逆合成孔径雷达(ISAR)具有作用距离远、全天时、全天候的特点，在目标监视、成像和识别等方面具有重要的意义[1-2]．ISAR成像的距离分辨率取决于发射信号的带宽，方位向分辨率则由目标相对雷达的转角大小决定，因此为获得较高的方位分辨率就须要对目标进行长时间的观测，以得到较大的目标转角．但是对于现代多功能雷达系统而言，通常须要同时担负对多个目标的搜索、定位和跟踪等任务，雷达波束指向须要在不同目标之间频繁切换．而对单个目标进行长时间观测以获取高分辨图像须要占用大量的雷达探测资源，通常很难实现．因而在多目标、多任务的应用场景下，雷达对单个目标的长时间观测数据通常是不连续的．此外，在实际战场复杂的电磁环境中，雷达的部分回波数据还可能受到敌方干扰而无法用于成像．上述情况都会造成ISAR回波数据的缺失，使得目标的方位观测孔径不连续．因此，如何在孔径稀疏的情况下利用少量的有效数据获得高质量的图像是ISAR成像中的一个关键问题．近年来，随着稀疏信号处理的兴起，越来越多的研究人员将压缩感知(CS)方法[3]应用于ISAR成像中，其基本思想为：利用成像场景的稀疏特性，基于CS理论进行信号重构，通过少量观测数据实现目标的高质量ISAR成像[4-7]．在CS重构中须要引入正则化约束项，以缓解由于观测数据缺失而引发的问题不适定性．在现有的稀疏重构成像方法中，一般利用目标散射中心在空域的稀疏分布特性来构造正则项，即仅假设目标是由在空间上随机分布的若干个强散射中心所构成的，而未考虑目标图像的结构先验信息，这将使得回波数据量较少的情况下重构效果不理想．在ISAR成像中，由于分辨率的提高，目标通常具有一定的距离和方位扩展特性，除稀疏分布的强散射中心外，目标上的许多散射点往往呈现区域分布，体现出一定的轮廓和结构特征．通过合理利用目标图像的这些先验信息，可以有效提高稀疏孔径ISAR的成像质量．针对稀疏孔径情况下的ISAR成像问题，本研究提出了一种结合小波变换[8]和非局部总变差(NLTV)正则化[9]的稀疏孔径ISAR成像框架，给出了成像模型，并推导了模型的优化求解方法．通过对图像低频分量和高频分量分别进行NLTV和l0范数最小化约束，所提方法在保证重构图像稀疏性的基础上能够更好保护目标的轮廓和结构特征．仿真和实测数据分析结果表明：与传统基于散射点稀疏约束的重构方法相比，所提方法在孔径缺失度高的情况下具有更高的成像性能．1 成像模型假设在ISAR成像中目标回波信号已完成包络对齐与平动补偿处理，在较短的成像积累时间内，目标可视为匀速转动．在小转角情况下，忽略散射点散射特性时变性，回波信号经过脉冲压缩后，某个距离单元上的目标信号可表示为s(tm)=∑k=1Kakexp(-j2πfktm)+n(tm)，(1)式中：K为该距离单元上的目标散射点数量；tm为慢时间；ak和fk分别为第k个散射点的幅度和多普勒频率；n(tm)为加性白噪声．进一步考虑稀疏孔径的情况，并将式(1)对应的ISAR回波方程写成矩阵形式，即s=ΦFθ+n，(2)式中：θ∈CN为向量化的该距离单元上的目标图像，θ中非零元素的值表示对应散射点的复散射系数；n为噪声向量；F∈CN×N为傅里叶矩阵；Φ∈CM×N(MN)为感知矩阵，由随机抽取N阶单位矩阵中M行得到，表示对回波的下采样操作，得到方位稀疏孔径．当矩阵ΦF满足有限等距性(RIP)条件[10]，且成像场景在空域上稀疏时，根据CS理论，由式(2)求解θ的欠定问题可以描述为θ̂=argminθs-ΦFθ22/2+λθ0，(3)式中：⋅2为l2范数；⋅0为l0范数；λ为正则化系数．式(3)是一个l0范数最小化问题，本质上是对图像中非零散射点的数目进行稀疏约束．由于该成像模型是建立在目标仅由空间上随机分布的若干个强散射点构成的假设上，没有更多考虑目标图像的结构、轮廓等细节信息，因此在数据稀疏度较高的情况下目标重建效果将会下降．事实上，在高分辨ISAR图像中，飞机、车辆、舰船等扩展目标上的散射点分布一般会具有明显的形状结构性，体现出特定目标的轮廓特征．如何在重构的过程中更好利用目标图像的这些先验信息，构造更合理的正则化约束项是在稀疏测量数据下获得高质量目标图像的关键．本研究基于小波变换与NLTV正则化来构建稀疏孔径ISAR成像的正则化问题．相比傅里叶分析，小波分析能更稀疏表示分段光滑或有界变差函数；同时，NLTV正则化通过考虑图像的非局部先验特性，具有更好保护图像区域结构的特点．综合上述两者的优点，本研究构造的稀疏孔径ISAR正则化成像模型为θ̂=argminθs-ΦFθ22/2+βJNL(WθL)+γWθG0, (4)式中：JNL(⋅)为NLTV正则项；β和γ为正则化系数；(⋅)L为小波变换的低频分量，包含了图像的概貌和轮廓信息，如呈区域分布的散射点构成的目标大致形状；(⋅)G为小波变换的高频分量，表示图像上变化较剧烈的部分，包含了图像的细节信息，如目标上一些孤立的强散射中心；Wθ=[(Wθ)L,(Wθ)G]为θ的一维哈尔(Haar)小波变换．可以看到：式(4)的优化问题包含两个正则化约束项，即JNL((Wθ)L)和(Wθ)G0．对低频分量的NLTV正则化约束可以在去噪的同时更好保护图像的轮廓形状，而对高频分量的l0范数约束则可以确保重构图像的稀疏性．2 成像模型求解为了便于优化算法的推导，将式(4)中的复数变量转换为实数变量，从而将原本的复数域优化问题转换到实数域，即：s'=Re(sT), Im(sT)T；θ'=Re(θT), Im(θT)T；A=Re(ΦF)-Im(ΦF)Im(ΦF)Re(ΦF)，式中Re(⋅)和Im(⋅)分别表示取实部和虚部．为表述简洁，在后面的推导中，仍采用符号s和θ来表示s'和θ'．通过引入辅助变量a=W×θ，式(4)的优化问题可以表示为：minθs-Aθ22/2+βJNLaL+γaG0;s.t.  a=Wθ. (5)根据增广拉格朗日乘子法，式(5)可表示为θ̂=argminθs-Aθ22/2+βJNLaL+γaG0+mTWθ-a+tWθ-a22/2=argminθs-Aθ22/2+βJNLaL+γaG0+tWθ-a+m/t22/2, (6)式中：m为拉格朗日乘子；t为求解θ优化问题的惩罚因子．根据交替方向乘子法(ADMM)[11]的思想，可通过迭代求解以下三个问题，进而对式(6)进行求解，即：θ(n+1)=argminθs-Aθ22/2+tWθ-a(n)+m(n)/t22/2; (7)a(n+1)=argminaβJNLaL+γaG0+tWθ(n)-a+m(n)/t22/2; (8)m(n+1)=m+a(n)-Wθ(n)，(9)式中n为迭代次数．式(7)具有封闭解，可通过对θ求导得到，即θ=ATA+tI-1ATs+tWTa-m/t，(10)式中：WT为逆小波变换；I为单位矩阵．式(8)可分解为对低频分量aL和高频分量aG分别进行优化求解：aL=argminaLJNLaL+tWθ(n)L-aL+m(n)/tL22/(2β); (11)aG=argminaGaG0+tWθ(n)G-aG+m(n)/tG22/(2β). (12)为求解式(11)，可将NLTV正则项表示为如下的矩阵形式，即JNL(aL)=∑i=1NDiaL，式中Di∈RK×N满足[12]DiaL1=∑j∈ΩajL-aiLwij，其中，⋅1为l1范数，aiL和ajL分别为aL中的第i个和第j个像素，wij为两像素间的权系数，Ω为长度为K的图像窗．引入辅助变量di=DiaL，式(11)可以重新表示为：mina∑i=1Ndi1+t2βWθ(n)L-aL+m(n)/tL22;s.t.  di=DiaL. (13)式(13)的增广拉格朗日表达式为aL=argminaL∑i=1Ndi1+t2βWθ(n)L-aL+m(n)/tL22+∑i=1NziTdi-DiaL+ρ2∑i=1Ndi-DiaL22 (14)式中：zi为拉格朗日乘子；ρ为求解aL优化问题的惩罚因子．针对式(14)的优化问题，再次将此问题分解为如下子问题进行交替迭代求解：aL=argminaLt2βWθ(n)L-aL+m(n)/tL22+∑i=1Nρ2di-DiaL22-ziTDiaL; (15)di=argminaLdi1+ziTdi+ρ2di-DiaL22；(16)zi=zi+ρdi-DiaL．(17)式(15)中的优化问题是连续可微的，其对应的闭式解为aL=tβI+ρ∑i=1NDiTDi-1⋅tβWθ(n)L+m(n)/tL+∑i=1NDiTzi+ρDiTdi．式(16)是一个l1范数最小化问题，可通过线性Bregman算法[13]求解，求解流程如下．步骤1 初始化，u0，δ，r=0．步骤2 当不满足收敛条件时，重复计算v=ur-δ∂∂diziTdi+ρ2di-DiaL22di=ur=ur-δzi+ρur-DiaL;ur+1=shrinkv,δ，r=r+1，式中shrink(⋅)为收缩算子，收敛条件为dir+1-dir2/dir2ε或迭代次数达到预设上限，其中ε为预设门限．步骤3 满足收敛条件，输出dir+1=ur+1．由此，通过循环迭代求解式(15)～(17)即可完成对低频分量aL的求解．式(12)中高频分量aG的求解问题为非凸优化问题，可采用硬阈值方法求解，即aG=HardWθ(n)G+m(n)/tG,η，(18)式中：Hard(⋅)为硬阈值函数；η为阈值．综上所述，本研究所提的结合小波变换和NLTV正则化的稀疏孔径ISAR目标重构算法流程如下．步骤1 根据式(10)求解θ；步骤2 迭代求解式(15)～(17)，得到低频分量aL；步骤3 根据式(18)求解高频分量aG，将aL和aG组合得到a；步骤4 根据式(9)进行拉格朗日乘子的更新；步骤5 重复步骤1～4，直至满足迭代停止条件θn+1-θn2/θn2ξ (ξ为预设门限值)或迭代次数达到预设的上限；步骤6 对回波信号所有距离单元执行上述操作．3 实验验证3.1　仿真数据采用仿真数据验证本研究所提方法的有效性．仿真目标模型如图1所示，该目标是由800个散射点构成的扩展体目标，图中x，y，z为目标在三维空间中的坐标．雷达工作频率为10 GHz，信号带宽为400 MHz，全孔径情况下的积累脉冲数为256．采用距离多普勒(RD)算法进行全孔径ISAR成像的结果如图2所示，图中：R为距离分辨单元序号；A为方位分辨单元序号．10.13245/j.hust.220514.F001图1仿真目标模型10.13245/j.hust.220514.F002图2仿真目标全孔径ISAR成像结果通过方位下采样对方位向脉冲进行随机抽取，在全孔径数据的基础上随机舍弃75%脉冲重复周期的数据，仅保留25%的脉冲数据，从而得到方位向的稀疏孔径．图3给出了本研究所提方法、传统的基于散射点稀疏约束的正交匹配追踪(OMP)方法[14]和平滑l0范数(SL0)方法[15]对稀疏孔径数据的图像重构结果．10.13245/j.hust.220514.F003图3仿真目标25%数据成像结果通过图3可以看出：本研究方法在回波数据缺失严重的情况下具有更好的成像效果，其成像结果的轮廓更清晰，虚假散射点也更少，并且与全孔径ISAR图像更为接近．如图3中的红框标明了不同算法成像效果的差别，黑框为红框区域的放大．采用图像的目标背景比(TBR)和相对均方根误差(RRMSE)两个指标对图3所示的成像结果进行定量的评价，结果如表1所示．10.13245/j.hust.220514.T001表1仿真目标成像结果的定量评价方法TBR/dBRRMSEOMP12.680.56SL013.140.52本研究18.650.36当计算RRMSE时，以聚焦良好、高质量的全孔径ISAR图像作为真实值．计算TBR同样也根据全孔径图像来确定目标区域和背景区域的范围．从表1可以看出：本研究方法具有更高的TBR和RRMSE指标，定量证明了本研究方法在稀疏孔径下具有更好的成像性能，能够更准确重构目标各散射点的位置和幅度．3.2　实测数据采用实测数据对所提方法进行验证．实测数据通过一套自行研制的线性调频连续波雷达系统进行采集，雷达工作频率为15 GHz，带宽为600 MHz，重复周期为1.75 ms．对如图4所示的路面车辆目标进行ISAR成像，全孔径积累脉冲数为512．全孔径数据的RD成像结果如图5所示．10.13245/j.hust.220514.F004图4路面车辆目标10.13245/j.hust.220514.F005图5车辆目标全孔径RD成像结果对方位向数据进行25%的降采样后再采样稀重构方法进行成像处理，图6给出了不同成像方法的成像结果．对比图6(c)和图5可以看到：本研究方法利用少量测量数据获得的成像结果与全孔径RD方法的成像结果较为接近．10.13245/j.hust.220514.F006图6实测目标25%数据成像结果通过图6可以看到：本研究所提方法的成像质量最好，车辆的轮廓更完整，车辆形状也较OMP和SL0方法更为清晰．对图6成像结果的定量评价如表2所示．从指标分析可以看到：本研究方法具有更好的成像质量，当仅采用25%随机降采样的孔径数据时，仍可以获得较为满意的成像效果．10.13245/j.hust.220514.T002表2实测目标成像结果的定量评价方法TBR/dBRRMSEOMP9.510.52SL010.320.47本研究16.210.324 结语本研究提出一种基于小波变换与NLTV的稀疏孔径ISAR正则化成像框架，给出了稀疏重构模型，并推导了成像模型的优化求解方法．该成像方法通过对小波变换的低频和高频分量分别进行NLTV和稀疏约束，在保证图像稀疏特性的基础上更好保持了扩展目标的结构和轮廓特性．仿真数据和实测数据表明：在ISAR方位向孔径数据缺失严重的情况下，所提方法相比传统基于稀疏约束的CS重构方法具有更好的成像性能．