文献[1-3]将广义斯奈尔定律[4]推广到声学领域，通过调控声波入射界面处的相位梯度，实现高效地调节声波的反射、透射和吸收特性．这种具有亚波长厚度的周期人工结构即声学超表面[1-6]，对于空间受限的应用领域具有重要价值，近年来得到了广泛关注[7-11]．最初声学超表面人工结构采用基于共振机理的折叠空间结构[1,5,12-13]和亥姆赫兹共振腔结构[14-16]等，此类结构存在频率依赖性，工作带宽较窄．为拓宽工作频带范围，文献[17]借助五模式超材料(PM)[18-19]本质的宽频特性及与环境介质的阻抗匹配特性，设计了非谐振单元式的五模式声学超表面，通过调节入射界面的速度梯度分布实现了多种波阵面调控．五模超表面借助超构材料设计技术实现，通过设计五模微结构获得特定的等效模量和等效密度，从而实现超表面所需的声速梯度分布．随后有学者通过仿真[20,22,24]或实验[21,23]进一步验证了五模超表面的宽频波控优势．文献[20]仿真验证了五模超表面的声波异常折射、平面波聚焦和平面波转换能力．文献[21]实验验证了五模超表面用于水下柱面波到平面波的转换，实现了宽频带(15～23 kHz)的波形转换，声能转换率为69%．文献[22]研究了五模超表面的宽带高效非对称声传输特性．仿真实现了频率2.6～5.6 kHz和入射角0°～35°范围内正向或反向入射的异常折射，声能传输率高达85.4%．文献[23]采用慢走丝电火花技术制备了铝基材的反射式五模超表面并进行了声波定向反射实验，在较宽频带内调控精度与仿真结果一致．文献[24]基于广义斯奈尔定律给出了反射式五模超表面较为详细的理论推导过程，仿真验证了五模超表面定向反射的宽频性能．对于大空间范围的声波调控，须要超表面具有较大的纵向尺寸，而对于大反射角度的调控，须要超表面具有较大的声速梯度，这两方面均意味着五模超表面须具备较宽的模量和密度变化范围．目前，五模材料设计主要从微结构几何尺寸[17,20-27]或拓扑构型[28]两方面进行，然而仅凭借单一基材的微结构设计难以实现较宽的物性参数范围．因此，为满足超表面所需的较大的声速梯度，克服微结构几何设计的局限性，本研究提出采用两种基材进行微结构设计以拓宽其等效物性参数范围，将均匀化方法与优化设计相结合，设计了具有铝和钛合金两段基材的反射式声学超表面，通过微结构声学性能分析和超表面水下定向反射仿真验证了方法的可行性和有效性．1 反射式五模超表面调控原理与离散五模声学超表面是以声速调节来实现相位调节．对于以声速c0垂直入射至超表面的声波，其反射角θr[17,24]为sin θr=2h0c0d(c(x)-1)/dx，(1)式中：h0为超表面法向厚度；c(x)为超表面的声速分布．式(1)表明：反射角θr只与d(c(x)-1)/dx分布有关，与入射波频率无关，因此五模超表面具有宽频带特性．为保证高效调控，超表面须满足特性阻抗匹配[29]，即ρc=ρ0c0，(2)式中ρ0和ρ分别为入射介质密度和超表面理想密度分布．声速和密度须要反方向变化才能实现阻抗匹配．将式(2)代入式(1)，得到反射式五模超表面的理想密度分布为ρ(x)=ρ0{[x/(2h0)]sin θr+C0}    (0≤x≤L)，(3)式中：L为超表面长度；C0为积分常数，根据五模材料所能物理实现的密度范围来确定．对于各向同性的理想五模材料，其模量矩阵形式为K=K110110000．(4)五模超表面的理想模量分布K(x)满足K(x)=ρ0K0/ρ(x)，(5)式中K0为入射介质体积模量．由于人工周期结构无法实现理想的连续物性参数变化，因此须要将理论超表面沿长度方向离散[22-24]为n个单元(i=1,2,⋯,n)，以此来逼近理论超表面连续的物性参数分布．各离散单元内部具有相同的密度和模量，并以中心位置处的值ρi和Ki来表征，由式(3)和式(5)分别计算．2 五模微结构物性参数计算与优化设计2.1　等效物性参数计算建立微结构的有限元参数化模型，根据微结构的单元节点信息，运用均匀化方法计算每个离散单元微结构的等效刚度矩阵C¯i，对于宏观各向同性的微结构，C¯i可表示为C¯i=C¯11iC¯12i0C¯12iC¯11i000C¯33i．(6)对于二维问题，C¯i的主要计算公式为以下两个张量方程[30]，遵循爱因斯坦求和约定，即CijklH=1Y∫YCijkl-Cijpq∂χpkl∂yqdY；(7)∫YCijpq∂χpkl∂yq∂vi(y)∂yjdY=∫YCijkl∂vi(y)∂yjdY，(8)式中：i，j，k，l =1，2；CijklH为刚度均匀化系数，C¯11i=C1111H；Cijkl为材料刚度系数；χpkl为施加单位应变后单胞的位移场；vi=(y1,y2)为定义的二维坐标系下的两个位移矢量；Y为周期材料的单胞结构；Y为单胞面积．等效密度ρci由总质量ρmSm做面积平均得到，即ρci=ρmSm/Sci，(9)式中Sci为微结构面积．2.2　微结构优化设计采用Norris提出的五模微结构作为基本构型[24]，表征微结构模量和密度的几何特征参数为：正六边形边长l，质量单元高度h，连接质量单元的杆长d和宽t．在l给定的基础上，等效模量主要由t调节，等效密度主要由h和d调节．在选定基材的前提下，以几何参数[h,d,t]作为优化变量Xi，参数间满足一定的几何约束．为了保证长波极限条件，理论上l值越小越好，但是须要兼顾物理可实现性，因此可以先给定l一个初值，优化过程中l值不变以保证微结构周期排布，在获得h,d,t优化值后，根据加工方法所能实现的最小尺寸，将l和h,d,t按比例缩放．以微结构等效物性参数与所需离散超表面物性参数的偏差最小为优化目标，采用文献[31]提出的全局优化算法进行寻优，优化模型为：Find Xi=[h,d,t];    min  f=(C¯11i-Ki)2+(C¯12i-Ki)2+(C¯33i-0)2+(ρci-ρi)2;s.t.  0≤hl,h≤dl,0th. (10)式(10)中的微结构模量和密度须相对于水的模量和密度进行归一化处理．对全部离散单元的微结构依次进行上述优化设计，最终获得整个超表面的微结构设计方案．3 五模微结构声学性能与水下超表面定向反射仿真3.1　超表面分段设计设计定向反射θr=15°(顺时针方向)的反射式五模超表面，若须实现的相对水的密度范围为[ρa,ρb]，则超表面厚度h0和长度L应同时满足[24]：[L/(2h0)]sin θr≤(ρb-ρa);L2λ0, (11)式中λ0为最大入射波长．图1为超表面设计模型．超表面纵向长度L=0.519 6 m，厚度h0=0.08 m，离散为30个单元，其微结构从左至右端依次标记为PM1，PM2，…，PM30，厚度方向为5层微结构周期排布．对于本设计目标，模量调控范围为4.38～1.67 GPa，反向变化的密度调控范围为500～1 313 kg/m3，超表面右侧需要较大的等效密度，如果仅采用铝基材(Al，E=70 GPa，ρ=2 700 kg∙m-3，v=0.33)，那么等效模量可以达到要求，但是所需的最大等效密度由于参数h最大值的限制而无法实现，这说明基材参数限制了微结构的物性参数范围，因此选用两种基材进行分段设计，PM1～PM15选用铝，PM16～PM30选用模量相近而密度较大的钛合金(Ti-Ta，E=67 GPa，ρ=4 500 kg∙m-3，v=0.27)．10.13245/j.hust.220504.F001图1五模超表面设计模型由式(3)和式(5)计算得到离散单元所需的物性参数，并以此为优化设计目标，优化设计获得30个微结构单胞的几何参数，如表1所示．PM1和PM15，PM16和PM30分别位于两段基材超表面的端部，具有极端物性参数，其等效模量矩阵和等效密度如表2所示，与理想模量矩阵和理想密度值非常接近．10.13245/j.hust.220504.T001表1微结构几何尺寸设计方案单胞[l，t，d，h]单胞[l，t，d，h]单胞[l，t，d，h]PM1[10，1.52，7.0，0.20]PM11[10，1.04，7.4，4.10]PM21[10，0.81，7.2，2.80]PM2[10，1.45，7.0，0.52]PM12[10，1.00，7.4，4.40]PM22[10，0.82，7.2，2.90]PM3[10，1.38，7.0，0.94]PM13[10，0.94，7.0，3.80]PM23[10，0.79，7.2，3.10]PM4[10，1.32，7.1，1.40]PM14[10，0.88，7.0，4.10]PM24[10，0.77，7.3，3.44]PM5[10，1.25，7.1，1.76]PM15[10，0.86，7.0，4.40]PM25[10，0.74，7.3，3.64]PM6[10，1.23，7.2，2.20]PM16[10，0.90，7.0，1.80]PM26[10，0.73，7.3，3.75]PM7[10，1.15，7.2，2.50]PM17[10，0.90，7.1，2.00]PM27[10，0.71，7.3，4.00]PM8[10，1.09，7.0，2.58]PM18[10，0.86，7.1，2.20]PM28[10，0.70，7.3，4.05]PM9[10，1.07，7.0，2.84]PM19[10，0.84，7.1，2.38]PM29[10，0.69，7.3，4.20]PM10[10，1.07，7.4，3.80]PM20[10，0.84，7.1，2.50]PM30[10，0.66，7.3，4.40]mm10.13245/j.hust.220504.T002表2微结构单胞等效物性参数单胞基材理想模量矩阵/GPa等效模量矩阵/GPa理想密度/(kg∙m-3)等效密度/(kg∙m-3)PM1铝4.380    4.380    0.0004.380    4.380    0.0000.000    0.000    0.0004.374    3.812     0.0003.812    4.374     0.0000.000    0.000     0.000500506.4PM15铝2.455    2.455    0.0002.455    2.455    0.0000.000    0.000    0.0002.459     2.300     0.0002.300     2.452     0.0000.000     0.000     0.000892898.6PM16钛合金2.380    2.380    0.0002.380    2.380    0.0000.000    0.000    0.0002.333     2.196    0.0002.196     2.334    0.0000.000     0.000    0.000920926.5PM30钛合金1.667    1.667    0.0001.667    1.667    0.0000.000    0.000    0.0001.666    1.612     0.0001.612    1.666     0.0000.000    0.000     0.0001 3131 314.23.2　微结构声学性能分析PM1和PM15，PM16和PM30的五模特征指标[19]π和μ，分别为π≈0.872,0.937,0.941,0.968和μ≈0.064,0.031,0.030,0.016，π和μ均分别接近1和0，表明4个微结构均具有较好的五模特性即静力学性质．但是五模微结构的静力学性质与声学性质不一致，超表面的波控性能由微结构声学性能决定．理论上，对于垂直入射声波，波控性能取决于微结构等效纵波速度与理想声速的一致性．文献[25]表明：弯曲波会影响微结构的声学性能，微结构d/t值越大，弯曲波影响越大，声学性能越差．根据表1列出的微结构几何尺寸，铝基材PM1～PM15的d/t值逐渐增大，钛合金基材PM16～PM30的d/t值逐渐增大．提取图2(a)所示的周期性单胞，施加图2(b)所示的周期性边界条件1和1′，2和2′，单胞的六角晶格和简约布里渊区(黑色)如图2(c)所示，将波矢k遍历简约布里渊区的边界，即XΓ，ΓJ和JX，利用有限元仿真软件计算频散曲线(图3)和微结构单胞沿XΓ方向的六阶振动模式(图4)．10.13245/j.hust.220504.F002图2五模微结构单胞10.13245/j.hust.220504.F003图3单胞频散曲线10.13245/j.hust.220504.F004图4单胞振动模式以PM30为例分析单胞的振动模式，在图3(d)的能带结构中，曲线1和4分别为纵波和横波，其振动模式分别对应图4(a)和图4(b)，其特点是微结构发生纵向和横向刚体位移；曲线2和3为弯曲波，其振动模式分别对应图4(c)和图4(d)，其特点是微结构的两质量块分别绕其质心转动，转动方向相同(弯曲振动模式二)或方向相反(弯曲振动模式一)；曲线5和6为光学支，高于纵波所处的频带范围，理论上不影响声波调控，对应图4(e)和图4(f)的振动模式．对频散曲线进行定量分析，取图3中XΓ方向纵波曲线上原点附近的A，B和C三点，通过计算三点处的频散曲线斜率，得到在长波条件下(k≈0)单胞中的等效纵波波速，并与理想波速c比较，如表3~6所示，PM15和PM30分别位于两段超表面的最右侧，具有最大的d/t值，因此相应的纵波速度误差最大．10.13245/j.hust.220504.T003表3微结构PM1 XΓ向等效纵波波速(c=3 000 m∙s-1)点纵波波速/(m∙s-1)纵波频率/kHz误差/%A2 8286.285.73B2 8259.425.83C2 81522.536.1710.13245/j.hust.220504.T004表4微结构PM15 XΓ向等效纵波波速(c=1 681 m∙s-1)点纵波波速/(m∙s-1)纵波频率/kHz误差/%A1 4680.9812.67B1 4672.9412.73C1 4636.3512.9710.13245/j.hust.220504.T005表5微结构PM16 XΓ向等效纵波波速(c=1 630 m∙s-1)点纵波波速/(m∙s-1)纵波频率/kHz误差/%A1 4590.9710.49B1 4582.9210.52C1 4566.3110.6710.13245/j.hust.220504.T006表6微结构PM30 XΓ向等效纵波波速(c=1 142 m∙s-1)点纵波波速/(m∙s-1)纵波频率/kHz误差/%A1 0141.0111.21B1 0113.0411.47C1 0066.0411.91在图3中的频散曲线中，单胞等效纵波均在相对低频段接近理想纵波，随着频率升高，纵波误差增大，最右侧PM30具有最窄的等效纵波带宽．两段基材接合处的PM15和PM16，其等效声速和理想声速符合较好，说明采用两种基材进行微结构设计能够保证所需的声速梯度．单胞在其纵波范围内均存在弯曲波，但是PM1中弯曲波位于较高的频率范围，而其他三个单胞的弯曲波位于相对低的频率范围．弯曲模式在一定程度影响了纵波模式的主导地位，导致PM15，PM16和PM30的等效波速误差均大于PM1，从而影响声学性能．图5为当入射波频率为5 kHz时，超表面内部的位移云图．如图所示，左侧微结构主要发生纵向和横向耦合的整体位移，其中纵向位移占主要成分，而右侧微结构除了整体位移，同时存在弯曲变形，图3(d)PM30能带结构中大致3～8 kHz频带内存在弯曲模式，频率5 kHz的入射波激起了右侧微结构中的弯曲模态而产生弯曲变形，弯曲振动影响纵波的传播，使微结构声学性能劣化．10.13245/j.hust.220504.F005图5入射波频率为5 kHz的微结构总体位移云图3.3　定向反射仿真进行直接声学仿真，以水下垂直入射的平面声波为背景压力场，入射声压值为1 Pa，背景场边界条件设置为平面波辐射以模拟无限大空间声场．超表面下层铺设背衬钢板(E=210 GPa，ρ=7 850  kg∙m-3，v=0.3)模拟刚性边界．背景场定义为压力声学域，超表面和背衬板定义为固体力学域．图6为入射波频率f为3～10 kHz范围内的定向反射声压场．图6表明：所设计的五模声学超表面在较宽的频带内具有较好的调控能力，随着入射波频率升高，当频率大于6 kHz时反射声场的波阵面出现发散，超表面的波控性能略微下降，这是由于超表面波控性能取决于微结构的声学性能，而在高频段，微结构的等效纵波速度误差增大，声学性能下降．在两基材的接合部位，微结构几何参数发生突变，可波阵面仍然保持连续，这是由于虽然基材不同，但是微结构的等效物性参数满足要求，从而保证了所需的声速梯度．10.13245/j.hust.220504.F006图6五模超表面定向反射声压场4 结语选用铝和钛合金两种微结构基材，将均匀化理论和优化设计相结合，设计了反射式五模声学超表面，深入分析了微结构声学特性及其对超表面波控性能的影响，仿真结果表明具有两种基材的超表面能够实现较大的声速梯度．采用两种或多种基材的分段设计方法能够在一定程度上拓宽物性参数范围，克服微结构几何参数设计的局限性，对于大空间或大角度的声波调控具有一定的工程应用价值．但是这种方法仅限于在有限的常规基材中选择，若能够直接对基材的力学性能进行设计，则有望更大程度且更灵活地拓宽物性参数范围，这将对五模超表面及其他五模材料声学器件的设计具有重要价值．后续将围绕基材力学性能设计展开研究．