汽车轮毂夹具作为轮毂加工工艺装备的重要组成部分，直接决定轮毂加工能否顺利完成，在轮毂加工生产中起到重要作用[1]．近年来，随着汽车市场的发展，汽车轮毂呈现出多样化[2]和个性化的特征，传统夹具及其装夹过程复杂繁琐，装夹尺寸单一，加工型号不同的轮毂须要人工调整或者更换不同夹具来保证加工的顺利进行[3]，生产成本高，经济性差，不具备柔性化，不符合当下轮毂生产加工的发展趋势[4-5]．因此当前迫切须要设计一种可以实现对轮毂进行柔性装夹的汽车轮毂柔性夹具以满足当下轮毂加工车间智能化、柔性化的需求[6]．轮毂加工过程看似简单，实则复杂繁琐[7]．在影响轮毂毛坯加工精度的诸多因素中，夹具系统所导致的加工误差占到总误差的20%~60%[8-9]．轮毂毛坯属于圆柱形工件[10]，夹具的径向夹持刚度是造成轮毂毛坯圆柱度误差的主要因素[11-12]．同时在加工过程中，工件夹具系统出现的颤振是造成轮毂加工表面质量恶化的重要因素之一[13]．而轮毂夹具在装夹轮毂毛坯进行加工过程中的颤振，一方面是由于夹具系统的自激振荡，另一方面是由于夹具的径向夹持刚度不足而引起的工件夹具系统的参数化振动[14-15]．这是由于好的夹具径向夹持刚度，能够显著提高轮毂夹具在夹持毛坯时的稳定性，避免因径向夹持刚度不足而使轮毂夹具在加工中出现径向微小摆动，使夹具系统附加额外的径向激励．这就在一定程度上弱化了夹具系统的自激振荡和参数化振动，尤其当夹具随机床主轴进行高速旋转时，夹具径向夹持刚度对夹具系统自激振荡、参数化振动的抑制效果会体现的更加明显．可见，轮毂夹具的径向夹持刚度对轮毂的加工误差和加工表面质量具有重要影响[16]．本研究设计了一种在无须人为更换零部件的情况下，可以实现对直径为43.18~50.8 cm轮毂进行可靠装夹的汽车轮毂柔性夹具．针对所设计的夹具结构，通过受力分析，建立轮毂柔性夹具径向动态夹持刚度理论模型；采用数值模拟的方法对夹具在工作中的径向夹持刚度特性进行分析．为探究轮毂柔性夹具径向夹持刚度的作用机理和提高轮毂的加工质量提供理论和技术支持．1 夹具结构图1为本研究设计的汽车轮毂柔性加工夹具结构．与传统夹具相比，本夹具结构能够实现对直径为43.18~50.8 cm汽车轮毂毛坯的柔性化装夹．当须要对不同型号的汽车轮毂进行加工时，使用本夹具结构可以改变以往须停机更换夹具或者更换夹具配件的情况，能够直接对变尺寸轮毂进行装夹，大大提高了轮毂毛坯的加工效率．此外，该夹具结构采用了六个夹爪设计，克服了传统的三个夹爪结构易使轮毂在加工过程中产生变形的问题．其工作原理如下：当夹具执行夹紧动作时，主轴拉杆开始向下运动，由于施压件、压板、导向件固定座和导向件之间相对固定，从而随着主轴拉杆一起向下运动．导向件与夹爪座之间的两对平面副的相对滑动，将主轴拉杆的上下运动转化成夹爪座的径向运动，从而实现弧形夹爪对轮毂的径向夹持功能，完成对轮毂的可靠装夹．每个弧形卡爪中分别包含了三个尺寸大小的弧形卡槽，从而实现对变尺寸轮毂的夹持，完成对轮毂毛坯的柔性加工操作．夹具的松开动作与夹紧动作相反．10.13245/j.hust.220505.F001 图1汽车轮毂柔性夹具结构 1—弧形夹爪；2—夹爪座；3—限位件；4—底座；5—下封盖；6—主轴拉杆；7—圆盘座；8—导向圆盘；9—压板；10—导向件固定座；11—上封盖；12—导向件．2 径向动态夹持刚度建模2.1　夹紧力和弯力的分解图2为卡爪夹紧力分布和接触面径向总变形示意图，图中：lcm为弧形夹爪与工件之间的实际夹持长度；θ为夹持弧与轮毂毛坯之间接触角；ΔlJ为弧形夹爪夹紧力作用点的偏移量．而由于夹持弧与轮毂毛坯之间初始接触角的存在，夹紧力Fcm可以分为均匀分布夹紧力Fcm,U和线性分布夹紧力Fcm,L两部分，则有如下关系成立[17]，即Fcm=Fcm,U+Fcm,L．此时，弧形夹爪与轮毂毛坯接触面间的总变形也可以分为两部分，分别为均匀分布变形ww和线性分布变形wwD，可相应地定义刚度kw为均匀分布刚度，kwD为线性分布刚度，则有以下公式[17]成立：Fcm,U=kwww；Fcm,L=kwDlcmθ/2．(1)10.13245/j.hust.220505.F002图2卡爪夹紧力分布和接触面径向总变形根据力的等效方法，由式(1)可以求得图2中弧形夹爪夹紧力作用点的偏移量ΔlJ的计算公式[18]为ΔlJ=kwDlcm2θ/(12Fcm)．(2)当对轮毂毛坯进行切削加工时，切削力的径向分力一方面表现为弯矩作用使工件发生倾转，另一方面表现为径向力作用使工件产生径向位移[19]．为了便于计算由于弧形夹爪变形引起的工件的倾转和径向位移，可建立图3所示的夹具-工件坐标系[16]，图中：OXYZ为全局坐标系，固定在轮毂夹具上；OiXiYiZi为局部坐标系，固定在夹爪i上，其中i=1，2，… ，6；kx，ky和kz分别为弧形夹爪夹持中心的径向、周向和轴向刚度，其中kx为弧形夹爪和工件径向刚度的合成；Fk为弯力，是刀具切削力分力中轴向力Fz和切向力Ft的合力；Fk1和Fk2为弯力Fk的两个分力；α为弯力的作用方向角度．如图3所示，任意方向的弯力都可分解成两个沿着夹爪方向的分力Fk1和Fk2，可表示为Fk1Fk2=Fksin60°sin(α+60°)sinα．10.13245/j.hust.220505.F003图3弯力的分解及各坐标示意图2.2　轴向作用力的求解当轮毂毛坯在加工中所受到的弯力为沿着夹具弧形夹爪时，轮毂夹具和工件组成的夹持系统的受力情况如图4所示，图中：Fa为弧形夹爪1产生的对工件的作用反力；θw1为工件在弯矩作用下由于弧形夹爪的弹性变形而产生的刚体倾转角度；Δl为不同夹爪上夹紧力作用点偏移之间的变化量；lk为弯力作用点到弧形夹爪夹持中心的距离；dw为轮毂毛坯的直径；弯力Fk1的作用方向为沿着弧形夹爪；n为由轮毂毛坯几何尺寸决定的位置系数．10.13245/j.hust.220505.F004图4弯力作用下工件倾转情况由受力分析可得弧形夹爪1产生的对工件的作用反力Fa为Fa=kzdwθw1/2．(3)由力矩平衡可得FcmΔl+nFadw=Fk1lk．(4)将式(3)代入式(4)，有FcmΔl+nkzdw2θw1/2=Fk1lk．(5)设在弯力作用后的夹爪i与工件的接触角由初始接触角θ0变为θi，则θi与θw1之间的关系为：θ1=θ0+θw1；θ2=θ3=θ4= θ5=θ6=θ0-θw1/5．则由式(2)夹爪i夹紧力作用点的偏移量ΔlJi可以表示为ΔlJi=kwDlcm2θi/(12Fcm)．则不同夹爪上夹紧力作用点偏移之间的变化量Δl可以表示为Δl=ΔlJ1-ΔlJ2=kwDlcm2θw1/(10Fcm)．(6)将式(6)代入式(5)即可得到由于弧形夹爪的弹性变形而产生的工件刚体倾转角度θw1与工件在加工时所受到的弯力Fk1之间的关系为θw1=10Fk1lkkwDlcm2+5nkzdw2．(7)将式(7)代入式(3)可以得到在弯力Fk1作用下夹具各夹爪受到工件轴向作用力Fzi,k1的计算公式为     Fz1,k1,Fz2,k1,…,Fz6,k1T=Fk1lkδ,-lkδ/5,…,-lkδ/5T, (8)式中δ=5dwkz/(kwDlcm2+5nkzdw2)．2.3　径向和周向作用力图5为当弯力沿着夹具弧形夹爪1时，夹爪和工件的弹性变形而引起的工件刚体位移示意图，图中s为工件径向刚体位移大小．10.13245/j.hust.220505.F005图5弯力作用下工件的径向位移情况由力的平衡定理可得4scos60°kxcos60°+4ssin60°kysin60°+skx=Fk1．(9)由式(9)可解得工件在弯力作用下的径向位移s大小为s=Fk1/(2kx+3ky)．由此可得弧形夹爪i所受到的径向力Fxi，k1计算公式为      (Fx1,k1,Fx2,k1,…,Fx6,k1)T=Fk1-12+3ε,12(2+3ε),12(2+3ε),…T, (10)式中ε=ky/kx．周向力Fyi,k1的计算公式为      (Fy1,k1,Fy2,k1,…,Fy6,k1)T=Fk10,3ε2(2+3ε),3ε2(2+3ε),0 ,-3ε2(2+3ε),-3ε2(2+3ε)T. (11)2.4　径向夹持刚度计算由式(8)、(10)和(11)可得轮毂夹具在沿夹爪1方向的弯力作用下，各个夹爪受到工件的各个方向作用力的计算公式为Fx1,k1Fy1,k1Fz1,k1Fx2,k1Fy2,k1Fz2,k1…Fx6,k1Fy6,k1Fz6,k1=Fk1-(2+3ε)-10lkδ12(2+3ε)3ε2(2+3ε)-lkδ512(2+3ε)3ε2(2+3ε)-lkδ5…0……-3ε/[2(2+3ε)]……-3ε/[2(2+3ε)]-lkδ/5．当弯力的作用方向为沿着夹爪2时，同理可以得到各个夹爪受到工件各个方向的作用力计算公式，此处不再赘述．设在夹爪i的夹持弧上有一中心点Pi，该点Pi在局部坐标系OiXiYiZi中的齐次坐标为iPi，则有iPi=(xixi,yiyi,zizi,1)T．点Pi在全局坐标系OXYZ中的齐次坐标为0Pi，则有0Pi=(x0xi,y0yi,z0zi,1)T．而局部坐标系OiXiYiZi与全局坐标系OXYZ存在坐标传递关系，故有0Pi=R0RiPiPi，式中0Ri为局部坐标系OiXiYiZi到全局坐标系OXYZ的坐标传递矩阵，即0Ri=cos βi-sin βi0(1/2)cos βisin βicos βi0(1/2)sin βi00100001，其中βi=60°．根据胡克定律，通过计算可以得到在全局坐标系OXYZ下任意卡爪夹持弧中心点的齐次坐标0Pi的计算公式为0Pi=(dw/2)cos βi-Fkcos α/(2kx+3ky)(dw/2)sin βi-Fksin α/(2kx+3ky)Fklkδλ/kz1T, (12)式中λ=cos (α-βi)．图6为夹持弧中心点在全局坐标中的分布示意图，图中：点A0为过点P1，P2和P3的圆的圆心；OA0¯为弧形卡爪和工件因弹性变形而引起的工件刚体位移；A0B0⃗为平面P1P2P3的法矢量；θw为工件在弯力作用下由于弹性变形而发生的倾转角度．10.13245/j.hust.220505.F006图6夹持弧中心点在全局坐标中的分布示意图由式(12)及空间几何之间的关系可得：OA0¯=Fk/(2kx+3ky)；(13)θw=10Fklk/(kwDlcm2+5nkzdw2)．(14)则工件上弯力作用点的总位移u的计算公式为u=lkθw+OA0¯+Fklk3/(3EI)，即u=Fk10lk2kwDlcm2+5nkzdw2+12kx+3ky+lk33EI，(15)式中：E为轮毂材料的弹性模量；I为截面惯性矩．值得注意的是：式(15)中弯力Fk为切向力Ft和径向力Fr的合成，若设弯力与切向力之间的夹角为γ，则Fk=Ft/cos γ．将Fk=Ft/cos γ代入式(15)，由此可以建立工件上弯力作用点的总位移u与刀具切削要素之间的关系为u=Ftcosγ10lk2kwDlcm2+5nkzdw2+12kx+3ky+lk33EI;Ft=9.81CapefgvchK,式中：f为进给量；ap为切削深度；vc为切削速度；C为由加工材料和切削条件决定的系数；e，g和h为切削参数的指数；K为各种因素(如实际加工条件)下切削力的修正系数．综上所述，由式(13)和(14)可得夹爪与工件完全接触的条件下六卡爪汽车轮毂柔性夹具的径向夹持刚度为k0-1=10lk2kwDlcm2+5nkzdw2+12kx+3ky+64lk33πEdw．(16)从式(16)可以看出：夹紧力Fcm的大小对轮毂夹具径向夹持刚度没有影响；轮毂夹具的径向夹持刚度不仅取决于弧形夹爪的刚度大小，而且与轮毂毛坯的几何尺寸有关．3 夹持刚度特性3.1　设置边界条件夹具材料选取为40Cr奥氏体不锈钢[20]，其密度为7.85×103 kg/m3，泊松比为0.3，弹性模量为2.06×105 MPa，屈服强度为785 MPa．根据实际的切削工况条件，可添加如下载荷[21]：弯力Fk大小设为1.5 kN；弯力与弧形夹爪1之间的夹角为α(α=kπ/6，k取1~12内的整数)，当α=0°时，弯力的作用方向为沿着弧形卡爪；各个弧形夹爪的夹紧力Fcm大小设为0.8 kN；主轴液压缸拉杆的拉力Fin大小设为30 kN；主轴带动夹具系统高速旋转的角速度ω设为157 rad/s．弧形夹爪与轮毂毛坯之间的摩擦系数μ取0.1．3.2　有限元模型将几何模型读入到ANSYS 18.0中，对夹紧元件进行有限元网格划分．因本研究所设计的夹具结构复杂，零部件较多，为了考虑有限元计算的速度及计算精度，当划分网格时，Element Size参数设置为4 mm，Relevance Center和Span Angle Center参数选取的均为Medium．网格划分方法采用的是自由划分方法[22]，生成的有限元模型如图7所示．最终生成的网格单元平均质量为0.73，可以保证最终的计算结果精度．有限元模型共生成9.556 73×105个单元，1.711 740×106个节点．10.13245/j.hust.220505.F007图7夹具有限元模型3.3　计算结果分析在3.1节中给定的工况条件下，当弯力与弧形夹爪1之间的夹角α为kπ/3(k取1~6内的整数，沿夹爪方向)时，有限元计算结果如图8所示．从图8中可以看出：本研究所设计的柔性夹具结构径向位移最大位置出现在弧形夹爪与轮毂轮缘相接触的弧形凹槽部分，此时夹具的最大径向位移为1.510 9 μm．当弯力与弧形夹爪1之间的夹角为kπ/6(k取1~12内的奇数，两夹爪之间方向)时，有限元计算结果如图9所示，此时夹具的最大径向位移为1.515 7 μm．10.13245/j.hust.220505.F008图8有限元计算结果(α=kπ/3，k取1~6内的整数)10.13245/j.hust.220505.F009图9有限元计算结果(α=kπ/6，k取1~12内的奇数)设在两种不同弯力作用方向下夹具结构所产生的径向位移差为ΔS，则在所给的工况条件下，本夹具结构的径向位移差为ΔS=(1.511 7-1.510 9) μm =0.004 8 μm．对传统的三爪结构的刚度特性进行分析，以对比验证本夹具结构的稳定性．将本夹具结构的六弧形夹爪调整为三弧形夹爪结构，夹具内部的相关结构也做出相应调整．数值模拟的边界条件以及相关计算方法与上述六弧形夹爪结构的计算过程相同，以此开始进行有限元计算．当弯力与弧形夹爪1之间的夹角为2kπ/3(k取1~3内的整数，沿夹爪方向)时，有限元计算结果如图10所示，此时夹具的最大径向位移为1.560 2 μm．10.13245/j.hust.220505.F010图10有限元计算结果(α=2kπ/3，k取1~3内的整数)当弯力与弧形夹爪1之间的夹角为kπ/3(k取1~5内的奇数，两夹爪之间方向)时，有限元计算结果如图11所示，此时夹具的最大径向位移为2.327 2 μm．10.13245/j.hust.220505.F011图11有限元计算结果(α=kπ/3，k取1~5内的奇数)则三弧形夹爪结构在所给的工况条件下的径向位移差为ΔS=(2.327 2-1.560 2) μm=0.767 0 μm．综上可知，ΔS2ΔS1，ΔS1与ΔS2相比几乎可以忽略．由此可见：三弧形夹爪结构径向位移的大小受弯力作用方向的影响程度要远大于六弧形夹爪结构；本研究所采用的六弧形夹爪结构设计具有更好的稳定性，对夹具的径向夹持刚度可以起到较好的积极作用，能够有效减小弯力作用方向对夹具径向夹持刚度的影响，从而提高了夹具结构的稳定性．4 结论a．设计了一种在无须人为更换相关零部件的情况下，可以实现对直径为43.18~50.8 cm型号轮毂毛坯进行可靠装夹和定位的柔性夹具结构，解决了现有夹具结构柔性化程度不足的问题．b．针对所设计的柔性夹具结构，确定了夹具工作时的最大径向位移与刀具切削要素之间的函数关系，建立了夹具在加工过程中的动态径向夹持刚度数学模型，可以得知：夹紧力Fcm的大小对轮毂夹具径向夹持刚度没有影响；轮毂夹具的径向夹持刚度不仅取决于弧形夹爪的刚度大小，而且与轮毂毛坯的几何尺寸有关．c．采用有限元数值模拟的方法对所设计夹具结构的径向位移进行计算，并与传统的三爪结构进行对比可知：本夹具中六弧形夹爪设计对夹具的径向夹持刚度可以起到较好的积极作用，能够有效减小弯力作用方向对夹具径向夹持刚度的影响，可以明显提高夹具结构的稳定性．