2)2+wi2．2 温度场分解根据线性叠加原理，对混凝土温度场的级数叠加式(4)进行分解，可分别得到混凝土温度场的初始扰动项和边界扰动项[9]，即t=tIC+tBC1+tBC2，如图1所示，图中：tIC为初始温度项；tBC1和tBC2为边界扰动项．10.13245/j.hust.211113.F001图1一维混凝土温度场的组成示意图初始温度项是导热方程的初始条件，以日出时刻计算结构的加权平均温度当作初始温度，并假定为常数，即tIC=t0．边界热流扰动引起的温度场由周期函数项和指数衰减项两部分组成，由式(4)可得到tBCi(x,τ)=∑n=1∞Ci,nX(βn,x)[fi,n(τ)-        e-αβn2(τ-τ1)fi,n(τ1)]．由此可知：在初始温度的取值确定下，结构温度场的计算精度与级数展开项数n有关，一般项数越多，精度越高[3]．3 模型验证以长沙中低速磁浮运营线某西侧轨道梁结构为研究对象，监测工点位于东113°7'，北纬28°10'，海拔39 m，轨道梁呈南北走向，监测地区属亚热带季风性湿润气候．采用预埋方法布置温度传感器，仪器采样周期为0.5 h．图2为轨道梁截面、顶板和底板的温度测点分布．不考虑混凝土垫块的遮挡效应，以箱梁结构的外表面建立直角坐标系，顶板和底板的一维温度场模型如图2(b)和2(c)所示．10.13245/j.hust.211113.F002图2温度测点示意图(cm)3.1　定解条件3.1.1　对流边界条件当太阳辐射下混凝土箱梁的外表面接收太阳辐射时，又以对流、辐射的换热方式向大气放热，其结构热量收支是由短波和长波辐射的收支总和决定的．根据结构表面辐射平衡可得到结构导热量与表面换热量的等式，其第二类边界条件的表达式为q=βqs-hc(tw-ta)-εC0(tw4-ta4)，(5)式中：β为混凝土表面的短波吸收率，与混凝土新旧相关[4]，本研究取值为0.65；qs为实测太阳辐射强度；v为风速；hc为对流换热系数，与风速相关，其经验公式[10]为hc=4v+5.6；ε为混凝土表面的黑度系数，取值为0.88[11]；C0为斯蒂芬-玻尔兹曼常数，取值为5.67×10-8 W/(m2∙K4)[12]；tw和ta分别为混凝土表面温度和大气遮荫温度．对式(5)进行整理后可得q=αqs-(tw-ta)[hc+εC0(tw4-ta4)/(tw-ta)]．(6)令hr=εC0(tw4-ta4)/(tw-ta)，并代入式(6)，得到第三类边界条件为q=-h1[tw-(ta+αqs/h1)]．由牛顿冷却公式可得到混凝土表面的等效辐射气温的表达式[12]为te=ta+αqs/h1，(7)式中h1为混凝土表面的综合换热系数，有h1=hc+hr，其中hr为辐射换热系数．对于箱梁底板无太阳照射，取qs=0 W/m2．图3显示了9月23~28日实测太阳辐射强度和等效辐射气温的计算值．由图3可知：天气处于升温过程，太阳辐射与等效气温呈正比关系，两者变化趋势几乎相同．10.13245/j.hust.211113.F003图3太阳辐射和等效辐射气温的时程曲线为避免结构的初始温度分布不均匀引起温度场的计算误差，以连续升温第4天(9月26日)的实测数据确定箱梁顶板、底板温度场模型的定解条件．a．太阳升起时刻为6:30，以此刻计算得到箱梁顶板和底板的均匀温度约为32 °C，忽略温度场分布的微小差异(偏差约1 °C)，令初始温度t0=32 °C．b．采用傅里叶函数拟合9月26日的太阳辐射时长内(6:30—17:30)结构表面的流体温度，并转化为式(1)的形式：顶板外表面f1(τ)=33.6-32.63cos(2π(τ-1.84)/23)；底板外表面f1(τ)=30.9-4.18cos(2π(τ-3.59)/24)；箱梁内表面f2(τ)=34.2-1.75cos(2π(τ-11.5)/23)．以上公式的时间范围为τ∈(6.5~17.5 h)．3.1.2　综合换热系数取值用式(7)中h1的计算式计算箱梁不同位置处的综合换热系数，箱梁外表面的风速为实测风速的平均值，箱梁内的风速取0 m/s．则太阳辐射时长(9月26日)内箱梁顶板外表面、底板外表面和箱梁内表面的系数平均值分别为15.23，15.14和10.20．3.2　方法验证将定解条件代入级数式(4)中，取展开项n=8，可得到箱梁顶板和底板中不同位置的温度近似解，并利用有限差分法计算温度场模型的数值解，图中：C0=0 m；C4=0.22 m；其余测点位置参考图2．图4为日照时长内箱梁顶板的温度计算结果和数值结果的时程曲线，图中：直线表示数值解；圆点表示近似解．对比结果显示：a．在太阳升起时刻6:30，顶板内不同深度处(C0~C4)的温度计算值均收敛于初始值；b．顶板的温度计算结果和数值结果的时空变化规律相一致．顶板表面(C0)的温度计算值与数值结果偏差较大，在13:00出现最大误差，相对误差为1.5 ℃．10.13245/j.hust.211113.F004图4顶板温度的近似解与数值解的对比图5为日照时长内箱梁底板的温度计算结果和数值结果的时程曲线，图中：直线表示数值解；圆点表示近似解．由于底板无太阳辐射，因此边界热流扰动很小，两者的温度时程曲线几乎重合，最大误差值不超过0.1 ℃，表明太阳辐射是混凝土温度场的主要影响因素，采用积分变换法求解一维混凝土温度场是可行的．10.13245/j.hust.211113.F005图5底板温度的近似解与数值解的对比3.3　实测数据对比图6为日照时长(9月26日)内箱梁顶板温度的实测数据和计算结果的时程曲线．由于顶板的温度场模型没有考虑混凝土垫块的遮挡，因此温度测点的计算升温速率均比实测温度要快，且峰值温度均大于实测温度．如图6所示，测点C1的温度计算值比实测值提前升温近3 h，在14:30时刻温度达到最高，比实测温度高2.1 ℃．测点C2的实测最高温度与计算温度相差为2.9 ℃，相对误差为7.8%，可满足实际工程中计算精度的要求．10.13245/j.hust.211113.F006图6顶板温度的实测值与计算值的对比4 热流边界分析4.1　级数展开项个数分析级数展开项个数n对计算精度的影响．统计时域范围内(τ1~τ2)，顶板不同深度位置处温度的级数解与数值解的最大相对误差，如表1所示，展开项数越多，相对误差越小．通过对比顶板中不同位置处的误差值大小可知：结构的中心位置(C2)受边界热扰动的影响最小，级数收敛速度最快．表1中顶板外表面(C0)的热流量输入最大，级数收敛速度最慢．可取展开项n=5近似计算混凝土顶板的温度值，最大计算误差为5.9%．10.13245/j.hust.211113.T001表1级数展开项的计算精度统计n最大相对误差C0C1C2C3C4124.810.42.09.410.3214.61.85.11.75.939.83.52.33.91.747.42.33.41.02.655.91.82.12.20.865.12.31.62.51.974.42.52.01.71.184.02.42.42.11.7%4.2　边界条件类型分析箱梁内表面的对流边界和绝热边界条件对顶板温度分布的影响．首先利用9月26日白天的实测数据统计，得到箱梁内的最低、最高气温和平均气温分别为32.3 ℃，34.4 ℃和33 ℃，大气平均气温为35 ℃．为简化实际工程的应用，假定箱梁内气温为恒温，并分别取上述气温的统计值．另外，将箱梁内表面设置为绝热边界，温度场模型简化为单对流边界条件．图7为不同边界条件下箱梁顶板的竖向温度梯度的指数分布．在太阳辐射时长内箱梁顶板主要受到正温度梯度作用，不同边界条件下顶板结构的最大正温度梯度均发生在下午14:30时刻．通过对比顶板结构的温差大小可知：a．箱内气温假定为恒温时，气温值越大，结构竖向温差越小．实测气温与其平均值(33 ℃)计算得到结构的温度分布、温差大小相一致；箱内气温每偏离实测边界的平均气温1 ℃，其计算温差偏离实测边界的计算结果约为3%；b．绝热边界条件(单对流边界)的计算温差为11.9 ℃，比实测边界(双对流边界)的计算温差小2.86 ℃，等效于实测边界的平均气温升高6.3 ℃．10.13245/j.hust.211113.F007图7不同边界条件的顶板竖向温度分布综上可知：箱梁内气温可看作恒温，当没有实测气温时，其值可近似采用大气的平均温度表示，误差约为6%．对于有限域混凝土结构的温度场计算，不推荐采用绝热边界的简化方法．4.3　综合换热系数表2为综合换热系数的计算公式及取值，计算不同系数对结构温度分布的影响，图8所示为不同换热系数下箱梁顶板的竖向温度梯度的指数分布．通过对比结构温差可知：在最不利日照条件下(v=1 m/s)，结构外表面的综合换热系数越大，计算得到的竖向温差越大．采用实测边界(h1=15.23 W/(m2∙K))计算得到的温差为14.2 ℃，比规范推荐值(h1=20 W/(m2∙K))的计算值小2.3 ℃，与系数线性公式的计算值偏差均在1.6 ℃范围内．在没有实测数据的情况下，可采用h1=15.23 W/(m2∙K)计算典型天气下混凝土箱梁的最不利温差．10.13245/j.hust.211113.T002表2混凝土外表面的综合换热系数取值及计算公式方法v/(m·s-1)位置h/[W∙(m2∙K)-1]文献[12]任意风速值任意外表面20文献[13]5任意外表面9.6+0.068{ta}℃+3.7{v}m/s文献[14]1水平外表面13文献[15]任意风速值水平外表面10.2+0.053{tav}℃+4{v}m/s本研究1水平外表面15.23注：ta为大气温度；tav为大气日平均气温．10.13245/j.hust.211113.F008图8不同系数下的顶板竖向温度分布5 结论a．一维混凝土结构的温度级数解可由展开式前5项求和得到，与数值解的最大误差为5.9%．b．混凝土结构受到边界热扰动越小，级数收敛速度越快．结构正中心位置的温度级数解收敛速度最快，展开项n=1的计算结果与数值解的误差为2%．c．混凝土桥梁的遮阴边界可用实测气温的平均值代替，每偏离平均值1 ℃，其计算温差偏离实测边界的计算值约3%．d．可取综合换热系数15.23 W/(m2∙K)近似计算混凝土箱梁的最不利温度场分布．