近年来，我国桥梁建设突飞猛进，其中中小跨径的钢筋混凝土桥梁因结构简单、施工方便等优点在公路桥梁中广泛应用且数量庞大．与大跨径桥梁相比，中小跨径的钢筋混凝土桥梁设计活恒载比值大，在服役期内对外部荷载更敏感[1]．当运营环境及荷载改变时，中小跨径桥梁的结构性能会发生变化且使用中容易产生开裂现象[2]；而在役桥梁构件一旦出现裂缝，其刚度降低，裂缝会使构件渗水漏气，加速钢筋的锈蚀，严重影响结构的正常使用和耐久性．特别是在交通量逐年增加和超载重车出现频率越来越高的情况下，梁体裂缝还会呈现出不断扩展的趋势．文献[3]提出了一种图像局部旋转的算法，检测混凝土表面的裂缝宽度并推导裂缝长度；文献[4]研究了北方寒冷地区预应力混凝土T梁桥裂缝的形成机理；文献[5]为了评价钢筋混凝土桥梁早期裂缝宽度，基于非线性有限元方法，提出了一种早期裂缝宽度的计算方法．文献[6]研究了影响高强混凝土梁疲劳裂缝宽度的主要因素，并建立了疲劳荷载作用下高强混凝土梁的裂缝宽度计算公式；文献[7]以损伤简支梁桥和两轴汽车为研究对象，以两轴汽车模型模拟移动车辆，利用有限元法分析不同裂缝模型对桥梁动力响应的影响；文献[8]分析了纤维混凝土结构在弯曲荷载作用下的裂缝宽度和裂缝间距的变化规律．上述研究侧重于桥梁构件裂缝检测、裂缝形成机理、裂缝计算方法及裂缝对结构性能的影响，而有关随机车辆荷载这一最主要外部荷载作用的桥梁裂缝宽度极值预测却未见研究．目前，极值理论已经发展成为基础科学中一种非常重要的统计方法，为研究极端事件的影响和分析系统风险奠定了理论基础．文献[9]基于经典极值理论得到随机车流荷载作用的简支梁桥跨中弯矩和支座剪力的极值概率分布；文献[10]考虑交通量的增长，采用改进Rice公式预测车辆荷载作用下斜拉桥主梁的最大弯矩；文献[11]采用广义Pareto分布进行车辆荷载作用的简支梁桥最大弯矩效应的预测；文献[12]提采用广义Pareto分布建立钢管混凝土系杆拱桥吊杆的车辆荷载效应极值概率分布模型．鉴于此，本研究充分考虑过桥车辆的随机性特征，基于经典极值理论，提出了普通钢筋混凝土桥梁在随机车流荷载作用下的裂缝宽度极值预测方法，为类似桥梁的设计、建造和维护提供科学的事前决策依据．1 经典极值理论及预测流程1.1　经典极值理论基于经典极值理论进行极值估计的计算方法又称为区间极值法，通过把随机过程时间历程信号等分成n个区间，选取每个区间的最大值组成新的样本进行极值估计．设X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量，分布函数为H(x)，对自然数n，令Mn=max{X1,X2,⋯,Xn}，(1)那么，存在常数列{an0}和{bn}，使得limn→∞PMn-bnan≤x=Hx (2)成立，其中P(•)为概率分布；x为实常数．那么H(x)必属于下列三种类型之一：Ⅰ型分布H1(x)=exp[-exp(-x)](-∞x+∞)；Ⅱ型分布H2(x,a)=0   (x≤0,a0),exp[-x-a]   (x0,a0);Ⅲ型分布H3(x;a)=1  (x0,a0),exp[--xa]  (x≤0,a0), (3)其中：Ⅰ型分布为Gumbel分布；Ⅱ型分布为Frechet分布；Ⅲ型分布为Weibull分布．这三种分布代表了三种不同的极值行为，可以用一个统一的表达式来表示，即H(x;μ,σ,ξ)=exp-1+ξx-μσ-1/ξ，(4)式中：μ,ξ∈R；σ0．称H(x;μ,σ,ξ)为广义极值(generalized extreme value，GEV)分布，ξ=0时为极值Ⅰ型，ξ0时为极值Ⅱ型，ξ0时为极值Ⅲ型．那么，GEV分布的p分位数为：xp=μ-σ[1-(-log p)-ξ]/ξ   (ξ≠0);μ-σlog[-log p]   (ξ=0). (5)受各种因素的影响，桥梁的车致荷载效应是典型的随机过程，荷载效应的区间最大值满足GEV分布[13]，分布函数H(x)的p分位数xp表示在未来某一时间内桥梁车致荷载效应超过xp的概率为1-p．1.2　桥梁车致裂缝宽度极值预测流程普通钢筋混凝土桥梁的车致裂缝宽度极值预测主要分为随机车流荷载的模拟、裂缝宽度的求解和裂缝宽度极值的预测三大部分．计算步骤如下．a．根据实测过桥车辆的车辆类型、车辆行驶车道、车辆质量、车辆行驶间距和车辆行驶状态的统计参数，采用蒙特卡罗随机抽样的方法生成满足实际交通状况的随机车流荷载．b．采用Midas/Civil软件的空间梁单元建立桥梁的有限元模型，求解桥梁自重产生的弯矩和桥梁在单位荷载作用下的弯矩影响面；将随机车流中各车辆的每一个车轮荷载等效为集中力，利用影响面加载的方法计算随机车流荷载产生的弯矩；根据我国《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》中的计算方法求解裂缝宽度．c．基于经典极值理论，桥梁裂缝宽度的区间最大值满足广义极值分布，采用极大似然估计法估计桥梁裂缝宽度最大值样本的广义极值分布的分布参数，建立裂缝宽度的极值预测模型，预测桥梁在未来服役期内的裂缝宽度极值．综上所述，基于随机车载作用的普通钢筋混凝土桥梁车致裂缝宽度的极值预测流程图如图1所示．10.13245/j.hust.220115.F001图1桥梁车致裂缝宽度极值预测流程图2 随机车流荷载的模拟随机车流荷载主要有车型、车道、车重和车距四个随机参数．根据车辆类型现场调查结果并参考已有的研究[14]，可以将高速公路上行驶车辆分为二轴小汽车(C1)、二轴货车(C2)、三轴货车(C3)、四轴货车(C4)、五轴货车(C5)和六轴货车(C6)共六种车型．各车型出现的频率和车辆车道选择可以采用均匀分布函数来生成[15]，各车型和车辆行驶车道的统计数据参考文献[9]．通常情况下，车辆载重可以分为空载、一般载重和重载三种情况，车辆总重的最小值是空载情况下车辆自身的质量，车辆总重的最大值与车辆的超载有关．已有的研究表明[16]：不同车型车辆的车重统计结果呈现多峰分布的特点，可以采用高斯混合分布拟合各车型车重，高斯混合分布的分布参数参考文献[17]．各车间距是随机车流中又一重要变量，根据实际交通状况，可以将交通车流划分为一般车流和密集车流，并分别采用对数正态分布和伽马分布生成车距样本[18]，不同车流的车距概率分布参数如表1所示．10.13245/j.hust.220115.T001表1车距概率分布参数对数正态分布伽马分布均值标准差形状参数尺度参数6.500.686.439.15对于中小跨径的简支梁桥而言，多车同时过桥的概率较小，多辆大型货车同时过桥的概率更小[1]．文献[9]的研究结果也表明：对于跨度小于40 m的简支梁桥，密集车流运营状态下，多车同时过桥的概率小于10%，可以不考虑过桥车流状态对桥梁车致荷载效应的影响，因此下文分析仅考虑密集车流过桥产生的荷载效应．综合考虑车型、车道、车辆质量和车辆间距的随机性特征，基于Matlab平台采用蒙特卡罗随机抽样的方法生成的密集车流样本如图2所示，图中：t为时间；m为车辆质量；n为车道编号．10.13245/j.hust.220115.F002图2密集车流样本3 桥梁车致裂缝宽度的求解以某高速公路出口处的一座普通钢筋混凝土简支T梁桥为工程背景，该桥设计年限为100 a，已运营20 a，剩余设计使用年限为80 a．桥梁跨径20 m，桥梁上部结构8片T梁组成，混凝土强度等级为C30，桥面铺装层采用10 cm厚沥青混凝土+10 cm厚C25混凝土．由于该桥为对称结构，因此图3给出半桥横断面及T型主梁横断面，图中1#~4#分别为梁的编号．10.13245/j.hust.220115.F003图3桥梁横断面(cm)随机车流的车辆数量很多，若所有车辆都采用整车模型，则计算时间较长．为了简化计算，将各车辆的载重按比例分配给每一个车轮，再将各车轮荷载简化为一个集中力，利用影响面加载计算桥梁的荷载效应．图4给出了单位集中荷载在桥面上移动时1#梁跨中弯矩的影响面，图中：M为弯矩；L为沿桥长；W为沿桥宽．10.13245/j.hust.220115.F004图41#梁跨中弯矩影响面根据我国《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》中的计算方法，钢筋混凝土构件最大裂缝宽度为Wcr=C1C2C3σSSESc+d0.3+1.4ρte，(6)式中：C1为钢筋表面形状系数；C2为长期效应影响系数；C3为与构件受力性质有关的系数；c为最外排纵向受拉钢筋的混凝土保护层厚度；d为纵向受拉钢筋直径；ρte为纵向受拉钢筋的有效配筋率；ES为钢筋弹性模量；σSS为钢筋应力σSS=MS/(0.87ASh0)，(7)其中，MS为荷载效应组合，AS为受拉区纵向钢筋，h0为截面有效高度．当考虑荷载短期效应组合时，MS=MG+0.7MQ，(8)式中：MG为构件自重产生的弯矩效应；MQ为随机车辆荷载产生的弯矩效应．采用影响面加载的方法得到桥梁车致弯矩效应，根据式(6)~(8)可以计算桥梁的车致裂缝宽度．4 桥梁车致裂缝宽度的极值预测基于1#梁车致裂缝宽度的时程模拟数据，用1 000 d的桥梁车致裂缝宽度样本数据来建立桥梁裂缝宽度的极值概率分布模型．图5给出了桥梁车致裂缝宽度1000 d最大值样本的GEV分布拟合结果，图中：S=-ln[1-H(x)]为Gumbel概率纸的标准极值变量(standard extreme variate，SEV)．从图5可以看出：经典GEV分布对桥梁裂缝宽度的日最大值样本拟合效果很好，用于裂缝宽度的极值预测是可以满足工程应用要求的．1#梁裂缝宽度极值的截口分布函数H(x)和时间T内的裂缝宽度概率分布函数HT(x)分别为：H(x)=exp-1+-0.165x-0.1650.00410.124 ；(9)HT(x)=exp-T1+-0.165x-0.1650.00410.124 ．(10)10.13245/j.hust.220115.F005图5车致裂缝宽度最大值样本的GEV分布拟合结果每年按365 d来计算，使用1000 d的样本数据预测不同重现期的裂缝宽度极值，即式(10)中HT(x)=1-1/365T所对应的裂缝宽度极值，可以通过S=-ln1-HT(x)计算不同重现期的裂缝宽度极值．图6给出了该桥1#梁剩余80 a重现期的裂缝宽度极值，即S=-ln1-1-1365×80=10.28所对应的裂缝宽度极值．从图6可以看出：剩余80 a重现期的裂缝宽度极值为0.188 mm．10.13245/j.hust.220115.F006图61#梁剩余80 a重现期的裂缝宽度极值图7给出了1#~3#梁在不同重现期的裂缝宽度极值．裂缝宽度极值随着桥梁服役时间的增加而增大．我国《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》对不同环境类别的钢筋混凝土构件最大裂缝宽度规定了限值，其中一般大气环境的钢筋混凝土构件最大裂缝宽度限值为0.2 mm．从图7可以看出：1#梁在不同服役期的裂缝宽度极值最大，2#梁次之，3#梁相对较小，这是因为1#~3#梁在行车道位置，通行重车较多．1#~3#梁在剩余80 a重现期的裂缝宽度极值分别为0.188，0.179，0.171 mm，根据目前的过桥交通量，可以预测该桥在未来服役期的车致裂缝宽度没有超过规范限值．为了保证该类梁式桥的运营安全和使用耐久性，建造时行车道位置的主梁可以加大安全储备，维护时应该重点关注．10.13245/j.hust.220115.F007图71#~3#梁不同重现期的裂缝宽度极值我国公路桥梁设计规范对过桥车辆荷载及其荷载效应定义为设计基准期100 a内具有95%保证率的最大值．根据式(10)，图8给出了1#~3#梁在剩余80 a服役期的裂缝宽度极值概率分布，具有95%保证率的裂缝宽度极值分别为0.191，0.183，0.176 mm．我国《公路桥涵设计通用规范》规定的桥梁结构整体计算采用车道荷载，其中公路-Ⅰ级车道荷载的均布荷载标准值为10.5 kN/m，20 m跨径桥梁的集中荷载标准值为300 kN，公路-Ⅱ级车道荷载的均布荷载和集中荷载的标准值按公路-Ⅰ级车道荷载的75%取值．该桥基频为5.109 Hz，按照规范计算的冲击系数为0.272，则考虑冲击系数的影响，1#~3#梁在公路-Ⅰ级车道荷载作用下的裂缝宽度分别为0.198，0.199，0.197 mm．10.13245/j.hust.220115.F008图81#~3#梁剩余80 a服役期的裂缝宽度极值的概率分布结合图8可知：在剩余80 a服役期内，由实际车流荷载产生的具有95%保证率的裂缝宽度极值小于规范车辆荷载产生的裂缝宽度，说明我国规范对普通钢筋混凝土桥梁车致裂缝宽度限值的取值有一定的安全储备．但是，我国各个地区的经济发展速度差异较大，过桥车辆交通流和桥梁运营环境也不一样，普通钢筋混凝土桥梁的裂缝宽度限值取值和在役桥梁的可靠性能评估应该结合实际情况，特别是在重工业地区和通行重车数量较多的地区．5 结论针对普通钢筋混凝土桥梁在未来服役时间的车致裂缝宽度极值预测问题，提出了基于经典极值理论的裂缝宽度极值预测方法，结合实际工程得到如下结论．a．提出的普通钢筋混凝土桥梁裂缝宽度极值预测方法是在综合考虑过桥车辆随机性特征的基础上，基于经典极值理论，通过严谨的数学推导而得到的；经典GEV分布对桥梁车致裂缝宽度1 000 d日最值样本的拟合效果很好，可以保证普通钢筋混凝土桥梁车致裂缝宽度极值预测模型的合理性和准确性．解决了对普通钢筋混凝土桥梁进行安全评估和修复加固时，如何获取桥梁结构在剩余服役期内的车致裂缝宽度极值问题，具有很好的工程应用价值且应用方便．b．在随机车辆荷载作用下，桥梁裂缝宽度极值随着重现期的增加而增大；本研究中桥梁在剩余服役期的车致裂缝宽度极值小于规范限值；为了保证桥梁在未来服役期的运营安全和使用耐久性，类似桥梁建造时可以提高行车道位置主梁的抗裂性，增加其安全储备，实际运营中应该结合当地交通车流状况，采取适当的交通管制措施．另外，提出的桥梁车致裂缝宽度极值预测方法在普通钢筋混凝土桥梁中具有普适性；有关考虑交通量增长的车辆荷载非平稳性、桥梁抗力退化时变性和桥梁运营环境时变性的普通钢筋混凝土桥梁车致裂缝宽度极值预测可以继续开展研究工作．有关B类预应力混凝土桥梁的裂缝宽度极值预测、复杂运营环境及条件下的普通钢筋混凝土桥梁和B类预应力混凝土桥梁的裂缝宽度限值取值有待进一步探究．