图像分割[1]是机器视觉重要的研究方向，其主要作用是将图像中的区域划分为几类，划分的主要依据是灰度、纹理等[2]．经过图像分割阶段，可进行后续目标识别、测量．模糊C均值(fuzzy C-means，FCM)算法[3]是一种有效的无监督聚类图像分割算法，其原理简单、迭代迅速，是图像分割方向的研究热点．基于邻域信息[4-9]或非邻域信息[10-11]的FCM算法降低了噪声对图像分割的影响，其本质在于邻域或非邻域信息起到了对图像降噪的作用，如核化的邻域信息FCM算法(kernel generalized FCM with spatial information，KGFCM_S)[4]、快速广义FCM(fast generalized FCM，FGFCM)[6]、优选抑制式非局部信息FCM(selection-suppressed non-local spatial FCM，SNSFCM)[10]等．但是，考虑邻域或非邻域信息须设置额外的权重或其他参数会减弱算法的自适应性，提升算法复杂度．另外，有一些算法[12-13]给出了自适应确定邻域信息权重的方法，也有利用像素包代替单个像素进行图像分割的成果[14-15]，其中像素包内的像素权重可自适应地确定．除了提升算法抗噪性和自适应性之外，还希望能解决算法对类差异敏感导致算法失效的问题[16]．所谓类差异指的是类之间的个数、密度等特征存在差异．当图像具有类差异大的特征时，分割效果较差[17]．有少量研究[18-20]致力于改善这个缺陷，如在迭代过程中引入类的隶属度之和[18]、类个数比值[19]、类纯度和紧密度[20]等，但大多是在迭代过程中主观引入，缺乏严格理论说明及推导．综上所述，采用以像素包为基本单元构建的目标函数进行图像分割能够使算法具有抗噪性，也能保证算法具有较强的自适应性，但是该算法对类差异敏感．本研究在继承该算法优势的基础上致力于改善对类差异敏感的缺点．从隶属度出发构建一种类指数形式的抑制势表达式，其与类的大小反向相关，将其引入目标函数中可以抑制较大类对目标函数的作用，进而改善算法趋于均分所有像素的缺陷，最后利用类差异大的图像进行试验以验证该方法的有效性．1 相关工作1.1　像素包的权重向量假设一幅灰度图像表示为I={xj，j=1，2，…，n}，对于任意xj为中心对应的像素包为Pj=(Ijr，r∈Nj)，其中Nj为q×q的邻域，即像素包的大小为q，r为像素索引号．对于任意像素包Pj而言，由于每个像素对于聚类过程中的影响不同，因此应对每个像素赋予不同的权重．以像素包Pj (j=1，2，…，n，n为图像像素包个数)为例说明权重的赋值过程[14]．首先计算Nj中每个像素的均方差σjr，具体为σjr=∑r'∈Nj,{r}(xr'-xr)2/(nj-1)1/2，(1)式中nj为Nj中像素个数．Nj内xr的权重为ξjr=exp-σjr-∑r∈Njσjr/nj．(2)因为指数函数衰减较快，所以如果某像素的均方差远离Nj中平均的均方差，那么该像素的权重非常小．最后，将得到的权重归一化使得像素包内权重之和为1，即ωjr=ξjr/∑r∈Njξjr．(3)于是，像素包Pj的权重向量可表示为Wj=(ωjr，r∈Nj)．1.2　基于像素包的模糊C均值算法基于像素包的模糊C均值算法(weighted image patch-based FCM，WIPFCM)的目标函数[14]为JU,V=∑i=1c∑j=1nuijm∑r∈NjωjrIjr-vir2，(4)式中：c为聚类数目；m为模糊因子；vi为第i(i=1，2，…，c)个聚类中心；uij为隶属度，度量像素xj划分为第i类的可能性；U={uij}为c×n矩阵；V={vir}为c×r矩阵．最小化式(4)可得：uij=∑r∈NjωjrIjr-vir2∑k=1c∑r∈NjωjrIjr-vkr2-1/(m-1)；(5)vir=∑j=1nuijmωjrIjr/∑j=1nuijmωjr，(6)式中k为索引号，该算法的执行步骤见文献[14]．2 本文算法如上所述，WIPFCM算法具有抗噪性和自适应性的优点，但由式(4)可以看出：每个像素(包)独立地对目标函数形成影响，不可避免地导致该算法趋于平分所有的像素(包)．当待分割图像类差异较大时，算法的分割效果较差．在本节中构造了一种类指数形式的抑制势(restrain cardinality of cluster exponent，RCE)，该抑制势以隶属度为基础，抑制较大类对目标函数的作用，避免较小类的聚类中心受较大类的影响而向较大类的聚类中心靠拢，进而可分割类差异较大的图像．2.1　类指数形式的抑制势不失一般性，给出单个像素(包)的抑制形式为Rij=exp(1-uijb)-1   (b0)．(7)对于xj(Pj)而言，当uij较大时，1-uijb较小，进一步受到的抑制Rij较大．参数b对式(7)造成的抑制效果如图1所示．10.13245/j.hust.220308.F001图1参数b变化得到的抑制趋势由图1可以看出：抑制范围Rij∈(0，e-1)，从趋势上看，不管参数b如何调整，大体上都是抑制较高的隶属度，这就是式(7)对单个像素(包)的抑制作用．对比不同的b值，可以看出随b的增加使得Rij变大，抑制能力加强．基于式(7)构建类指数形式的抑制势RCE，定义为χRCE=∑s=1nexp(1-uisb)-1，(8)式(8)衡量了对第i类的抑制能力．当较大类属于第i类时，多数的像素(包)对应的uis(s=1，2，…，n)较大，进而χRCE较小；当较小类属于第i类时，多数的像素(包)对应的uis较小，进而χRCE较大．于是，式(8)引入目标函数后可减弱较大类对目标函数的作用，进而能够改善算法对类差异敏感的缺点．2.2　新的目标函数及求解将新构建的类指数形式的抑制势χRCE融入到WIPFCM算法的目标函数，即JU,V=∑i=1c∑j=1nχRCEuijm∑r∈NjωjrIjr-vir2．(9)采用常规的拉格朗日乘子法最小化式(9)，构造如下的拉格朗日函数，有LU,V=JU,V-∑j=1nλj∑i=1cuij-1，(10)式中λj为第j个约束参数．令∂L/∂vir=0，整理可得聚类中心表达式为vir=∑j=1nuijmωjrIjr/∑j=1nuijmωjr．(11)对比式(11)和式(6)可以看出：新得到的聚类中心与WIPFCM算法的聚类中心保持一致．令∂L/∂uij=0，整理可得uij=λj(m-1)-1f(χRCE)∑r∈NjωjrIjr-vir2-(m-1)-1，(12)式中f(χRCE)=mχRCE-bexp(1-uijb)uijb．结合∑i=1cuij=1和式(12)有1=λj(m-1)-1∑k=1cf(χRCE)∑r∈NjωjrIjr-vkr2-(m-1)-1．(13)由式(13)和式(12)可得隶属度为uij=f(χRCE)∑r∈NjωjrIjr-vir2-(m-1)-1∑k=1cf(χRCE)∑r∈NjωjrIjr-vkr2-(m-1)-1．(14)通过在WIPFCM算法的目标函数中融入类指数形式的抑制势表达式的方式，经拉格朗日乘子法推导得到新的聚类中心和隶属度的表达式，该方法继承了WIPFCM算法对噪声具有较强鲁棒性的优势，还改善了该算法对类差异敏感的缺陷．2.3　ICDFCM执行步骤所提算法的执行流程描述如下．输入 模糊指数m，聚类中心个数c，抑制式参数a，b，像素包大小q，最大迭代次数T，终止条件ε．步骤1 根据q得到所有的像素包Pj ( j=1，2，…，n)；步骤2 利用式(3)得到所有像素包Pj的权重向量Wj=(ωjr，r∈Nj)；步骤3 随机初始化聚类中心V(0)；步骤4 For t=1：T do；步骤5 利用V(t-1)由式（6）计算隶属度U(t)；步骤6 利用式(14)即将类指数形式的抑制势χRCE_i参与更新隶属度的计算，更新U(t)；步骤7 接着利用如式(11)所示的聚类中心表达式更新V(t)；步骤8 If ||V(t)-V(t-1)||ε或qT，then执行步骤10，else t=t+1，执行步骤5；步骤9 End if；步骤10 End for．输出 将最终得到的隶属度平滑后，得到分割结果．2.4　时间复杂度分析总体来看，ICDFCM算法的时间复杂度来源于两部分．第一部分是对每个像素包内像素求权重的过程，见2.3节执行步骤中的步骤1和2，该部分的时间复杂度可表示为O1(n×q2)．值得注意的是，对于任意一幅图像而言，该部分可视为图像的预处理过程，可事先计算．第二部分涉及图像的分割过程，即2.3节执行步骤中的步骤3~10，该部分的时间复杂度为O2(n×c×q2×z)，其中z为算法的迭代次数，于是算法总的时间复杂度为O(n×q2+n×c×q2×z)．3 实验结果与分析3.1　对比算法、参数设置及实验图像为验证本文算法的有效性，采用KGFCM_S1[4]、基于噪声检测的FCM (noise detecting FCM，NDFCM)[7]、WIPFCM[14]、文献[18]算法作为对比算法．另外，算法对比所用到的指标是F参数[18]，算法得到的指标值越大表示相应算法的分割效果越好．为了尽量体现对比的公平性，迭代次数统一置为300，算法中给出的其他参数值均来自相应文献中的推荐值，或者在相应的文献中取得了较好的分割效果，具体的参数设置见表1，其中：NR表示3×3邻域；β为控制收敛速度的参数；α为控制邻域项权重；λα，λs和λg为尺度因子．10.13245/j.hust.220308.T001表1算法参数设置算法参数设置KGFCM_S1m=2，ε=1×10-4，β=0.9，α=4，NR=9NDFCMm=2，ε=1×10-4，λα=1，λs=3，λg=3，NR=9WIPFCMm=2，ε=1×10-4，NR=9文献[18]算法m=2，ε=1×10-4ICDFCMm=2，ε=1×10-4，NR=9，b选取5幅NDT图像(分别命名为NDT1~ NDT5)作实验分割用，如图2(a)~2(e)所示，相应的灰度直方图如图3(a)~3(e)所示，图中：Gl表示灰度级；Nps表示对应灰度级的像素个数．10.13245/j.hust.220308.F002图2无损检测图像10.13245/j.hust.220308.F003图3灰度直方图可以看出：所选择的NDT图像类间差异大，即灰度分布不均衡，适合用于验证算法对类差异的敏感程度．须要指出的是，选取的NDT图像均有对应标准分割图，由此可以利用指标值大小衡量各算法的优劣，具体的标准分割图如图5(b)所示．10.13245/j.hust.220308.F004图4αF随参数b的变化趋势10.13245/j.hust.220308.F005图5在WGN(0，0.01)干扰下各算法的部分分割结果3.2　参数b的讨论如式(8)所示，参数b对于抑制程度有一定影响，当b为0本文算法退化为WIPFCM算法．为了探究参数b对分割效果的影响，利用图2(a)~2(e)对本文算法(ICDFCM)进行测试，结果如图4所示．图中给出了随着参数b的F参数(αF)的变化情况，其中b的取值范围为[0.1，2]，间隔大小为0.1．从趋势上看，对于NDT1而言，指标值先减小后增加；对于NDT2和NDT3而言，随参数b的增加，指标值逐渐减小；对于NDT4和NDT5而言，指标值先增加后减小．从指标值上看，对于NDT1而言，算法得到的最小指标值仍高于其他图像的最大值，因此该图像的测试结果对于参数b的取值参考意义较小．对于NDT2~NDT5而言，算法大约在(0.5，0.8)能够使得4幅图像得到相对满意的结果．综上所述：当图像不同时，随着b值的增加，指标值的变化趋势不尽相同，只能选择一个相对合理的b值进行图像分割．在后续实验中，本文算法参数b取值为0.6．3.3　分割结果为了验证算法的鲁棒性和对类差异的敏感程度，对NDT1~NDT5图像添加噪声后进行分割测试．所添加的噪声为：高斯噪声(white gaussian noise，WGN)，格式为WGN(0，σ2)，其中0为均值，σ2为归一化方差；椒盐噪声(salt and pepper noise，SPN)，格式为SPN(s)，其中s为噪声比例．各算法的分割结果如表2所示，须指出，对于任意一幅图像，基于各算法得到了4行分割结果，分别对应高斯噪声WGN(0，0.01)和WGN(0，0.02)，椒盐噪声SPN(10%)和SPN(20%)．为进一步展示所提算法的分割效果，图5对WGN(0，0.01)噪声干扰下部分算法的分割结果进行了可视化展示．10.13245/j.hust.220308.T002表2不同算法得到的指标值图像KGFCM_S1NDFCMWIPFCM文献[18]ICDFCMNDT167.7573.8858.9158.2493.2951.7854.3649.3240.6275.8652.2671.3322.1282.2096.6644.9765.9822.9323.9095.43NDT244.0344.3337.0043.2365.1844.6843.9440.1131.2059.9740.7146.5524.2924.4175.5132.7142.7518.9717.0274.98NDT375.9377.1059.1769.1793.8667.2271.5346.1246.6492.3562.6778.5119.197.6496.1547.5369.8819.8018.6195.96NDT488.4090.1275.4378.5093.4484.3587.6267.4669.2692.1983.8990.8364.1984.0093.6975.2486.8554.7145.0293.40NDT580.1383.2976.6873.2190.0776.4280.4770.9762.7786.0074.9184.0760.0483.5192.1163.5878.7948.3540.7392.02%由表2可以看出：本文算法在不同噪声影响下得到的指标值都比较高，说明本文算法对类差异不敏感，对噪声有一定的鲁棒性．从视觉效果上看，如图5所示，本文算法得到的分割图与相应的标准分割图最为相近，显示了较好的分割效果，说明本文引入的类指数形式的抑制势表达式是有效的．4 结语在WIPFCM算法基础上通过引入类指数形式的抑制势表达式解决模糊C均值算法对类差异敏感问题．该表达式被引入目标函数后能够抑制较大类对目标函数的贡献，避免使得较小类的聚类中心受较大类的影响而出现较大偏差．采用类差异较大的无损检测图像对本文算法进行测试，结果显示算法具有较强的鲁棒性且对类差异不敏感，分割得到的图像视觉效果良好．后续研究尝试将不规则形状的像素包引入模糊聚类中，充分考虑像素包的个数、密度等参数，以进一步提升模糊C均值算法的分割精度和应用范围．