近年来，许多学者针对新型三参数隔振器开展了广泛深入的研究，提出了三参数流体阻尼器[1-3]及其最优阻尼的设计方法[4]，并通过引入立方刚度弹簧实现非线性阻尼[5]或者通过并联方式配置正负刚度弹簧实现隔振系统的非线性刚度特性[6]等．文献[7-8]通过将X形机构引入隔振系统，提出一种几何非线性三参数隔振器，发现在保持隔振系统高频隔振性能不变的条件下，谐振频率峰值被显著减小．文献[9]将惯容器推广应用到多个领域，包括铁路[10]、民用建筑[11]及航空器[12]等．在振动控制领域，许多学者将惯容器引入动力吸振器[13-15]或者隔振器[16-17]中，表明：惯容型动力吸振器或惯容型隔振器的有效隔振频带更宽，减隔振性能更优．综上，为了进一步改善含X形机构非线性隔振系统的低频隔振性能，本研究引入惯容器，提出新型含X形机构的惯容型隔振器，求解出非线性动力学模型的动态频响特性，将多个隔振系统的隔振性能进行对比，并针对所建模型开展关键设计参数的影响分析．1 模型建立为了方便表达，将两种隔振系统分别简称为I-M(inerter-middle)模型和I-B(inerter-below)模型．含X机构惯容型三参数隔振系统模型如图1所示，X形机构由四根长度均为l的刚性杆铰接组成．图中：kv为主支承弹簧的刚度系数；ke为线性弹簧的刚度系数；θi为刚性杆与水平轴的角度；φ为刚性杆与水平轴的夹角变化量；c为阻尼元件的阻尼系数；kh为X形机构内部弹簧的刚度系数；F为系统所受简谐激励力；M为附加质量块的质量；y1和y2分别为X形机构左右两侧活动铰接点的位移；x1为质量块的位移．在I-M模型中，x2和x3分别为惯容器b上端点和X形机构上端点的位移；在I-B模型中，x2和x3分别为X形机构上端点和下端点的位移．10.13245/j.hust.220120.F001图1含X机构惯容型三参数隔振系统模型根据牛顿第二定律，I-M和I-B模型的运动微分方程分别为：Mx¨1+kvx1+ke(x1-x2)=F,    ke(x1-x2)=[kh(y1-y2)+c(y˙1-y˙2)]tan(θi+φ),b(x¨2-x¨3)=ke(x1-x2); (1)Mx¨1+kvx1+ke(x1-x2)=F,    ke(x1-x2)=[kh(y1-y2)+c(y˙1-y˙2)]tan(θi+φ),bx¨3=ke(x1-x2). (2)I-M和I-B模型对应隔振系统的几何关系分别为：x4=x2-x3,tan(θi+φ)=lsin θi+x32lcos θi-y1,y1=lcosθi-l2-(lsin θi+x32)2,y1=-y2,y˙1=12lsin θi+x32l2-(lsin θi+x32)2dx3dt; (3)tan(θi+φ)=lsin θi+(x2-x3)/2lcos θi-y1,y1=lcos θi-l2-[lsin θi+(x2-x3)/2]2,y˙1=12lsin θi+(x2-x3)/2l2-[lsin θi+(x2-x3)/2]2dx2dt-dx3dt,y1=-y2,x4=x2-x3,式中t为时间．2 频响特性及数值验证2.1　稳态解利用谐波平衡法对图1所示的两种隔振系统在力激励条件下的频率响应特性进行求解．以I-M模型为例，将式(3)代入式(1)，得到Mx¨1+kvx1+ke(x1-x3-x4)=F0cos(ωt);ke(x1-x3-x4)=f2(x3)cx˙3+f1(x3);bx¨4=ke(x1-x3-x4),(4)式中：F0为激励力的幅值；ω为稳态激励圆频率；      f1(x3)=2kh[lcos θi-l2-(lsin θi+x3/2)2]∙(lsin θi+x3/2)/l2-(lsin θi+x3/2)2;f2(x3)=(lsin θi+x3/2)2l2-(lsin θi+x3/2)2.为了方便分析，引入以下无量纲参数：ωn=kv/M，τ=ωnt，刚度比γ1=kh/kv，γ2=ke/kv，频率比Ω=ω/ωn，u1=x1/l，u3=x3/l，u4=x4/l，惯容系数b0=b/M，阻尼比ξ=c/(2ωnM)，外部施加的激励f0=F0/(Mωn2l)．将式(4)在x=0处进行三阶泰勒级数展开忽略高次项，并代入以上无量纲参数后可得：d2u1dτ2+u1+γ2(u1-u3-u4)=f0cos(Ωτ);γ2(u1-u3-u4)=γ1tan θi2u3+2ξtan θi2du3dτ;b0d2u4dτ2=γ2(u1-u3-u4).假设u1，u3和u4的稳态解形式为u1=u10cos(Ωτ+β);u3=u30cos(Ωτ+ψ);u4=u40cos(Ωτ+α),式中：u10，u30和u40分别为相对应稳态解的位移幅值；β，ψ和α分别为相对应稳态解的相位角．系统在力激励条件下的幅频响应和相频响应分别为u10=(-f0-ED)2+(2ξEΩD)2[EC-(1-Ω2)]2+(2ξEΩC)2;u40=(-EB)2+(-2ξEΩB)2(EA-b0Ω2)2+(2ξEΩA)2;cos β=-f0-ED-4ξ2E2Ω2CDEC-(1-Ω2)EC-(1-Ω2)4ξ2E2Ω2C2EC-(1-Ω2)u10;cos α=-EB+4ξ2E2Ω2AB/(EA-b0Ω2)[(EA-b0Ω2)+(2ξEΩA)2/C]u40,式中：A=1-b0Ω2(1+γ2-Ω2)γ2(1-Ω2);B=f0/(1-Ω2);C=1γ2γ2(1-Ω2)b0Ω2-(1+γ2-Ω2);D=[f0-γ2f0/(b0Ω2)]/γ2.通过求解可知：在相同的激励条件下，I-M和I-B模型的幅频特性及相频特性均相同，因此I-B模型的求解过程不再赘述．由此，也证明所提出惯容器的两种安装方式对系统的隔振性能无影响．2.2　数值验证为了验证所得系统解析解的正确性，采用四阶龙格-库塔法进行验证．设定计算参数为：kv=2 kN/m，l=0.1 m，M=1 kg，c=1 N·s/m，γ1=0.14，γ2=ke/kv=3，θi=60°，b0=0.25．I-M隔振系统质量块M的位移幅频响应曲线如图2所示．可见：数值解和解析解计算结果一致性较好，证明所建模型的解析解正确有效．10.13245/j.hust.220120.F002图2I-M隔振系统质量块M的位移幅频响应曲线2.3　时域特性考虑到系统在实际工程环境中所受的激励一般为多频宽带稳态激励，假设系统所受稳态激励圆频率ω=21，34，47，58，89，894 rad/s．为了叙述方便，用X-M表示含X形机构非线性三参数隔振器，R-M表示传统三参数隔振器．系统传递到基础的力(ftr)响应时程曲线如图3所示．由图3可知：R-M，X-M及I-M隔振器在该时间范围内的最大力响应幅值分别为64.75，11.15和6.89 N．与R-M模型相比，I-M及X-M模型对应最大力响应幅值显著减小，且I-M模型的隔振效果最好．10.13245/j.hust.220120.F003图3传递到基础的力响应时程曲线2.4　系统非线性特性分析本文模型在X形机构内部嵌入弹簧kh和阻尼c，利用X形机构的几何非线性特性，实现非线性刚度和非线性阻尼特性．两模型的等效静刚度(Kd)和等效阻尼(Cd)相同，无量纲表达式为：Kd=1+(γ1γ2tan2θi)/(γ2+γ1tan2θi)；Cd=2ξtan2θi+sin θicos4θiu2+1+3sin2θi2cos6θiu22．可知：系统的等效刚度和等效阻尼与X形机构的杆长无关．不同初始倾角对应的系统等效刚度和等效阻尼曲线分别如图4和5所示．可见：系统的等效刚度和等效阻尼具有很强的非线性特性，且系统的等效刚度和等效阻尼随着初始倾角的增大而增大，两条曲线对应的斜率同样呈现增大的趋势，因此可以通过调整X形机构的初始倾角改善隔振器的隔振性能．10.13245/j.hust.220120.F004图4不同初始倾角对应的系统等效刚度曲线10.13245/j.hust.220120.F005图5不同初始倾角对应的系统等效阻尼曲线3 隔振效果对比以力传递率作为评价含X形机构的惯容型隔振器隔振效果的技术指标，定义为系统传递到基础上的力幅值和激励力幅值之比．力传递率的具体表达式可以写成分贝的形式，T=20lg(ftr/f0)，I-M系统传递到基础的力可以表示为ftr=f02+(-u10Ω2)2-2f0(-u10Ω2)cos α．不同类型隔振器力传递率曲线如图6所示．由图6可知：与其他两种类型隔振器不同，I-M模型可以形成一个反共振频率；在相同参数条件下，加入惯容器后，隔振系统所产生的反共振频率略低于原系统的共振频率；当激励频率等于反共振频率或处于反共振频率附近时，I-M模型的隔振效果明显优于另外两种隔振器．I-M模型在高频段的隔振效果基本与X-M隔振器相同甚至更优．综上，在非线性隔振系统中加入惯容器可以进一步改善隔振器在低频范围的隔振性能．10.13245/j.hust.220120.F006图6不同类型隔振器力传递率曲线4 关键设计参数影响分析不同刚度比γ1和γ2对应力传递率如图7和8所示．可见：随着刚度比增加，隔振系统的两个共振峰幅值增大，由惯容器引起的反共频率处的谷值更小；此外，刚度比γ1增大导致隔振系统的第二个谐振峰向高频发生移动，两谐振峰之间的带宽逐渐增大．10.13245/j.hust.220120.F007图7不同刚度比γ1对应力传递率(色标单位：dB)10.13245/j.hust.220120.F008图8不同刚度比γ2对应的力传递率(色标单位：dB)不同阻尼比ξ对应的力传递率如图9所示．随着阻尼比的增大，隔振系统的振动衰减能力增强，谐振频率基本无变化；频率比Ω=1.07附近的反共振谷值增大，反共振频率逐渐增大；在Ω3.29的频段，阻尼比越小，系统的力传递率越小，隔振效果越好．10.13245/j.hust.220120.F009图9不同阻尼比ζ对应的力传递率(色标单位：dB)不同初始角度θi对应的力传递率如图10所示．随着初始角度θi增大，隔振系统的两个谐振频率和反共振频率均向高频移动，两个谐振峰之间的带宽逐渐变大，隔振系统的第一个谐振峰的幅值逐渐增大，反共振频率对应谷值减小，第二个谐振峰的幅值逐渐减小．隔振系统在高频范围的隔振性能随着初始倾角θi的增大而变差．10.13245/j.hust.220120.F010图10不同初始角度θi对应的力传递率(色标单位：dB)惯容系数b0对应的力传递率如图11所示．随着惯容系数的增大，隔振系统反共振频率向低频移动且其对应的谷值减小，系统两个谐振峰对应的频率均向低频移动，且第一个谐振峰对应的幅值逐渐降低，第二个谐振峰的幅值则呈现相反的变化规律．10.13245/j.hust.220120.F011图11惯容系数b0对应的力传递率(色标单位：dB)5 结论提出了含X形机构的惯容型隔振器．在建立的非线性动力学模型基础上，展开分析计算，得到以下结论．a．引入惯容器后，隔振系统呈现一个反共振频率(频率比Ω=1)，当激励频率等于反共振频率时，系统的隔振效果最好．b．隔振器的刚度比和初始倾角会对隔振系统的谐振频率和反共振频率产生明显影响，且刚度比或初始倾角越大，隔振系统的共振频率和反共振频率就越大．c．阻尼在隔振系统中起到的主要作用就是抑制共振，即阻尼系数越大，隔振系统的谐振峰值和反共振频率处的谷值越大，两个峰值间的频带越宽．