随着高端制造业的发展与技术进步，高速度、高稳定性的数控装备受到广泛关注．双驱进给系统因其具有刚度大、稳定性好、响应速度快等优点而广泛用于大跨距、大行程、重载、高精密的数控装备中[1]，但由于双驱进给系统结构的特性，双轴之间实时相互耦合等因素导致双轴产生误差．为提高其定位精度，研究双驱进给系统定位误差补偿问题具有重要的现实意义．在定位误差建模方面，建模方法主要分为函数拟合逼近法与插值法[2-3]，另外，基于统计学规律或机器学习理论的误差建模方式也日趋完善，例如时间序列法、神经网络法[4]、谐波分析法、灰色理论[5]、支持向量机及贝叶斯网络法等[6-7]．虽然这些建模方法的预测精度高，但存在计算量大、程序设计难度高等缺点，而且针对双驱进给系统定位误差建模缺乏一种多因素定位误差模型．双驱同步控制方法是提高双驱进给系统定位精度的重要方法．双驱进给系统的同步控制方法主要采用交叉耦合控制方法[8]及基于交叉耦合控制思路的各种衍生控制方式，如模糊交叉耦合[9]、自适应交叉耦合、环式交叉耦合等．现有研究中缺乏一套针对双驱进给系统较为通用的定位误差补偿方法，大多集中于从控制的角度出发，通过改善进给系统伺服特性，提升双轴同步精度，从而提高整体定位精度．另外，国外众多数控系统的同步模块底层并不开放，导致难以将设计的误差补偿方法应用到数控系统中，如何针对龙门移动式双驱进给系统进行定位误差补偿值得进一步研究．本研究针对双驱进给系统定位误差补偿问题，以龙门移动式双驱进给系统为研究对象，通过对不同进给位置及进给速度下的定位误差数据分析，采用正交多项式与牛顿插值法，建立高精度双轴定位误差预测模型，并基于开放式数控系统提出一种双驱进给系统定位误差补偿方法，最后进行误差补偿实验，验证了本方法的有效性．1 定位误差建模龙门移动式双驱进给系统是指在单方向上采用双电机+双传动装置平行布置，共同驱动构件移动．传动装置由滚珠丝杠、丝杠螺母、直线导轨、滑块及联轴器等部件组成．1.1　定位误差来源进给系统的定位误差是指执行机构末端执行位置与理想位置指令的差值．一般造成定位误差的原因有安装几何误差、伺服控制系统误差和传动系统受力产生的变形误差[10]，本研究从机械传动系统的角度分析定位误差的来源．通过双驱进给系统定位误差数据与双驱进给系统特性来分析双驱进给系统定位误差补偿方法．1.1.1　丝杠螺母组件传动误差滚珠丝杠螺母组件是机械传动系统的重要环节，当电机输出转矩作用于滚珠丝杠时，滚珠丝杠会产生轴向变形、扭转变形等，导致传动末端产生定位误差[11]．丝杠的轴向变形量可表示为ΔX=(Fs-Ff)/KZ, (1)式中：Fs为丝杠所受轴向力；Ff为进给系统所受摩擦力；KZ为丝杠轴向刚度．以采用两端固定支承方式的滚珠丝杠进行分析，其轴向刚度可表示为KZ=πd2E41l+1L-l, (2)式中：d为丝杠直径；E为丝杠弹性模量；l为丝杠螺母到一端轴承的距离；L为两端轴承距离．丝杠的螺距变形量为ΔXp=SdΔX/L, (3)式中Sd为丝杠导程．由式(1)～(3)可得丝杠轴向变形引起的定位误差为δZ=ΔXpθ2π=ΔXSdθ2πL=(Fs-Ff)Sdθ2πKZL,式中θ为电机输出转角．丝杠的扭转变形会引起实际丝杠转动角度与电机输出角度的转角差，其扭转变形量主要与丝杠扭转刚度KN有关，丝杠扭转变形可表示为δθ=T/KN,式中T为丝杠所受转矩．丝杠扭转变形引起的定位误差可表示为δN=Sdδθ/(2π).1.1.2　进给系统摩擦力误差机械传动系统所受的摩擦力会导致稳态跟踪误差产生，进而影响进给系统定位精度．采用斯特里贝克(Stribeck)摩擦模型来表征龙门移动式双驱进给系统的摩擦力[12]，则可表示如下Ff=[μmmg+(μsmg-μmmg)exp(-v/vs)]∙sgn(v)+fvv,式中：v为进给系统进给速度；μs为静摩擦系数；μm为动摩擦系数；m为进给系统质量；vs为斯特里贝克速度；fv为黏滞摩擦系数．可以看出进给系统摩擦力与进给速度相关，进给系统在运行过程中受到摩擦力的影响而产生定位误差．由上述理论分析可知，造成进给系统的定位误差δ与进给位置x和进给速度相关，进而可表示为δ=f(x,v)．此外，进给系统不可避免地存在装配误差和伺服控制误差，在运动中这些误差会复映到进给系统的执行末端，影响进给系统的定位精度．1.2　定位误差测量利用自主搭建的龙门移动式双驱进给系统误差检测系统进行龙门移动方向双轴定位误差测量，误差测量参照ISO230-3测量标准[13]．通过X1和X2轴两侧的光栅尺位移传感器对X1和X2轴定位误差测量．测量时双驱进给系统采用主从同步控制方法，设置X1轴为主轴时对X1轴定位误差测量，设置X2轴为主轴时对X2轴进行定位误差测量，以降低同步控制策略对双轴定位误差测量的影响，提高误差测量准确性．测0～2 000 mm行程内龙门进给方向的定位误差，以200 mm位置间隔等间距划分测量点，测量点数为11个．速度范围为0～5 000 mm/min，以500 mm/min的速度间隔进行测量，并采取多次测量取平均值的方式记录测量结果，以减小测量过程中随机误差的影响．将测量的起点设置为横梁移动的坐标原点，每次测量均须回到坐标原点进行．不同进给速度下X1和X2轴定位误差测量结果如图1所示，图中：δX1和δX2分别为X1和X2轴定位误差；x1和x2分别为X1和X2轴移动的位移．10.13245/j.hust.211205.F001 图1 双轴定位误差结果 1—500 mm/min；2—1 000 mm/min；3—1 500 mm/min； 4—2 000 mm/min；5—2 500 mm/min；6—3 000 mm/min；7—3 500 mm/min；8—4 000 mm/min；9—4 500 mm/min；10—5 000 mm/min． 图1(a)和(b)分别为不同速度下X1轴和X2轴定位误差，可以看出随着位移的增大双轴的定位误差呈现累积增大趋势，误差数值为负表示实际位移小于指令位移．另外，速度越快定位误差越有增大的趋势．X1轴定位误差和X2轴定位误差趋势并不完全相同，可能与双轴机械特性不同有关．1.3　速度-位置定位误差预测模型由定位误差测量结果可知定位误差与进给速度和进给轴位置相关，因此本研究结合正交多项式回归理论及牛顿插值算法，建立进给轴位置、进给速度与定位误差的数学模型．将定位误差δ表示为坐标位置X的p次多项式δ=β0+β1X+β2X2+…+βpXp, (4)式中：δ为坐标位置X处的定位误差；β0为回归常数；βi (i=1，2，…，p)为回归系数．对式(4)作函数变换，X=φ(x),X2=φ2(x),…，Xp=φp(x),得δ=β0+β1φ1(x)+β2φ2(x)+…+βpφp(x).本研究利用牛顿插值法建立进给速度与误差回归系数的数学模型，牛顿插值法的优势是当插值节点增加时，只对增加项进行计算，无须重复计算基本插值公式且便于编程[14]．牛顿插值方程为β(v)=β(v0)+β[v0,v1](v-v0)+β[v0,v1,v2](v-v0)(v-v1)+…+β[v0,v1,v2,…,vn](v-v0)∙(v-v1)…(v-vn-1).可以得到速度-位置定位误差预测模型为δ(v,x)=∑i=0pλiβi(v)φi(x),式中λi为比例系数．本研究以对X2轴定位误差测量结果分析为例，每个进给速度下有11组误差实验数据，选择N=11的正交多项式表，根据回归系数公式计算回归系数．同理可得不同速度下各回归系数如表1所示．10.13245/j.hust.211205.T001表1不同速度下各回归系数计算表v/(mm•min-1)β0β1β2β3β4500-77.278-12.6170.777-0.211-0.4991 000-41.939-8.3900.052-0.153-0.6221 500-60.874-10.4690.427-0.192-0.4512 000-68.085-10.9700.597-0.239-0.3352 500-74.682-11.5700.796-0.272-0.4013 000-77.698-11.5101.028-0.251-0.3743 500-76.301-11.2101.084-0.241-0.3784 000-76.663-11.2851.013-0.260-0.2934 500-69.203-10.2300.932-0.255-0.4315 000-66.516-10.2980.837-0.219-0.500为防止局部出现龙格现象，选择速度节点数据为500，1 500，2 500，3 500，4 500和5 000 mm/min进行牛顿插值建模，根据牛顿插值公式得到进给速度与各回归系数的表达式：      β0(v)=5.002×10-16v5-8.162×10-12v4+5.084×10-8v3-1.492×10-4v2+1.952v-143.461;      β1(v)=5.285×10-17v5-8.362×10-13v4+5.093×10-9v3-1.491×10-5v2+2.025×10-2v-19.610;      β2(v)=-1.487×10-17v5+2.444×10-13v4-1.515×10-9v3+4.327×10-6v2-5.306×10-3v+2.523;     β3(v)=-1.244×10-18v5+1.554×10-14v4-6.224×10-11v3+6.716×10-8v2+5.166×10-5v-0.211;     β4(v)=4.499×10-19v5-6.658×10-15v4+3.573×10-11v3-8.440×10-8v2+8.716×10-5v-0.068.由此可得X2轴定位误差预测模型为δX2=β0(v)+β1(v)x+β2(v)x2+5β3(v)x3/6+β4(v)x4/12. (5)通过式(5)，可得到任意进给速度及进给位置下的X2轴定位误差．同理，由上述方法可以计算获得X1轴的速度-位置定位误差预测模型．2 双驱定位误差补偿方法传统双驱进给系统误差补偿方法是将双轴解耦，单独对每个进给轴进行补偿，未考虑同步误差与定位误差之间的关系，最终导致系统精度受到影响．基于传统交叉耦合控制思路，本研究提出基于交叉耦合控制的双驱定位误差补偿方法，不仅考虑了双驱进给系统在运动过程中双轴运动特性的耦合影响，还考虑了双轴同步误差与单轴跟踪误差的耦合关系，使得进给系统在保持较好定位精度的同时，增强双驱同步运动的稳定性，减小同步误差．2.1　单轴位置环非线性控制本研究采用永磁同步交流伺服电机，控制方式从内到外依次是电流环控制、速度环控制和位置环控制，其控制器采用比例-积分-微分(PID)控制算法进行设计．传统PID控制器参数固定，不能反映控制量与偏差信号的非线性关系，考虑到微分系数变化过快易引起系统震荡，并且需要较多参数才能实现非线性控制，不利于实时控制[15]．本研究采用位置环非线性比例-积分(PI)控制方法进行改进，针对位置环中比例和积分环节进行非线性函数设计．基于参数整定原理，设计比例函数Kp(e(t))和积分函数Ki(e(t))为Kp(e(t))=ap+bp[1-sech(cpe(t))];Ki(e(t))=aisech(bie(t)),式中：e(t)为控制系统时变误差；ap，bp和cp为比例函数的比例系数；ai和bi为积分函数的比例系数．2.2　双驱进给系统交叉耦合控制模型在双驱进给系统伺服控制过程中，设X1和X2轴理想位置指令分别为x1和x2，X1和X2轴实际运动位置分别为x1'和x2'，则双驱进给系统的双轴跟踪误差δX1和δX2与同步误差δsync可表示如下：δX1=x1-x1';δX2=x2-x2';δsync=x1'-x2'.为了充分考虑单轴的跟踪误差与双轴的同步误差之间的耦合关系，定义包含跟踪误差与同步误差的耦合误差δx1*和δx2*，以及耦合系数γ1和γ2，其数学形式可以表示如下：δx1*=δX1+γ1δsync;δx2*=δX2+γ2δsync.由前所述在不同进给速度下，定位误差呈现出一定的规律性变化，故将进给速度因素引入到交叉耦合同步控制策略中，对传统交叉耦合控制结构进行改进，进一步改善同步轴的跟踪精度与同步精度．将同步误差作为交叉耦合器的输入端，为了减小交叉耦合控制的滞后性，增强系统稳定性，将交叉耦合控制器设计为比例-微分(PD)控制结构，使同步误差信号在最短的时间内得到强化调节．结合单轴位置环非线性PI控制模型，得到双驱进给系统交叉耦合控制框图，如图2中右边虚线框所示．在Matlab/Simulink中建立双驱进给系统同步控制仿真模型，对仿真模型进行不同信号输入，综合考虑输出信号的响应性能、超调性能、稳定性能与双轴同步误差大小，最终获得参数整定结果．10.13245/j.hust.211205.F002图2龙门移动式双驱进给系统定位误差补偿框图2.3　基于交叉耦合控制的定位误差补偿模型结合前文所建立的双轴定位误差预测模型与双轴交叉耦合同步控制模型，最终得到龙门移动式双驱进给系统定位误差补偿框图如图2所示．基于交叉耦合控制的双驱进给系统定位误差补偿模型包含虚拟轴-位置外部触发和双轴同步控制．具体实施步骤是通过上位机将运动指令传输至虚拟轴中，经数控(NC)位置发生器得到每个周期内的伺服轴运动数据．利用C#语言进行双轴定位误差预测模型编程，由可编程逻辑控制器(PLC)程序提取进给轴位置指令、进给速度信息，并将运动信息输给定位误差预测模型，计算得到当前运动参数下的双轴误差值．通过位置外部发生器输出误差补偿值，将其传递至基于交叉耦合的同步控制算法的输入端，最终将实际位置指令输出到执行机构并使其运动，从而完成双驱进给系统定位误差补偿．3 双驱进给系统误差补偿实验3.1　误差补偿实验过程为了实现定位误差能主动补偿到控制系统中，提高双驱进给系统定位精度，本研究提出一种虚拟轴-位置外部触发的定位误差实时补偿方法，有助于实现双电机或多电机进给系统误差补偿．采用BECKHOFF控制系统，在自带控制软件TwinCAT中创建一根虚拟轴，命名为X_Virtual，虚拟轴不关联任何实际物理轴，用于接收数控指令并进行无误差的理想运动；创建两根编码器轴，分别命名为X1_Actual和X2_Actual，与实际的电机轴相连接，接收修正后位置指令并分别控制X1和X2轴；以IEC61161-3规范进行PLC程序编写，进行位置外部触发模块开发．将运动指令实时发给虚拟轴，NC位置发生器实时获得虚拟轴的运动信息，计算得到每一NC周期的目标位置和速度，并作为理想数据发送给建立的误差预测模型，通过误差预测模型计算得到该运动信息下的误差预测值，修正理想位置指令．通过TwinCAT工程插件TE1400，将在Simulink中建立的交叉耦合同步控制框图编译成带有输入、输出接口的TcCOM模块，导入TwinCAT运行核中实时执行．通过位置外部触发模块将定位误差补偿修正值叠加在实际轴输入端，并与同步算法输入变量进行连接，经过PD交叉耦合控制得到最终修正后的X1和X2轴实际位置指令，实现双驱进给系统双轴定位误差补偿．为验证本研究提出的龙门移动式双驱进给系统误差补偿方法的有效性，在龙门移动式数控机床上开展误差补偿实验，采用双频激光干涉仪进行补偿后的误差数据采集．图3为定位误差检测图．10.13245/j.hust.211205.F003图3龙门移动式双驱进给系统定位误差检测3.2　误差补偿实验结果选择进给速度为700，1 700，2 700，3 700和4 700 mm/min，进行误差补偿实验验证，并进行等位置间隔200 mm误差数据采集．X1和X2轴定位误差与双轴同步误差结果见表2．10.13245/j.hust.211205.T002表2不同速度定位误差补偿结果误差类别进给速度/(mm•min-1)补偿前最大误差/μm补偿后最大误差/μm提高百分比/%X1轴定位误差700101.224.5695.501 700103.685.0195.172 700108.714.8795.523 700116.353.2297.234 700121.826.6794.52X2轴定位误差700113.159.4691.641 700103.469.3390.982 700112.565.6894.953 700121.477.9793.444 700131.736.8394.82同步误差70031.515.0783.911 70026.486.7574.512 70032.775.6982.643 70036.894.8286.934 70045.634.4590.25从表2补偿实验结果可以发现：经过补偿后X1和X2轴在不同进给速度下的最大定位误差都大幅度减小，补偿后的误差均在±10 μm以内，其中X1轴的定位精度提高94%以上，X2轴的定位精度提高90%以上．补偿后的同步误差限制在±6.8 μm以内，精度提高74%以上．在运动过程中同步误差比未考虑双轴耦合特性误差补偿波动范围更小．4 结论a. 龙门移动式双驱进给系统中X1轴和X2轴定位误差随进给速度和进给位置变化而变化，在一定进给速度下定位误差随进给位置增大而积累，在相同位置下进给速度越大定位误差有增大的趋势．b. 本研究建立的基于交叉耦合控制策略的双驱进给系统定位误差补偿方法考虑了双驱进给系统特有的双轴耦合影响，可以提高双轴定位精度和同步动态性能．还考虑了单轴跟踪误差与双轴同步误差之间的耦合影响，实验结果表明补偿后单轴定位精度和双轴同步精度显著提升，为双驱进给系统误差补偿提供了新方法、新思路．