工作在3～30 MHz的高频雷达是一种超视距探测海洋表面状态的重要工具[1-2]．在合适的工作参数配置下，利用雷达发射信号与海面波浪的布拉格(Bragg）后向散射，并结合多普勒效应，高频雷达能够测量超过300 km的海洋表面流[3]．目前，高频雷达输出的海洋表面流可以应用在很多领域，例如海洋与气候研究[4]、海洋污染物或漂浮物追踪[5]、海岸和港口管理等．在实际应用中，高频雷达同时输出两种海洋表面流场，即径向流场和矢量流场．径向流场能够直接从单个雷达收集到的海洋回波中提取，而矢量流场则必须由至少两个雷达站得到的径向流场进行矢量合成，因此径向流的测量误差将会传递到矢量流的测量结果中．虽然目前的一些研究分析了径向流测量误差对矢量流测量的影响，但是却没有描述矢量流误差与径向流误差之间量化关系的模型．文献[6]通过仿真确认了中等程度的径向流方位估计误差将会导致15%的矢量流流速误差和9°的矢量流流向误差．文献[7]也指出矢量流误差与径向流误差是正相关的，但是这些研究都没有给出矢量流误差与径向流误差之间的定量关系模型．文献[8]引入了误差几何缩放因子来描述径向流误差与矢量流误差之间的关系，但是没有给出该因子的解析表达式．文献[9]虽然给出了误差几何缩放因子的解析表达式，但是该表达式把矢量流误差分解成沿着流向和垂直于流向两个方向，这种矢量流误差分解方式与矢量流通常地按照东西和南北分量的表示方式不符．文献[10]全面地分析了径向流误差的来源，并表示在未来的工作中将研究径向流误差到矢量流误差的转移关系．在已有研究的基础上，本研究将推导任意雷达站点数目下径向流误差到矢量流误差的传播关系的解析表达式．此外，将利用实测数据来检验实际中误差几何缩放因子与径向流误差和矢量流误差之间的关系是否符合．1 误差转移关系当利用高频雷达测量海洋表面流时，单个雷达站仅能够测得径向流，要得到矢量流则须要利用至少两个以上间隔合适距离的雷达站输出的径向流来进行矢量合成[11]．为了一般化，这里考虑利用m(m1)个雷达站来测量矢量流．图1展示了m个站点情况下矢量流与各个雷达站测得的径向流之间的几何关系，用vi(i=1,2,…,m)表示第i个雷达站测量得到的径向流，对应的矢量流V则可表示为东西分量ve和南北分量vn之和．10.13245/j.hust.211217.F001图1矢量流与径向流的几何关系实际上，每一个雷达测得的径向流都是矢量流在该雷达视角方向上的投影，根据这种投影关系有[v1,v2,…,vm]T=b[ve,vn]T, (1)b=cos θ1sin θ1cos θ2sin θ2⋮cos θmsin θm, (2)式中θi为以第i个雷达站点为参考的被测海面元位置所在的方位角．因此，根据式(1)有[ve,vn]T=(bTb)-1bT[v1,v2,…,vm]T. (3)把式(2)带入式(3)有ve=λ∑i=1mvi(cos θi∑j=1msin2θj-sin θi∑j=1msin θjcos θj) ; (4)vn=λ∑i=1mvi(sin θi∑j=1mcos2θj-cos θi∑j=1msin θjcos θj), (5)式中λ=∑i=1mcos2θi∑i=1msin2θi-∑i=1mcos θisin θi2-1. (6)由于每个雷达站点的径向流观测结果是相互独立的，因此ve和vn的误差可表示为：δe=λ∑i=1mδi2cos θi∑j=1msin2θj-sin θi∑j=1msin θjcos θj2；(7)δn=λ∑i=1mδi2sin θi∑j=1mcos2θj-cos θi∑j=1msin θjcos θj2 ，(8)式中δi，δe和δn分别为第i个雷达站的径向流均方根误差、矢量流东西分量的均方根误差和南北分量的均方根误差．显然，式(7)和(8)就是径向流测量误差到矢量流测量误差的传播函数．利用文献[9]中的方法，可以得到径向流误差到矢量流误差的误差几何缩放因子．假设δ1=δ2=…=δm=δ，那么根据该因子的定义Ge=δe/δ和Gn=δn/δ，有：Ge=λ∑i=1mcos θi∑j=1msin2θj-sin θi∑j=1msin θjcos θj2; (9)Gn=λ∑i=1msin θi∑j=1mcos2θj-cos θi∑j=1msin θjcos θj2. (10)这里的方位角θi显然仅和观测海面元位置有关，虽然这里以各个站点位于同一条直线上的情况来讨论(图1)，但是以上所有式子显然也适用于站点不在同一条直线上的情况；因此，式(9)和(10)还可用于优化多个雷达站点建站时的站点位置选取．当m=2时，式(9)和(10)可简化成：Ge=(sin2θ1+sin2θ2)/sin2(θ2-θ1); (11)Gn=(cos2θ1+cos2θ2)/sin2(θ2-θ1). (12)利用式(9)和(10)，整个雷达观测区域内每一个位置的误差几何缩放因子都可以计算出来．图2展示了利用两个、三个及四个雷达站点测量矢量流的情形下探测区域内Ge和Gn的空间分布，图中x和y分别是水平方向和纵向的距离坐标．由于Ge和Gn仅和观测点与雷达站点的相对位置有关，因此在计算空间分布时引入一个距离L来对所有的距离做归一化处理．对于两个雷达站点的情况，假设两个雷达站点分别位于图中黑点标注的位置(-0.5L，0)和(0.5L，0)．而对于三个雷达站点的情况，假设三个雷达站分别位于(-0.75L，0)，(0，0)和(0.75L，0)．类似地，四个站点的情况下，它们的位置也都在图中用黑点标注了．10.13245/j.hust.211217.F002图2Ge和Gn的空间分布从图2的空间分布图可以看出：Ge在距离雷达站点最远处具有最大值，在连接相邻两个雷达站点的垂直平分线上出现最小值；Gn在雷达测量域的左右两端有最大值，而在连接所有雷达位置的垂直平分线处具有最小值．另外，随着雷达站点的增加，Ge和Gn在整体上均减小，这表明可以通过部署更多的雷达站点来减小矢量流的测量误差．但是通过增加雷达站点来减小测量误差可能不易实现，因为建立和维护更多雷达站点意味着成本的增加．此外，在实际应用中的高频雷达测流系统，Ge和Gn的空间分布可能与图2不同，因为实际中雷达站点的位置可能不规则．但是可以肯定，一旦确定了所有雷达站点的位置，测量范围内各处的误差几何缩放因子就可以根据式(9)和(10)计算得到．2 实验数据从2019年5月30日上午9:00开始至次日上午9:20，本课题组在琼州海峡进行了海洋表面流场观测与对比实验．图3显示了该实验的地图，图中：W为纬度(北纬)；J为经度(东经)．此次实验采用两部相距约为14 km的雷达来测量海流，称这两个站分别为新海港站和恒大站，本实验仅使用两个雷达站点来观测海流．在实验过程中，两部雷达的工作频率均为25 MHz，工作带宽为120 kHz，相应的距离分辨率为1.25 km，图3中的两个扇形就是这两部雷达的探测范围．这两部雷达每20 min独立生成一场径向流，将这两个站点的径向流进行矢量合成就能够得到矢量流．此外，在两部雷达的测量区域内部署了一个海流计，对于新海港站来说，海流计所在的方位角为68.83°，这个角度等效于式(11)和(12)中的θ1．而对于恒大站来说，海流计位置所在的方位角为131.18°，这个角度等效于式(11)和(12)中的θ2．这两个参数是从径向流误差传递到矢量流误差的关键参数．利用式(11)和(12)，可以得到海流计位置上的Ge和Gn分别为1.35和0.85．10.13245/j.hust.211217.F003图3现场实验地图3 结果与讨论为了证明推导的误差传递模型与实际中径向流误差和矢量流误差关系的一致性，本研究以海流计测得的海流为真实海流来分析雷达测得的径向流误差和矢量流误差及其关系．两部雷达在海流计位置处测得的径向流与海流计测量结果的比较见文献[12]，新海港站和恒大站测得的径向流均方根误差分别为δ1=13.50 cm/s和δ2=10.83 cm/s．矢量流的东西和南北分量与海流计记录结果的比较如图4所示．东西分量和南北分量的均方根误差分别为δe=12.38 cm/s和δn=10.98 cm/s．10.13245/j.hust.211217.F004图4雷达与海流计的矢量流测量结果Ge和Gn为从径向流到矢量流的误差缩放系数．若δ1=δ2=δ，则有δe=Geδ和δn=Gnδ．但是，本研究中δ1≠δ2，因此可以推断Gemin(δ1,δ2)δeGemax(δ1,δ2)，并且Gnmin(δ1,δ2)δnGnmax(δ1,δ2)，其中：min(δ1,δ2)表示取最小值；max(δ1,δ2)表示取最大值．考虑本研究中的δ1和δ2以及海流计位置处的Ge和Gn，有Gnmin(δ1，δ2)=9.04 cm/s，Gnmax(δ1,δ2)=11.31 cm/s；另外Gemin(δ1,δ2)=14.53 cm/s，Gemax(δ1,δ2)=17.97 cm/s，因此理论上有14.53≤ δe≤17.97，且9.04≤δn≤11.31．比较本研究中的δe和δn可知：δn位于理论区间内，但是δe略小于推断出的理论均方根值范围的下限，这种超出理论范围的现象是由于径向流场的网格和矢量流场的网格无法一一对齐，每个经纬网格点上的矢量流都须要根据以用户定义的半径为中心的圆内的所有径向流来计算．这里尝试更改这个半径，将默认的半径2 km更改为4 km，而后δe降低到10.54 cm/s．东西分量均方根值的进一步减小证明δe小于推断出的理论均方根值范围的下限，是由于雷达测量得到的每个位置上的矢量流还与周围的径向流有关．为了进一步检验本研究给出的误差传播模型与实验中产生的实际均方根值之间的关系的一致性，对径向流和矢量流的动态均方根值进行分析．定义一个瞬态均方根R(M)=1M∑t=t1tM[v(t)-v'(t)]2, (13)式中：R(M)为瞬态均方根值，实际上就是前M个样本的均方根值；v(t)为时刻t的雷达测量值；v'(t)为时刻t的海流计测量值；t为采样时刻；t1为观测序列的第一个时刻，即2019年5月30日9:20；M=1,2,…,73为采样时刻的索引．此数据源瞬态均方根值体现了实验期间均方根值的动态变化过程，因此针对雷达测得的东西分量和南北分量的R(M)|M=73分别等于图4(a)和(b)中给出的均方根值．这里定义R1(M),R2(M),Re(M)和Rn(M)分别为新海港站测得的径向流的瞬态均方根值、恒大站测得的径向流的瞬态均方根值、矢量流的东西分量的瞬态均方根值和矢量流的南北分量的瞬态均方根值，图5显示了这些瞬态均方根值．正如预期的那样，该变量显示东西分量和南北分量的瞬态均方根值与径向流的瞬态均方根值在趋势上非常符合．此外，瞬态均方根值的最后一个值(或M=73)等于前文提到的均方根值．10.13245/j.hust.211217.F005图5瞬态均方根进一步地，这里利用径向流的瞬态均方根值，根据本文的模型式(7)和(8)来计算东西分量和南北分量的模型推断的瞬态均方根值，然后将根据模型计算出的瞬态均方根值与观测数据得到的均方根值进行比较．根据式(7)和(8)有：ζe(M)=R12(M)sin2θ2+R22(M)sin2θ1sin2(θ2-θ1); (14)ζn(M)=R12(M)cos2θ2+R22(M)cos2θ1sin2(θ2-θ1), (15)式中ζe(M)和ζn(M)为模型计算出的东西和南北分量的瞬态均方根值．因此，检验ζe(M)和ζn(M)与Re(M)和Rn(M)的一致性，则可以验证模型的有效性．图6显示了Re(M)对比ζe(M)和Rn(M)对比ζn(M)的散点图，从图中可以清楚地看出，从数据直接计算出的瞬态均方根值Rn(M)与模型计算出的瞬态均方根值ζn(M)非常符合．但是，Re(M)和ζe(M)之间存在一个固定偏差，实际数据的瞬态均方根值总是大于模型计算出的瞬态均方根值，这里的偏差是由矢量流合成方法引起的．这些结果表明本研究给出的误差传播模型可以量化径向流误差和矢量流误差之间的关系．此外，本文的分析还为用误差几何缩放因子描述从径向流到矢量流的误差传播提供了全面的解释．10.13245/j.hust.211217.F006图6模型计算的瞬态均方根与实际数据均方根的比较4 结语本研究推导了任意雷达站点情景下误差几何缩放因子的解析模型，为验证该模型的有效性，利用连续24 h的现场实验数据集，分析了实际的径向流误差和矢量流误差的关系，并通过对比模型计算结果验证了模型的有效性．本研究给出的误差几何缩放因子可以很好地量化径向流误差和矢量流误差的定量关系，但是矢量流误差与径向流误差的关系也受到矢量流合成过程中具体的处理方法的影响．