弧门支臂布置的合理与否直接关系整体结构的安全及经济[1-2]．对于弧门支臂的布置，规范[3-7]仅规定按等载原则布置，并且要求尽量减小纵向框架平面内支臂的弯矩，使支臂更接近单向偏心受压杆件，但没有具体可行的方法．大量工程实践表明：按等载法布置的支臂会导致纵向主梁在与支臂连接处横截面转角较大，使支臂在纵向平面内产生较大弯矩而发生双向偏心受压，从而降低结构整体稳定性．为克服规范布置的缺点，使支臂更接近单向偏心受压杆件，文献[8-10]以支臂端部角位移为零，按结构力学法将纵向曲梁简化为直梁提出了表孔及深孔弧门支臂结构的合理布置方法，结果导致：a．原先受线性荷载作用的曲梁被展成直梁后水荷载不再是线性[11]；b．不能考虑纵向主梁与支臂的相互作用．而更普遍的不同水头下潜孔弧门的布置仍无法可循，为此本研究基于有限元理论，以弧门支臂在纵向框架内支臂端弯矩为零建立其纵向框架结构模型，并考虑主纵梁和支臂的相互作用来研究纵向框架的合理布置．1 等载布置法工程中为保证上、下主梁或上、下支臂的横截面相等和便于制造，规范[3-4]规定对闸门主梁按等载要求进行布置．根据作用在闸门上水头和闸门高度的关系，把弧门分为表孔和潜孔弧门，其中深孔弧门是潜孔弧门的一种特例．纵向框架支臂与主梁的连接位置可根据设计手册[12]中的公式进行计算．为有针对性地对弧门支臂结构进行布置，根据作用在面板上水头和门高的关系进一步把弧门细分为表孔、潜孔和深孔弧门，特规定：当a/H=0时，为表孔弧门，其中，a为水面到闸门顶部的距离，H为水面到闸门底部的距离；当a/H=(0，0.9]时，为潜孔弧门；当a/H=(0.9，1.0]时，为深孔弧门，即当作用在弧门顶和弧门底的荷载相差小于10%时，潜孔弧门可按深孔弧门考虑．2 理论分析法为克服等载布置方法的缺点，以更普遍的潜孔弧门为研究对象，采用理论法推导弧门最常用的二支臂和三支臂结构布置的统一理论公式．闸门在实际运行中不仅承受静水荷载的作用，还受到动水荷载、地震荷载、自重和启闭力的作用[13]，为便于对弧门支臂合理结构布置进行定量分析，仅考虑主要且长期作用的静水荷载，忽略其他荷载的影响．2.1　二支臂纵向框架结构的布置二支臂潜孔弧门结构主纵梁上的水荷载沿弧长梯形分布，而梯形分布荷载可等效于均布荷载q1=ρga和线性荷载q2=ρg(H-a)的叠加，其中：ρ为水的密度；g为重力加速度．主纵梁直接与支臂刚性连接形成平面刚架，根据与主纵梁刚接的支臂在支承处无弯矩时可将其简化为铰性支座，故由主纵梁和支臂组成的平面刚架可简化为连续梁，弧门二支臂的简化计算简图见图1，图中：α，β和γ分别为纵向主梁上、中和下段悬臂的长度系数；A和B分别为主梁与支臂连接位置．10.13245/j.hust.211117.F001图1二支臂主纵梁计算简图假设纵向主梁的刚度沿梁长度方向不变，设主纵梁长度为单位1，根据平衡条件可得均布荷载和线性荷载作用下的支座反力分别为RA1=1-2γ2βq1；RB1=1-2α2βq1；RA2=1-3γ6βq2；RB2=3(β+γ)-16βq2，式中：RA1为均布荷载q1作用下支座A处的反力；RB1为均布荷载q1作用下支座B处的反力；RA2为线性荷载q2作用下支座A处的反力；RB2为线性荷载q2作用下支座B处的反力．将梁视为一端固定的悬臂梁分别作出均布荷载q1和线性荷载q2作用下的弯矩图[14](见图2)，然后进行叠加即可得出梯形荷载作用下的弯矩图．图2中：ω1为均布荷载q1作用下弯矩图AB段之间的面积；x1为弯矩图AB段之间的面积形心到B支座的距离；ω2为线性荷载q2作用下弯矩图AB段之间的面积；x2为弯矩图AB段之间的面积形心到B支座的距离．ω1，x1，ω2和x2的计算式分别为：ω1=q1[(α+β)3-α3]/6；x1=6α2β2+4αβ3+β44[(α+β)3-α3]；ω2=q2[(α+β)4-α4]/24；x2=(α+β)5-α4(α+5β)5[(α+β)4-α4]．10.13245/j.hust.211117.F002图2二支臂主纵梁弯矩图用图乘法[15]求A和B支座处横截面转角θA和θB，可得EIθA=ω1x1/β-(1/3)(1-2γ)βq1/4+        ω2x2/β-(1/3)(1-3γ)βq2/12；(1)EIθB=ω1(1-x1/β)-(1/6)(1-2γ)βq1+ω2(1-x2/β)-(1/18)(1-3γ)βq2，(2)式中：E为材料的弹性模量；I为截面惯性矩．将α，β，γ，ω1，x1，ω2和x2计算表达式代入式(1)和式(2)，并由θA=0和θB=0化简可得：q2[-10α3β+5αβ3+2β4]=5q1(6α2β-β3)；(3)    q2[20+30α3+30α2β+15αβ2+3β3-30(α+β)]=-15q1[2+6α2+4α(β-1)-4β+β2]. (4)由α，β，γ及式(3)和式(4)，再结合q1和q2，即当a/H=0~1时，步长0.05的21组关系用Mathematica9.0编程[16]求解三元三次方程组解得α，β和γ．2.2　三支臂纵向框架结构的布置同理，作用在三支臂潜孔弧门主纵梁上的梯形水荷载可等效于均布荷载q1=ρga和线性荷载q2=ρg(H-a)的叠加．与二支臂简化结构相比，此结构为一次超静定，除静力平衡方程外还必须补充变形协调方程，以B支座为多余约束，可得变形协调方程为B支座的挠度为零．设主纵梁长度为1 m，α，β，γ和η分别为纵向主梁上、中上、中下和下段悬臂的长度系数，A，B和C分别为主梁与支臂连接位置，三支臂的简化计算图见图3．10.13245/j.hust.211117.F003图3三支臂主纵梁计算简图首先应用图乘法求出纵梁在B支座处的挠度fB和A，B，C支座处的横截面的转角θA，θB和θC；然后由fB为零条件补充均布荷载和线性荷载作用下的变形协调方程；最后由A，B和C三支座处横截面的转角为零可得ωAC1xAC1+ωAC2xAC2=(RA1+RA2)(β+γ)3/6+(RB1+RB2)γ3/6; (5)β(ωAB1+ωAB2)-(ωAB1xAB1+ωAB2xAB2)-(ωBC1xBC1+ωBC2xBC2)=(RA1+RA2)[2β3-γ2(3β+γ)]/6-(RB1+RB2)γ3/6; (6)(ωAC1+ωAC2)-(ωAC1xAC1+ωAC2xAC2)/(β+γ)=(RA1+RA2)(β+γ)2/6+(RB1+RB2)γ2(3β+2γ)/[6(β+γ)], (7)式中：ωAC1为均布荷载q1作用下弯矩图AC段之间的面积；xAC1为均布荷载q1作用下弯矩图AC段之间的面积形心到C支座的距离；ωAC2为线性荷载q2作用下弯矩图AC段之间的面积；xAC2为线性荷载q2作用下弯矩图AC段之间的面积形心到C支座的距离；ωAB1为均布荷载q1作用下弯矩图AB段之间的面积；xAB1为均布荷载q1作用下弯矩图AB段之间的面积形心到B支座的距离；ωAB2为线性荷载q2作用下弯矩图AB段之间的面积；xAB2为线性荷载q2作用下弯矩图AB段之间的面积形心到B支座的距离；ωBC1为均布荷载q1作用下弯矩图BC段之间的面积；xBC1为均布荷载q1作用下弯矩图BC段之间的面积形心到C支座的距离；ωBC2为线性荷载q2作用下弯矩图BC段之间的面积；xBC2为线性荷载q2作用下弯矩图BC段之间的面积形心到C支座的距离．同理，采用Mathematica9.0编程[16]求解十元五次方程组解得α，β，γ和η．3 有限元法采用APDL(Ansys参数化设计语言)建立弧门纵向框架结构，步骤如下：a．选取Beam188梁单元，支臂为箱形截面，主纵梁为工字型截面，建立带主纵梁的二支臂和三支臂结构的有限元模型见图4；b．确定材料特性，弹性模量和泊松比分别为206 GPa和0.3；c．施加约束，弧门支铰处采用铰接，底梁处采用竖直向上的约束；d．施加荷载，水的容重取为9.8 kN/m3；e．求解并提取结果．以弧面半径为32.0 m，水头为23.8 m的弧门为例，按照上述步骤计算756组的二支臂和三支臂弧门的布置方案．以等载布置的结果为初值，以布置点位置为变量，当主梁与支臂连接处弯矩值为零时计算终止，此时的支臂布置结果即为有限元法布置结果．10.13245/j.hust.211117.F004图4弧门纵向框架模型闸门设计规范[3-4]规定直支臂和斜支臂弧门框架单位刚度比K0的取值为3～11，为综合对比其对弧门纵向框架布置的影响，分别取单位刚度比为6.0，8.0和10.0进行计算，以二支臂弧门纵向框架布置为例进行分析，结果见图5，图中l为弧门纵向主梁上各臂段占主纵梁长度的比例．10.13245/j.hust.211117.F005图5纵梁与支臂单位刚度比对二支臂布置的影响由图5可知：弧门纵梁与支臂单位刚度比对其纵向框架布置结果没有影响，其原因为数值方法依据支臂端弯矩为零来布置弧门支臂，主纵梁和支臂间的弯矩不能传递，即支臂与纵梁连接处相当于铰支座．4 三种布置结果的对比分析以弧面半径为32.0 m弧门为例，分别按等载法、理论法和有限元法求出弧门在不同水头时表孔、潜孔和深孔的纵向框架合理布置，经无量纲化处理后的结果见图6．10.13245/j.hust.211117.F006图6二支臂和三支臂弧门纵向框架布置由图6可知：a．任意水头下二支臂和三支臂弧门纵向框架的布置都是有限元法的结果介于等载法和理论法之间，当a/H＞0.8时，有限元法与理论法的布置结果趋于一致；b．三种布置方法得到的弧门下支臂结果较为接近；c．对于表孔弧门和潜孔弧门上支臂或上、中支臂的布置，理论法和有限元法结果相近，但均与等载法布置结果有较大差异；d．随着a的增加，弧门支臂均上移但下支臂上移的幅度小于上、中支臂的上移幅度．实际工程中可根据图6快速准确查找出将要设计弧门纵向框架的合理布置结果．为比较三种方法对支臂在纵向框架平面内支臂端部弯矩的影响，以主纵梁与支臂单位刚度比为10，a/H分别为0(表孔)、0.89(潜孔)和1(深孔)时支臂端弯矩的结果见表1．10.13245/j.hust.211117.T001表1三种布置方法支臂端弯矩对比表支臂类型等载布置理论布置有限元布置二支臂表孔126.21-45.760.00-42.03-20.440.00潜孔652.40-54.530.00-295.43-3.250.00深孔6 876.30-504.000.00-3 567.33449.500.00三支臂表孔69.22-19.530.00-4.38-2.970.00-14.97-9.740.00潜孔374.47-70.250.00-8.46-3.740.00-99.8034.450.00深孔4 176.60-504.900.00-133.30-17.470.00-1 369.67466.250.00注：弯矩逆时针为正，顺时针为负，与支臂布置的顺序相同．kN•m由表1可知：采用理论法和有限元法得到的支臂端弯矩绝对值均小于等载法布置的，且采用有限元法布置的弧门总框架支臂端弯矩为零，即采用等载法得到纵向框架的支臂为大偏心受压，理论法为小偏心受压，有限元法为轴心受压．因此采用理论法和有限元法进行纵向框架布置可提高纵向框架，尤其是支臂结构的整体稳定性．5 三种布置结构的材料用量评价以弧面半径为32.0 m，水头为23.8 m的弧门为例，采用有限元软件ANSYS18.0根据两种支臂在六组主纵梁和支臂单位刚度比(5～10)下的布置结果来比较支臂结构的材料用量．选取箱形截面，为便于对比，保证箱形截面的宽和高不变，在确保支臂满足强度、刚度和稳定性的要求下，分别按偏心受压构件和轴心受压构件确定弧门支臂的截面尺寸，进而对比三种布置方法的支臂材料用量．与等载法相比，采用理论法和有限元法布置的二支臂和三支臂均可节省材料用量，且材料节省率的变化规律随主纵梁和支臂的单位刚度比变化明显，图7给出二支臂和三支臂纵向框架在单位刚度比分别为5和10下理论法和有限元法布置的材料节省率，图中φ为材料节省率．10.13245/j.hust.211117.F007图7理论法和有限元法布置时支臂框架材料节省率由图7可知：a．对于二支臂纵向框架结构，当单位刚度比不变时，随着门前水头的增加，采用理论法和有限元法布置支臂结构的材料用量节省率逐渐增加，深孔弧门的材料节省率达到最大，分别为24.69%～45.31%和32.63%～47.58%；b．对于三支臂纵向框架结构，当a/H=0.00～0.23时，采用理论法和有限元法布置支臂结构的材料用量节省率随a/H的增加而增大，当a/H=0.23～0.95时，随a/H的增加而减小，当a/H=0.95～1.00时，随a/H的增加而增大，即深孔弧门的材料节省率达到最大，分别为12.51%～25.98%和21.61%～30.01%；c．二支臂纵向框架结构的材料节省率均大于三支臂弧门结构；d．采用理论法和有限元法布置弧门支臂结构的材料用量节省率均随单位刚度比的增加而逐渐减小，且采用有限元法布置支臂结构的材料用量节省率较大；e．考虑经济性，主纵梁结构与支臂结构单位刚度比应在规范规定范围内尽可能取较小值．6 结论采用等载法、理论法和有限元法对弧门纵向框架合理布置进行了系统研究，主要结论如下．a．采用理论法依据支臂端部无转角提出了任意水头下弧门纵向框架结构合理布置的统一方法，理论法布置的支臂结构在纵向框架内为小偏心受压构件．b．依据支臂端部弯矩为零的有限元法提出了弧门纵向框架支臂合理布置方法，有限元法布置的支臂结构在纵向框架内为轴心受压构件．c．弧门主纵梁与支臂的单位刚度比对弧门纵向框架合理布置影响很小，从经济性考虑宜选用较小的单位刚度比．d．采用等载法、理论法和有限元法布置的弧门纵向框架差别较大．低水头时等载法布置结果偏下，理论法布置结果偏上，有限元法布置结果介于两者之间；高水头时理论法和有限元法的布置结果相近．