欠驱无人水面船(USV)由于重要的军事和民用用途，其运动控制的研究越来越受到广泛关注．实现高精度的循迹控制是USV完成资源探测、环境监测、水面侦察和救援等任务的重要前提之一[1]．LOS引导律[2]由于结构简单、收敛性好等优点而被广泛应用于直线循迹控制，但易受环境影响．文献[3-4]在LOS引导律的基础上加入积分项抵抗漂角的影响并证明了该引导系统的全局一致渐近稳定．文献[5]设计自适应律进行漂角估计，提出了自适应引导律(ALOS)．文献[6]提出了基于降阶扩张状态观测器的引导律用以处理时变漂角干扰问题．上述引导律只能应对小漂角(小于5°)干扰(当漂角过大时，漂角的估计效果较差)，并只考虑了观测误差及横向偏差的渐近稳定性而未考虑其有限时间稳定性．针对时变大漂角问题，文献[7-8]所提出的FPLOS和FSOLOS虽然能使漂角估计值在有限时间内收敛于实际值，但横向偏差只能渐近收敛至零附近．控制器设计是为了处理环境干扰、模型不确定性等因素对船舶动力学控制的影响．文献[9]提出了自适应反步控制器，设计自适应律补偿环境干扰的影响．文献[10-11]结合自抗扰控制，通过扩张状态观测器估计外部环境干扰．滑模控制方法由于其快速响应、鲁棒性强和对匹配干扰的不变性等优点而被广泛应用于USV循迹控制．文献[12]提出了滑模自适应控制方法，并证明了系统是一致全局渐近稳定和一致半全局指数稳定的，但未考虑控制系统的有限时间稳定性．文献[13]采用RBF神经网络逼近系统中的不确定性和外界干扰，结合积分滑模控制设计控制律，但当船舶的状态不是全部可测时，逼近效果较差进而恶化控制效果．本研究提出基于时变大漂角干扰观测器的有限时间引导律(finite-time line-of-sight，FLOS)和有限时间自抗扰控制器(finite-time active disturbance rejection controller，FADRC)．对于引导子系统，采用非线性干扰观测器对时变大漂角进行估计，进行有限时间收敛的引导律设计，保证引导系统的所有跟踪误差信号有限时间收敛；对于运动控制子系统，应用反步设计方法和基于二阶滑模控制理论设计有限时间自抗扰控制器，建立非线性干扰观测器对总扰动进行估计并补偿．最后，证明了系统的有限时间稳定性，并通过仿真验证所提出的方法的有效性．1 问题描述USV水平面三自由度运动学和动力学方程[14]为x˙=ucos ψ-vsin ψ,y˙=usin ψ+vcos ψ,ψ˙=r; (1)      u˙=m22vr/m11-d11u/m11+fu/m11+(-Δm11u˙+Δm22vr-Δd11u+fwu)/m11,      v˙=-m11ur/m22-d22v/m33+(-Δm22v˙+Δm11ur+Δd22v+fwv)/m22,      r˙=(m11-m22)uv/m33-d33r/m33+τr/m33+(-Δm33r˙+Δm33uv-Δd33r+τwr)/m33, (2)式中：x，y和ψ分别为船舶在固定坐标系XIOIYI中的位置和艏向角；u，v和r分别为船舶在运动坐标系XbObYb中的纵向速度、横向速度和艏摇角速度；mii(i=1,2,3)分别为纵向、横向和艏向的惯性质量；dii为各方向的阻尼系数；Δmii和Δdii为模型参数摄动值；fu和τr分别为纵向推力和艏向转艏力矩；fwu为纵向环境力；fwv为横向环境力；τwr为艏向环境力矩．引理1[15] 假设a∈R+,b∈R+和0υ1，则有(a+b)υ≤aυ+bυ．(3)引理2[16] 对于系统x˙(t)=f(x(t),t)，其中f(0,t)=0,x(t)∈U⊂Rn，假设在定义域U上存在正定且连续函数V(x)，并且存在实数c0和0α1，使得V(x)在U上正定，且V˙(x)≤-cVα(x)在U上半负定，则该系统是有限时间稳定的，即系统状态能在有限时间内收敛到平衡点，且收敛时间满足T≤V1-α(x0)/[c(1-α)]．循迹控制器设计目标为设计控制律fu和τr使船舶沿着预设的路径(xp(θ),yp(θ))(θ为路径参数)航行，使位置跟踪误差和纵向速度跟踪误差在短时间内收敛至零附近的邻域内，即limt→t0||x-xp||=0，limt→t0||y-yp||=0和limt→t0||u-ud||=0，其中：(xp,yp)为人为给出的连续路径点的坐标；ud为期望的纵向速度．2 引导律设计2.1　问题描述在循迹过程中，期望路径通常由一系列随路径参数θ变化的连续的点组成，如图1所示，图中：OpXpYp为切线坐标系；(x,y)为船舶在固定坐标系中的坐标；(xp(θ),yp(θ))为切线坐标系原点坐标；xe和ye分别为纵向偏差和横向偏差；Δ为前向距离．10.13245/j.hust.220412.F001图1LOS引导律原理图船舶在坐标系XPOPYP中的位置为xeye=cos γp(θ)-sin γp(θ)sin γp(θ)cos γp(θ)Tx-xp(θ)y-yp(θ)，(4)式中：γp(θ)=atan[2(yp'(θ),xp'(θ))]，且xp'(θ)=∂xp/∂θ，yp'(θ)=∂yp/∂θ，表示切线坐标系与固定坐标系之间的旋转角．对式(4)求导并将式(1)代入可得      x˙e=ucos(ψ-γp(θ))-usin(ψ-γp(θ))tan β+γ˙p(θ)ye-utar;      y˙e=usin(ψ-γp(θ))+ucos(ψ-γp(θ))tan β-γ˙p(θ)xe, (5)式中：β=atan[2(v,u)]为漂角；γ˙p(θ)=θ˙[xp'(θ)yp″(θ)-xp″(θ)yp'(θ)]/[x'p2(θ)+y'p2(θ)]，其中θ˙为路径参数对时间的导数，xp″(θ)=∂xp'/∂θ，yp″(θ)=∂yp'/∂θ；utar=θ˙x'p2(θ)+y'p2(θ)，为期望路径上虚拟引导点的运动速度．令g=ucos[ψ-γp(θ)]tan β，则式(5)可重写为y˙e=usin[ψ-γp(θ)]+g-γ˙p(θ)xe，(6)式中g的表达式中包含β，所以视为式(6)中的不确定干扰项．参考文献[14]设计非线性干扰观测器为z˙0=υ0+usin[ψ-γp(θ)]-γ˙p(θ)xe;υ0=-λ0L1/3|z0-ye|2/3sign(z0-ye)+z1;z˙1=υ1;υ1=-λ1L1/2|z1-υ0|1/2sign(z1-υ0)+z2;z˙2=-λ2Lsign(z2-υ1), (7)式中：L，λ0，λ1，λ2均为大于零的常数；z0，z1，z2均为观测器的输出．令ŷe=z0，ĝ=z1，y˜e=ŷe-ye，g˜=ĝ-g，其中：ŷe为ye的估计值；y˜e为ye的估计误差；ĝ为g的估计值；g˜为g的估计误差．由引理1可知：存在0Tobs1∞，使limt→Tobs1||y˜e||=0;limt→Tobs1||g˜||=0，(8)式中Tobs1为引导系统干扰项估计误差收敛时间上界．2.2　有限时间引导律设计本研究设计的基于时变大漂角干观测器的有限时间引导律为ψd=γp(θ)-arctan(k1sign(ye)|ye|α/Δ+tan β̂)，(9)式中：k10;0α1；β̂为漂角的估计值，有β̂=arctan{z1/[ucos(ψ-γp(θ)]}．(10)由式(5)可知纵向偏差和横向偏差存在耦合影响．为了镇定纵向偏差，设计utar=k2sign(xe)|xe|α+Ucos[ψ-γp(θ)+β̂]，(11)式中：k20；U=u2+v2为船舶的航行速度．定理1 针对引导系统误差跟踪方程，考虑欠驱无人水面船在高速航行时受时变大漂角影响，设计有限时间引导律，利用非线性干扰观测器式(7)估计g，通过式(10)估计漂角，设计虚拟引导点运动速度式(11)镇定纵向偏差，最终在有限时间引导律式(9)作用下，设计合适的参数L，λ0，λ1，λ2，k1，α，Δ和k2，可以使横向偏差和纵向偏差在有限时间内收敛至零附近，即limt→t1||xe||=0，limt→t1||ye||=0．证明 由式(8)可知：当tTobs1时，z1=g成立，再结合式(10)可知tan β-tan β̂=0．所以横、纵向偏差可以写为x˙e=-k2sign(xe)|xe|α+γ˙p(θ)ye;      y˙e=-uk1sign(ye)|ye|αΔ2+(k1sign(ye)|ye|α+Δtan β̂)2-γ˙p(θ)xe. (12)定义李雅普诺夫函数V1=xe2/2+ye2/2．(13)式(13)对时间求导并将式(12)代入得V˙1≤-ω1(|xe|α+1+|ye|α+1)，(14)式中      ω1=min{k2,uk1Δ2+(k1sign(ye)yeα1+Δtanβ̂)2}0.由引理2可知，V˙1≤-2(α+1)/2ωV1(α+1)/2．(15)所以，由式(8)和式(15)可知式(5)是有限时间稳定的．3 控制器设计定义跟踪误差ψe=ψ-ψd，re=r-αr和ue=u-αu，其中：ψd为期望艏向角；αr和αu为虚拟控制量．根据反步控制原理设置虚拟控制量的定义为αr=-kψsign(ψe)|ψe|2/3+ψ˙d;αu=ud. (16)式中kψ为大于零的常数．ψe，re和ue对时间求导并结合式(2)得：ψ˙e=αr-ψ˙d;      r˙e=m11-m22m33uv-d33m33r+τrm33+Δm33uv-Δm33r˙-Δd33r+τwrm33-α˙r;      u˙e=m22m11vr-d11m11u+fum11+Δm22vr-Δm11u˙-Δd11u+fwum11-α˙u. (17)艏向和纵向的干扰估计值gr和gu为：      gr=m11-m22m33uv-d33m33r+Δm33uv-Δm33r˙-Δd33r+τwrm33-α˙r;      gu=m22m11vr-d11m11u+Δm22vr-Δm11u˙-Δd11u+fwum11-α˙u.设计非线性干扰观测器估计gu和gr，有z˙n0=υn0+Λ/mjj;υn0=-λn0Ln1/3|zn0-ne|2/3sign(zn0-ne)+zn1;z˙n1=υn1;υn1=-λn1Ln1/2|zn1-υn0|1/2sign(zn1-υn0)+zn2;z˙n2=-λn2Lnsign(zn2-υn1), (18)式中：当n=u时，Λ=fu,j=1；当n=r时，Λ=τr,j=3；λ为大于0的常数；zu1和zr1为纵向、艏向干扰估计值．令ĝn=zn1，g˜n=ĝn-gn (n=u,r)．g˜u和g˜r分别为纵向和艏向的干扰估计误差．由引理1可知：存在0Tobs2∞，使limt→Tobs2||g˜n||=0, (19)式中Tobs2为艏向和纵向总扰动估计误差收敛时间上界．结合反步控制和二阶滑模控制[14]所设计的艏向控制律和纵向控制律分别为τr=-m33(αr1|re|2/3sign(re)+wr+zr1);fu=-m11(αu1|ue|2/3sign(ue)+wu+zu1), (20)式中：w˙r=αr2|re|1/3sign(re)；w˙u=αu2|ue|1/3sign(ue)；αr10;αr20;αu10;αu20．定理2 针对三自由度欠驱无人水面船运动学和动力学方程，考虑船舶易受时变环境干扰和模型不确定影响，利用干扰观测器式(18)估计系统的总扰动，结合反步法和二阶滑模控制设计艏向和纵向控制律，最终在控制律式(20)作用下，设计合适的参数Ln，λn0，λn1，λn2，αn1，αn2和kψ，可以使艏向角跟踪误差、艏向角速度跟踪误差和纵向速度跟踪误差在有限时间内收敛至零附近，即limt→t2||ψe||=0，limt→t2||re||=0和limt→t2||ue||=0．证明 定义李雅普诺夫函数V2=ψe2/2+re2/2+ue2/2．(21)对时间求导并将式(2)、式(16)、式(17)和式(20)代入式(21)可得V˙2=-kψ|ψe|5/3+re[gr-αr1|re|2/3sign(re)-wr-zr1]+ue(gu-αu1|ue|2/3sign(ue)-wu-zu1). (22)对于tTobs2，由式(19)可知，V˙2≤-ω2(|ψe5/3+|re|5/3+|ue|5/3)，(23)式中ω2=min{kψ,αr1,αu1}0．由引理2可知V˙2≤-25/6ω2V25/6. (24)由式(19)和式(24)可知式(17)是有限时间稳定的．4 仿真试验为了验证所提出的欠驱无人水面船有限时间自抗扰循迹控制方法的有效性，本研究以欠驱智能船舶iWHUT-ship[17]为模型进行仿真．4.1　仿真试验一通过与文献[3]提出的ILOS引导律和文献[8]提出的FSOLOS引导律进行对比，分析本研究所设计的引导律的有效性．期望路径为xd=400sin(0.05θ)+20θ;yd=10θ.期望的纵向速度ud=3 m/s，船舶的初始位置[x(0),y(0),ψ(0)]T=[0,10,0]T，初始速度[u(0),v(0),r(0)]T=[0.01,0,0]T．ILOS引导律参数设置为：Δ=46；σ=0.5．FSOLOS引导律参数设置为：Δ=46；L=1；λ1=1；λ2=0.04．本研究提出的FLOS引导律参数设置为：Δ=46；k1=1；α=0.9；k2=1；λ0=1；λ1=0.04；λ2=10-4．FADRC控制器参数设置为：Lr=1；λr0=0.5；λr1=0.1；λr2=0.01；αr1=0.5；αr2=0.01；Lu=0.1；λu0=0.4；λu1=0.1；λu2=0.01；αu1=0.05；αu2=0.001．模型参数摄动值Δmii=0.1mii，Δdii=0.1dii．时变外界环境干扰设置为：fwu=0.3sin(0.01πt-π/5)；fwv=0.1cos(0.01πt+ π/6)；τwr=0.1cos(0.01πt+π/3).图2为三种引导律引导下船舶的航行轨迹对比图，图3为横向偏差对比图，由图2和图3可知ILOS引导下的船舶在路径转弯处航迹会发生较大的偏离，FSOLOS引导下的船舶虽然能保持在期望路径附近，但是从图3可以看出横向偏差存在抖动收敛效果欠佳．10.13245/j.hust.220412.F002图2航行轨迹对比图10.13245/j.hust.220412.F003图3不同引导律下横向偏差对比图图4为三种引导律的期望艏向角的对比图，由图分析可知：在路径曲率较大处FLOS可以引导船舶更早地进行转艏运动，以更快地返回至期望路径上，同时相比于FSOLOS，FLOS期望艏向角变化也更平滑．10.13245/j.hust.220412.F004图4不同引导律下期望艏向角对比图图5表示所设计的非线性干扰观测器可以准确地估计漂角．由图5可以看出：漂角的最大值达到了10.5°，而所提出的FLOS引导律漂角的估计值依然可以很好地跟踪实际值．10.13245/j.hust.220412.F005图5FLOS引导律下漂角估计值图6为FLOS引导律和FSOLOS引导律漂角估计偏差对比，初始时刻由于纵向速度趋于零，所计算出的漂角的实际值非常大，导致两种引导律初始时刻漂角估计效果都不理想，但前者漂角估计偏差能较快地收敛至零附近，后者虽然能收敛至零附近，但存在抖动，这也导致了横向偏差存在抖动，控制精度低．10.13245/j.hust.220412.F006图6不同引导律下漂角估计误差对比4.2　仿真试验二通过与传统的PID控制器对比，分析本研究所设计的FADRC的有效性．仿真时的期望路径、控制参数及环境设置与仿真试验一相同．图7表示非线性干扰观测器可以准确地估计gu和gr．10.13245/j.hust.220412.F007图7纵向和艏向干扰估计值图8和图9为速度和艏向角跟踪曲线，图中ud=3 m/s．从图中可以看出：在时变环境干扰和模型不确定干扰影响下，提出的FADRC可以使船舶的速度和艏向角快速准确跟踪期望值，具有较强的鲁棒性，而在PID控制器控制下控制效果欠佳，跟踪曲线存在抖动．图10为纵向推力和转艏力矩变化曲线．10.13245/j.hust.220412.F008图8航行速度曲线10.13245/j.hust.220412.F009图9艏向角跟踪曲线10.13245/j.hust.220412.F010图10控制力(矩)变化曲线仿真试验表明设计的循迹控制系统可以使船舶在时变环境干扰和模型不确定干扰下快速、准确地沿着期望路径航行．