实际工程中，水下航行器等往往会以圆柱壳结构作为简化模型．对于圆柱壳振动特性的研究很多，包括但不限于力刚度法、波传播法、傅里叶计数法和区域分解法等．HARARI等[1]基于经典的壳体理论求解圆柱壳在稳态激励下的结构动响应．WANG等[2]在前人已有的研究成果基础之上，采用模态分析和波动法，根据结构振动方程，得到了有限长圆柱壳的波数和固有频率之间的关系式．牛宁等[3]基于Novozhilov壳体理论和Rayleigh-Ritz法建立纵向加肋圆柱壳自由真的动力学分析模型，探究了相应边界条件下肋条附加位置、数量和偏心距对纵向加肋圆柱壳固有频率的影响．然而实际水下航行器结构内部含有诸多各异的子结构，例如环肋、舱壁、基座和主机等．内部子结构与圆柱壳耦合结构的振动特性引起国内外学者们的关注和研究．PETERSON等[4]基于瑞利-里兹法首先建立了板壳耦合模型并进行相关研究．CHEN等[5]提出一种半数值半解析方法对含复杂内部结构的圆柱壳的振动和声辐射进行预报．童韫哲[6]结合理论建模和工程应用两方面，深入研究了纵向加载的铺板对耦合结构声振特性的影响．李渊博等[7]建立桨-轴-艇耦合系统纵向振动力学模型，结合螺旋桨激励特性和振动能量传递过程从能量角度分析了纵向振动在系统耦合振动中的影响．石先杰等[8]等采用谱几何法对圆柱壳-环板耦合结构解耦并分别建模，以三维弹性耦合器模拟结构之间的耦合条件，最后从能量角度研究了该耦合系统的振动特性．文献[9-11]提出的基于导纳法的缩聚传递函数方法，研究了线耦合的耦合结构，分析了内部非对称解耦股的水下圆柱壳的振动与声学特性．目前针对含内部子结构的圆柱壳振动特性研究中，以环肋和环形板为代表的环形子结构居多，主要的方法有变分法、动刚度法、导纳法、传递矩阵法、波动法和有限元法等．当内部子结构是轴系或者基座等不规则结构时，如何解耦耦合结构及如何考虑壳体和内部子结构之间的耦合条件等问题须要进一步研究．当前多数文献在耦合条件上仅考虑了3个或4个自由度的耦合，相较于完备的6个自由度的耦合存在一定误差．这里基于缩聚传递函数法实现含内部结构圆柱壳的振动特性问题的求解．通过选取合适的缩聚函数来描述耦合线上的耦合力和位移，并考虑6个方向的耦合，结合直接刚度法进行含内部结构圆柱壳的振动特性分析．旨在为圆柱壳类复杂工程结构的振动特性的预报与评估提供技术支撑和新的途径．1 结合直接刚度法与缩聚传递函数法的混合算法1.1　直接刚度法直接刚度法建立的结构模型一方面包含该模型的所有自由度信息，其精度相对较高，另一方面可以便捷地获得结构的局部振动响应．如图1所示，对含内部结构的圆柱壳系统进行解耦，得到圆柱壳和内部结构的模型，其中Fext为内部结构受到的外激励．分别计算其刚度矩阵、质量矩阵，并采用直接刚度法计算得到解耦后各结构的稳态响应，具体为U0α=(-ω2Mα+Kα*)-1F0α，(1)式中：α=a,b分别表示圆柱壳和内部结构；Mα，Kα*和F0α为质量矩阵、复刚度矩阵和载荷向量矩阵．10.13245/j.hust.220318.F001图1圆柱壳与内部结构解耦为获得耦合结构间更加真实合理和准确的耦合条件，考虑内部结构与圆柱壳耦合的6个自由度．圆柱壳结构的状态向量包括轴向位移u、周向位移v、径向位移w和周向转角ϕv外，还包括轴向转角ϕu和径向转角，轴向力Fu、周向力Fv、径向力Fw、周向弯矩Mv，轴向弯矩Mu和径向弯矩Mw．由于圆柱壳的动力方程一般是在柱坐标系{u,v,w,ϕu,ϕv,ϕw}T下进行描述，而内部结构的动力方程一般是在笛卡尔坐标系{ux,uy,uz,θx,θy,θz}T中建立的，因此耦合须引入坐标转换矩阵，统一各子结构的局部坐标系如图2所示．10.13245/j.hust.220318.F002图2柱坐标系与笛卡尔坐标系位移转换柱坐标系与笛卡尔坐标系之间的关系为{u,v,w,ϕu,ϕv,ϕw}T=TpT{ux,uy,uz,θx,θy,θz}T，(2)式中Tp=0-sin γcos γ0cos γsin γ1000-sin γcos γ0cos γsin γ100．(3)1.2　缩聚传递函数法对于含内部子结构的圆柱壳耦合结构，选取一组函数{φn}1≤n≤N作为缩聚函数，其中N为相互正交函数的个数．缩聚函数是关于沿着耦合线Γ的曲线横坐标s的函数，取具备正交性的指数函数作为缩聚函数，具体为φn(s)=L-1/2exp(jnπs/L)，(4)式中L为耦合线Γ的长度．对于未耦合子系统α，通过在耦合线Γ上施加力Fα定义φn与φm之间的缩聚传递函数，具体为Ynmα=U¯mα,φn/Fα,φm=U¯mα,φn，(5)式中⋅,⋅表示内积．矢量Fα表示耦合线Γ上的作用力，其中每个方向上的分量等于φm．矢量U¯mα是当子系统受到激励力Fα=φm时耦合线Γ各节点的位移．由于缩聚函数集是正交函数集，可知式(5)中分母的值为1．根据上述定义，各子系统α∈a,b连接线任意位置处的位移Uα和耦合力Fα可表示为缩聚函数的线性组合，即Uα(s)≃∑n=1Nunαφn(s)；(6)Fα(s)≃∑n=1Nfnαφn(s)，(7)式中：unα为与缩聚函数φn相关的子系统α的位移幅值；fnα为与缩聚函数φn相关的子系统α的力幅值．解耦后子系统α的自由缩聚位移为u˜nα=U˜pα,φnp，(8)式中U˜pα为未耦合子系统仅受外力作用时连接线各节点的位移．耦合结构解耦后，子系统α响应是一系列线耦合力和外载荷共同作用下的响应，根据无源线性系统的叠加原理可以得到缩聚位移，具体为una=u˜na+∑m=1NYnmafma;unb=u˜nb+∑m=1NYnmbfmb,   (9)式中：∀s∈Γ;∀n∈{1,2,⋯,N}．子系统a和b的位移转角连续性和力平衡条件为：Ua(s)=Ub(s);Fa(s)+Fb(s)=0. (10)由于一系列缩聚函数是正交的，式(10)转化为：una=unb;fna=-fnb. (11)将式(9)带入式(11)中，随后联立式(7)和(8)即得到与经典的点耦合子系统导纳法相似的公式，可推论出线耦合子系统之间的耦合力Fc=Fa=-Fb，求解方程为(Ya+Yb)Fc=U˜b-U˜a．(12)令子结构a和子结构b分别表示圆柱壳和内部结构．将直接刚度法和缩聚传递函数法相结合，引入坐标转换矩阵后得到耦合边界上力与位移的连续条件为：Ua(s)=TbUb(s);Fa(s)+TbFb(s)=0.      (13)同理，圆柱壳和内部结构间的耦合力求解方程为(Ya+TbYbTb-1)Fc=TbU˜b-U˜a．(14)最后，圆柱壳和内部结构上任意点的响应可表示为：U(Ma)=U˜a(Ma)+∑n=1NYManaFnc;U(Mb)=TbU˜b(Mb)-Tb∑n=1NYMbnbFnc. (15)混合算法流程图见图3．10.13245/j.hust.220318.F003图3混合算法流程图2 方法验证为验证提出的混合计算方法的有效性，以本文研究对象含内部结构圆柱壳为例计算其振动响应，并与有限元法计算结果进行对比．圆柱壳参数如下：长ls=1 m，半径R=0.3 m，厚度h=0.003 m；内部子结构对称分布在圆柱的两侧，其几何尺寸为：长度0.6 m（位置由x=0.2 m到x=0.8 m），宽度和高度均为0.2 m，面板和腹板厚度均为3 mm．圆柱壳与内部子结构材料一致：弹性模量E=2.1×1011 Pa，泊松比μ=0.3，阻尼损耗因子η=0.01，密度ρ=7 850 kg/m3．圆柱壳边界条件为简支，内部子结构除了与圆柱相连外其他边均为自由．激励力在内部左侧的子结构面板中心且垂直于面板，幅值为1 N，频率f的范围为10~2 000 Hz．取考查点位于圆柱壳中段的(0.5，0.0，0.3) m处．由于内部结构与圆柱壳存在两条耦合线，耦合线总长度为2.4 m．为保证本文混合方法收敛，当极限频率flim=2 000 Hz时，须满足N≥40．图4给出了单位力作用于内部结构上时，真空中含内部子结构圆柱壳的振动响应，对比本文方法和有限元法计算的激励点法向速度、考察点径向速度结果，在个别峰值频率处结果略有偏移，可认为两种方法的结果较为相符．图中：Vr为速度实部．Vi为速度虚部；FEM为有限元方法计算结果；CTF为本文缩聚传递函数法计算结果．10.13245/j.hust.220318.F004图4含内部子结构的圆柱壳速度对比图5分别给出本文方法与有限元方法计算圆柱壳的径向均方振速和内部子结构的法向均方速度，本文中均方速度级均用Lv表示．通过对比发现，两者结果较为相符，验证本文混合方法求解含内部结构圆柱壳振动响应的准确性．10.13245/j.hust.220318.F005图5含内部子结构的圆柱壳均方振速对比3 计算结果分析把结合缩聚传递函数法和直接刚度法的混合算法的计算结果与有限元结果进行对比，验证了前者的准确性．但含内部子结构的圆柱壳其振动特性在不同程度上受到不同因素的影响，基于此，对结构厚度、壳体长度、壳体边界条件及激励力方向等因素进行了讨论．3.1　结构厚度变化对振动特性的影响保持内部结构和圆柱壳的厚度一致，图6给出厚度h分别为3，6和9 mm时内部子结构耦合圆柱壳的振动结果．从振速级的曲线可以看出厚度增加，振动的峰值会向右偏移．尽管厚度增加会使结构的质量和刚度都增大，但是刚度增加的速度比质量更快，因此结构的固有频率会增大，导致峰值向右偏移．且厚度变化对圆柱壳的影响相较于对内部结构的影响小，说明厚度的变化对激励直接作用的结构的振动影响更大，在实际应用中可考虑只增加内部结构的厚度以降低其振动响应．总体来看，厚度变厚会使均方振速级明显变小，结构厚度的增加可以在一定程度上抑制内部结构和圆柱壳的振动．10.13245/j.hust.220318.F006图6厚度变化对振动的影响3.2　壳体长度变化对振动特性的影响图7比较了壳体长度ls分别为0.6，1.0和1.2 m时，激励点和考查点、壳体子结构和子结构表面振动速度的频响曲线．由于内部子结构的几何尺寸没有变化，其质量与刚度没有变化，因此激励点处振动响应变化不大，而长度对圆柱壳的振动速度的影响较大．在前两个峰值之前，长度较长的壳体振动速度稍大；但在400 Hz以后，随着频率增加，不同长度的壳体均方振速均不断下降，长度较长的壳体均方振速下降更加明显，且长度较长的壳体均方速度波动的幅度减小．10.13245/j.hust.220318.F007图7壳体长度变化对振动的影响3.3　壳体边界条件对振动特性的影响图8中分别给出了简支(S-S)、自由(F-F)和固支(C-C)边界条件对含内部子结构圆柱壳的振动特性的影响．改变壳体边界条件，内部结构边界保持不变．只改变圆柱壳的边界对于与其内部子结构的振动影响较小，内部子结构的振动在峰值处发生小幅度波动．当壳体结构边界为自由时，内部结构的低频振动峰值相对于壳体边界简支和固支时更多．对10.13245/j.hust.220318.F008图8边界条件对振动的影响于圆柱壳，由于其边界条件改变，振动发生较大变化：自由边界条件的振动峰值相较于简支、固支较多，这一规律与内部结构响应规律一致．在300~1 000 Hz频段，固支边界条件下，振动的幅值变化更大．在高频段，3种边界条件的振动差别缩小，但圆柱壳固支边界条件下的振动速度比其他两种边界条件下的速度稍小．总体可见：自由边界条件下振动曲线的波动最多，由于改变边界条件改变了结构的固有频率，因此只改变圆柱壳边界条件对圆柱壳的固有频率的影响更加明显．3.4　激励力方向对振动特性的影响前文仅考虑激励力作用于内部结构的情况，这里考虑当激励作用于圆柱壳时的情况．不同方向激励力作用于圆柱壳同一位置时对圆柱壳振动产生影响，进而会改变对内部结构的振动特性．由于不同方向激励作用对应圆柱壳节点径向速度量级差异较大，图9给出了不同方向激励力作用于圆柱壳中段位置(0.5，0，0.3)m时内部子结构和圆柱壳子结构的均方振速结果．由图可知：受不同方向激励力时，含内部子结构圆柱壳的振动曲线差异较大：受到径向激励时内部子结构和圆柱壳的振动速度级均最大，其次是周向激励力，而轴向激励力的振动速度值最小．这是因为径向激励能够很好地激励结构产生弯曲振动，而轴向激励仅激励结构产生纵向振动．10.13245/j.hust.220318.F009图9激励力方向对振动的影响4 结论针对含内部子结构的圆柱壳提出一种混合方法用于计算其振动响应．将圆柱壳和内部结构解耦，采用直接刚度法建立圆柱壳和内部结构的数值模型，利用缩聚函数描述耦合线上的耦合力和位移，进而计算得耦合结构的振动响应．通过对比混合方法计算结果与有限元结果，验证了混合方法的准确性．在此基础上，讨论壳体厚度、长度、边界条件、激励力方向等因素对含内部子结构的圆柱壳振动特性的影响，得出以下的结论：a．缩聚传递函数方法应用于复杂圆柱壳结构的振动响应计算具有较好的精度；b．厚度和长度变化，均会影响圆柱壳结构振动水平，合理的设置结构尺寸可以在一定程度上对抑制结构振动有益；c．相较于简支和固支，自由边界条件下振动曲线的波动最多，边界条件改变导致结构的固有频率变化，仅改变圆柱壳边界条件时对外部圆柱壳的固有频率的影响更加明显；d．激励力作用于圆柱壳时，对于不同方向激励力，径向受激振动时内部结构和壳体表面振动速度级均最高，周向激励次之，轴向激励较小．