少自由度并联机构具有加工制造成本低、结构简单、易于控制等优点[1]，而两转一移(2R1T)并联机构作为应用最广泛的少自由度并联机构之一，近年来受到学界与工业界的持续关注[2-3]．文献[4]基于虚拟链法，根据两条转轴之间的几何关系将2R1T三自由度并联机构进一步细分为PU，P*U*，UP和RPR四类．其中，PU与P*U*类并联机构两条转轴均靠近动平台，具有良好的姿态调整能力，已被广泛应用于多轴加工、光学调焦、运动模拟器及微操作机械手等[4]．然而，上述两类并联机构均存在一定缺陷．对于P*U*类并联机构，其运动特性复杂，当动平台发生连续转动时会产生伴随运动，且无法通过机构自身控制系统补偿[4]．为消除伴随运动，文献[5]基于李群理论，推导了不含伴随运动的几何条件，但所得PU类并联机构须满足三条支链的T字形分布且末端运动副中心须保持共线关系，降低了机构的刚度与精度[6]．PRR型并联机构两条转轴均连续确定，且不共面；与P*U*类并联机构相比，其运动特性简单，不存在时变的瞬时转轴；与文献[5]提出的PU类并联机构相比，其几何结构限制更少．在少自由度并联机构型综合领域，基于螺旋理论[7]、Grassman线几何[8]、POC方位特征集[7]、位移子群及位移流形[7]、GF集合理论[9]、共形几何代数[10]等基础理论，已经解决了许多给定期望自由度的并联机构型综合问题．近年来，针对特定运动模式的2R1T并联机构，也有学者展开了深入研究[11-12]，得到许多应用前景良好的新型2R1T并联机构．但针对移动方向固定、两条靠近动平台的异面转轴连续且确定的PRR型并联机构，目前相关研究较少．文献[13]提出了一种2PRU-PUR并联机构，基于全局平均伴随运动指标指出该机构存在的伴随运动较为明显，实际上该机构为一种具有两条连续确定转轴的PRR型并联机构．基于2PRU-PUR并联机构，文献[14]通过串联两移动导轨，得到了可用于大型结构复杂曲面加工的(2PRU-PUR)-PP五轴混联机器人．文献[15]提出了一种用于高精度铝合金构件加工的PRR型并联机构，构型为2PRU-PSR．不难发现：对于具有连续确定转轴的PRR型并联机构的研究，大多是针对某一具体机构，而具体的型综合方法仍相对匮乏且构型较为稀缺．本研究给出了具有两条连续确定转轴的PRR型并联机构的概念．基于虚拟链法和螺旋理论，提出了具有两条连续确定转轴的PRR型并联机构型综合的一般方法与设计步骤，确定了该类机构所有的约束分布情况，综合得到一系列新构型．1 PRR型并联机构PRR型并联机构结构特性如下：转轴平行于动平台时，动平台存在一平动伴随运动[16]，故PRR型并联机构的动平台必存在随绕第一条连续确定转轴的转动出现的移动；两条连续确定转轴之间的垂直长度随机构绕固结于动平台的第二条连续确定转轴的转动而变化．在螺旋理论[17]中，单位螺旋为S=(s;s0)=(s;r×s+hs)=(l,m,n;p,q,r)，(1)式中：s为沿螺旋轴线方向的单位向量；s0为螺旋的对偶部；r为螺旋轴线上任意一点的位置向量；h为螺旋的节距；(l,m,n；p,q,r)为螺旋的Plucker坐标形式．当螺旋的节距为0，即螺旋的原部与对偶部正交时，称该螺旋为线矢量；若螺旋的原部为0，则称该螺旋为偶量．进一步，角速度大小ω与运动螺旋Si之积ωSi表示刚体的瞬时螺旋运动；标量f与反螺旋Sjr之积fSjr表示作用在刚体上的力螺旋．力螺旋与运动螺旋的互易积表示两螺旋产生的瞬时功率，互易积为0表示力螺旋对运动螺旋不做功，此时运动螺旋为约束作用下允许的运动[17].不妨设PRR型并联机构的运动螺旋和力螺旋分别为ωiSi=(li,mi,n;ipi,qi,ri);fjSjr=(lj,mj,nj;pj,qj,rj), (2)式中i，j=1，2，3．则其互易积为     ωiSi∘fjSjr=lipj+miqj+nirj+pilj+qimj+rinj=ωifj[(hi+hj)cos αij-aijsin αij], (3)式中：αij为两螺旋轴线的扭角；aij为两螺旋轴线间的互矩．由式(3)可知：若机构存在转动，则约束力线矢必与该转动轴线平行(sin αij=0)或相交(aij=0)，约束力偶必与该转动轴线垂直(cos αij=0)．结合PRR型并联机构的结构特性，得出两条转轴均连续且确定的条件如下：a．第一条连续确定转轴位于所在支链中间，该支链必须提供与该转轴相交的约束力线矢或与该转轴互易的约束力螺旋；b．第二条连续确定转轴位于所在支链末端，该支链提供的约束力线矢与该转轴相交，且与第一条连续确定转轴平行；c．不相关的约束力线矢或约束螺旋必须由不同的支链提供；两条连续确定转轴所在支链，即提供不同约束力线矢的支链必须垂直布置．2 PRR型并联机构约束螺旋系PRR虚拟运动链如图1所示．图中：A和B分别为两转动副中心，A点坐标为(0，0，zA)，B点坐标为(0，yB，zB)，C为第二个转动副轴线与移动副轴线交点；等效连杆AB长度可变，其与y轴夹角为α．10.13245/j.hust.220121.F001图1PRR虚拟链及其运动螺旋与约束螺旋由螺旋理论[17]可得，图1所示PRR虚拟运动链的运动螺旋系为：S1=(0,0,0;0,0,1);S2=(1,0,0;0,zA,0);S3=(0,sin α,-cos α;-yBcos α-zBsin α,0,0). (4)对于PRR型并联机构，其动平台还应存在随绕第一条连续确定转轴的转动出现的伴随移动，不妨以(0，0，0；0，g，0)表示该运动，g为标量．(0，0，0；0，g，0)为方向平行于y轴的偶量，为自由矢量，表示沿y轴的移动运动．由螺旋的代数运算法则[17]，可得PRR型并联机构的运动螺旋系为：S1=(0,0,0;0,0,1);S2=(1,0,0;0,zA,0);S3=(0,sin α,-cos α;-yBcos α-zBsin α,g,0). (5)对式(5)求反螺旋得：S1r=(0,0,0;0,sin α,cos α);S2r=(1,0,0;0,zB,-yB);S3r=(1,m,0;-mzA,zA,-zB), (6)式中m=(yBcos α-zAsin α)/g．式(6)中约束力线矢S3r也可为一约束螺旋S3r*=(g/(yBcos α+zBsin α),1,0;-zA,sin α,cos α)．(7)由式(6)和(7)可知：PRR型并联机构存在三个独立约束，即一个约束力偶S1r、一个约束力线矢S2r、一个约束力线矢S3r或一个约束力螺旋S3r*．其中：所有约束力线矢或约束螺旋的原部均不包含z轴上的分量，即均平行于图1所示xy平面，且其中一约束力线矢/力螺旋近架，另一约束力的的远架；约束力偶始终垂直于远架约束力线矢，该约束力偶和远架约束力线矢也可由能产生等效约束力偶的两平行约束力线矢替代；近架约束力线矢或力螺旋其轴线方向是可变的，但始终与第一条连续确定转轴相交．基于上述，PRR型并联机构的一般约束螺旋系如图2所示，分别记为WS1和WS2，反映了PRR型并联机构在一般位形下的约束特性．10.13245/j.hust.220121.F002图2PRR型并联机构的一般约束螺旋系3 支链分析与综合3.1　支链类型并联机构动平台所能实现的运动为各支链所能实现运动的交集，而机构所受约束则为各支链所受约束的并集[17]．根据前文分析可知，支链产生的约束力或约束螺旋的性质决定了PRR型并联机构的转轴位置．将支链分为产生近架约束力/力螺旋、产生远架约束力和仅产生约束力偶来展开支链综合．值得指出的是：由于近架与远架约束力/力螺旋须由不同支链提供，因此能产生两个独立约束力线矢的2R1T与3R1T支链均不可行；对于不产生约束的3R3T支链，典型结构如SPS，UPS和PSS，不再赘述．3.2　产生近架约束力/力螺旋的支链根据前文结论可知，提供近架约束力的支链必存在一万向副或球面副位于该支链中间．根据文献[18]提出的机构转动自由度条件，支链还能够提供垂直于第二条连续转轴的两个移动自由度，由于第二条连续转轴的方位与支链中的第一条连续转轴相关，因此提供这两个移动自由度的转动副轴线必与第一条连续确定转轴垂直．产生近架约束力的支链仅能为PUR与PSR，同样地，产生近架约束力螺旋的支链仅能为PUU与RSR，图3给出了PUR与PUU支链的结构简图，它们在初始位形均能产生一近架约束力(fc)，P为移动副，R为转动副，U为万向副．必须指出的是，PRR型并联机构中仅能存在一条产生近架约束力/力螺旋的支链．10.13245/j.hust.220121.F003图3PUR与PUU支链的结构简图3.3　产生远架约束力的支链远架约束力位于支链末端，且方向固定，故支链中必存在轴线垂直或相交的转动副位于该支链末端，而支链中其余转动副轴线方向固定．圆柱副可视为轴线重合的移动副与转动副的组合．2T2R支链末端必为万向副或轴线垂直的转动副与圆柱副，如图4所示PRU和PRC支链(C为圆柱副)，布置时支链中第一个转动副的轴线须与机构的第一条连续确定转轴平行．其余产生远架约束力与一约束力偶的支链如表1所示．表1中，P，R和C的下标表示其在局部坐标系下的轴线方向，万向副U的两个上标表示其在局部坐标系下的两条轴线方向；提供远架约束力的PzzUxxUy支链与提供近架约束螺旋的PzyUxxUz支链分别记为PUUy与PUUz以区分．10.13245/j.hust.220121.F004图4PRU和PRC支链结构简图10.13245/j.hust.220121.T001表1产生远架约束力/力偶的支链结构支链类型约束性质支链结构产生近架约束力/力螺旋一约束力一约束力偶PzyUxRx一约束力PzSRx一约束螺旋RxSRx，PzyUxxUz产生远架约束力一约束力一约束力偶PzRxxUy，RxPxUy，RxRxxUy，PzRxCy，RxPCy，RxRxCy一约束力zUxRxCy，zUxPCy，PzzUxCy，zUxRxxUy，zUxPxUy，PzzUxxUyPzRxS，RxRxS，RxPS，PzRxRxyUz，RxPRxyUz，RxRxRxyUzPzRx(xURy)N，RxRx(xURy)N，RxP(xURy)N，PzRxCyRz，RxPCyRz，RxRxCyRz仅产生约束力偶一约束力偶PzRxxUyRy，RxRxxUyRy，RxPxUyRy，CxRxxUy，CxxUyRy，RxCyRyRyRxxUyPRy，RxxUyRyRy，RxRxPRyRy2T3R支链可由2T2R支链添加一个线性无关的转动副得到．为保证产生的约束力平行于xy平面，当该转动副位于支链起始时，其必平行于z轴，如图5(a)所示PUC支链；当该转动副位于支链末端时，其轴线与原2T2R支链的交点决定了约束力线矢的位置，如图5(b)所示RP(UR)N支链，N为添加的线性无关的转动副轴线与2T2R支链末端轴线的交点．其余产生远架约束力的支链如表1所示．10.13245/j.hust.220121.F005图5PUC和RP(UR)N支链的结构简图3.4　仅产生约束力偶的支链产生约束力偶的支链实际为一类3T2R支链，由于PRR型并联机构约束螺旋系中的约束力偶仅与绕第一条连续确定转轴的转角相关，因此该类支链中最后的转动轴线只能随一组平行的转动副改变方向，如图6所示PRUR与RPUR支链．布置时，该类的支链的第一个转动副的轴线必须与机构的第一条连续确定转轴平行．其余仅产生约束力偶的支链如表1所示．10.13245/j.hust.220121.F006图6PRUR与RPUR支链的结构简图4 PRR型并联机构型综合4.1　PRR型并联机构型综合基本步骤基于上述分析，具体的型综合步骤如下．a．选定一PRR型并联机构的约束螺旋系，确定其中冗余约束的性质与数目．b．从表1中分别选择两条能产生近架约束力/力螺旋及远架约束力的支链，根据冗余约束的性质与数目确定第三条支链的类型．c．根据转轴连续确定条件和所挑选支链的结构约束特性得到机构的具体布置．d．根据所得布置条件装配选取支链即可得到对应约束情况下的PRR型并联机构．为更好地表示不同约束分布(以符号CD表示)情况下支链间的关系，定义如下概念：Пi(i=1，2，3)表示各支链；∥表示两支链中第一个转动副的轴线始终平行；÷表示两支链的末端运动副中心始终在同一直线上；⊥表示支链所在平面在初始位形下垂直；⊙表示无特定几何关系限制；∧表示两支链必须同时满足相应几何关系．综合时，以DLf表示产生一远架约束力的支链，DLf&c表示产生一远架约束力与一约束力偶的支链，OLc表示产生一约束力偶的支链，NL表示不产生约束的支链．4.2　满足WS1的PRR型并联机构型综合WS1共存在4种冗余约束情形，对应的约束分布、支链选择及其布置条件如表2所示，共有13种支链分布情况．10.13245/j.hust.220121.T002表2WS1对应的约束分布、支链选择及其布置条件冗余约束约束分布支链分布支链1支链2支链3布置条件无(CD11)一近架约束力与两平行远架约束力，一近架约束力与一远架约束力及一约束力偶1PSRDLfDLf(П2∥∧÷П3)⊥П12PSRDLf&cNL(П1⊥П2)⊙П33PSRDLfOLc(П1⊥П2)∥П34PURDLfNL(П1⊥П2)⊙П3一冗余约束力偶或一冗余约束力(CD12)一近架约束力与两平行远架约束力及一约束力偶，一近架约束力与一远架约束力及两相同约束力偶1PSRDLf&cOLc(П1⊥П2)∥П32PSRDLf&cDLf(П2∥∧÷П3)⊥П13PURDLfDLf(П2∥∧÷П3)⊥П14PURDLfOLc(П1⊥П2)∥П35PURDLf&cNL(П1⊥∧∥П2)⊙П3一冗余约束力与一冗余约束力偶或两冗余约束力偶(CD13)一近架约束力与两平行远架约束力及两相同约束力偶，一近架约束力与一远架约束力及三相同约束力偶1PSRDLf&cDLf&c(П2∥∧÷П3)⊥П12PURDLf&cDLf(П2∥∧÷П3)⊥П13PURDLf&cOLc(П1⊥П2)∥П3一冗余约束力与两冗余约束力偶(CD14)一近架约束力与两平行远架约束力及三相同约束力偶1PURDLf&cDLf&c(П2∥∧÷П3)⊥П1根据布置条件装配各支链，可得到大量PRR型并联机构，图7给出了表2中满足WS1的4种情况(PSR-2RPS，PSR-PUUy-PRUR，PUR-PRU-RUPR和PUR-2PRC)对应的典型构型三维模型及其转轴．文献[13]中2PRU-PUR并联机构属于情况CD14-1；而文献[15]中2PRU-PSR并联机构属于情况CD13-1．10.13245/j.hust.220121.F007图7满足WS1的4种情况对应的典型构型三维模型及其转轴4.3　满足WS2的PRR型并联机构型综合WS2共存在3种冗余约束情形，对应的约束分布、支链选择及其布置条件如表3所示，共有6种支链分布情况．10.13245/j.hust.220121.T003表3WS 2对应的约束分布、支链选择及其布置条件冗余约束约束分布支链分布支链1支链2支链3布置条件无(CD21)一近架约束力螺旋与两平行远架约束力一近架约束力螺旋与一远架约束力及一约束力偶1RSR/PUUzDLfDLf(П2∥∧÷П3)⊥П12RSR/PUUzDLf&cNL(П1⊥П2)⊙П33RSR/PUUzDLfOLc(П2∥П3)⊥П1一冗余约束力偶或一冗余约束力(CD22)一近架约束力螺旋与两平行远架约束力及一约束力偶一近架约束力螺旋与一远架约束力及两相同约束力偶1RSR/PUUzDLf&cOLc(П2∥П3)⊥П12RSR/PUUzDLf&cDLf(П2∥∧÷П3)⊥П1一冗余约束力与一冗余约束力偶(CD23)一近架约束力螺旋与两平行远架约束力及两相同约束力偶1RSR/PUUzDLf&cDLf&c(П2∥∧÷П3)⊥П1同样地，以此可综合得到大量PRR型并联机构，图8给出了表3中4种不同情况(RSR-2RRS，RSR-RP(UR)N-RUPR，PUUz-2PRUR和RSR-2RRC)所对应的典型构型三维模型及其转轴．10.13245/j.hust.220121.F008图8满足WS2的4种情况对应的典型构型三维模型及其转轴5 结论a．提出了PRR型并联机构的概念，基于虚拟链法与螺旋理论，得到了PRR型并联机构的约束螺旋系，结合结构特性对支链进行了综合．b．确定了具有两条连续确定转轴的PRR型并联机构的具体综合步骤，根据不同的约束螺旋系，给出了不同冗余约束情况下的具体约束分布情况及其对应的支链布置条件．以此综合得到一系列新型PRR型并联机构，为后续的分析与优化奠定基础．10.13245/j.hust.220121.F009