反共振隔振器最早应用于直升机旋翼隔振，其基本原理是在隔振器结构中引入双端点性质的惯性元件，在调谐状态下利用惯性元件的惯性力抵消弹性元件的弹性力，形成反共振隔离线谱激励．与动力吸振器相似，调谐时反共振隔振器发挥优异的隔振性能，但失调谐时，其隔振效果将大打折扣．为应对反共振隔振器固有频率、阻尼系数和激励频率等内外参数变化带来的隔振效果不稳定性问题，文献[1-2]采用半主动控制策略，分别通过改变惯性和刚度进行反共振频率随激励频率的自适应变化．但在半主动控制方法有效实现跟踪激励频率变化的条件下，隔振效果最终还是取决于反共振隔振器的优化设计．若设计出受参数变动敏感性小的反共振隔振器结构形式，则不需要复杂的控制系统，也能从根本上改善其隔振性能．双端点性质的惯性元件是构成反共振隔振器的关键．文献[3]从理论上对这类双端点性质的惯性元件进行定义，提出惯容概念：两端点惯性力与相对加速度成正比．目前已探索出机械式、液压式等惯容装置[4]．惯容具有两个独立、自由端点，可以同弹簧、阻尼两端点元件进行串并联组合，这极大地拓展了反共振隔振器结构形式，也为研究对于参数变动不敏感的反共振隔振器结构提供条件．当前关于惯容减振结构的研究主要限于单惯容，即以一个惯容与弹簧、阻尼组成隔振器结构，针对性地组合成不同结构形式进行隔振特性分析[5-9]．一方面，这种正向分析方法的不足之处在于排列组合不充分，不清楚反共振隔振器结构的组成规律；另一方面，由单惯容可综合三型反共振隔振器结构[10]，应用于共振抑制时存在工作频带窄的问题，适应内外参数变动的鲁棒性能不足．本研究将反共振隔振器结构综合作为改善其隔振性能的一种技术途径．根据惯容-弹簧机械系统和电容-电感电气系统的严格相似性[3]，借鉴电网络综合理论，对惯容和弹簧二类无源元件组成的任意结构进行统一的数学表达，综合出反共振隔振器的一般结构形式，揭示其结构具有惯容-弹簧二元件串联和并联的周期性规律．利用这一周期结构规律，提高反共振隔振器隔振效果和改善鲁棒性能．针对不同周期结构数，分别采用半解析半数值和数值优化方法进行参数设计，在优化状态下分析隔振性能及其参数影响规律．研究的多周期结构反共振隔振器可为工程上设计隔振效果和鲁棒性俱佳的被动隔振系统提供可行方案．1 反共振隔振器结构将反共振隔振器结构看作由惯容和弹簧二类无源元件组成的机械网络，可实现的成立性条件是驱动点函数G(s)满足如下性质[11]：G(s)是关于复变量s的有理正实奇函数；G(s)的零点和极点都在虚轴上．由上述条件，惯容-弹簧机械网络的驱动点函数G(s)可表示成如下形式G(s)=Ks∏i=1n(s2+ωzi2)∏i=1N(s2+ωpi2)   (2n+1-2N≤1)；(1)或G(s)=K∏i=1n(s2+ωzi2)s∏i=1N(s2+ωpi2)   (2N+1-2n≤1)，(2)式中：K为常系数；ωzi为反共振频率；ωpi为共振频率；n和N为分子和分母连乘项数的关系，由有理函数和正实函数的性质得出．不失一般性，将G(s)按部分分式展开G(s)=K∞s+K0s+∑i=1NKiss2+ωpi2，(3)式中，K0和K∞分别为G(s)在s=0和s=∞处的留数；Ki=2Ress=jωpiG(s)．根据正实函数的等价条件，K∞，K0和Ki都是非负数．G(s)可以按阻抗和导纳进行综合．当按阻抗综合时，根据“并联阻抗等于各支路阻抗之和”的性质，式(3)中K∞s对应于单惯容元件，K0/s对应于单弹簧元件，∑i=1NKiss2+ωpi2则对应于N个并联的惯容-弹簧二元件串联支路．当按导纳综合时，根据“串联导纳等于各支路导纳之和”的性质，式(3)中：K∞s对应于单弹簧元件；K0/s对应于单惯容元件；∑i=1NKiss2+ωpi2则对应于N个串联的惯容-弹簧二元件并联支路．惯容元件没有刚度，不能承载振源质量，当垂直方向隔振时，惯容须有与之并联的弹簧予以保护，符合此结构要求的反共振隔振器才有工程可行性．本研究仅分析按导纳综合的反共振隔振器，结构见图1，图中：k为单弹簧刚度；bi，ci和ki为周期结构的惯质、阻尼和刚度．由单弹簧元件和周期性串联支路的惯容-弹簧二元件组成．将并联的惯容-弹簧二元件称之为反共振隔振器的周期结构，其决定反共振频率，每增加一个反共振频率，相应增加一个周期结构．为方便表述，将不同数量周期结构的反共振隔振器描述为N-AVI，N为周期结构的数量．10.13245/j.hust.220122.F001图1按导纳综合的反共振隔振器结构实际隔振器中还存在阻尼成分，根据阻尼与惯容、弹簧的组合规律，并联阻尼不会破坏惯容-弹簧的反共振特性，阻尼ci以并联方式排列在反共振隔振器结构中，见图1中虚线所示．与惯容并联的阻尼是全局性质阻尼，可同时控制共振峰值和反共振峰值[11]．2 反共振隔振传递函数以传递函数描述隔振系统隔振特性．在基础刚性条件下，单层隔振系统的力传递函数为T=ZiZm+Zi，(4)式中：Zm=ms2为振源阻抗，m为振源质量；Zi为反共振隔振器阻抗．根据图1反共振隔振器导纳综合结构，具体化其阻抗为Zi=1k+∑i=1N1bis2+cis+ki-1．(5)结合式(4)和(5)可总结图1反共振隔振器隔振特性如下：一是周期结构在共振区发挥共振抑制作用，在越过共振区进入刚度控制区后，由单弹簧发挥中高频隔振作用；二是反共振隔振器阻抗函数零点对应于周期结构共振频率，决定反共振特性；三是反共振隔振器阻抗函数零点数量对应于周期结构数量，决定反共振隔振带宽；四是传递函数分母多项式和分子多项式的阶数差为2阶，与周期结构数量无关，中高频传递率的衰减速率与传统隔振器一致．多周期结构反共振隔振器可实现在抑制共振峰的同时，不降低中高频隔振效果．令s=jω，ω为固有频率；ωn=k/m，频率比γ=ω/ωn，ωi=ki/bi，质量比ui=bi/m，λi=ωi/ωn，阻尼比ζi=ci/(2biki) (i=1,2,⋯,N)，将式(4)代入式(5)，推导出无量纲力传递函数为T=-γ21+∑i=1N1ui-γ2+j2ζiλiγ+λi2+1-1．(6)以下基于无量纲力传递函数开展多周期结构反共振隔振器参数优化和隔振性能分析．3 2-AVI隔振性能3.1　三固定点调谐优化将N=2代入式(6)，根据Den Hartog固定点理论[12]，推导发现传递曲线T存在三个与阻尼无关的固定点．考虑阻尼的极限情况如下：当ζ1=0，ζ2=∞时，代入式(6)得T1=-γ2+λ12γ4-(1+λ12+1/u1)γ2+λ12；(7)当ζ1=∞，ζ2=0时，代入式(6)得T2=-γ2+λ22γ4-(1+λ22+1/u2)γ2+λ22；(8)当ζ1=∞，ζ2=∞时，代入式(6)得T3=1/(-γ2+1)．(9)传递曲线T1，T2和T3见图2，共有7个交点，关注内侧的3个交点，以P，S和Q表示．P是传递曲线T1和T3在低频域的交点，因ζ2=∞，故P是与阻尼比ζ1无关的固定点；Q是传递曲线T2和T3在高频域的交点，因ζ1=∞，故Q是与阻尼比ζ2无关的固定点；S是传递曲线T1和T2的中间交点，与阻尼比ζ1和ζ2都无关．10.13245/j.hust.220122.F002图2传递曲线T1，T2和T3基于三固定点P，S和Q开展2-AVI动力参数调谐优化，基本步骤是：先令固定点P，S和Q幅值相等，确定优化调谐比；再令固定点P，S和Q为极大值点，确定优化阻尼比．固定点P横坐标γP由式(7)和(9)确定，根据相位关系，求解得γP=121+λ12+12u1-1+λ12+12u12-4λ12．(10)固定点Q横坐标γQ由式(8)和(9)确定，根据相位关系，求解得γQ=121+λ22+12u2+1+λ22+12u22-4λ22．(11)固定点S横坐标γS由式(7)和式(8)确定，根据相位关系有-γ2+λ12γ4-1+λ12+1u1γ2+λ12=--γ2+λ22γ4-1+λ22+1u2γ2+λ22. (12)式(12)是关于γ的6次方程，共有3个根，采用Cardano公式求解，γS是第2个根．固定点P和Q都在传递曲线T3上，将γP和γQ代入式(9)，根据相位关系有T3(γP)=-T3(γQ)；再考虑固定点P和S幅值相等条件，将γP和γS分别代入式(9)和(8)，有T3(γP)=T2(γS)．联立求解，以u1和u2为自变量进行赋值，得到优化调谐比λ1opt和λ2opt．当传递曲线T在固定点P，S和Q有最大值时，严密求解须先推导式(6)关于γ的微分，再代入γP，γQ和γS，获解优化阻尼比ζ1opt和ζ2opt．3.2　传递特性式(6)阶数较高，无法推导出优化解析解表达式，编程计算出其优化数值解．取u1=u2，图3为优化调谐比和优化阻尼比与质量比的关系．随质量比增大，两调谐比逐渐靠近，表明反共振隔振频带缩窄；两阻尼比递减，意味着共振峰成升高趋势．调谐优化后的2-AVI力传递特性见图4．二周期结构的2-AVI传递曲线整体呈现凸台特征，共振峰平坦化．质量比越小，共振峰值越低，共振峰宽度越大；反之，质量比增大，共振峰以收缩之势升高．10.13245/j.hust.220122.F003图3优化调谐比和优化阻尼比与质量比的关系10.13245/j.hust.220122.F004图4调谐优化后的2-AVI力传递特性共振峰值表征反共振隔振效果，共振峰宽度反映反共振隔振带宽，两者都决定于质量比．对于2-AVI，当u120时，共振峰值和共振峰宽度关于质量比变化的灵敏度较高，调节质量比对改善隔振性能有效果．4 N-AVI隔振性能4.1　粒子群优化当N≥3时，传递曲线T不满足固定点条件，无法进行调谐优化，为此采用粒子群优化算法开展N-AVI动力参数优化[15]，描述如下．a．设计变量：λi和ζi(i=1,2,⋯,N)．b．约束条件：调谐比λi范围参照图4中2-AVI传递曲线共振峰最大宽度取值，设定约束条件λi∈[0.5,1.5]．阻尼比ζi根据单自由度系统共振峰产生条件(阻尼比小于1/2)取值，设定约束条件ζi∈[0.01,0.70]．c．目标函数：理论上N-AVI传递曲线T有N+1个共振峰．为拓展反共振隔振带宽，应使得各共振峰值相接近，波动幅度小，故优化目标确定为共振峰值及其波动量最小化．为此，定义共振峰平均值和方差两个目标函数f1(λi,ζi)=1N+1∑i=1N+1Tmaxi；f2(λi,ζi)=1N+1∑i=1N+1Tmaxi-1N+1∑i=1N+1Tmaxi2,式中Tmaxi为第i个共振峰值．采用线性加权法将两个目标函数以加权求和方式转化为单目标函数，通过分配加权系数，可突出主要优化目标，其数学式为min f(λi,ζi)=αf1(λi,ζi)+1-αf2(λi,ζi)，式中α为加权系数．试算发现：改变加权系数，共振峰值波动幅度变大，以共振峰值方差最小化作为主要优化目标，取α=0.2．4.2　传递特性取N=4，6，以单质量比ui=20为例，编程计算得到优化调谐比、优化阻尼比及共振峰值，列于表1．可以看出：周期结构反共振频率都调谐到隔振系统固有频率附近．在相同单质量比条件下，增加周期结构数可降低共振峰值．10.13245/j.hust.220122.T001表1优化调谐比、优化阻尼比及共振峰值N优化调谐比优化阻尼比共振峰值41.183 60.108 12.6091.003 40.140 70.885 80.150 60.732 40.146 961.227 20.236 92.2041.162 50.168 61.043 70.148 90.850 30.155 10.792 00.302 50.677 30.159 7改变单质量比时，优化状态下4-AVI的力传递特性如图5所示．与2-AVI规律相似，共振峰值和共振峰宽度与质量比成负相关．在继续增加周期结构后，传递曲线共振峰更趋于平坦化，呈现无明显共振形态；同时，共振峰值关于质量比变化的幅度也更小．10.13245/j.hust.220122.F005图5优化状态下4-AVI力传递特性5 隔振性能比较共振峰值和共振峰宽度是表征反共振隔振器隔振性能的两个重要指标．由上述分析可知：两者关于质量比和周期结构数的变化规律是一致的，为此从共振峰值维度分析比较隔振性能．不同周期结构数共振峰值比较如图6所示．可以看出：增加周期结构数对抑制共振峰值有利，尤其当质量比较大时，改善效果更显著．随着周期结构数的增加，共振峰值减小幅度趋缓，周期结构数大于4之后共振峰值进一步减小幅度有限．在实际应用中，4-AVI是比较合适的选择．10.13245/j.hust.220122.F006图6不同周期结构数共振峰值比较当总质量比一定时，将单周期结构替换为多周期结构，可显著抑制共振峰值，在周期结构数达到4以上后，传递曲线进入无共振形态．以上是在优化状态下分析增加周期结构数的影响效果．工程中，计算和测试误差及隔振器长期使用后动力参数变化等都将导致调谐比和阻尼比偏离优化状态．对于1-AVI，其失调谐相当于整个隔振系统的设计偏离，因此非优化状态下的隔振性能对于反共振隔振器更加至关重要．在总质量比∑i=1Nui=20不变条件下，阻尼比变化时不同周期结构数共振峰值如图7所示．图中：r为比例；ζiopt为第i个周期结构优化阻尼比．可以看出：相比于1-AVI和2-AVI，4-AVI和6-AVI在较大阻尼变化范围内共振峰值的变动幅度都小很多．10.13245/j.hust.220122.F007图7总质量不变阻尼比变化时不同周期结构数共振峰值同样，按相同比例变化优化调谐比，计算得到不同周期结构数共振峰值见图8．由于多周期结构反共振隔振器的反共振频率在隔振系统固有频率前后附近分布，因此对隔振系统固有频率变化具有更强的适应性，共振峰值变动幅度就更平缓，隔振效果也更稳定．尤其当周期结构数较多时，优化设计的反共振频率越符合正态分布规律，即使出现个体周期结构的反共振频率的变化，也不会导致中心调谐频率有太大波动，反共振隔振系统不受参数变动的鲁棒性大为提高．10.13245/j.hust.220122.F008图8不同周期结构数共振峰值6 结论a．反共振隔振器导纳综合结构由单弹簧元件和并联的惯容-弹簧二元件周期结构串联而成；周期结构决定反共振频率，每增加一个反共振频率，相应须增加一个周期结构．b．多周期结构反共振隔振器传递曲线呈现凸台形态，共振峰具有典型的平坦化特征；增加周期结构数，可抑制共振峰值，同时拓宽反共振隔振频带．c．多周期结构反共振隔振器隔振性能具有更佳的鲁棒性，可适应参数变动而不会出现隔振效果的大幅下降；工程中将周期结构数上限取为4较合适．