船舶是一种重要的水上交通工具[1]．在海上实际作业的船舶不可避免地会遭受海风、海浪、海流的干扰，而船舶所遭受的干扰会影响船舶的航行路线．除此之外，船舶本身的模型摄动也会使实际控制效果不符合预期[2]．综上所述，研究如何提高在外界干扰下具有模型参数摄动的船舶轨迹跟踪控制的快速性与跟踪精度，保证船舶安全稳定高效的作业是当今的热点问题[3-4]．对于船舶的轨迹跟踪问题，国内外学者进行了大量的研究．文献[5]中采用反演法与李雅普诺夫(Lyapunov)理论相结合的方法，实现了非线性船舶系统的轨迹跟踪控制．文献[6]提出一种反演自适应控制方法，提高了船舶控制的鲁棒性．由于反演法在求虚拟控制量时存在微分问题，因此文献[7]在反步法与自适应相结合的基础上，使用低通滤波器解决了这一问题．针对模型参数的不确定性，引入滑模控制可以增强系统的鲁棒性，文献[8]中将滑模控制与自适应相结合对控制器进行设计，进一步改善了系统性能．文献[9]解决了输入饱和问题．在实际过程中往往无法得到精确的模型．文献[10]设计了一种自适应递归滑模动态面控制器，利用神经网络克服船舶系统模型本身的不确定性，明显提高了系统的鲁棒性．预设性能控制可以兼顾系统的稳态特性与瞬态性能．文献[11]利用预设性能控制抑制了弹性振动．文献[12]针对船舶系统中直流母线电压波动问题，引入预设性能函数实现了误差的快速收敛．以上文献在提高船舶轨迹跟踪的稳态精度方面均取得了明显的成果，但对于轨迹跟踪误差的瞬态性能和输出约束问题考虑不足．本研究针对上述问题，首先引入性能函数，通过误差转换，将有不等式约束的误差转换为无约束的误差，并结合滑模控制方法进行控制器的设计保证船舶轨迹跟踪的快速性与高精度，使用低通滤波器避免微分爆炸；然后使用神经网络克服模型参数摄动；并引入自适应律对外界未知干扰与模型逼近误差的总和的界进行估计．1 船舶模型及预设性能函数1.1　船舶数学模型考虑纵荡、横荡、艏摇3自由度的船舶轨迹跟踪模型可描述为η˙=J(ψ)v,Mv˙+C(v)v+D(v)v+Δf=τ+d; (1)J(ψ)=cos ψ-sin ψ0sin ψcos ψ0001，(2)式中：η=[x,y,ψ]T为船舶在惯性坐标系下的北向位置、东向位置和艏向角；v=[u,v,r]T为船舶的线速度(u,v)和角速度r；J(ψ)为坐标系转换矩阵；M为船舶重量惯性和水动力附加惯性组成的矩阵；C(v)为科里奥利矩阵，D(v)为水动力阻尼参数矩阵；τ=[τ1,τ2,o3]T为船舶推进器控制输入；d=[d1,d2,d3]T为船舶受海风、海浪、海流外部环境扰动量；Δf为船舶模型不确定项．船舶系统的误差向量定义为ηe=η-ηd，(3)式中ηd=[xd,yd,ψd]T为系统的期望轨迹．假设1 船舶的ηd光滑可导，并且有界，其一阶导数η˙d和二阶导数η¨d均存在，且都有界．假设2 船舶所受干扰d未知有界且其变化率也有界．假设3 Δf未知但有界．1.2　预设性能为了同时兼顾船舶轨迹跟踪控制的暂态性能和稳态性能，定义性能函数[13-15]ρi(t)=(ρi0-ρi∞)exp(-lit)+ρi∞，(4)式中：ρi(t)为性能函数参数矩阵且随时间递减，其中i为各自由度的预设性能函数，i=1,2,3；ρi0,ρi∞,li为性能函数参数矩阵．性能函数在船舶轨迹跟踪控制中的定义为：-φiρi(t)ηe(t)ρi(t)    (ηe(0)≥0);-ρi(t)ηe(t)φiρi(t)    (ηe(0)0), (5)式中φi为性能参数矩阵．直接对式(5)进行处理难度较大，故将有不等式约束的误差ηe(t)转换为等价无约束的误差，有ηe(t)=ρi(t)S(εi)，(6)式中：S为转换误差函数；εi为转换误差．由式(6)可得εi(t)=S-1(ηe(t)/ρi)．(7)令ηe(t)/ρi=xi．当ηe(0)=0时，φi不能取0，以避免εi(0)趋于无穷．对式(7)求导可得ε˙i=∂S-1∂(ηe(t)/ρi)1ρiη˙e(t)-ρ˙iρiηe(t)．(8)令：ri=∂S-1∂(ηe(t)/ρi)1ρi;wi=ρ˙iρi;ε˙i=ri(η˙e(t)-ηe(t)wi). (9)2 控制器设计第一步，结合预设性能所得的转换误差向量εi，定义第一个滑模面向量s1∈R3，有：z1=εi;s1=z1. (10)针对式(10)设计李雅普诺夫函数，形式为V1=s1Ts1/2．(11)对式(11)关于时间求导并结合式(9)，可得V˙1=s1Ts˙1=s1Tri(J(ψ)v-η˙d-ηe(t)wi)．(12)设计v的虚拟控制量α∈R3，则有α=J(ψ)-1(-k1ri-1s1+η˙d+ηe(t)wi)，(13)式中k1为设计的正定参数对角矩阵．由于传统滑模控制中对虚拟控制量求导时会产生微分爆炸，使计算量过大，因此使用低通滤波器解决此问题．在此引入一个新的向量αd∈R3，用该状态向量作为α的一阶低通滤波输出，有：Tα˙d+αd=α;αd(0)=α(0), (14)式中T为滤波器的时间常数．为了后续稳定性分析，在此定义滤波器的跟踪误差向量ω¯∈R3，其表达式为ω¯=αd-α．(15)第二步，综合考虑转换误差与速度误差向量z2，定义递归滑模面向量s2∈R3，则有：z2=v-αd;s2=C1s1+z2, (16)式中C1∈R3×3为正定参数对角矩阵．对式(16)求导并结合式(1)可得      Ms˙2=τ+d-C(v)v-D(v)v-Δf-Mα˙d+MC1s˙1. (17)结合s1与s2设计相关的李雅普诺夫函数，有V2=12s1Ts1+12s2TMs2．  (18)对式(18)关于时间求导可得V˙2=-s1Tk1s1-s1TriJ(ψ)C1s1+s2T(riJT(ψ)s1+Ms˙2). (19)所以有riJT(ψ)s1+Ms˙2=-k2s2，其中k2为设计的正定参数对角矩阵．可得控制律为      τ=-k2s2-riJT(ψ)s1+C(v)v+D(v)v+Δf+Mα˙d-MC1s˙1-d. (20)第三步，针对Δf，引入RBF(径向基函数)神经网络，对Δf进行逼近，即Δf=W*Th(v)+e(v)，(21)式中：v为RBF神经网络的输入向量，输出为对模型不确定项的估计值；W*∈R3l×3为理想权值向量矩阵；e(v)=[e1,e2,e3]T为RBF神经网络的逼近误差向量；h(v)=[h1T(v),h2T(v),h3T(v)]T∈R3l为径向基函数所构成的向量．假设4 对任意的RBF神经网络输入，都有神经网络的逼近误差e(v)有界，其界为eM(v)，从而有||e(v)||≤eM(v)．同样有神经网络的理想权值W*有上界WM，有||W*||≤WM．结合假设4即可得对于外界扰动d和e(v)的和存在界δi，其值大于0，有|ei(v)|+|di|≤δi．令δ=[δ1,δ2,q3]T代表模型逼近误差与外界扰动的总和的界向量．结合以上假设及RBF神经网络特性，进一步优化控制律有τ=-k2s2-riJT(ψ)s1+C(v)v+D(v)v+ŴTh(v)+Mα˙d-MC1s˙1-Ξδ̂, (22)式中：Ŵ∈R3l×3为W*的估计矩阵；δ̂为界向量δ的估计值；Ξ=diag[tanh(l2(s2,1)/ξ1)，tanh(l2(s2,2)/ ξ2)，tanh(l2(s2,3)/ξ3)]∈R3×3，其中ξ为设计的正常数．传统滑模的符号函数易引起控制量抖振，故引入双曲正切函数削弱抖振，提高控制精度．Ξδ̂用来补偿外界扰动及模型逼近误差的和．非线性增益函数l(x)=[x+|x|1/2sgn(x)]/2    (x=0);[|x|-1/2x/2+|x|1/2sgn(x)]/2    (x≠0).引入非线性增益函数，可消除系统的稳态性能与调节时的瞬态性能之间产生的矛盾，进一步改善系统性能．结合l(x)与神经网络权值向量的自适应律设计为ŵ˙i=Γi[-hi(v)l2(s2,i)-σiŵi]，(23)式中：Γi∈Rl×l为设计的正定参数对角矩阵；σi为设计的正参数．同样使用l(x)，设计自适应律对外界扰动与δ进行估计，其形式为δ̂˙=Q[Ξl2(s2)-Λ(δ̂-δ0)]，(24)式中：Q,Λ∈R3×3均为设计的正定参数对角矩阵；δ0=[δ10,δ20,δ30]T∈R3，为δ̂i的初始估计值．3 稳定性分析综合上述控制律求取过程，对系统稳定性进行分析．选择李雅普诺夫函数为V=12s1Ts1+12s2TMs2+12∑i=13w˜iTΓi-1w˜i+12ω¯Tω¯+12δ˜TQ-1δ˜, (25)式中：δ˜为自适应律所估计的误差组成的向量，表达式为δ˜=δ̂-δ；w˜i为神经网络权值的估计误差组成的向量，w˜i=ŵi-wi*，wi*为神经网络理想权值向量．对式(25)函数关于时间求导，可得V˙=s1Ts˙1+s2TMs˙2+∑i=13w˜iTΓi-1ŵ˙i +ω¯Tω¯˙+δ˜TQ-1δ̂˙. (26)对式(26)右边第一项，结合公式(15)和(16)有s1Ts˙1=s1T(riJ(ψ)s2-riJ(ψ)C1s1 +riJ(ψ)ω¯-k1s1).对式(26)右边第二项，利用δ，同时结合式(17)和(22)可得      s2TMs˙2≤s2T(W˜Th(v)-Ξδ̂-k2s2-riJT(ψ)s1+δ). (27)对式(26)右边第三项，首先考虑不等式-σiw˜iTŵi≤-σiw˜iTw˜i/2+σiwi,M2/2，(28)式中wi,M为wi*的范数的界．同时结合式(23)可得      ∑i=13w˜iTΓi-1ŵ˙i≤-∑i=13w˜iThi(v)l2(s2,i)-∑i=13σi2w˜iTw˜i+∑i=13σi2wi,M2-12β0∑i=13w˜iTΓi-1w˜i, (29)式中β0=min(λmin(σ1Γ1),λmin(σ2Γ2),λmin(σ3Γ3))，Γ为设定的参数矩阵．对式(26)等号右边第四项，首先由式(14)和(15)可得ω¯˙=-ω¯/T+J˙-1(ψ)k1ri-1s1-J˙-1(ψ)η˙d-J˙-1(ψ)ηe(t)wi+J-1(ψ)k1ri-1s˙1- J-1(ψ)η¨d-J-1(ψ)η˙e(t)wi. (30)令G(∙)=J˙-1(ψ)k1ri-1s1-J˙-1(ψ)η˙d-J˙-1(ψ)ηe(t)wi+J-1(ψ)k1ri-1s˙1-J-1(ψ)η¨d-J-1(ψ)η˙e(t)wi,有ω¯Tω¯˙≤-ω¯Tω¯/T+||ω¯||∙||G(∙)||/2+1/2．对式(26)右边第五项，首先考虑不等式-(δ̂i-δi)(δ̂i-δi0)≤-δ˜i2/2+(δi-δi0)2/2，结合式(24)可得      δ˜TQ-1δ̂˙≤δ˜TΞl2(s2)-λmin(ΛQ)δ˜TQ-1δ˜/2+(δ-δ0)TΛ(δ-δ0)/2, (31)式中Q和Λ为设定的参数矩阵．结合双曲正切函数的性质，对ξ0,a∈R，有关系式0≤|a|-atanh(a/ξ)≤0.278 5ξ成立，即s2T(-Ξδ̂+δ)+δ˜TΞl2(s2)≤0.278 5pTδ，其中p=[ξ1,ξ2,ξ3]T；所以式(26)可变为      V˙≤s1TriJ(ψ)ω¯-12β0∑i=13w˜iTΓi-1w˜i-ω¯Tω¯T+1/2+||ω¯||⋅||G(∙)||/2-λmin(ΛQ)δ˜TQ-1δ˜/2+∑i=13σi2wi,M2+(δ-δ0)TΛ(δ-δ0)/2+0.278 5pTδ.又有s1Tω¯≤a1s1Ts1+ω¯Tω¯/(4a1)，(32)式中a1为正参数．设λmin(k1)a1，则进一步有      V˙≤-12β0∑i=13w˜iTΓi-1w˜i-1T-14a1ω¯Tω¯- λmin(ΛQ)δ˜TQ-1δ˜/2+||ω¯||⋅||G(∙)||/2+σi2wi,M2+1/2+0.278 5pTδ+(δ-δ0)TΛ(δ-δ0)/2≤-μV+C, (33)式中：μ=min(β0,2(1/T-1/(4a2)),λmin(ΛQ))有界且其值大于0；[1/T-1/(4a1)]0；C=∑i=13σi2wi,M2+12||ω¯||⋅||G(∙)||+12+12(δ-δ0)TΛ(δ-δ0)+0.278 5pTδ；λmin(∙)和λmax(∙)分别为矩阵的最小特征值和最大特征值．解不等式(33)得0≤V(t)≤C/μ+(V(0)-C/μ)e-μt．(34)可知V(t)最终一致有界，从而系统中的信号s1，s2，ω¯，w˜i，和δ˜最终一致有界．进一步可知η，α，αd，v，ŵ和δ̂均最终一致有界，全局渐近稳定．4 参数及仿真船舶仿真对象的长度为76.2 m，其质量为4.591×109 g．船舶模型相关参数矩阵为：M=5.312 20008.283 10003 745.400 0×106；C(v)=008.283 1v005.312 2u8.283 1v-5.312 2u0×106；D=5.024 200027.299 0-439.330 00-439.330 041 894.000 0×104．模型的不确定项为Δf=0.2×5.024 2×104u2+0.1×5.024 2×104u30.2×2.722 9×105v2+0.1×2.722 9×105v30.2×4.189 4×108r2+0.1×4.189 4×108r3．外界扰动为d=sin(0.2t)+cos(0.5t)sin(0.1t)+cos(0.4t)10sin(0.5t)+10cos(0.3t)×105．设ηd=[2t,15sin(t/15),0]T，船舶的初始信息为η0=[0.2,0.5,0]T，v0=[0,0,0]T．设置控制器参数如下：k1=diag[1,1,1]；k2=diag[2,2,2]；φi=[1,1,1]；ρi0=[1,1,1]；ρi∞=[0.1,0.1,0.1]；ξi=[0.01,0.01,1×10-6]；δ0=[0.1,0.1,0.1]；li=[0.1,0.1,0.1]；σ=diag[1×10-6,5×10-7,10-2],Λ=1×10-7× diag [1，1,1×10-2]；Γ=diag[105,2×105,10]；Q=diag[5×104,5×104,105]；C1=diag[1,1,1]；C2=diag[1×105,1×105,2×108]．除此之外，RBF隐含层数量设置为61个，令cj,1,  cj,2的值在[-18,18]之间均匀分布；cj,3的值在[-0.3,0.3]之间均匀分布．神经网络权值估计值的初始值ŵi=[0,0,⋯,0]T．滤波器时间常数T=0.1．a1满足4a1T．从图1可以看出船舶实际轨迹精确跟踪期望轨迹，控制精度高，收敛速度较快．10.13245/j.hust.220413.F001图1轨迹跟踪仿真图2是船舶轨迹跟踪速度特性曲线，图3是船舶推进器的前进力τ1、横荡力τ2及艏摇力矩o3的变化情况．由图2和图3可看出速度和控制输入的有界性．10.13245/j.hust.220413.F002图2仿真过程速度特性曲线10.13245/j.hust.220413.F003图3控制器输出图4为外界扰动与神经网络逼近误差和δ1(横向总误差)、δ2(纵向总误差)、q3(艏向力矩总误差)及其估计值δ1g，δ2g，q3g的历时曲线．图5为模型逼近误差的曲线，图中：f1和f2为神经网络逼近模型关于线速度不确定项的误差；F3为神经网络逼近模型关于艏向力矩不确定项的误差．由图5可以看出其值逐渐趋于0且在0附近震荡．10.13245/j.hust.220413.F004图4船舶轨迹自适应律估计10.13245/j.hust.220413.F005图5模型逼近误差图6描述了船舶轨迹跟踪误差ηe(t)，船舶在东向位置，北向位置，以及艏向角的跟踪误差均在预设性能控制定义的误差界限-φiρi(t)ηe(t)ρi(t)内，由性能函数参数与φi的选择能够使误差的收敛速度、超调量、收敛精度满足预先设定的要求．由图6中：xe为北向误差；ye为东向误差；ψe为艏向角误差；三者在预设的性能限界范围内实现了收敛并稳定．由图6可知所提出控制策略能够确保船舶系统满足规定的性能要求．10.13245/j.hust.220413.F006图6轨迹跟踪误差与界限5 结语本研究提出一种神经自适应预设性能船舶轨迹跟踪控制策略，实现了外界未知扰动下具有模型不确定性的船舶的精确轨迹跟踪控制．最终使具有模型不确定性的船舶完成快速、高精度的轨迹跟踪抗扰控制．仿真结果验证了该控制策略的有效性．