自锚式悬索桥将主缆直接锚固于梁端，在保持悬索桥优美线形的同时增加了地形适应性[1]，成为城市桥梁设计中极具竞争力的桥型之一[2]．目前，这类桥型的分析理论主要包括弹性理论、挠度理论及有限位移理论．基于有限位移理论的有限元法虽具有较高的计算精度，但建模较复杂及缺乏直观力学表达使其在初步设计阶段并不适宜[3-5]．采用挠度理论对自锚式悬索桥进行分析可以在考虑非线性的同时忽略许多次要因素，计算精度又与有限位移理论相接近[6]．此外，挠度理论采用解析的表达式，对研究设计参数与结构受力之间的关系更为直观．挠度理论被广泛应用于地锚式悬索桥的设计中．文献[7]将挠度理论计算方法引入到自锚式悬索桥计算领域，并采用有限元分析证实了其适用性．文献[8]考虑主梁轴向压缩应变能的影响，得到自锚式悬索桥基本微分方程．文献[9]采用力法分析思路编写了单塔和双塔自锚式悬索桥的计算程序．文献[10]采用代换梁法求解挠度理论微分方程，分析比较了自锚式悬索桥和地锚式悬索桥的异同点．文献[6，11]提出了考虑主梁初始拱度的挠度理论．上述研究对象均是考虑塔梁处竖向支承的基本情况，而在实际的应用中往往会有中央扣、塔梁纵向连接等措施；同时，自锚式悬索桥属于自平衡受力体系，缆梁及塔梁连接会直接影响外荷载在缆梁间的分配．文献[12]建议在单塔自锚式桥塔处设置纵向限位装置．文献[13]以主跨406 m的自锚式悬索桥为背景，认为设置刚性中央扣比柔性中央扣更能提高结构的刚度．文献[14]在平胜大桥选型的过程中提出了塔梁之间设置竖向支座、水平弹性支座及横向抗风支座的基本构想．文献[15]对比分析塔梁铰接、塔梁固结及加劲梁全漂浮体系的受力特性，认为设计应针对性处理塔梁连接构造．可以看出：塔梁及缆梁连接对悬索桥传力途径有较大的影响，选择合适的连接措施对结构整体受力至关重要．特别地，在自锚式悬索桥中，塔梁及缆梁连接形式会直接影响主梁活载作用下轴向力，从解析角度考虑这些连接形式，可以清楚解析塔、缆、梁之间的刚度匹配关系，为结构优化设计奠定基础．本研究首先采用挠度理论推导考虑塔梁及缆梁连接的解析计算模型，并给出该方法的计算流程；然后以实际桥梁为例，采用有限元法对提出的模型进行验证；最后针对塔梁连接及缆梁连接刚度对结构的受力影响进行参数分析．1 基本理论模型如图1所示，图中：li为主梁各部分长度(i=1~4)；∆0和∆4为锚固点水平位移；∆1和∆3为塔顶水平位移；∆2为缆梁连接处主缆水平位移；k1和k2为塔梁纵向连接刚度；kh为缆梁之间的中央扣纵向刚度；Hcli为主缆活载作用下的水平力；Bi和Bhi分别为主塔总高度及塔梁连接处的高度；∆g1和∆g3为塔梁连接处的主梁水平位移；∆g2为缆梁连接处的主梁水平位移；∆t1和∆t2为塔梁连接处的主塔水平位移；F1和F3为塔梁之间的相互作用力；F2为缆梁之间的相互作用力；Hgli为主梁在活载作用下轴力．考虑中央扣及塔梁连接的影响，主缆和主梁将划分为四个部分．10.13245/j.hust.220114.F001图1模型示意图恒载下各部分主缆微段的平衡方程为-Hcdid2yidx2=gc+fhdi，(1)式中：Hcdi为恒载下主缆水平力；yi为各跨主缆纵坐标；x为跨径方向坐标；gc为主缆自重荷载集度；fhdi为恒载下吊杆索力分布集度．考虑主梁轴向力作用，则主梁恒载作用下的平衡方程为kIgid4zdx4+Hgdid2zdx2=ggi-fhdi，(2)式中：kIgi为主梁抗弯刚度；z为主梁成桥拱度；Hgdi为主梁恒载轴力；ggi为主梁恒载分布集度．在恒载和活载pi(x)作用下，主缆的平衡方程为-(Hcdi+Hcli)d2yidx2+d2ηidx2=gc+fhi，(3)式中：ηi为各跨主缆和加劲梁活载挠度；fhi为吊杆恒载和活载共同作用下的荷载分布集度．主梁在恒载和活载作用下的平衡方程为kIgid4zdx4+d4ηidx4+(Hgdi+Hgli)d2zdx2+d2ηidx2=ggi+pi(x)-fhi, (4)式(4)减去式(2)得到主梁活载作用下的平衡微分方程，同时利用式(1)和(3)消去fhi和fhdi，得到kIgid4ηidx4=pi(x)-Hglid2zdx2+Hclid2yidx2+(Hcli+Hcdi-Hgli-Hgdi)d2ηidx2. (5)理想的成桥状态下，主塔不承受弯矩，即塔两侧主缆水平力相等Hcd1=Hcd2=Hcd3=Hcd4．(6)恒载作用下，塔缆梁在连接处无相对位移，主梁全桥范围内轴力等于锚固点主缆水平力，而活载作用下仅两边跨轴力恒等于锚固点主缆水平力，即Hgd1=Hgd2=Hgd3=Hgd4=Hcd4=Hcd1;          Hgl1=Hcl1;Hgl4=Hcl4. (7)将式(6)和(7)带入(5)有kIgid4ηidx4=pi(x)-Hglid2zdx2+Hclid2yidx2+(Hcli-Hgli)d2ηidx2. (8)2 塔梁及缆梁关系如图1所示，缆梁及塔梁纵向连接采用水平弹簧模拟，塔梁之间的相互作用力F1和F3表示为：F1=k1(Δg1-Δt1);F3=k2(Δg3-Δt2). (9)假定主塔截面无变化，则塔顶及塔梁连接处的水平位移为Δti=Hcl2i-Hcl2i-1ktiBhi2(3Bi-Bhi)2Bi3+F2i-1ktiBhiBi3;Δ2i-1=Hcl2i-Hcl2i-1kti+F2i-1ktiBhi2(3Bi-Bhi)2Bi3, (10)式中：i=1,2；kt1和kt2为主塔纵向抗弯刚度．中跨主缆与主梁之间的中央扣纵向刚度为kh，则缆梁之间相互作用力F2为F2=kh(Δg2-Δ2)=Hcl2-Hcl3．(11)根据图1(d)，主梁的轴向受力和变形关系为Hgl1=Hcl1,   Hgl2=Hcl1-F1,Hgl3=Hcl4+F3,    Hgl4=Hcl4,Hcl1-Hcl4-F1-F2-F3=0; (12)Δg0=Δ0,Hg1ili/kAgi±αgiΔtgili=Δgi-1-ΔgiΔg4=Δ4,,  (13)式中αgi和∆tgi分别为主梁温度线膨胀系数及温度变化量；i=1~4．式(9)~(13)包含23个未知数，19个线性方程，因而其他未知数可采用Hcl1~Hcl4表达，则方程(9)简化为：kIg1d4η1dx4=p1(x)-Hcl1d2zdx2+Hcl1d2y1dx2;      kIg2d4η2dx4=p2(x)-(Hcl1-F1)d2zdx2+Hcl2d2y2dx2+(Hcl2-Hcl1+F1)d2η2dx2;      kIg3d4η3dx4=p3(x)-(Hcl4+F3)d2zdx2+Hcl3d2y3dx2+(Hcl3-Hcl4-F3)d2η3dx2;kIg4d4η4dx4=p4(x)-Hcl4d2zdx2+Hcl4d2y4dx2. (14)3 相容方程及求解过程3.1　相容方程方程(14)含有8个未知数Hcl1~Hcl4及η1~η4，须补充4个协调方程．在桥梁运营过程中，加劲梁两端锚固点间的变形受到两个因素的影响，即：活载水平轴压力对加劲梁的弹性压缩；主缆在温差下产生的胀缩量等，     HclikAci∫0lidxcos3θ±αcΔtc∫0lidxcos2θ-∫0lidyidxdηi=Δi-Δi-1, (15)式中：kAci为主缆轴向刚度；αc和Δtc分别为主缆温度线膨胀系数及温度变化量；θ为主缆微段倾角；i=1~4．3.2　求解过程根据前述推导分析，考虑了塔缆梁连接的基本微分方程变为非线性，具体表现为主跨方程存在非线性项(Hcl2-Hcl1+F1)d2η2/dx和(Hcl3-Hcl4-F3)d2η3/dx．类比地锚式悬索桥分析，计算采用代换梁法，区别于地锚式的等代梁在全跨范围内为受拉梁，而自锚式仅在中跨存在轴向力，根据式(12)和(13)可得到Hcl2-Hcl1+F1=Hcl3-Hcl4-F3，因此该简支梁存在受拉梁、受压梁和轴向不受力三种情况．简支受拉梁计算同地锚式，表1列出了简支受压梁典型加载模式下的位移和弯矩计算公式．表中：L为主梁跨长；M为支点弯矩；q为均布荷载；N为轴向压力；ε=L/N/k，k为主梁抗弯刚度；ξ=x/L；ξ'=1-x/L．10.13245/j.hust.220114.T001表1简支受压梁不同加载模式下的位移和弯矩解计算公式加载模式挠度弯矩左支点弯矩MNsin(εξ')sin(εL)-ξ'Msin(εξ')sin ε右支点弯矩MNsin(εξ)sin(εL)-ξMsin(εξ)sin ε均布荷载qL2N1ε2cosε(0.5-ξ)cos(ε/2)-1-ξξ'2qL2ε2cosε(0.5-ξ)cos(ε/2)-1具体求解流程如下．a．假定各跨主缆的水平力初值Hcl10~Hcl40．b．将主缆的水平力初值带入式(10)~(14)，求解出Hgl1~Hgl4，F1~F3及∆0~∆4．c．将计算得到的相互作用力F1(F3)代入Hcl2-Hcl1+F1和Hcl3-Hcl4-F3，判别代换梁的轴向受力情况．d．采用图乘法求解连续梁支点弯矩Mip和MiHcli，求解代换梁的挠度ηi．e．将挠度ηi和塔缆关键点位移∆0~∆4代入方程(15)，得到各跨主缆水平力计算值Hcl11~Hcl41，判断收敛条件εε0是否满足，若满足则停止迭代计算，否则更新主缆水平力，并返回步骤b，直至满足收敛条件中止计算，ε=∑i=14(Hclit-Hclit-1)2．4 模型验证及讨论4.1　模型验证以某矢跨比为1/6的双塔自锚式悬索桥(见图2)为例进行模型验证．10.13245/j.hust.220114.F002图2某双塔自锚式悬索桥分别采用有限元法(FEM)和解析方法(PM)计算塔缆梁纵向无约束(k1=k2=kh=0)、缆梁纵向固结(k1=k2=0，kh→0)和塔梁纵向约束(k1=k2=50 MN/m，kh=0)3种体系在5种活载工况(LC1为中跨满跨加载；LC2为左边跨及中跨加载；LC3为全桥满载；LC4为中跨半跨加载；LC5为缆梁整体升温25 ℃)下的模型位移和内力．图3给出了5种活载工况下塔缆梁纵向无约束、缆梁纵向固结及塔梁纵向约束(50 MN/m)的主梁竖向位移(D)，阴影部分表示工况LC1和LC5的5%误差限．可以看出：a．不同活载工况下三种约束体系通过解析模型得到的主梁竖向位移与有限元结果符合较好，缆梁纵向固结解析计算误差均小于5%，而塔缆梁纵向无约束及塔梁纵向约束在工况LC2和LC4部分误差超出了5%，且解析计算结果大于有限元结果，这主要由于工况LC2和LC4的荷载不对称，引起的吊杆倾斜较大，解析模型未能考虑；b．同一荷载工况下，塔梁纵向约束与塔缆梁纵向无约束所得到的结果基本相同，二者的位移控制工况均为LC4，而缆梁纵向固结在LC1，LC3和LC5工况下的位移响应和塔梁纵向限位及塔缆梁纵向无约束相同，但是在LC4工况下的最大竖向位移减小33.7%，此体系的位移控制工况也转变为LC1，这也证实了中央扣对主缆的纵向约束是悬索桥活载挠度从W形转化为V形的重要原因[16]．10.13245/j.hust.220114.F003图35种活载工况下塔缆梁纵向无约束、缆梁纵向固结及塔梁纵向约束的主梁纵向位移表2给出了活载作用下的主塔纵向位移，表中：DFEM和DPM分别为采用有限元法和解析方法计算的主塔纵向位移．10.13245/j.hust.220114.T002表2活载作用下的主塔纵向位移约束方式荷载工况左塔右塔DFEM/mmDPM/mm误差/%DFEM/mmDPM/mm误差/%纵向无约束LC190.57696.0766.07-90.576-96.0766.07LC259.57762.9865.72-59.577-62.9865.72LC328.70129.8584.03-28.701-29.8584.03LC445.60248.0855.44-45.602-48.0855.44LC5-27.062-25.6935.0628.56225.6935.06带中央扣(刚性)LC190.57696.0766.07-90.576-96.0766.07LC259.63362.9865.62-59.633-62.9865.62LC328.70129.8584.03-28.701-29.8584.03LC445.28948.0856.17-45.289-48.0856.17LC5-27.062-25.6935.0628.56225.6935.06带塔梁连接(50 MN/m)LC190.65296.0395.94-90.652-96.0395.94LC240.26542.2594.95-79.149-83.6915.74LC328.76529.8763.86-28.765-29.8763.86LC459.66663.0905.74-31.686-33.0394.27LC5-28.149-26.5875.5528.14926.5875.55结果表明：不同工况下，3种纵向约束体系的解析模型结果与有限元结果符合较好，最大误差为6.17%．与纵向无约束体系相比，缆梁纵向约束并不会对主塔在活载下的位移有影响，而塔梁纵向连接在对称荷载LC1，LC3及LC5下无影响，但是在非对称荷载LC2和LC4下会明显改变塔顶的位移状况．4.2　参数分析4.2.1　缆梁纵向连接刚度针对缆梁纵向连接刚度为0，10，50，100 MN/m和无穷大(纵向固结)5种情形进行讨论，荷载考虑为上节得到的不利工况LC1和LC4．不同缆梁纵向连接刚度下梁塔位移如图4所示，图中：Dmax为主梁最大竖向位移；S为主塔纵向位移．10.13245/j.hust.220114.F004图4不同缆梁纵向连接刚度下梁塔位移图4(a)表明：对称荷载LC1下，缆梁纵向约束刚度变化对主梁最大竖向位移无影响，而在非对称荷载LC4下有明显减小作用，随着缆梁连接刚度从0增加到无穷，主梁最大竖向位移减小了33.7%，且位移控制工况也由LC4转变为LC1．原因在于缆梁纵向连接限制了非对称荷载下主缆和主梁之间相对位移，使得主缆承受的荷载比例上升，主梁竖向位移减小．图4(b)为工况LC4下的梁端纵向位移，可以看出：随着缆梁纵向约束刚度的增加，梁端位移逐渐增大，左右两侧分别增大60.6%和54.3%．图4(c)给出了塔顶在工况LC1和LC4下的纵向位移响应，其中：左塔位移为正代表正方向；右塔位移为正代表负方向．无论在对称荷载还是非对称荷载作用下，不同的缆梁纵向约束刚度并不会给塔顶的纵向位移带来改变．表3给出了LC4工况下的主缆水平力，可得：在非对称荷载LC4作用下，加载侧的主缆水平力Hcl1和Hcl2会随着纵向约束刚度的增大而增大，而非加载侧则相反，但各塔两侧的水平力差值始终保持为定值，且两塔的差值保持恒等，这点可由塔梁及缆梁关系式(11)和(12)得到，此时塔梁连接刚度为0，则F1=F3=0，消去式(12)中的F2，得到恒等式Hcl2-Hcl1=Hcl3-Hcl4．10.13245/j.hust.220114.T003表3LC4工况下的主缆水平力约束方式Hcl1Hcl2Hcl2-Hcl1Hcl3Hcl4Hcl3-Hcl4无约束2 884.724 740.871 856.154 740.872 884.721 856.1510 MN/m3 275.705 131.851 856.154 349.892 493.741 856.1550 MN/m4 159.806 015.951 856.153 465.791 609.641 856.15100 MN/m4 662.226 518.371 856.152 963.381 107.231 856.15纵向固结5 816.127 672.271 856.151 809.48-46.671 856.15kN4.2.2　塔梁连接刚度针对塔梁连接刚度为0，10，50，100，500 MN/m和无穷大(纵向固结)6种情形进行讨论．不同塔梁纵向连接刚度下梁塔位移如图5所示．10.13245/j.hust.220114.F005图5不同塔梁纵向连接刚度下梁塔位移图5(a)表明：LC1和LC4作用下，塔梁纵向约束刚度变化对主梁最大竖向位移影响甚微；纵向刚度由0增大到无穷时，工况LC4下主梁最大竖向位移仅减小3.2%．图5(b)为工况LC4下的梁端纵向位移，可以看出：随着塔梁纵向约束刚度的增加，梁端纵向位移逐渐减小．图5(c)给出了塔顶在工况LC1和LC4的纵向位移响应，其中：左塔位移为正代表正方向；右塔位移为正代表负方向．表明在对称荷载LC1作用下，不同塔梁纵向约束刚度并不会给塔顶纵向位移带来改变；而在非对称荷载LC4作用下，左塔塔顶位移随约束刚度的增大而增大，增大幅度为46.3%，右侧塔顶位移随约束刚度的增大而减小，减小幅度为49.8%，二者的变化速率绝对值接近．5 结论以挠度理论为基础，推导了考虑塔梁及缆梁连接的双塔自锚式悬索桥解析模型，并对不同连接刚度进行参数分析，得到的主要结论如下．a．对于自锚式悬索桥，考虑塔梁及缆梁纵向连接的挠度理论平衡方程为非线性，采用代换梁法进行求解时，主梁两边跨等代为简支梁，而中跨等代梁则存在简支梁、简支受拉梁和简支受压梁三种情形．利用解析模型得到的计算结果与有限元结果差异较小，可以用于结构的初步设计．b．设置缆梁纵向约束对结构竖向刚度影响显著，随着约束刚度的加强，其在半主跨加载下的位移呈现递减趋势，达到一定约束时刚度会改变主梁挠度控制工况，这一约束也会导致活载挠度包络从W形转化为V形．在对称荷载作用下，缆梁纵向约束与塔缆梁纵向无约束、塔梁纵向约束体系所得到的结构内力及位移响应基本一致，且在非对称荷载下，缆梁纵向约束与塔缆梁纵向无约束的主塔位移呈现对称的特性．c．仅考虑塔梁纵向连接时，其约束刚度大小对结构竖向位移影响甚微，但随着约束刚度的增加，其对主梁纵向位移的控制有较好效果．